专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（人教版2024 广东专版）

数理极 专题复习 考点2：三角形的内角 第⊕e章 三角形 例2如图8，一轮船在 海上往东行驶，在A处测得 ⊙广东梁俊才 灯塔C位于北偏东75°，在B,型 处测得灯塔C位于北偏东 图 知识回圆 考点解密 35°，则∠C的度数是 1.三角形的概念 。考点1：三角形 A.30°B.32 C.35° D.40° 由不在同一条直线上的三条线段 例1已知三角形三条边的长分别为3,5 解：由题意，得∠CAB=90°-75°=15° 所组成的图形叫作三角形.组 x,则x的值可能是 ( ∠ABC=90°+35°=125.所以∠C=180°- 成三角形的线段叫作 ,相邻两边的公 A.2 B.5 ∠ABC-∠CAB=40°.故选D. C.8 D.11 共端点叫作 ,相邻两边所组成的角叫 解：由三角形的三边关系，得5-3<x<5 ●专项练习 作 三角形有」 条边 个内 8.将一副三角尺如图9放 +3,即2<x<8.所以x的值可能是5.故选B. 角和 个顶点.“三角形”可以用符号“△” 置，∠A=∠ABC=45°，∠C= ●专项练习 表示 ∠DBE=90°，∠D=60°，当 1.如图1，以点D为顶点的三角形的个数为 (1)在直角三角形中，把直角所对的边称 ED所在的直线与AC垂直时， 为直角三角形的 ,夹 的两条 ∠CBE的度数是 () .3 B.4 5 边称为直角边.直角三角形ABC可记作 A.1209 B.1359 C.150 D.1659 (2)有两条边相等的三角形叫作 9.在下列条件：①∠A+LB=∠C;②∠A: ∠B:∠C=5:3:2;③∠A=90°-∠B:④∠A ,三边都的三角形叫作等边 方法二 三角形 图1 图2 =2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形 2.要使五边形木架ABCDE(用5根木条钉 的是（填序号). 2.三角形中的三条重要线段 成)不变形，工人准备再钉上两根木条，图2的 10.定义：如果一个三角形有两个内角的差 (1)在三角形中，连接一个顶点与它所对 两种钉法中正确的是 为90°，那么这样的三角形叫作“准直角三角 的边中点的线段，叫作这个三角形的 3.如图3，△ABC的 形”.若△ABC是“准直角三角形”，且∠A= 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形 周长为20cm,AD是边 40°，∠C>90°，求∠B的度数 的 三角形每一条边上的中线将三角 BC上的中线，已知CD 。考点3：三角形的外角 形分成 相等的两部分。 =4cm,AC=7cm,则 例3如图10，点D,E (2)在三角形中，一个内角的平分线与它 3 AB的长为 分别在线段AC,BC上，连接 所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线 A.6 cm B.5 cm AE,BD交于点F.若∠A= 段叫作三角形的 三角形的三条角平 C.4cm D.3 cm 27°，∠B=45°，∠C=38°，B 分线交于一点 4.如图4，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置 则∠DFE的度数为( 10 (3)从三角形的一个顶点向它所对的边所 在数轴上，点A,B对应的数分别为-5,5，从点 A.110°B.115°C.120°D.1259 在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三 C,D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角 解：因为∠B=45°，∠C=38°，所以∠ADF 角形的 一·三角形的三条高所在的 形，其中点C对应的数为-2，则点D在数轴上对 =∠B+∠C=83°.因为∠A=27°，所以 交于一点.一个三角形的三条高不 应的数可能为 ∠DFE=∠A+∠ADF=1I0°.故选A. 定都在三角形内部. ●专项练习 3.三角形的主要性质 11.如图11，在△ABC中，D,E分别在AB (1)三角形两边的和 第三边，三 AC上，DE∥BC,∠ACF是△ABC的外角，已知 角形两边的差」 第三边 图 ∠A=40°，∠ADE=60°，则∠ACF的度数为 (2)三角形具有 性，即三边长确 A.2 B.3 C.4 D.5 定后三角形的大小和形状是固定不变的. 5.如图5，已知△ABC的三条高AD,BE,CF A.100° B.1209 C.140 D.1609 (3)三角形的内角和等于 ,直角 交于点H,则△ACH的三条高是 三角形的两个锐角」 ,有两个角互余的 这三条高所在直线交于 三角形是 三角形 (4)三角形的外角 与它不相邻的 地 两个内角的」 ·三角形的外角大于与它 图11 图12 的任何一个内角。三角形的外角和等 12.如图12，是A,B两根木棒放在地面上的 图5 情形，若∠3=100°，则∠2-∠1的度数是 4.三角形的分类 6.如图6，已知AD为△ABC的角平分线 (1)三角形按边分类： DE∥AB交AC于点E.若∠BAC=1O0°，求 13.如图13，在△ABC中， 三边都不相等的三角形 ∠ADE的度数. ∠ACB=90°，BD是角平分线，且 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 角 7.如图7，在直角 ∠DBC=30°，P是BD上一点，连 等边三角形 △ABC中，∠BAC=90°，AB 接CP (2)三角形按角分类： =8,AC=5,AD是边BC上 (1)求∠A的度数： 直角三角形 的中线，E是AD的中点，连B (2)若∠CPD=75°，求证：CP是∠ACB的 三角形 斜三角形锐角三角形 接BE,CE,求阴影部分的面 平分线 (本合刊专项练习答案见第15~18版) 钝角三角形 积 (本章复习检测卷见第7~8版) 专题复习 数理极 第①四章全等三角形 IAB=DE,所以R△ABC≌Rt△DEC(HL), BC EC. ●专项练习 7.如图9，D,E是BC上两 。山西江珂瑞 点，且BD=CE,GE⊥BC,FD 知识回厨 (2)正明三角形全等的思路： ⊥BC,分别与BA,CA的延长 (注：根据已知条件，灵活选择三角形全等 线交于点G,F.若BG=CF,求 1.全等三角形的概念 的判定方法，是本章重点内容，同学们务必掌 证：GE=FD 能够 的两个图形叫作全等形 握)》 考点3：三角形全等的应用 能够」 的两个三角形叫作全等三角 r找夹角：SAS 例4如图10，工人师傅 形.两个三角形全等时，互相重合的顶点叫作 ①已知两边找直角： 要检查三角形工件ABC的∠B ,互相重合的边叫作 ,互相重 找另一边： 和∠C是否相等，但他手边没 合的角叫作 夹边就是三角形中相邻 ②已知两角找夹边： 有量角器，只有一个刻度尺， 两角的公共边；夹角就是三角形中有公共端点 找角的对边： 他是这样操作的： ③已知一边一角 的两边所组成的角： ①分别在BA和CA上取 边为角的对边：找一角： BE CG; 2.全等三角形的性质 找边的另一邻角： ②在BC上取BD=CF; 全等三角形的 相等， 边为角的邻边 找边的对角： ③连接DE,FG,量出DE的长为a米，FG的长 等.全等三角形的一切对应元素都 找角的另一邻边： 为b米 3.三角形全等的判定 4.角的平分线 若a=b,则说明∠B和∠C是相等的，他的 (1)三角形全等的判定方法： 性质：角的平分线上的点到角两边的距离 这种做法合理吗？为什么？ 解：他的这种做法合理.理由如下： 【注意】三角形全等的判定方法“HL”只适 判定：角的内部到角两边 BE CG. 用于直角三角形 角的平分线上 在△BDE和△CFG中，{BD=CF,所以 DE FG. 考点解密 △A'B'C'的中线，所以BD= △BDE≌△CFG(SSS).所以∠B=∠C ●专项练习 。考点1：全等图形的性质 2B'C.因为BC=B'C',所以BD=BD.在 8.如图11，为了测量 例1如图1，将 幢楼的高AB,在旗杆 0 △ABC推倒后变为 AB A'B', △ABD和△A'B'D'中， CD与楼之间选定一点P, △DEC,其中B,C,D在同 BD=B'D',所以 测得旗杆顶C的视线PC 一条直线上，若CE=5, AD A'D', 与地面的夹角∠DPC= AC=8,则DE的长不可 △ABD≌△A'B'D'(SSS).所以∠B=∠B'.在 33°，测得楼顶A的视线 能为 AB A'B', A.4 △ABC和△A'B'C'中 B.8 C.12 D.13 ∠B=∠B',所以 PA与地面的夹角∠APB=57°，量得点P到楼 AB的距离PB与旗杆CD的高度都为8米，量得 解：根据题意，得△ABC≌△DEC.所以DC BC B'C', 旗杆与楼之间距离DB为20米，且CD⊥BD,AB =AC=8.所以8-5<DE<8+5,即3<DE △ABC≌△A'B'C'(SAS) ⊥BD,点D,P,B在同一条直线上，求楼高AB. <13.故选D. ●专项练习 。考点4：角的平分线 ●专项练习 3.如图4，BD=BC,BE=CA,∠DBE 例5 ∠C=61°，∠BDE=76°，则∠EBC的度数为 如图12，在 1.下列各组图形中，是全等形的是( Rt△ABC中，∠C=90°，利 朵◇◇田E因S A.129 B.13° C.159 用尺规在BA,BC上分别截 D.25 B 取BM=BN;分别以点M,A A D 12 2.如图2，已知△ABC≌ N为圆心，以大于？MN的 △ADE,连接BD,若∠EAC 长为半径作圆弧，两弧在∠CBA内部交于点E, =90°，AB=4,则图中阴影 作射线BE交AC于点F.若CF=2,点H为AB 部分的面积为 图4 上的一动点，则FH的最小值是 A.4 B.8 4.如图5，已知AB=AC,BD=CE,AD= 1 解：当FH⊥AB时，FH的值最小.由作图可 C.16 D.无法确定 AE,求证：∠1=∠2. 5.如图6，在△ABC中，点D在边BC上，CD 知BF平分∠ABC.因为FC⊥CB,FH⊥AB,所 ÷考点2：三角形全等的判定 =AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.若DE=10,AB 以FH的最小值为2.故填2. 例2小明准备证明命题：如果两个三角 ●专项练习 形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那 =8,求BD的长 9.如图13，有三条道路围成Rt△ABC,其中 么这两个三角形全等.他已经画出如图3的图 ∠C=90°，一个人从C处出发沿着CB行走了 形，请你帮他用符号表示已知、求证，并写出证 200m到达D处，此时他到直线AB的距离DE也 明过程。 是200m.若∠B=20°，则∠CAD= 86 6.如图7，∠A=∠B=90°，AD=BC,求 证：AC=BD. 例3如图8，已知 AD⊥BE,垂足C是BE 解：已知：如图3，在△ABC和△A'B'C'中， 的中点，AB=DE.求证： 13 图14 AB=A'B,BC=B'C',AD和A'D'分别是 Rt△ABC≌Rt△DEC 10.如图14，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD △ABC和△A'B'C的中线，且AD=A'D' 证明：因为AD1 图8 平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若AB=10, 求证：△ABC≌△A'B'C BE,所以∠ACB=∠DCE=90°.因为C是BE的 AC=6,BC=8,则△BDE的周长为 证明：因为AD和A'D'分别是△ABC和中点，所以BC=EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中， (本章复习检测卷见第9~10版】 数理极 专题复习 5 叫作 两腰的夹角叫作 腰和 第⊕五章 轴对称 底边的夹角叫作 (2)性质： ①等腰三角形的两个底角 (简写 ○四川 马舒悦 成“ 对 ”); 知识回圆 (4)已知点P(x,y),则点P关于x轴对称的 ②等腰三角形底边上的 点的坐标是 ,点P关于y轴对称的点的 及顶角 重合（简写成 1.轴对称及其性质 坐标是 ”).等腰三角形是轴对称图形，它的 (1)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条 2.线段的垂直平分线 对称轴是 直线折叠，直线 的部分能够互相重合， (1)概念：经过线段 并且 (3)判定：有两个角 的三角形是等 这个图形就叫作 图形，这条直线就是它 这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线， 腰三角形（简写成“ 对 ”) 的 ,折叠后重合的点是对应点，叫作 (2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线 5.等边三角形 点 段两个端点的距离 (1)概念：三边都相等的三角形是 (2)两个图形成轴对称：把一个图形沿着某 (3)判定：与线段两个端点距离相等的点在 三角形. 条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合， 这条线段的 上 (2)性质： 那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对 3.互逆命题与互逆定理 ①等边三角形的三条边都 三个 称，这条直线叫作 ,两个图形中的对应 (1)互逆命题：两个命题的 角都 并且每一个角都等于 点叫作 点 正好相反，把具有这种关系的两个命题 ②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有 (3)性质： 叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那 等腰三角形所有的性质，所以它也是 对 ①成轴对称的两个图形 么另一个叫作它的逆命题， 称图形，共有 条对称轴 ②成轴对称的两个图形中，连接对称点的 (2)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过 (3)判定： 线段被 垂直平分，如果两个图形关于某证明是 命题，那么它也是一个定理，这 ①三个角都 的三角形是等边三角形： 条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连】 两个定理叫作互逆定理，其中一个定理即叫作另一 ②有一个角是60°的 三角形是等 线段的 线 个定理的逆定理。 :边三角形 ③如果两个图形的对应点连线被同一条直 4.等腰三角形 6.在直角三角形中，如果一个锐角等于 线 那么这两个图形关于这条直线 (1)概念：有两边 的三角形叫作等30°，那么它所对的 等于斜边的 腰三角形，相等的两边都叫作 另一边 考点解密 BD垂直平分EF 考点4：画轴对称图形 ”考点1：轴对称图形 例4点A(1,-2)关于y轴对称的点的坐 例1 下列交通标志图形中不是轴对称图 标是 ( 形的是 3 A.(1,-2) B.(1,2) 3.如图4，△ABC为等边三角形，点B关于 C.(-1,-2) D.(-1,2)》 AC的对称点为点F,连接AF,CF,点D在BC上， 解：C. 点E在CF上，且BD=CE.求证：AD=AE. ●专项练习 。考点3：线段的垂直平分线 7.平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称 解：D 例3如图5，以△ABC 点为P,(m-n,m+n),点P关于y轴的对称点 的顶点C为圆心，CA为半径 为P2(n-1,2n+2),则m+n的值为() ●专项练习 1.如图1画出下列图形的所有对称轴 作圆弧交AB于点D,边BC的 A.0 B.-2C.2 D.8 垂直平分线恰好过点D,交B 8.如图8，把下列图形补成关于直线1对称 36 BC于点E.若BD=6,AD= 的图形 4,则△ACD的周长是 解：由作图可知CA=CD.因为ED垂直平分 1 BC,所以CD=BD=6.所以△ACD的周长为： ?考点2：轴对称图形的性质 CD+CA+AD=16.故填16. 例2如图2，△ABC与 ●专项练习 △DEF关于直线I对称，且∠A 图8 4.如图6，在 =78°，∠F=48°. △ABC中，AB,AC边 9.如图9，在平面直角坐标系中，已知A(0, 1),B(2,0),C(4,3) (1)若点B到直线l的距离 的垂直平分线分别 (I)画出△ABC关于x轴对称的图形 为5，则B,E两点间的距离为 交BC于点D,E,垂 图6 △AB,C1: (2)求∠E的度数 足分别为点F,G若 (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的 解：(1)10. △ADE的周长为8，则边BC的长度是 坐标为 (2)因为△ABC与△DEF关于直线I对称， 5.写出下列命题的逆命题. (3)已知P为x轴上一点，且△ABP的面积 ∠A=78°，所以∠D=∠A=78°.所以∠E (1)如果a+b>0,那么ab>0: 为1，求点P的坐标 180°-∠D-∠F=54. (2)三个内角度数之比为1：2：3的三角形 为直角三角形 ●专项练习 6.如图7，在△ABC中， 2.如图3，AD是△ABC的对称轴，点E,F是 AB=AC,DE是AB的垂直平 AD的三等分点，若△ABC的面积为30cm,则图分线，交AB于点E,交AC于 ,o1 245 中阴影部分的面积为 ( 点D,连接BD,且BD=BC A.10 cm B.15 cm (1)求∠A的度数： C.20 cm D.25 cm (2)作DF⊥BC,垂足为F,连接EF.求证： 1下转第6版) 6 专 题复 习 数理报 (上接第5版) 度数是 （上接第31版) 考点5：等腰三角形 A.45 B.50 C.40 D.55 ●专项练习 例5如图10，直线l, 15.如图16，点D是 10.科学家在实验室检测出某种病毒的直 ∥2，Rt△ABC的直角顶点 △ABC边AC上的点，且点D 径约为0.000000103米，该直径用科学记数法 B在直线2上，AC,BC分别 在线段AB的垂直平分线上， 表示为 米 交直线l,于点D,E.若∠C ∠ABC=87°，∠C=33°.求B9 11.用科学记数法表示的数-5.6×104写 =35°，DE=CE,则∠1的 证：△ABD是等边三角形 成小数是 ( 度数是 考点7：含30°角的直角三角形 A.-0.00056 B.-0.0056 A.30° B.15o C.25 D.209 例7如图17，在△ABC中，LC=90 C.-56000 D.0.00056 解：因为DE=CE,所以∠CDE=∠C= ∠BAC=75°，D是BC上一点，且∠DAC=60° 考点6：分式方程及其应用 35°.所以∠CED=180°-∠CDE-∠C=110°. 若AC=8,则BD的长为 因为直线4∥l2,所以∠CBF=∠CED=110° 例7分式方程2x3+士=0的解为 因为∠ABE=90°，所以∠1=∠CBF-∠ABE =20°.故选D. 1 图17 解：2x+3+ 1=0两边同乘x(2x+3),得 ●专项练习 A.6 B.8 C.12 D.16 10.已知等腰三角形的一个外角为140°，则 x+(2x+3)=0.解得x=-1.经检验，x=-1 解：因为∠C=90°，∠DAC=60°，∠BAC= 它的底角度数为 是原分式方程的解故填x=-1. ( 75°，所以∠ADC=90°-∠DAC=30°，∠B= A.40° B.70° ●专项练习 90°-∠BAC=15°.所以∠BAD=∠ADC-∠B C.30°或60° D.40°或70° m =15°=∠B.所以AD=BD.在Rt△ADC中，AC 12若关于x的分式方程，+2=” 11.如图11，D为△ABC内一点，CD平分 =8,∠ADC=30°，所以AD=2AC=16.所以 的解为非负数，则m的取值范围是() ∠ACB,BD⊥CD,延长BD交AC于点E.若∠A BD=AD=16.故选D. A.m≤2 B.m≥2 =∠ABE,BD=1,BC=3,则AC的长为 ●专项练习 C.m≥2且m≠-1D.m≤2且m≠-1 16.如图18，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 13.解方程： A.4 9 C.5 2 0 30°，BC=6,AD平分∠CAB,则点D到AB的距 1 离为 例8某班级为了表彰学业优秀的学生， 图1 图12 计划采购“四季笔记本”和“四季书签”两种文 图18 创产品作为奖励.已知每个“四季书签”的售价 12.如图12，在△ABC中，∠A=60°，∠C A.2 B.2.5C.3 D.3.5 40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D,E为BC 比每个“四季笔记本”的售价高10元，班级第 考点8：最短路径问题 的中点，连接DE 次采购时，购买“四季笔记本”和“四季书签”分 例8如图19，在△ABC (1)求证：△BCD为等腰三角形： 别花费了144元和220元，且“四季笔记本”的 中，∠ACB=90°，以AC为底 (2)求∠EDC的度数 边在△ABC外作等腰 个数是“四季书签”个数的号求每个“四季笔 考点6：等边三角形 △ACD,∠ADC的平分线分别 记本”与每个“四季书签”的售价 例6如图13，△ABC为 交AB,AC于点E,F,点P是 解：设每个“四季笔记本”的售价为x元，则 等边三角形，D为BC延长线上 直线DE上的一个动点.若 每个“四季书签”的售价为(x+10)元 的一点，作DE∥AB,交AC的 BC=5,∠CAB=30°，则△PBC周长的最小值 延长线于点E.若AB=5,DEB 根据题意，得44-？×220 13 为 5 x+10 =3,则AE的长为() A.15 B.17 C.18 D.20 解得x=12. A.2 B.5 C.8 D.11 解：连接PA,如图19.根据题意，得DA= 经检验，x=12是分式方程的解，且符合题 解：因为△ABC为等边三角形，所以AC DC.因为DE平分∠ADC,所以ED垂直平分AC. 意.所以x+10=22. AB=5,∠A=∠B=60.因为DE∥AB,所以 所以PC=PA.所以PC+PB=PA+PB.当点P 答：每个“四季笔记本”的售价为12元，每 ∠D=∠B=60°，∠E=∠A=60°.所以∠DCE 与点E重合时，△PBC的周长最小.因为BC= 个“四季书签”的售价为22元 =180°-∠D-∠E=60°.所以△CDE为等边 5,∠ACB=90°，∠CAB=30°，所以AB=2BC= ●专项练习 三角形.所以CE=DE=3.所以AE=AC+CE 10.所以△PBC周长的最小值为：PB+PC+BC 14.2025年9月20日，“世界的白鹤梁幸福 =8.故选C. =PB+PA+BC=AB+BC=15.故选A. 的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷 ●专项练习 ·专项练习 幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推 13.如图14，△ABC是等边三角形，AB=6. 17.唐诗《古从军行》 动了涪陵本地文旅产品经济的发展.滨江路某 BD是△ABC的角平分线，延长BC到点E,使CE 中“白日登山望烽火，黄 文创店想购进A,B两种商品，已知每件B种商 =CD,则BE的长为 昏饮马傍交河”，隐含了 品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用 A.7 B.8 D.9 个有趣的数学问题 300元购进A种商品的数量是用100元购进B种 -“将军怎样走才能使 图20 商品数量的4倍 总路程最短”？如图20，在平面直角坐标系中，将 (1)求每件A种商品和每件B种商品的进 军从A(4,0)出发，先到山脉m的任意位置望烽 价分别是多少元： 火，再到阿岸n的任意位置饮马后返回到A点， (2)商店决定购进A,B两种商品共50件， 14 15 且m与n的夹角为30°，则将军所走的总路程最 A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高 14.如图15，在等边三角形ABC中，点E在短为 20%后出售，要使所有商品全部出售后利润不 AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落 A.4 B.6 C.8 D.12 少于210元，求购进A种商品至少多少件 在BC边上的点D处，且ED⊥BC,则∠EFD的 (本章复习检测卷见第11~12版) (本章复习检测卷见第21~22版) 数理招 参考答案， 15 第15期2版参考答案 复习专号参考答案 18.4整数指数幂 =子(LABE+∠ACE)=35.所以∠BFC=LBAC+ 基础训练1.D:2.A. 《三角形》专项练习 ∠ABF+∠ACF=95°. 23.(1)因为∠B=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC 3.1):(2) 4 1.B:2.方法一：3.B;4.A: =180°-∠B-∠ACB=80°.所以AD是△ABC的角平 18.5分式方程 5.CD.HE,AF,点B. 18.5.1分式方程的定义及解法 6.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，所 分线，所以∠BAD=∠BAC=40因为AE是△ABC 基础训练1.B:2.D:3.C:4.0或12 以∠BAD= 7∠BAC=50.因为DE∥AB,所以∠ADE 的高，所以∠AEB=90°.所以∠BAE=90°-∠B= 9:(3)无解 1 50°.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=I0. 5.(1)x=1:(2)x= =∠BAD=50°. (2)因为∠ACB-∠B=a,所以∠ACB=∠B+. 能力提高6.m=-1. 所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-∠B-(∠E 18.5.2分式方程的应用 7.因为E是线段AD的中点，所以Sac=2S△w,+)=180°-2∠B-a,因为AD是△ABC的角平分线， 基础训练1.B:2.B;3.600. 4.斗容1.0立方米的装载机每小时装车440立方米， SAm=2Sam所以S=SA+Sam=5x+所以LBAD=号∠BAC=90°-LB-之a因为AE是 斗容0.5立方米的装载机每小时装车260立方米 2x2AB·AC=10, :△ABC的高，所以∠AEB=90°.所以∠BAE=90°- 5.(1)A款套装的单价是60元，B款套装的单价是 ∠B.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-(90 90元. 8.C:9.①②③. 10.因为△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，所 -LB-2)=2 (2)学校最多可以购买66个B款套装. 6.(1)甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数据以∠C:∠A=90°或∠C- ∠B=90° (3)因为∠CAE和∠BCF的平分线交于点G,所以 中心每小时迁移2TB数据 ①当∠C-∠B=90°，因为∠A=40°，所以∠C+ (2)甲数据中心至少需要工作5小时 ∠B=180°-∠A=140°，所以∠B=25°： ∠CAG=LCAE,LFCG=∠BCR所以∠G= 第15期3版参考答案 ②当∠C-∠A=90°，因为∠A=40°，所以∠C= 90°+∠A=130°，所以∠B=180°-∠A-∠C=10° LFCG-LCAG-L8CF-LCAE=(LBCF- 综上所述，∠B的度数为10°或25 题号12345678 ∠AEC=45° 11.A:12.80°. LCAE)=2 答案CBDACBC A 13.(1)因为BD是△ABC的角平分线，∠DBC= 《全等三角形》专项练习 :30°，所以∠ABC=2∠DBC=60°.因为∠ACB=90°，所！ 二9.3；10.3y2-2y-1=0:11.7 以∠A=90°-∠ABC=30. 1.C;2.B;3.C (2)因为∠CPD=75°，所以∠BCP=∠CPD TAB =AC 12.168:13.}；14.方案三 ∠DBC=45°.因为∠ACB=90°，所以∠ACP=∠ACB 4.在△ABD和△ACE中，BD=CE.所以△ABD≌ LAD AE 三、15.(1)x=11:(2)x=0:(3)无解. ∠BCP=45°=∠BCP.所以CP是∠ACB的平分线. 16.甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平 《三角形》复习检测卷 △ACE(SSS).所以∠BAD=∠CAE.所以∠BAD- ∠CAD=∠CAE-∠CAD,即∠1=∠2. 均每小时包80个粽子 5.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B.在△CDE和 17.(1)A=-4 题号12345678910 r∠EDC=∠B, x-1 △ABC中，CD=AB.所以△CDE≌△ABC(ASA). (2)m的取值范围是m≥-之且m≠2，m≠号 答案C B A D AD C B CC L/DCE=/A 18.(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次 二、11.三角形的稳定性；12.14：13.100°： 所以BC=DE=10.所以BD=BC-DC=2. 6.设AC与BD交于点O,图略.在△AOD和△B0C 购进这款书签400个. 14.40°： 15.60cm. (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元. 三、16.图①中，x=55:图②中，x=65. 「∠AOD=∠BOC 17.(1)6. 中， LA=∠B, 所以△AOD≌△BOC(AAS).所 附加题1.(1)x=6. LAD=BC 1 1 (2)因为BC∥DE,所以∠ADE=∠B=60°.所以 (2)+7+6=+4+3 ∠A=∠CED-∠ADE=45. :以A0=B0,D0=C0.所以A0+C0=B0+D0,即AC 18.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC=90°.因=BD. (3)答案不准一，如，-n+2 为∠BEC=115°，所以∠ACE=∠BEC-∠BDC=25. 7.因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE 1 1 因为CE平分∠ACB,所以∠ACB=2∠ACE=50°.因为=CD.因为GE⊥BC,FD⊥BC,所以∠GEB=∠FDC= -n+1= x-n-1x-n-2 ∠A=70°，所以∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°. 这个方程的解为x=n. 四、19.(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD=i 0、在△BG和R△GDF申，[G三所以 2.(1)①×：②V:③×. CD.因为AB=I0cm,AC=6cm,所以△ABD与△ACD RtA△BEG≌Rt△CDF(HL).所以GE=FD. 的周长差为：(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB! 8.根据题意，得∠D=∠ABP=90°.因为∠DPC= (2)n=±5. AC 4 cm. 33°，所以∠PCD=90°-∠DPC=57°.因为∠APB= (3)k=m+1 (2)因为△BDE的周长与四边形ACDE的周长相：57°，所以∠APB=∠PCD.因为DB=20米，PB=8米， m+1 等，所以BE+BD+DE=AE+AC+CD+DE.因为BD所以PD=DB-PB=I2米在△PCD和△APB中， 第16期综合测评卷参考答案 =CD,所以BE=AE+AC.因为AB=10cm,AC=6cm, T∠PCD=∠APB, 所以10-AE=AE+6.所以AE=2cm, CD =PB. 所以△PCD≌△APB(ASA).所以 题号12345678910 20.(1)△ACD与△CBD:△ACD与△ABC(答案不 ∠D=∠ABP :AB=PD=12米 答案DB BD AB DA DB 推一)」 (2)因为∠A=40°，∠B=60°，所以∠ACB=1809 答：楼高AB为12米 三山号2答案不催一如2：1 ∠A-∠B=80°.因为CD为△ABC的角平分线，所以 9.35°：10.12. 14.5:15.2或6或8. ∠ACD=∠BCD=∠ACB=4O°所以∠CDB=∠A 《全等三角形》复习检测卷 三、16.(1)bc；(2)x+2 +∠ACD=8O°=∠ACB.因为∠A=∠BCD,∠CDB= ∠ACB,所以△CBD与△ABC互为“等角三角形”，又因 题号12345678910 17.(1)x=3(2)无解. 为∠ACD=∠A,所以CD是△ABC的“等角分割线” 18.(1)A=-x+2y 21.(1)因为BC⊥AB,所以∠ABC=90°.所以∠C 答案CDCACC BD DA 2y +∠BAC=90°.因为AD是△ABE的角平分线，所以 ! 二、11.2.5：12.答案不惟一，如AB=BC: (2)A=-3 13.=:14.10:15.1100. 4 ∠BAC=∠EAB.所以∠C+2∠EAB=90°.所以 三、16.因为AF=DC,所以AF+FC=DC+FC,即 四、19.该工程队原计划每天完成200米， 2∠C+∠EAB=180°.因为2∠1+∠EAB=180°，所以：AC=DF.因为BC∥EF,所以∠ACB=∠DFE.在 20.(1)h-=1 ∠1=∠C.所以EF∥BC. [BC EF, a+b (2)因为∠ABC=90°，∠C=72°，所以∠BAC= △ABC和△DEF中 ∠ACB=∠DFE,所以△ABC≌ (2)m=16. 90°-∠C=18°.所以∠EAD=∠BAC=18°.因为 LAC DF. 21.(1)③2，④3. ∠ADE=∠BDC,所以∠EAD+∠AED=∠C+∠CBE, △DEF(SAS).所以∠E=∠B=84° 5 10 (2)⑤，十=x中-1的解是x=4 即18°+78°=72°+∠CBE.所以∠CBE=24° 17.根据题意，得∠i=∠r.所以∠ABG=∠CBF 五、22.(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.理由如下： r∠FCB=∠GAB=90°， 3)第0个方程为，女“开-1，它的解是： 连接AD并延长到点M,图略.因为∠BDM=∠BAD 在△FCB和△GAB中， CB AB, 所以 +∠B,∠CDM=∠CAD+∠C,所以∠BDC=∠BDM+ ∠CBF=∠ABG n-1. ∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=∠BAC+∠B;△FCB≌△GAB(ASA).所以AG=CF=1.5m. 五、22.(1)当m=3时，该方程 +∠C. 答：灯泡到地面的高度AG为1.5m 的解为x=-4 (2)①30°. 18.过点D作DF⊥BC于点F,图略.所以∠CFD= (2)m的值是1或9或-3. ②因为∠BAC=60°，∠BEC=130°，所以∠ABE+ 90°.因为∠DEB+∠C=180°，∠DEB+∠AED=180° 23.(1)95号汽油的单价为 ∠ACE=∠BEC-∠BAC=70°.因为BF平分∠ABE,:所以∠AED=∠C.在△DAE和△DFC中， 8元/升. (27.5, CF平分∠ACE,所以∠ABF=号∠ABE,∠ACF= 「∠A=∠CFD=90° ∠AED=∠C, 所以△DAE≌△DFC(AAS).所 DE DC. (3)金额.理由略 2LACE.所以LABF+∠ACF=2∠ABE+2LACE以DA=DR因为DA⊥AB,DF⊥BC,所以BD是∠ABC 16 参考答 案· 数理极 的平分线 (2)由(1)得，∠ABD=36°，∠ABC=72°.所以：DF,即BE=BF 四、19.(1)20°.60°. ∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°.所以BD平分∠ABC. (2)①当∠C为纯角时，BE=BF成立.证明如下： (2)当DC=4时，△ABD≌△DCE.理由如下： 因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF,∠DEB= 过点A作AG⊥BC交BC的延长线于点G,作AHI 因为∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B ∠DFB =90°.在Rt△BDE和Rt△BDF中， BD交BD的延长线于点H,图略.所以∠G=∠H=90 ∠ADE=4O°，所以∠BAD=∠CDE.在△ABD和△DCE中， 因为△ABC与△ABD关于直线AB对称，所以∠ABC= 「∠BAD=∠CDE BD=BD,所以R1△BDE≌RL△BDF(HL).所以BE= DE DF. r∠G=∠H, AB DC. 所以△ABD≌△DCE(ASA). BF.所以BD垂直平分EF ∠ABD.在△AGB和△AHB中，{∠ABG=∠ABH,所以 ./B=/C 7.A. AB =AB 20.(1)因为DE⊥AB,所以∠AED= 90°. 在 8.图略 △AGB≌△AHB(AAS).所以BG=BH,AG=AH.在 R△ADE和R△ABC中，{AE=AC, IAD=AB,所以Rt△ADE≌ 9.(1)图略.(2)(-4,3) △GE和R△F申，G怎A饭：月 ·所以Rt△AGE≌ Rt△ABC(HL).所以DE=BC. (3)设点P(m,0),则5x12-mx1=1.解得m Rt△AHF(HL).所以EG=FH.所以BG-EG=BH- (2)连接AF,图略.因为BF=2,CF=1,所以BC= =0或m=4.所以P(0,0)或P(4.0) FH,即BE=BF BF+CF=3.所以DE=BC=3.在RL△AEF和RL△ACF 10.D:11.C ②当∠C为锐角时，BE=BF不一定成立.举反例如 中，[AE=A:所议△BFa△4C.所EF 12.(1)因为∠A=60°，∠C=40°，所以∠ABC= 下 180°-∠A-∠C=80°.因为BD平分∠ABC,所以 以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F,F, =CF=1.所以DF=DE+EF=4. 21.(1)因为∠BAC=∠FAG.所以∠BAC-∠CAD= ∠DBC=2∠ABC=40°=LC.所以DB=DC.所以 图略.则AE=AF=AF'.易证BE=BF≠BF. 23.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC= ∠FAG-∠CAD,即∠BAF=∠CAG.在△ABF和△ACG中， △BCD为等腰三角形 ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC. r∠BAF=∠CAG. (2)因为∠DBC=∠C=40°，所以∠BDC=1809 (1)因为BD=CE,所以AC-CE=BC-BD,即AE AB AC, 所以△ABF≌△ACG(ASA). ∠DBC-∠C=1O0°.因为DB=DC,E为BC的中点 rAB CA, .∠ABF=∠ACG =CD.在△ABE和△CAD中，{∠BAE=∠ACD.所以 (2)因为△ABF≌△ACG,所以AF=AG,BF=CG.因 所以LEDC=∠BDC=50 LAE=CD 为AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠CAD.因为∠BAD= 13.D: 14.A. △ABE≌△CAD(SAS) ∠CAG,所以∠CAD=∠CAG.在△AEF和△AEG中， 15.因为∠ABC=87°，∠C=33°，所以∠BAC= (2)△ADF是等边三角形.理由如下： [AF AG, 180°-∠ABC-∠C=60°.因为点D在线段AB的垂直 连接CF,图略.因为EF∥BC,所以∠CEF=∠ACB ∠FAE=∠GAE,所以△AEF≌△AEG(SAS).所以EF= 平分线上，所以DA=DB.所以△ABD是等边三角形 =60°.所以∠AEF=180°-∠CEF=120°.因为EF= LAE AE, 16.A:17.A EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF=EF,∠ECF= EG.所以BE=BF+FE=CG+EG 五、22.(1)因为AD是BC边上的高，BE是AC边上 《轴对称》复习检测卷 LEFC=60°.所以∠DCF=∠ACB+∠ECF=I20°= rAE DC. 的高，所以∠BEC=∠AE0=∠ODB=90°.所以∠OAE ∠AEF.在△AEF和△DCF中 {∠AEF=∠DCF,所以 +∠AOE=90°，∠OBD+∠BOD=90°.因为∠B0D= 题号12345678910 LEF =CF. ∠AOE,所以∠OBD=∠OAE.在△AOE和△BCE中 △AEF≌△DCF(SAS).所以AF=DF,∠AFE= 「∠OAE= ∠CBE 答案AAABCCBBAD ∠DFC.所以∠AFD=∠AFE+∠EFD= ∠DFC+ AE BE. 所以△AOE≌△BCE(ASA). 二、11.4：12.1.6：13.60°：14.108°：15.8. ∠EFD=∠EFC=60°.所以△ADF是等边三角形. L∠AEO=∠BEC 三、16.因为BD是△ABC的高，所以∠ADB=90° (3)△ADF是等边三角形.理由如下： (2)存在 因为∠ABD=12°，所以∠A=90°-∠ABD=78°.因为 连接CF,图略.因为∠ABC=60°，所以∠ABD= 因为△AOE≌△BCE,所以∠AOE=∠BCE.所以 AB=AC,所以∠ABC=∠C= 180°-∠ABC=120°.因为EF∥BC,所以∠E=∠ACB 1809 ∠AOE=I80°-∠BCE,即∠B0P=∠ECG 7×(180°-∠A)= =60°.因为EF=EC,所以△CEF是等边三角形.所以 ①当Q在BC上，△BOP≌△FCQ时，OP=CQ,即 51°.所D以∠DBC=∠ABC-∠ABD=39 CF=CE,∠ECF=60°.所以∠ACF=180°-∠ECF= t=5-4l,解得t=1: 17.(1)图略. I20°=∠ABD.因为BD=CE,所以BD=CF.在△ABD ②当点Q在BC的延长线上，△BOP≌△FCQ时， (2)因为DE垂直平分AB,所以EA=EB.所以 AB AC. 0P=C0.即t=41-5,解得1= 5 ∠EAB=∠B=35°.所以∠AEC=∠EAB+∠B=70°. 和△ACF中， ∠ABD=∠ACF,所以△ABD≌ 18.(1)(2)图略.(3)△A,B,C,的面积为3. LBD CF 综上所述，t=1或 ;时，以点B,0,P为顶点的三角 四、19.因为△ABD是等边三角形，所以AB=AD, △ACF(SAS).所以AD=AF,∠DAB=∠FAC.所以 ∠ADB=60°.因为点E是AB的中点，所以DE⊥AB, ∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=∠BAC= 形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等， 60°.所以△ADF是等边三角形. 23.(1)因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.在 ∠ADE= 2∠ADB=30°，所以LDEA=90°在△ACB R△ABC和R△ADE中，厂AB=AD, 《整式的乘法》专项练习 所以R△ABC兰 ∠C=∠DEA, BC DE. 和△DEA中， ∠BAC=∠ADE,所以△ACB 1.-3:2.8.64×10":3.4. Rt△ADE(HL).所以AC=AE. AB DA. (2)延长AF,交BC的延长线于点G.交CD于点H △DEA(AAS).所以AC=DE. 40:22:(3)-3 图略.因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.因为△ABC兰 20.(1)因为DH垂直平分BC,所以BD=DC.因为 5.(1)因为3×9×81=32，所以3×32×3=35*2 △ADE,所以∠BAC=∠DAE.因为∠ABC=∠CAD,所 ∠ABC=45°，所以∠DCB =45°.所以∠BDC=90° 以∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°= ∠ADC=∠ABC+∠DCB=90°.所以∠A+∠ACD= =3所5+2三21.解得8 2)当a"=3,a”=4时，a =a·an=(am)3: ∠ACB.所以BG∥AE.所以∠G=∠EAG.因为F为BE 90°.因为BE⊥AC,所以∠A+∠ABF=90°.所以∠ABF (a)2 =27×16=432 的中点，所以BF=EF.在△AEF和△GBF中， ∠BDF=∠CDA. 6.-4:7.2a2+ab:8.5. 「∠EAF=∠G. ∠ACD.在△BDF和△CDA中， DB=DC 所 9.(1)8.x3y2;(2)-6a3b+4a2b+8ab: ∠AFE=∠GFB,所以△AEF≌△GBF(AAS).所以 L∠DBF=∠DCA, (3)x2-14x-2. LEF BF. 以△BDF≌△CDA(ASA).所以BF=AC. 10.A:11.x2+2x-3. AE=BG.因为AC=AE,所以BG=AC.在△ABG和 (2)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE.在 12.原式=3y-x.当x=3,y=-1时，原式=-6. AB =DA 「∠ABE=∠CBE 13.-10；14.0:15.±1. △DAC中， ∠ABG=∠DAC,所以△ABG ≌ △ABE和△CBE中， BE BE 所以 16.(1)8a2-6ab+10b2:(2)90601: BG AC L∠AEB=∠CEB=90° (3)9999: (4)x-8x2y2+16y △DAC(SAS).所以∠G=∠ACD.因为∠ACD+∠GCD 17.(1)x-2x3+x2-4: =180°-∠ACB=90°，所以∠G+∠GCD=90°.所以 △ABE≌△CBE(ASA).所以AE=CE=2AC=2 BF (2)4x2+20x+25-y2+2-2. ∠CHG=90°.所以AF⊥CD. 所以BF=2CE. 《整式的乘法》复习检测卷 《轴对称》专项练习 21.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC= 60°，AB=AC.因为线段AB与线段AD关于直线AP对称， 1.图略. 所以AB=AD,∠BAE=∠E.AD.所以AC=AD,∠CAD= 题号12345678910 2.B. ∠BAD-∠BAC=2∠BAE-60°.所以∠ACD=∠D= 3.因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC,∠B= 答案DBADCBBCAB ∠ACB=60°.由轴对称的性质，得∠ACF=∠ACB= 2(1800、 ∠CAD)=I20°-∠BAE.所以∠E=∠ACD 二、11.4：12.x8-1:13.-2:14.4x-x22: [AB AC, ∠EAC=120°-∠BAE-(60°-∠BAE)=60 15.-1或3或1. 60°.在△ABD和△ACE中，{∠B=∠ACF,所以△ABD (2)过点A作AT⊥DE于点T,图略.所以∠ATE= 三、16.(1)-6a6:(2)-2x-3. BD CE, ≌△ACE(SAS).所以AD=AE. 90°，所以LEAT=90°-∠E=30°.所以E7=2AE= 17.(1)899.91. 4.8. (2)原式=-2.当：=2026时，原式=-1013 5.(1)如果ab>0,那么a+b>0. 4.因为AC=AD,所以CT=DT=2CD=子所以CE (2)如果一个三角形为直角三角形，那么该三角形 5 18.(1)2m(m+2n）++n=2m2+mn+2n 三个内角度数之比为1：2：3. ET-CT = 6.(1)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD. 五、22.(1)因为△ABC与△ABD关于直线AB对称. 即空白部分的面积为(？m2+mn+2m)cm2 所以∠A=∠ABD.所以∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A. ∠C为直角，所以AC=AD,BC=BD,∠D=90°.在 因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2∠A.因为AB= AACE和△ADF中，[E二A6:所以B△ACE9 (m+n)(m+2n）-(7m2+mn+2n2)=m2+2mn AC,所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A+ ∠ABC+∠C=5∠A=180°，所以∠A=36 RL△ADF(HL).所以CE=DF.所以BC-CE=BD +mn+2n2-m2-mn-2n2=)m2+2mn,即箭头的 数理报 参考答案 17 面积为(2m'+2mn)cm2 2b) 20.(1)M=5x-20:P=4x2-16. 2a-2.所以M-4=2a-2.(a+1)(a-1)=2( a-1 0- (2)当m=10,n=20时，7m2+2mm= ×10 (2)P=4(x2-4)=4(x+2)(x-2) -2)(a+1)=2(a2+a-2a-2)=22-2a-4.所以 2 (3)-16. M=2a2-2a,即墨滴遮住的内容是2a2-2a. +2×10×20=450,即箭头的面积为450cm2. 21.(1)①(x-5)2,②(3x+1)2,③(2x-3) 21.(1)设该商家购进运动鞋x双，则购进运动服 四、19.(1)因为甲错把b看成了6，所以(2x+a)(x (2)b2=4ac 1.25x套 +6)=2x2+(12+a)x+6a.又因为(2x+a)(x+6)= (3)由(2)的结论可知[-2(m-1)12=4(5- 2.x2+8x-24,所以6a=-24.解得a=-4.因为乙错把2m.所以4(m2-2m+1)=4(5-2m).所以m2-2m+ 根据题意，得6400_6000 Γ1.25x =40.解得x=40. a看成了-a,所以(2x-a)(x+b)=2x2+(2b-a)x-1=5-2m.所以m2=4.所以m=±2 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意 ah.又因为(2x-a)(x+b)=2x2+14x+20,所以-ab 五、22.(1)(x-y-1)2. 所以1.25.x=50. =4b=20.解得b=5. (2)令A=x2-6x,则原式=A(A+18)+81=A 答：该商家购进运动鞋40双，购进运动服50套， (2)由(1)得，(2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5) :+18A+81=(A+9)2.所以(x2-6x)(x2-6x+18)+ (2)每双运动鞋的进价为：6400÷40=160（元），每 =2x2+6x-20. 81=(A+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4. 套运动服的进价为：160-40=120（元）. 20.(1)因为32×92÷27=81，所以32×3+2 (3)令n2-2n=A,则原式=(A-3)(A+5)+17 3 ÷3m3=324m+2-3m-3=3m1=3.所以m+」=4.解得 =A2+2A-15+17=A2+2A+2=(A+1)2+1.因为 根据题意，得40×子×(200-160)+50×2× m=3. (2)因为x20=2,所以原式=9xm-4x=9(x2m)3 (A+1)2≥0，所以(A+1)2+1≥1，即式子(n-2n-(160-120)+40× 3)(n2-2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数， 4×(200×0.1a-160)+50×2 -4(x2)2=9×23-4×22=72-16=56. 23.(1)(a-1) ×(160-120-3a)=2600.解得a=8. 2L.(1)(x2+x 3P)(-x+3q)=-x-2+3x (2)由题意，得x3+y23=(x+y)3-3x2y-3xy2,x 五、22.(1) -y3=(x-y)3+3x2y-3.xy 63 +3g+3q-p9=-x+(3q-1)x+(3P+3g)x- ①x3+8=x3+2=(x+2)3-6x2-12.x=(x+ (2)2t12+5=2+片因为原分 5 2)3-6x(x+2)=(x+2)[(x+2)2-6x]=(x+2)(x 2+1 b+1 四因为(+x-3p)(-x+3q)的积中不含x与项， -2x+4) 式的值为整数，且2+1≥1，所以b2+1=1或62+1 ②1023-1003=(102-100)3+3×1022×100-35.当6+1=1时，解得b=0:当6+1=5时，解得6= 所以39-1=0,3P+39=0.解得p=-3,4=3 ×102×1002=8+30600×(102-100)=61208. ±2.综上所述，b的值为0或2或-2. (2)(-pg)2+p2g2=pg+p2g2·g=p2. 《分式》专项练习 3)因为++2=手，所以33 4 X+2 (pg）)+(p四)2·4当p=-3,9=3时，p=-1.原 2 1.C;2.D:3.C:4. x+2y 2+2x++3+2)++2）+=x++2 x+2 x+2 式=(-32×(-1)+(-1)2×3=9-3= 26 5.(1)最简公分母是2a2bc x+2 五、22.(1)①5：②3+4i. 36c,0-b-2a2-2ab 三3所以于3x+32+3x+3=7日 x+2 3 (2)因为(1+2i)2=1+4i+4=1+4i-4=-3 2026=2a6c'46c 2a262c 23.(1)设原计划每天生产x辆，则第一天后每天生 +4i,a+i是(1+2i)2的共轭复数，所以a=-3,b= (2)最简公分母是(x+y)(x-y) -4.所以(6-)2=(-4+3)=(-1产= 产1.5x辆. x(x+Y) 1 (3)因为(a+i)(b+i)=ab+(a+b)i+2= x-y (x+y）2(x-y)'2+2y+y 根据题意，得360=1+360-1+3.解得x=36。 1.5x T+（a+b)i=1-3i,所以ab-1=1,a+b=-3.所： r(x-y) 2(x+y) 经检验，x=36是原分式方程的解，且符合题意 以ab=2.所以d2+2=(a+b)2-2ab=(-3)2 x+)(-'2-y(x+y)2(x-y ×2=5.因为2++2+6=-i+1+i-1=0, 6.D. 所以360-3=7. 2+…+26有2024个加数，2024÷4=506，所以+ +…+2026 =0.所以i+2+3++ +221 7.(1) i ab23i 答：完成第一项任务实际需要7天 1.所以(a2+6)(i+i2+2++…+26)=5i-5. 8.原式=m2-4m+3.当m=4时，原式=3. (24>,理由：甲方案6=180+1 b 23.(1)(a+b)2=a2+b2+2ah. (2)由图可知，S=（a+b-m)2,S2=S3= 9 10.1.03×10;11.A:12.D. (m 180a+:乙方案：根据题意，得a·号+6：号=360 ab a)(m-b).因为S,=S2+S,所以(a+b-m)2=2(m 13.(1)x=-1:(2)无解 -a)(m -b),a2+b2+m2 2ab 2am-2bm 2m 4,)设每件A种商品的进价是x元，则海件书种解得，=所以4-4=8？+-2 ab a+b -2am-2bm+2ab.整理，得m2=a2+b2.所以大正方形 的面积为：m2=a2+b=(a+b)2-2ab=134. 商品的进价是(：+5)元根据题意，得沙：x4180。- ab(a+b) .因为a≠b,a,b均为正整数，所以(a-b) (3)5b=3a.理由：设EF=x,所以S,=a(x-a- 解得x=15.经检验，x=15是所列方程的解，且符合题 >0,ab(a+b)>0.所以t1-t2>0,即t1>t2 2b),S2=2b(x-a).所以S=5S2-6S,=10b(x-a)- 意.所以x+5=20. 6a(x-a-2b)=(10b-6a)x+6a2+2ab.因为S的取 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的 八年级第一学期期末复习检测卷（一） 值与x无关，所以10b-6a=0.所以5b=3a 进价是20元. (2)设商店购进A种商品y件，则购进B种商品(50 《因式分解》专项练习 -y）件.根据题意，得5y+20×20%(50-y)≥210.解 题号12345678910 1.B;2.1;3.A;4.C;5.10;6.A:7.D 得y≥10.所以y的最小值为10. 答案BBACBAADBB 8.C;9.72;10.10000;11.C;12.18: 答：购进A种商品至少10件 二、11.2a2-b+1:12.25;13.100°： 13.x(x-4)(x-2)2 《分式》复习检测卷 14.-3±15.300 14.(1)5ab(a-2b):(2)(x+2)2(x-2)2: 三、16.(1)2y(x+y)(2y-x)；(2)8x+29. (3)(a-b)(a-b-1):(4)2x(x-3)(x+2) 15.P-Q=3m2+4n+39-2m2+n2-12m+4 题号1234567 8910 17.(1)-y x+y m2-12m+36+n2+4n+4+3=(m-6)2+(n+2) +3>0.所以P>Q. 答案DBAABDCBDC (2)因为a"=2,a”=3,所以a4m+2=am·a2n= (am)4×(a)2=16×9=144. 16.(1)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的 18.(1）图略.(2)图略，(-2,4). 倍数.理由：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n- 二、11.-30：12.(a+1):13.16: 四、19.在△ABC中，因为∠BAC:∠B:∠C=4:3:2 1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.所以由这两个连续 14. 奇数构造的“奇特数”是8的倍数. 3；15.-3. 所以∠BAC=180×号=80，∠B=180°×号=60 (2)S分=392-372+352-332+…+72-52+ 3c9 三、16.(1)- (2)a2-2a 因为AD是BC边上的高线，所以∠ADB=90°.所以 32-12=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33 5a6 ∠BAD=90°-∠B=30°.因为AE平分∠BAC,所以 +…+(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+ 17.(1)无解；(2)x=6. 37+35+…+3+1)×2=800, 壳由题意，得x≠-1，≠-2.所以x 18.原式=2-x ∠BME=∠BAC=40.所以∠DAE=∠BAE- ∠BAD=10. 《因式分解》复习检测卷 =0时，原式=0+2 2-0 =1(答案不惟一)： 20.(1)设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶. 题号12345678910 四、19.(1)2(x+1):① 由题意，得{i01om解得分 (2)原方程去分母，得2(x+1)-(x-3)=6x去 答：学校购买了酱油50瓶，食醋40瓶. 答案DCBBAADCDA 括号，得2x+2-x+3=6x.移项、合并同类项，得5x= (2)学校购买食醋m瓶，则购买酱油1.25m瓶 二、11.7(m+2)(m-2)；12.2;13.±6； 5.系数化为1，得x=1.检验：当x=1时，2(x+1)≠0. 14.等边三角形；15.(b-2a)(b-6a) 所以原方程的解为x=1. 由圆意，得9-60-3.解得m=40经检验m 三、16.(1)-y(2x-y)2: 2 a2-1 2 (2)(x+1)(x-1)(y+1)(y-1). 20.山0094-2a-4 =40是原分式方程的解，且符合题意 答：学校购买食醋40瓶 17.(1)-24:(2)4000000. (a+1)(a-12=a+ 21.(1)△CEF是等边三角形.理由如下： 18.3x2+11x+10=3x2+5x+6x+10=(3x2+6x 2(a-2) a-2 因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠ACB= +(5x+10)=3x(x+2)+5(x+2)=(x+2)(3x+5) M-4 ∠BAC=60°.因为DE∥AB,所以∠CEF=∠B=60° 四、19.小明做得不正确.正确过程如下： (2)设墨滴遮住的内容是M,即2 ∠CFE=∠CAB=60°.所以∠CEF=∠CFE=∠ECF 原式=16-(a2-4ab+42)=16-(a-2b)2= 〔4+(a-2b)1[4-(a-2b)1=(4+a-2b)(4-a+:a-2所以7-4 2 1 2 -1÷a-2=a-(a-2）= =60°.所以△CEF是等边三角形. a2-1 (2)连接BD,图略.因为△ABC是等边三角形，所以 18 参考答案 数理极 AB=BC.因为AD=CD,所以BD是线段AC的垂直平分：∠BAC-∠CAE=20°.因为EH⊥AB,所以∠AEH=90 ∠D=∠EBC 线.所以BD平分∠ABC.所以∠ABD=∠CBD.因为AB:-∠BAE=70°，即a=70°.因为∠B=30°，∠BAD= (2)在△ADE和△CBE中，{∠AED=∠CEB.所以 ∥DE,所以∠ABD=∠BDE.所以∠BDE=∠CBD.所 10°，所以∠ADC=∠B+∠BAD=40°，即B=40° AE CE. 以BE=DE.因为△CEF是等边三角形，所以CE=CF (2)2a+B=180°.理由：设∠DAC=2y,∠BAC=:△ADE≌△CBE(AAS).所以AD=CB.因为AC=AD =4.所以BE=BC-CE=6.所以DE=6. ∠B=x.因为AE平分∠DAC,所以∠DAE=∠CAE=所以BC=AC=AE+CE=6. 五、22.(1)±2. 20.(1)a2-ab+b2. (2)①由题意知，(x+y,y)☆(2x+y,y)=(x+y)2 )∠DAC=x所以LBAE=LBAC∠CAE=x二y (2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b -(2x+y)y+y=x2+y2=104.因为x+y=12,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=x-2y.因为EH1AB,所以ab+=a2+6. (x+y)=x+2xy+y=144.所以2xy=40.所以xy ∠AEH=90°-∠BAE=90°-(x-y）,即a=90°-(x (3)原式=(x+y3)-(x+8y3)=-7y3 =20. -y).因为∠BAD=x-2y,∠B=x,所以∠ADC=∠B 21.(1)5. ②由图可知，S别影=S6m+S长方m-S△=2· (2)设该商品在乙商场的原价为x元， +∠BAD=2x-2y,即B=2x-2y.所以a=90°- 根据题意，得+0)=名×02解得x=5 420 2x+2y2-2y(x+2y）=0+-2.因为y=20, 所以2a+B=180°， (3)设∠CAD=2n.因为AE平分∠CAD,所以 经检验，x=5是原分式方程的解，且符合实际 x+2=104,所以S影=104-7×20=94 答：该商品在乙商场的原价为5元 LCAE=∠DME=2∠CAD=n.因为∠BAC=LB= (3)甲商场两次提价后的价格为：5(1+a)(1+b) 23.【解决问题】在BD上截取BF=CD,连接AF,图 m,所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=m+n.因为EH =(5+5a+5b+5ab)元.乙商场两次提价后的价格为： 略因为∠BAC三∠BDC=90°，LA0B=∠C0D,所以AB,所以∠AEH=90°-∠BAE=90°-(m+n),即Q=5(1+“十)2=[5+5a+5b+5(“+)2]元因为 90°-∠AOB=90°-∠COD,即∠ABF=∠ACD.在 90°-(m+n).因为∠B=m,∠BAD=∠BAC+∠CAD 「AB=AC, △ABF和△ACD中，{∠ABF=∠ACD,所以△ABF≌ m+2n所乙DB=180二LB-∠B1D180-(“生2-ab=(,2>0,所以乙商场提价较多. 2 BF CD. m-(m+2n)=180°-2(m+n),即B=180°-2(m+ 五、22.(1)∠CMQ=60°不变.因为△ABC是等边 △ACD(SAS).所以AF=AD.因为AE⊥DF,所以FE= n).所以B=2a. 三角形，所以AB=AC,∠B=∠CAP=60°.由条件得AP DE.因为BE=BF+EF,所以BE=CD+DE. 23.(I)由对称得BA=BE,∠ADB=∠EDB,∠ABD rAB CA. 【实践应用】(1)135. =∠EBD.因为BA=BC,所以BE=BC.所以∠BEC= =BQ.在△ABQ和△CAP中， ∠B=∠CAP,所以 ∠BCE=2(180°-∠CBE)=90°- 7(∠ABc- LBO =AP (2)因为0是AC的中点，所以A0=CO.因为AE⊥ BD,所以∠AE0=90°=∠BDC.在△AE0和△CDO中， △ABQ≌△CAP(SAS).所以∠BAQ=∠ACP.所以 「∠AEO=∠CDO. 2∠EBD)=6O°+∠EBD.所以∠ADB=∠EDB=:∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC ∠AOE=∠COD,所以△AE0≌△CDO(AAS).所以 ∠BEC-∠EBD=60 =60° A0=C0. (2)选小鹏的方法.在DB上截取DF=DA,连接 (2)设点P运动时间为ts,则AP=BQ=tCm,PB= (4- AE=CD=3.因为△ABF≌△ACD,所以∠BAF= AF,AC,图略.因为∠ADB=60°，∠ABC=60°，BA= BC,所以△ADF是等边三角形，△ABC是等边三角形.所 ①当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以∠BPQ ∠CAD.所以∠DAF=∠CAD+∠FAO=∠BAF+ 以AB=AC,∠BAC=60°，∠DAF=60°，AF=AD.所以： LFA0=∠BAC=90°所以∠AFE=2(180 =30,所以PB=2B0,即4-1=21，解得1=3： ∠BAC-∠CAF=∠DAF-∠CAF,即∠BAF=∠CAD. AB AC, ②当∠BPQ=90°时.因为∠B=60°，所以∠PQB ∠DAF)=45°，∠FAE= 2∠DAF=45°=∠AFE.所以 在△ABF和△ACD中， ∠BAF=∠CAD,所以△ABF =30,所以B0=2BP,即1=2(4-t),解得1=氵 FE=AE=3.因为BF=CD=3,所以BD=BF+FE+ AF=AD ED=9.所以四边形ABCD的面积为：S△ABm+S△= ≌△ACD(SAS).所以BF=CD.所以DA+DC=DF+ 综上所述，当点P运动子秒或弩秒时，△PB0为直 2BD,AB+2BD·CD=27. BF BD. 角三角形. 选小亮的方法.延长AD到点G,使DG=DC,连接 (3)∠CMQ=120°不变.因为△ABC是等边三角 八年级第一学期期末复习检测卷（二）】 CG,AC,图略.因为∠ADB=∠EDB=60°，所以∠CDG:形，所以BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°.所以∠PBC= =60°.所以△CDC是等边三角形.所以∠G=∠DCG=:∠ACQ=120°.由条件得BP=CQ.在△PBC和△QC 60°，CD=CG.因为∠ABC=60°，BA=BC,所以△ABC [BC CA. 题号12345678910 是等边三角形.所以BC=AC,∠BCA=60°.所以∠BCA:中， ∠PBC=∠QCA,所以△PBC≌△QCA(SAS).所 +∠ACD=∠DCG+∠ACD,即∠BCD=∠ACG.在 BP CO. 答案DA DD C D A CC D rBC=AC :以∠BPC= ∠MQC.又因为∠PCB=∠MCQ,所以 =11.62y2;12.1;13.2;1414: △BCD和△ACG中， ∠BCD=∠ACG,所以△BCD≌ ∠CMQ=∠PBC=120°. CD =CG 23.(1)理由：因为△ABC≌△DEC,所以AC=DC 15.1或7或12. △AG(SAS).所以BD=AG.所以BD=DA+DG=DA因为∠DEC=90°，所以AM=DM,即点M恰好是线段 DC AD的中点 三、16.(1)8.(2)x2-6z+9:2-4y2. (3)过点D作DH⊥AB于点H,图略.因为∠ABC= (2)因为△ABC≌△DEC.所以AB=DE,BC=EC 17.(1)- (2)无解 30°，BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD15.因为所以∠CBE=∠CEB.因为LABE+LCBE∠CEB ∠DEG=90°，所以∠ABE=∠DEG.因为DE=DG,所以 BD的垂直平分线交射线BA于点E,所以DE=BE.所以 18.(1)原式=1.47×(19+66+15)=1.47×100 ∠DEG=∠DGE,AB=DG.所以∠DGE=∠ABE.在 ∠EDB=∠EBD=I5°.所以∠AED=∠EBD+∠EDB =147. (2)因为20”-208=20×(202-1)=208×(20 =30°.所以DH= 2DE=2BE.所以CD+2BE=CD △1M和△DGM中，∠AB=之DwG. ∠ABM=∠DGM,所以△ABM≌ LAB DG +1)×(20-1)=201×21×19=19×20°×21，所以 n=18. +DH当C,D,H三点共线时，CD+2BE有最小值因为△DG(AAS).所以AM=DM,即点M是线段AD的中点， (3)因为△ABC≌△DEC,所以AC=DC,BC=EC 四、19.因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC, CD=BD.所以∠ADB=9O°.因为CD=CE,所以BD=CE. ∠ABC=30°，BC=6,此时CH= BC=3,即CD+AB=DE,∠CDE=∠BAC=35°，∠ACB=∠DCE= 2 i90°-∠BAC=55°.所以∠ACB+∠ACE=∠DCE+ 因为CE⊥BC,所以∠BCE=9O°.在Rt△ABD和Ri△BEC ∠ACE.,即∠BCE=∠ACD. 中，厂AB=BE,所以R△ABD≌R△BEC(HL. BE的最小值为3 ①当AB=AM时，如图1，所以∠ABM=∠AMB,由 BD EC. 20.(1)因为x满足相机组合(2,1-3x,6x-2),所 八年级第一学期期未复习检测卷（三） (2)知AM=DM,所以DE=DM,所以点E,M重合，所 AC垂直平分BE,所以∠ABM=90°-∠BAC=55°； 以号+“62解得=手经检验- 是 题号1234567 8910 原分式方程的解，且符合题意所以x的值是子 答案BACA BC C D B C X人E)≥DB D RU (2)由题意，得}+1=上.所似+=.所 二、11.-2；12.答案不准一，如AD=CF; 图1 图2 图3 以y+3红=2=z++3-2=4e 13.5；14.3:15.3 ②当AM=BM时.如图2，连接BD,由(2)知AM= xy-3:-+-3- =-2. -2x DM,所以AM=BM=DM,所以∠MAB= ∠MBA 2 21.(1)m2+8m+7,m2+6m+8,>. 三16.(-2：(2)号y-子 ∠MBD=∠MDB,所以∠ABD=90°，所以B,C,D三点 (2)①长方形A的周长为：2(m+7+m+1)= Am 4 共线，因为BC=EC,所以LCBE=LCEB=2(180° +16.因为正方形的周长与长方形A的周长相等，所以正 17.原式= +因为x-2≠0且x+2≠0且x≠ 方形的周长为4m+16.所以正方形的边长为：(4m+ 0且x+1≠0，所以x可以取1.当x=1时，原式=2. ∠BCE)=LDCE=27.5,所以∠ABM=∠ABC- 18.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或： 16)=m+4. ∠CBE=62.5°； 2a2+3ab+b;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+6= ③当BA=BM时，如图3，所以∠BAM=∠BMA= ②因为正方形的面积S=(m+4)2,所以S-S,=!(2a+b)(a+b). (m+4)2-(m2+8m+7)=9.所以该正方形的面积S (2图略.2+5ab+2B=(2a+b)(a+2b.所以2(180°-LABW).因为AC=CD,BC=BC.∠BCE= 与长方形A的面积S,的差（即S-S,)是一个常数，这个这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方：∠ACD,所以∠CAD=∠CBE=90°-∠ABM,所 常数为9. 形的周长为：2(2a+b+a+2b)=6a+6h. ∠BAM=∠BAC+∠CAD=35°+90°-∠ABM=125 五、22.(1)因为∠CAD=20°，AE平分∠CAD,所以 四、I9.(I)因为AD∥BC,所以∠D=∠DBC.因为 ∠CAE=∠DAE= -∠CAD=10°.因为∠BAC=∠Bi AB=AD,所以∠ABD=∠D.所以∠ABC=∠ABD+ -∠ABM,所以)(180°-∠ABM)=125°-∠ABM,解 ∠DBC=2∠D.因为AB=AC,所以∠C=∠ABC= 得∠ABM=70°. =30°，所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=10°，∠BAE=2∠D. 综上所述，∠ABM的度数为55°或62.5°或70°. 数理招 专题复习 知识回圆 第①章整式的乘法 1.幂的运算 (1)同底数暴的乘法：同底数幂相乘，底数 ⊙河南刘君杰 ,指数 .即am·a”=am+"(m, 考点解密 解：根据题意可知，小亮应报的整式为：(xy n都是正整数) 考点1：幂的运算 2xy）÷2y=÷2xy-2y2÷2y=7 (2)暴的乘方：幂的乘方，底数 例1下列运算正确的是 -y2 指数」 .即(a")”=a“(m,n都是正整 A.(x5)2=x2 B.x2·x=x 数) C.x6÷x3=x2 D.(-3x)3=-9x 故填只 (3)积的乘方：积的乘方，等于把积的每 解：(x)2=x”,故选项A不正确： ●专项练习 10.若(-3a3b)2÷9ab=ab,则m+n的 个因式分别 ,再把所得的幂 x2·x=x,故选项B不正确： x6÷x2=x,故选项C正确： 值为 ( 即(ab)”=ab(n是正整数). （-3x)3=-27x2,故选项D不正确 A.3 B.4 C.5 D.6 (4)同底数暴的除法：同底数幂相除，底数 故选C. 11.已知多项式3x3+6x2-8x+2除以A得 ,指数 .即a÷a"=am-"(a 商式3x,余式x+2,则多项式A为 ●专项练习 ≠0，m,n都是正整数，且m>n). 12.先化简，再求值：[(2x-y)2-x(4x-y) (5)零指数暴：任何不等于0的数的0次幂 1.计算：(2025-m)°-(3)2= +8y2]÷3y,其中x=3,y=-1. 2.地球可以近似地看成是球体，球的体积 。考点4：乘法公式 都等于 ,即a°=1(a≠0). 2.整式的乘法 公式是V=号.已知地球的半径约为6×10 例4如图，在长方形 ABCD中，AB=6,点E,F是边 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、 千米，则它的体积大约是 立方千米（π BC,CD上的点，EC=3,且BED 同底数幂分别作为积的 ,对 取3). =DF=x,分别以FC,CB为 于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 3.已知3=6,9=3，则32m的值为 边在长方形ABCD外侧作正方 0 指数作为积的一个」 形CFGH和CBMW,若长方形CBQF的面积为 20,则图中阴影部分的面积和为 (2)单项式与多项式相乘：就是用单项式 4.计算： (1)(x3)3÷x: 解：设CF=a,BC=b. 去乘多项式的 再把所得的积 (2)(a2)2·a2+(-3a3)2-(2a2)3: 由题意，得FC=6-x,BC=3+x,即a= 6-x,b=3+x. (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项 (3)(号)2mx2.52s×（-1)脑 因为长方形CBQF的面积为20，所以ab= 式的每一项乘另一个多项式的 ,再把 5.解决下列问题： 20. 所得的积 (1)已知3×9×81=32，求x的值： 又因为a+b=(6-x)+(x+3)=9,所 (2)已知a”=3,a”=4,求am+2的值 以S阴￥=CF2+BC2=a2+2=(a+b)2-2ab 3.整式的除法 考点2：整式的乘法 =92-2×20=41. (1)单项式相除：把系数与同底数幂分别 例2若整式(2x+m)(x-1)不含x的 故填41. 相除作为商的 ,对于只在被除式里含 次项，则m的值为 ●专项练习 有的字母，则连同它的指数作为商的一个 A.-3B.-2 C.-1 D.2 13.若m-n=-2,且m+n=5,则m2-n 解：(2x+m)(x-1)=2x2+(m-2)x-m. (2)多项式除以单项式：先把这个多项式 因为(2x+m)(x-1)不含x的一次项，所以 14.小北将(2026.x+2025)2展开后得到 m-2=0. 的每一项除以这个 a1x2+b1x+c1,小湖将(2025x-2026)2展开后 ,再把所得的商 解得m=2 得到a2x2+b2x+2,若两人计算过程无误，则b, 故选D. +b2的值为 4.乘法公式 ●专项练习 15.若(2x+m)2=4x2+4mx+1,则m的值 乘法公式包括平方差公式和完全平方公 6.若(x-1)(x+a)=x2-5x+4,则a= 8 式，这是整式乘法的特殊情形，要弄清公式中字 16.利用乘法公式计算： 母的含义，把握公式的结构特点。 7.李老师做了一个长方形教具，其中一边 (1)(3a-b)2-(a-3b)(a+3b): (1)平方差公式：两个数的和与这两个数 长为2a+b,另一边长为a,则该长方形教具的面 (2)3012: 积为 (3)101×99 的差的积，等于这两个数的 8.已知ab=1,a+b=-3,则代数式(a (4)(x-2y)2(x+2y)2 即(a+b)(a-b)=a2-62. 1)(b-1)的值为 考点5：添括号法则 (2)完全平方公式：两个数的和（或差）的 9.计算： 例5计算：(a+2b-c)(a-2b-c). 平方，等于它们的 ,加上（或减去）它 (1)4x2y·2xy: 解：(a+2b-c)(a-2b-c 们的积的 倍 (2)(-2ab)(3a2-2ab-4b2): =[(a-c)+2b][(a-c)-2b] 即(a+b)2=a2+2ab+b2, (3)(2x-1)(x-4)-(x+3)(x+2) =(a-c)2-(2b)2 考点3：整式的除法 (a-b)2=a2-2ab+62. =a2-2ac+c2-4b2. 例3小明与小亮在做游戏时，两人各报 ●专项练习 5.添括号法则 个整式，将小亮报的整式作为除式，小明报的整 17.计算： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号 式作为被除式，要求商必须为2xy.已知小明报 (1)(x2-x+2)(x2-x-2): 里的各项都 _符号；如果括号前面是负 的整式是xy-2xy,则小亮应报的整式是 (2)(2x+y-z+5)(2x-y+:+5). 号，括到括号里的各项都 符号 (本章复习检测卷见第13~14版) 30 专题复习 数理极 A.-a2+b2 B.16m2-25n2 第⊕巴章 因式分解 C.4x2+4x+1 D.a2 +2ab -b2 8.若4x2-(k+1)x+9能用完全平方公式 ©山东刘耀文 因式分解，则k的值是 ( A.±6 B.±12 知识回厨 ⑤看首项符号.若多项式中首项是负数，则 C.-13或11 D.13或-11 公因式符号取 号，使多项式的第一项系 9.已知x2-2ax+b=(x-3)2,则b2-a 1.因式分解的定义 数变为正数，需注意的是在提取出“-”后，多项 的值是 把一个多项式化成几个 的形式的各项都要 .如-27x2y+9x2= 10.利用因式分解计算：1252-50×125+ 式，这种变形叫作这个多项式的因式分解，也叫 -(27x2y-9xy2)=-9xy(3x-y）.当某项全部 252= 作把这个多项式分解因式， 提出后，剩下的是 ,而不是0.如m2+ 例4因式分解：3ma2-6mab+3mb2= 2.因式分解的一般方法 mn-m=m(m+n-1),而不能发生m2+mn (1)提公因式法 m=m(m+n)的错误， 解：原式=3m(a2-2ab+6) 公因式：把多项式各项都含有的 (2)公式法 =3m(a-b)2. 因式，叫作这个多项式各项的公因式 平方差公式：把整式乘法的平方差公式： 故填3m(a-b)2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有 的等号两边互换，就得到因式 ●专项练习 ,那么就可以把这个公因式提出来，从分解的平方差公式： 也就是 11.将a3b-ab3因式分解，结果正确的是 而将多项式化成两个因式 的形式，这： 说，两个数的平方差等于这两个数的和与这两 种因式分解的方法叫作提公因式法.值得注意 个数差的积 A.ab(a2B.d∂2b-b) 的是提公因式法的依据是乘法 律的 完全平方公式：把整式乘法的完全平方公 C.ab(aP.(m-肠)2 “逆用”. 式： 的等号两边互换，就得到因 确定公因式的原则是“五看”： 式分解的完全平方公式： 也就 2已知=2+则多 ①看系数.若各项系数都是整数，应提取各 是说两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 +2a2b+ab3的值是 项系数的最大 积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方 13.新定义：对于任意实数x,都有f(x)= ②看字母.提取各项 的字母 3.因式分解的步骤 ax2+bx.若f1)=5,f2)=12,则将fx2 ③看字母的次数.各字母的指数取次数 (1)对于一个多项式，首先观察能否提公因 4x)因式分解的结果是 的.如多项式9x2y-18x2y+12x2y2z,各式，再看可否利用公式法分解； 14.把下列各式因式分解： 项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母 (1)5a2b-10ab2: (2)因式分解必须分解到每个多项式都不 是x,y,x的指数取最低为2，y的指数取最低为能再分解为止 (2)(x2+4)2-16x2: 1,因此公因式是3x2y. (3)(a-b)2-a+b: 【注意】因式分解与整式乘法的区别与联 ④看整体.如果公因式含有多项式因式时，：系：因式分解与整式乘法是两个互逆的变形过 (4)2x2-2x2-12x 应注意符号的变换.如(a-b)2=(b-a)2,(a- 考点3：因式分解的应用 程：①整式乘法是把几个整式相乘化成一个整 b)3=-(b-a)3,然后取相同因式中次数最低 例5已知a,b,c是△ABC的三边长，且满 :式：②因式分解是把一个多项式化为几个整式 足a2+bc=b2+ac,则△ABC的形状一定是 的因式作为公因式的一部分 的积的形式 A.等腰B角勉三角形 考点解密 ●专项练习 3.多项式7x2y+21xy2的公因式是( C.直角卫衡腰直角三角形 。考点1：因式分解的概念 A.7xy B.7x'y2 解：将a2+bc=b2+ac变形，得(a+b)(a 例1下列各式从左到右的变形中，因式 C.xy D.y -b)-c(a-b)=0.即(a-b)(a+b-c)= 分解正确的是 ( 4.把2(x-3)+x(3-x)提取公因式(x- 0. A.(a+3)2=a2+6a+9 3)后，另一个因式是 ( 因为a+b-c>0,所以a-b=0. B.m2-4a+4=a(a-4)+4 A.x-2 B.x+2 所以a=b. C.5ax2-5ay2 =5a(x +y)(x-y) C.2-x D.-2-x 所以△ABC一定是等腰三角形 D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) 5.已知x+y=10,y=1,则代数式xy+ 故选A. 解：由因式分解的定义及方法可知选项 xy2的值是 ●专项练习 A,B,D错误， 例3分解因式：4a2-1= 15.已知P=3m2+4n+39,Q=2m2-n 故选C A.(2a+1)(2a-1) +12m-4,试比较P,Q的大小. ●专项练习 B.(a+2)(a-2) 16.若一个正整数能表示为两个连续奇数 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式 C.(a-4)(a+1) 的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例 分解的是 D.(4a-1)(a+1) 如：8=32-12,16=52-32,24=72-52，则8. A.a2-16+3a=(a+4)(a-4)+3a 解：原式=(2a+1)(2a-1). 16,24这三个数都是“奇特数” B.10x2-5x=5x(2x-1) 故选A. (1)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其 C.x2+4x+4=x(x+4)+4 ●专项练习 中n为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇 D.a(m +n)=am an 6.下列分解因式中，不正确的是 特数”是8的倍数吗？为什么？ 2.若多项式x2+kx-6有一个因式是x-2, A.a2+2ab+1=(a+b)2 (2)如图，拼叠的正方形 则k= B.a2-62=(a+b)(a-b) 边长是从1开始的连续奇数， ÷考点2：因式分解的方法 C.a2 ab2 a(a +b2) …,按此规律拼叠到正方形 例2因式分解：3x2-9x= D.a2+4ab+462=(a+2b) ABCD,其边长为39，求阴影部 解：原式=3x(x-3) 7.下列各式不能运用公式法进行因式分解 分的面积 故填3x(x-3) 的是 (本章复习检测卷见第1920版)数理极 第15期2版参考答案 18.4整数指数幂 基础训练 1.D; 2.A. 3(1)1 12 (2) 18.5分式方程 18.5.1分式方程的定义及解法 基础训练 1.B;2.D;3.C:4.0或12. 51x=1:(2)x=9:(3)无解 能力提高6.m=-1. 18.5.2分式方程的应用 基础训练1.B: 2.B:3.600. 4.斗容1.0立方米的装载机每小时装车440立方米 斗容0.5立方米的装载机每小时装车260立方米 5.(1)A款套装的单价是60元，B款套装的单价是 90元. (2)学校最多可以购买66个B款套装， 6.(1)甲数据中心每小时迁移10TB数据，乙数提 中心每小时迁移2TB数据. (2)甲数据中心至少需要工作5小时 第15期3版参考答案 题号 8 答案 C B D A C B A 二、9.3； 10.3y-2y-1=0:11.7: 12168:13； 14.方案三 三、15.(1)x=11;(2)x=0；(3)无解. 16.甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平 均每小时包80个粽子. 17.(1)A= x2-4x x-1 (2)m的取值范围是m≥-？且m≠2，m≠9 18.(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次 购进这款书签400个. (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元， 附加题1.(1)x=6. (2)1 1 。1 x+7x+6-x+4x+31 (3)答案不惟一，如1 x-n+2 -n+1= x-n-1x-n-21 这个方程的解为x=n. 2.(1)①×：②V:③×. (2)n=±√5. (3)k= m2+1 m+1 第16期综合测评卷参考答案 题号 2 8 10 答案 D B B B A B 二、11. 、；12.答案不惟一，如3 n+2 13.m2; 14.5:15.2或6或8. 三、16.(1)abc2;(2)x x+2 17.(1)x=3;(2)无解 18.(1)A=-x+2y 2y (2)A=-3 四、19.该工程队原计划每天完成200米 20.(1) ab a a +b 1. (2)m=16. 21.(1)③2，④3. 5 (2)⑤ =10-1的解是x=4 x+1=x+1 )第n个方程为：十1-名，-1，它的解是： n-1. 五、22.(1)当m=3时，该方程 的解为x=-4. (2)m的值是1或9或-3. 23.(1)95号汽油的单价为 8元/升. (2)7.5 112 15 (3)金额.理由略 参考答案， 复习专号参考答案 《三角形》专项练习 1.B;2.方法一；3.B;4.A; 5.CD,HE,AF,点B. 6.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，所 以∠BAD=∠B4C=0因为DE∥AB,所以LADE =∠BAD=50° 7.因为E是线段AD的中点，所以SA△ABc= △ADC, =SA所以S=Sa+SAm= a=2ABAC=10 8.C:9.①②③. 10.因为△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，所 以∠C-∠A=90°或∠C-∠B=90°. ①当∠C-∠B=90°，因为∠A=40°，所以∠C+ ∠B=180° ∠A=140°，所以∠B=25°； ②当∠C-∠A=90°，因为∠A=40°，所以∠C= 90°+∠A=130°，所以∠B=180°-∠A-∠C=10°. 综上所述，∠B的度数为10°或25°. 11.A:12.80°. 13.(1)因为BD是△ABC的角平分线，∠DBC = 30°，所以∠ABC=2∠DBC=60°.因为∠ACB=90°，所 以∠A=90°-∠ABC=30°. (2)因为∠CPD=75°，所以∠BCP=∠CPD ∠DBC=45°.因为∠ACB=90°，所以∠ACP=∠ACB -∠BCP=45°=∠BCP.所以CP是∠ACB的平分线 《三角形》复习检测卷 题号 1 2 8 10 答案 C B B 二、11.三角形的稳定性： 12.14:13.100°： 14.40°；15.60cm. 三、16.图①中，x=55;图②中，x=65. 17.(1)6. (2)因为BC∥DE,所以∠ADE=∠B=60°.所以 ∠A=∠CED-∠ADE=45. 18.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC=90°.因 为∠BEC=115°，所以∠ACE=∠BEC-∠BDC=25. 因为CE平分∠ACB,所以∠ACB=2∠ACE=50°.因为 ∠A=70°，所以∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°. 四、19.(1)因为AD是△ABC的中线，所以BD= CD.因为AB=10cm,AC=6cm,所以△ABD与△ACD 的周长差为：(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB -AC =4 cm. (2)因为△BDE的周长与四边形ACDE的周长相 等，所以BE+BD+DE=AE+AC+CD+DE.因为BD =CD,所以BE=AE+AC.因为AB=10cm,AC=6cm, 所以10-AE=AE+6.所以AE=2cm. 20.(1)△ACD与△CBD;△ACD与△ABC(答案不 惟一). (2)因为∠A=40°，∠B=60°，所以∠ACB=180 -∠A-∠B=80°.因为CD为△ABC的角平分线，所以 ∠ACD= 1 ∠BCD= ∠ACB=40°.所以∠CDB=∠A 2 +∠ACD=80°=∠ACB.因为∠A=∠BCD,∠CDB= ∠ACB,所以△CBD与△ABC互为“等角三角形”.又因 为∠ACD=∠A,所以CD是△ABC的“等角分割线”. 21.(1)因为BC⊥AB,所以∠ABC=90°.所以∠C +∠BAC=90°.因为AD是△ABE的角平分线，所以 ∠BAC= 2 LEAB. 所以C+∠EAB =90°.所以 2∠C+∠EAB=180°.因为2∠1+∠EAB=180°，所以 ∠1=∠C.所以EF∥BC. (2)因为∠ABC=90°，∠C=72°，所以∠BAC= 90°-∠C=18.所以∠EAD=∠BAC=18°.因为 ∠ADE=∠BDC,所以∠EAD+∠AED=∠C+∠CBE, 即18°+78°=72°+∠CBE.所以∠CBE=24°. 五、22.(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.理由如下： 连接AD并延长到点M,图略.因为∠BDM=∠BAD +∠B,∠CDM=∠CAD+∠C,所以∠BDC=∠BDM+ ∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=∠BAC+∠B +∠C. (2)①30°. ②因为∠BAC=60°，∠BEC=130°，所以∠ABE+ ∠ACE=∠BEC-∠BAC=70°.因为BF平分∠ABE, CF平分∠ACE,所以∠ABF=)∠ABE,∠ACF= 2 3∠ACE所以∠ABF+∠ACF= ABB+ 2∠ACE 15 =(LABE+∠ACE)=35.所以∠BPC=∠BAC+ ∠ABF+∠ACF=95°. 23.(1)因为∠B=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC =180°-∠B-∠ACB=80°.所以AD是△ABC的角平 分线.所以∠B4D=∠BAC=40因为AE是△ABC 的高，所以∠AEB=90°.所以∠BAE=90°-∠B= 50°.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°. (2)因为∠ACB-∠B=a,所以∠ACB=∠B+a. 所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-∠B-(∠B +ax)=180°-2∠B-x.因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BMD=子∠BAC=0-∠B-方因为AE是 △ABC的高，所以∠AEB=90.所以∠BAE=90°- ∠B.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-(90 -∠B- 1 2. (3)因为∠CAE和∠BCF的平分线交于点G,所以 LCAG 2∠CAE, LFCG=LBCR所以LG= ∠FCG-∠CAG= ∠BCF-LCE=(BcF- ∠CAE)= ∠ABC=45 《全等三角形》专项练习 1.C:2.B;3.C. rAB AC, 4.在△ABD和△ACE中，{BD=CE,所以△ABD≌ LAD AE, △ACE(SSS).所以∠BAD=∠CAE.所以∠BAD ∠CAD=∠CAE-∠CAD,即∠1=∠2. 5.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B.在△CDE和 「∠EDC=∠B, △ABC中，CD=AB,1 所以△CDE≌△ABC(ASA). L∠DCE ∠A, 所以BC=DE=10.所以BD=BC-DC=2. 6.设AC与BD交于点0，图略.在△AOD和△BOC 「∠AOD=∠BOC, 中，{∠A= ∠B, 所以△AOD兰△BOC(AAS).所 LAD BC. 以AO=B0,D0=CO.所以AO+C0=B0+D0,即AC BD. 7.因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE =CD.因为GE⊥BC,FD⊥BC,所以∠GEB=∠FDC= 90.在R△BEG和R△CDF中，{BE:CD BG=CF,所以 Rt△BEG≌Rt△CDF(HL).所以GE=FD. 8.根据题意，得∠D=∠ABP=90°.因为∠DPC= 33°，所以∠PCD=90°-∠DPC=57°.因为∠APB= 57°，所以∠APB=∠PCD.因为DB=20米，PB=8米， 所以PD=DB-PB=12米.在△PCD和△APB中， r∠PCD=∠APB, CD PB, 所以△PCD≌△APB(ASA).所以 L∠D=∠ABP, AB=PD=12米 答：楼高AB为12米. 9.35°； 10.12 《全等三角形》复习检测卷 题号 2 8 答案 C 二、11.2.5；12.答案不惟一，如AB=BC; 13.=;14.10;15.1100. 三、16.因为AF=DC,所以AF+FC=DC+FC,即 AC=DF.因为BC∥EF,所以∠ACB=∠DFE.在 [BC EF, △ABC和△DEF中，{∠ACB=∠DFE,所以△ABC≌ LAC DF, △DEF(SAS).所以∠E=∠B=84°. 17.根据题意，得∠i=∠r.所以∠ABG=∠CBF r∠FCB=∠GAB=90°， 在△FCB和△GAB中，{CB=AB, 所以 L∠CBF=∠ABG, △FCB≌△GAB(ASA).所以AG=CF=1.5m. 答：灯泡到地面的高度AG为1.5m. 18.过点D作DF⊥BC于点F,图略.所以∠CFD= 90°.因为∠DEB+∠C=180°，∠DEB+∠AED=180°， 所以∠AED=∠C.在△DAE和△DFC中， 「∠A=∠CFD=90°， ∠AED=∠C, 所以△DAE兰△DFC(AAS).所 DE DC, 以DA=DF.因为DA⊥AB,DF⊥BC,所以BD是∠ABC 16 的平分线 四、19.(1)20°，60°. (2)当DC=4时，△ABD≌△DCE.理由如下： 因为∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B= ∠ADE=40°，所以∠BAD=∠CDE.在△ABD和△DCE中， 「∠BAD=∠CDE, AB DC, 所以△ABD兰△DCE(ASA). l∠B=∠C, 20.(1)因为DE⊥AB,所以∠AED=90°.在 Rt△ADE和Rt△ABC中，AD=AB,所以Rt△ADE≌ LAE AC, Rt△ABC(HL).所以DE=BC. (2)连接AF,图略.因为BF=2,CF=1,所以BC= BF+CF=3.所以DE=BC=3.在Rt△AEF和Rt△ACF 中，EA长：所R△AEF≌△ACF(H.所以EF =CF=1.所以DF=DE+EF=4. 21.(1)因为∠BAC=∠FAG,所以∠BAC-∠CAD= ∠FAG-∠CAD,即∠BAF=∠CAG.在△ABF和△ACG中， T∠BAF=∠CAG, AB AC, 所以△ABF≌△ACG(ASA). ∠ABF=∠ACG, (2)因为△ABF≌△ACG,所以AF=AG,BF=CG.因 为AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠CAD.因为∠BAD= ∠CAG,所以∠CAD=∠CAG.在△AEF和△AEG中， AF AG, ∠FAE=∠GAE,所以△AEF≌△AEG(SAS).所以EF= LAE AE, EG.所以BE=BF+FE=CG+EG 五、22.(1)因为AD是BC边上的高，BE是AC边上 的高，所以∠BEC=∠AE0=∠ODB=90°.所以∠OAE +∠AOE=90°，∠OBD+∠B0D=90°.因为∠BOD= ∠AOE,所以∠OBD=∠OAE.在△AOE和△BCE中， 「∠OAE=∠CBE, AE BE, 所以△AOE≌△BCE(ASA). L∠AEO=∠BEC, (2)存在. 因为△AOE≌△BCE,所以∠AOE=∠BCE.所以 180°-∠AOE=180°-∠BCE,即∠BOP=∠ECG. ①当Q在BC上，△BOP≌△FCQ时，OP=CQ,即 t=5-4t,解得t=1: ②当点Q在BC的延长线上，△BOP≌△FCQ时， 0P=CQ,即t=41-5,解得i= 3 综上所述，1=1或？时，以点B,0,P为顶点的三角 形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等， 23.(1)因为AC⊥BC,所以 ∠ACB=90°.在 R△ABC和R△ADE中，{AB:D所以R△ABC≌ BC DE. Rt△ADE(HL).所以AC=AE. (2)延长AF,交BC的延长线于点G,交CD于点H, 图略.因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°.因为△ABC≌ △ADE,所以∠BAC=∠DAE.因为∠ABC=∠CAD,所 以∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°= ∠ACB.所以BG∥AE.所以∠G=∠EAG.因为F为BE 的中点，所以BF=EF.在△AEF和△GBF中， r∠EAF=∠G, ∠AFE=∠GFB,所以△AEF≌△GBF(AAS).所以 LEF BF. AE=BG.因为AC=AE,所以BG=AC.在△ABG和 AB DA, △DAC中， ∠ABG=∠DAC,所以 △ABG≌ BG AC, △DAC(SAS).所以∠G=∠ACD.因为∠ACD+∠GCD =180°-∠ACB=90°，所以∠G+∠GCD=90°.所以 ∠CHG=90°.所以AF⊥CD. 《轴对称》专项练习 1.图略. 2.B. 3.因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC,∠B = ∠ACB=60°.由轴对称的性质，得∠ACF=∠ACB rAB AC, 60°.在△ABD和△ACE中，{∠B=∠ACF,所以△ABD BD CE, ≌△ACE(SAS).所以AD=AE. 4.8. 5.(1)如果ab>0,那么a+b>0. (2)如果一个三角形为直角三角形，那么该三角形 三个内角度数之比为1：2：3. 6.(1)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD 所以∠A=∠ABD.所以∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A. 因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2∠A.因为AB= AC,所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A+ ∠ABC+∠C=5∠A=180°，所以∠A=36°. 参考答案 (2)由(1)得，∠ABD=36°，∠ABC=72°.所以 ∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°.所以BD平分∠ABC. 因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF,∠DEB= ∠DFB = 90°. 在Rt△BDE和Rt△BDF中， IBD=BD,所以Rt△BDE≌R△BDF(HL).所以BE= DE =DF, BF.所以BD垂直平分EF. 7.A. 8.图略. 9.（1)图略. (2)(-4,3). (3)设点P(m,0),则5×2-ml×1=1.解得m =0或m=4.所以P(0,0)或P(4,0) 10.D; 11.C. 12.(1)因为∠A=60°，∠C=40°，所以∠ABC= 180°-∠A-∠C=80°.因为BD平分∠ABC,所以 1 ∠DBC= ∠ABC=40°=∠C.所以DB=DC.所以 △BCD为等腰三角形. (2)因为∠DBC=∠C=40°，所以∠BDC=180° -∠DBC-∠C=1O0°.因为DB=DC,E为BC的中点， 所以∠Bc=方∠BC=50 13.D:14.A. 15.因为∠ABC=87°，∠C=33°，所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=60°.因为点D在线段AB的垂直 平分线上，所以DA=DB.所以△ABD是等边三角形 16.A:17.A. 《轴对称》复习检测卷 题号 2 8 10 答案 A B B 二、11.4；12.1.6；13.60°； 14.108°： 15.8. 三、16.因为BD是△ABC的高，所以∠ADB=90 因为∠ABD=12°，所以∠A=90°-∠ABD=78°.因为 AB=AC,所以∠ABC=∠C=L ×(180°-∠A)= 51°.所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=39. 17.(1)图略 (2)因为DE垂直平分AB,所以EA=EB.所以 ∠EAB=∠B=35°.所以∠AEC=∠EAB+∠B=70. 18.(1)(2)图略.(3)△A,B,C,的面积为3. 四、19.因为△ABD是等边三角形，所以AB=AD, ∠ADB=60°.因为点E是AB的中点，所以DE⊥AB, ∠ADE= LADB=30.所以∠DEA=90.在△ACB ∠C=∠DEA, 和△DEA中， ∠BAC= ∠ADE,所以△ACB ≌ LAB DA, △DEA(AAS).所以AC=DE. 20.(1)因为DH垂直平分BC,所以BD=DC.因为 ∠ABC=45°，所以∠DCB=45°.所以∠BDC=90°， ∠ADC=∠ABC+∠DCB=90°.所以∠A+∠ACD = 90°.因为BE⊥AC,所以∠A+∠ABF=90°.所以∠ABF 「∠BDF=∠CDA, =∠ACD.在△BDF和△CDA中，{DB= 所 C∠DBF=∠DCA, 以△BDF≌△CDA(ASA).所以BF=AC (2)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE.在 「∠ABE=∠CBE, △ABE和△CBE中， BE BE, 所以 L∠AEB ∠CEB=90°， △ABE≌△CBE(ASA).所以AE=CE=2AC=2BF 所以BF=2CE. 21.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC= 60°，AB=AC.因为线段AB与线段AD关于直线AP对称， 所以AB=AD,∠BAE=∠EAD.所以AC=AD,∠CAD= ∠BAD-∠BAC=2∠BAE-60.所以∠ACD=∠D = 2(I80°-∠CAD)=120°-∠BAE.所以∠E=∠ACD -∠EAC=120°-∠BAE-(60°-∠BAE)=60°. (2)过点A作AT⊥DE于点T,图略.所以∠ATE= 90所以∠E17=90°-∠E=30°所以E7=74E= 4.因为AC=AD,所以CT=DT= 2cD=是所以cE ET-CT= 5 五、22.(1)因为△ABC与△ABD关于直线AB对称， ∠C为直角，所以AC=AD,BC=BD,∠D=90°.在 △ACE和△ADF中，{GA6:所以△ACE≌ Rt△ADF(HL).所以CE=DF.所以BC-CE=BD- 数理极 DF,即BE=BF (2)①当∠C为钝角时，BE=BF成立.证明如下： 过点A作AG⊥BC交BC的延长线于点G,作AHL BD交BD的延长线于点H,图略.所以∠G=∠H=90°. 因为△ABC与△ABD关于直线AB对称，所以∠ABC= r∠G=∠H, ∠ABD.在△AGB和△AHB中， ABG =∠ABH,所以 LAB AB, △AGB≌△AHB(AAS).所以BG=BH,AG=AH.在 Rt△AGE和Rt△AHF中，厂AE=AF,所以Rt△AGE兰 AH. Rt△AHF(HL).所以EG=FH.所以BG-EG=BH FH,即BE=BF. ②当∠C为锐角时，BE=BF不一定成立.举反例如 下： 以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F,F, 图略.则AE=AF=AF.易证BE=BF≠BF. 23.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC = ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC. (1)因为BD=CE,所以AC-CE=BC-BD,即AE [AB CA, = CD.在△ABE和△CAD中，{∠BAE=∠ACD,所以 LAE CD, △ABE≌△CAD(SAS). (2)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为EF∥BC,所以∠CEF=∠ACB =60°.所以∠AEF=180°-∠CEF=120°.因为EF= EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF=EF,∠ECF= ∠EFC=60°.所以∠DCF=∠ACB+∠ECF=120°= [AE DC, ∠AEF.在△AEF和△DCF中，{∠AEF ∠DCF,所以 LEF CF, △AEF≌△DCF(SAS).所以AF=DF,∠AFE= ∠DFC.所以∠AFD=∠AFE+∠EFD=∠DFC+ ∠EFD=∠EFC=60°.所以△ADF是等边三角形. (3)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为∠ABC=60°，所以∠ABD= 180°-∠ABC=120°.因为EF∥BC,所以∠E=∠ACB =60°.因为EF=EC,所以△CEF是等边三角形.所以 CF=CE,∠ECF=60°.所以∠ACF=180°-∠ECF= 120°=∠ABD.因为BD=CE,所以BD=CF.在△ABD [AB AC, 和 △ACF中， ∠ABD=∠ACF,所以△ABD ≌ BD CF, △ACF(SAS),所以AD=AF,∠DAB=∠FAC.所以 ∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=∠BAC= 60°.所以△ADF是等边三角形. 《整式的乘法》专项练习 1.-3:2.8.64×10":3.4. 4.(1)x;(2)2;(3)-5 21 5.(1)因为3×9×81=321，所以3×324×34=35+2 =32”.所以5+2x=21.解得x=8. (2)当a"=3,a=4时，am+2a=am·a2n= m)3· (a)2=27×16 =432. 6. 2a2+ab;8.5. 9.(1 (2)-6a3b+4a2b2+8ab3; (3)x 14x -2. 10.A; +2x-3. 12.原式=3y - ,当x=3,y=-1时，原式=-6. 13.-10; 14.0;15.±1. 16.(1)8a2-6ab+10b2;(2)90601; (3)9999;(4)x4-8x2y2+16y. 17.(1)x-2x3+x2-4; (2)4x2+20x+25-y2+2yz 《整式的乘法》复习检测卷 题号 8 10 答案 D B B B 二、11.4：12.x8-1:13.-2:14.4x -x2y 2 15.-1或3或1. 三、16.(1)-6a6;(2)-2x-3. 17.(1)899.91. (2)原式=-之当x=2026时，原式=-1013. 18.(1)2m(m+2m) +n2+=m2+mn+2, 即空白部分的面积为(2m+mn +2n2)cm2. (m+n)(m+2m）-(分m2+mn+2n)=m'+2mn +mn+22-m2-mn-2m2=m2+2mn,即箭头的 数理报 面积为(m2+2m)cm2。 (2)当m=10,n=20时，7m2+2mn=7×10 +2×10×20=450,即箭头的面积为450cm2. 四、19.(1)因为甲错把b看成了6，所以(2x+a)(x +6)=2x2+(12+a)x+6a.又因为(2x+a)(x+6)= 2ax2+8.x-24,所以6a=-24.解得a=-4.因为乙错把 a看成了-a,所以(2x-a)(x+b)=2x2+(2b-a)x- ab.又因为(2x-a)(x+b)=2x2+14x+20,所以-ab =4b=20.解得b=5. (2)由(1)得，(2x+a)(x+b)=(2x-4)(x+5) =2x2+6x-20. 20.(1)因为32×92m+÷27m+=81,所以32×3m+2 ÷33m+3=32+4m+2-3m-3=3m1=3.所以m+1=4.解得 m=3. (2)因为x2n=2,所以原式=9xm-4x”=9(x2")3 -4(x2m)2=9×23-4×22=72-16=56. 21.(1)(2+-3p)(-x+3g）=--x+3px +3q2+3gx-四=-+(3g-1)x+(3p+3q)x p网因为(x+x-了p)(-x+3g)的积中不含x与项， 所以310宁t9=0解得p。-39=分 (2)(-pg2)2+p2 2026 20252025 9 =pq+p 9=p (pg)+(p四)25·g.当p=-3,9=3 时，pq -1.原 式=(-3)2×(-1)+(-1025×写 26 3 五、22.(1)①5；②3+4i. (2)因为(1+2i)2=1+4i+42=1+4i-4=-3 +4i,a+bi是(1+2i)2的共轭复数，所以a=-3,b= -4.所以(b-a)2=(-4+3)2=(-1)2=1. (3)因为(a+i)(b+i)=ab+(a+b)i+2=ab -1+(a+b)i=1-3i,所以ab-1=1,a+b=-3.所 以ab=2.所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(-3)2-2 ×2=5.因为i+i ++=-i+1+i-1=0,3+ +…+226有2024个加数，2024÷4=506，所以+ +… 226=0.所以i+2+3+产+…+226=i- 1.所以(0 +b)(i+2++++…+26)=5i-5. 23.(1 (a+b)2=a2+b2+2ab. (2)由图可知，S,=(a+b-m)2,S2=S3=(m a)(m-b).因为S,=S2+S,所以(a+b-m)2=2(m -a)(m -b)a2 +b2 m2 2ab -2am 2bm 2m2 -2am-2bm+2ab.整理，得m2=a2+b2.所以大正方形 的面积为：m2=a2+b2=(a+b)2-2ab=134. (3)5b=3a.理由：设EF=x,所以S,=a(x-a- 2b),S2=2b(x-a).所以S=5S2-6S,=10b(x-a)- 6a(x-a-2b)=(10b-6a)x+6a2+2ab.因为S的取 值与x无关，所以10b-6a=0.所以5b=3a. 《因式分解》专项练习 1.B;2.1;3.A;4.C;5.10;6.A;7.D 8.C;9.72;10.10000;11.C;12.18: 13.x(x-4)(x-2)2. 14.(1)5ab(a-2b);(2)(x+2)2(x-2)2: (3)(a-b)(a-b-1);(4)2x(x-3)(x+2). 15.P-Q=3m2+4n+39-2m2+n2-12m+4= m2-12m+36+n2+4n+4+3=(m-6)2+(n+2)2 +3>0.所以P>Q. 16.(1)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的 倍数.理由：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n - 1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.所以由这两个连续 奇数构造的“奇特数”是8的倍数. (2)S阴部分=392-372+352-332+…+72-52+ 32-12=(39+37)×(39-37)+(35+33)×(35-33) +…+(7+5)×(7-5)+(3+1)×(3-1)=(39+ 37+35+·+3+1)×2=800. 《因式分解》复习检测卷 题号 3 7 8 10 答案 D B B A A 二、11.7(m+2)(m-2);12.2;13.±6； 14.等边三角形；15.(b-2a)(b-6a). 三、16.(1)-y(2x-y); (2)(x+1)(x-1)(y+1)(y-1). 17.(1)-24;(2)4000000. 18.3x2+11x+10=3x2+5x+6x+10=(3x2+6x) +(5x+10)=3x(x+2)+5(x+2)=(x+2)(3x+5). 四、19.小明做得不正确.正确过程如下： 原式=16-(a2-4ab+42)=16-(a-2b)2= [4+(a-2b)][4-(a-2b)]=(4+a-2b)(4-a+ 参考答案。 2b). 20.(1)M=5x-20:P=4x2-16. (2)P=4(x2-4)=4(x+2)(x-2). (3)-16. 21.(1)①(x-5)2,②(3x+1)2,③(2x-3)2. (2)b2=4ac. (3)由(2)的结论可知[-2(m-1)]2=4(5- 2m).所以4(m2-2m+1)=4(5-2m).所以m2-2m+ 1=5-2m.所以m2=4.所以m=±2. 五、22.(1)(x-y-1)2. (2)令A=x2-6x,则原式=A(A+18)+81=A2 +18A+81=(A+9)2.所以(x2-6x)(x2-6x+18)+ 81=(A+9)2 = (x2-6x+9)2=(x-3)4. (3)令n2-2n=A,则原式=(A-3)(A+5)+17 =A2+2A-15+17=A2+2A+2=(A+1)2+1.因为 (A+1) ≥0，所以(A+1)2+1≥1，即式子(n2-2n- 3)(n2-2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数： 23. )(a-1)3. 2)由题意，得x2+y2=(x+y)3-3x2y-3xy2,x -y3 -y)3+3x2y-3xy2. ①x3+8=x3+23=(x+2)3-6x2-12x=(x+ 2)3-6x(x+2)=(x+2)[(x+2)2-6x]=(x+2)(x2 -2x+4). ②1023-1003=(102-100)3+3×1022×100-3 ×102×1002=8+30600×(102-100)=61208. 《分式》专项练习 1C;2.D;3.C;4.2 x +2y 5.(1)最简公分母是2a2b2c. 3 3bc a-b -2a2-2ab 2a2b 2a'b2c'ab'c 2a'bc (2)最简公分母是(x+y)2(x-y). x(x+y) x-y (x+y)2(x-y)’x2+2y+y y(x-y) 2 2(x+y) (x+y)2(x-y)'2-y=(x+y)2(x-y) 6.D. 7.(1) a +6:(3)+1 ；(2)2 a-11 8.原式=m2-4m+3.当m=4时，原式=3. 9 4 10.1.03×10-7;11.A;12.D. 13.(1)x=-1;(2)无解. 14.(1)设每件A种商品的进价是x元，则每件B种 商品的进价是(x+5)元.根据题意，得300 100 x+5 ×4. 解得x=15.经检验，x=15是所列方程的解，且符合题 意.所以x+5=20. 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的 进价是20元 (2)设商店购进A种商品y件，则购进B种商品(50 -y)件.根据题意，得5y+20×20%(50-y)≥210.解 得y≥10.所以y的最小值为10. 答：购进A种商品至少10件 《分式》复习检测卷 题号 2 4 8 10 答案 D B A B B 二、11.- 3a 12.(a+1);13.16; 14 3；15.-3. 三、16.(1)-3 6 (2)a2-2a. 17.(1)无解；(2)x=6. 18.原式= 2-x x+2 由题意，得x≠-1，x≠-2.所以x =0时，原式 2-0 0+2 =1(答案不惟一) 四、19.(1)2(x+1);①. (2)原方程去分母，得2(x+1)-(x-3)=6x.去 括号，得2x+2-x+3=6x.移顶、合并同类项，得5x= 5.系数化为1，得x=1.检验：当x=1时，2(x+1)≠0. 所以原方程的解为x=1. 20.(1) 2 2a-4 =2 1 a2-1=a-120 -4 (a+1)(a-1)=a+1 2(a-2) a-2 (2)设墨滴遮住的内容是M,即2 2所以2 2 2 2 (a a-】 17 2(a-21. a-1 所以M-4=2(a-2.(a+1)(a-1）=2(@ a-1 -2)(a+1)=2(a2+a-2a-2)=2a2-2a-4.所以 M=2a2-2a,即墨滴遮住的内容是2a2-2a. 21.(1)设该商家购进运动鞋x双，则购进运动服 1.25x套 根据题意，得6400_6000 1.25x =40.解得x=40. 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， 所以1.25x=50. 答：该商家购进运动鞋40双，购进运动服50套， (2)每双运动鞋的进价为：6400÷40=160（元），每 套运动服的进价为：160-40=120（元）. 根据题意，得40×子×(200-160)+50× 2 (160-120)+40×}×(200×0.1a-160)+50× 4 2 ×(160-120-3a)=2600.解得a=8. 1 五、22.(1) 1 ’3 (2 2+7_2(8+1）+5=2+25 因为原分 b2+1 b2+1 b2+1 式的值为整数，且b2+1≥1，所以b2+1=1或62+1= 5.当b2+1=1时，解得b=0;当b2+1=5时，解得b= ±2.综上所述，b的值为0或2或-2. (3)因为x+1。= 4 x+2 ,所以+3x+3 x+2 x2+2x+x+3_x(x+2)+(x+2)+1 x+2 x+2 2 1= 3所以 x+2 2+3x+3 =xX2+3x+3 7 x+2 3 23.（1)设原计划每天生产x辆，则第一天后每天生 产1.5x辆. 根据题意，得360 =1+ 360-x+3.解得x=36. 1.5x 经检验，x=36是原分式方程的解，且符合题意 所以360-3=7. 答：完成第一项任务实际需要7天 (2)4>2:理由：甲方案：1= 180 180 a b 180(a+b》:乙方案：根据题意，得a·号 -b· =360. ab 2 解得5，=720 a+b 所以1-52=180(a+b) 720 ab a +b 80a,因为a≠6，a,6均为正整数，所以(a-6)2 >0,ab(a+b)>0.所以t1-t2>0,即t1>t2 八年级第一学期期末复习检测卷（一） 题号 2 6 8 10 答案 B B A B A B B 二、11.2a2-b+1:12.25:13.100°： 14.-3:15.30°. 三、16.(1)2xy(x+y)(2y-x);(2)8x+29. 17.(1) x一Y y (2)因为a"=2,a”=3,所以am+2n=am·a2n= (am)4×(a")2=16×9=144. 18.(1)图略.(2)图略，(-2,4). 四、19.在△ABC中，因为∠BAC:∠B:∠C=4:3:2, 所以∠BAC=180°×号 =80°，∠B=180°× =60°. 9 因为AD是BC边上的高线，所以∠ADB=90°.所以 ∠BAD=90°-∠B=30°.因为AE平分∠BAC,所以 LBAE=2∠BAC=40.所以LDAE=乙BAB ∠BAD=10° 20.(1)设学校购买了酱油x瓶，食醋y瓶 由题意，得+y=90, 20x+15y=160 解；0 答：学校购买了酱油50瓶，食醋40瓶. (2)学校购买食醋m瓶，则购买酱油1.25m瓶 由题意，得1.25m 900 600 m =3.解得m=40.经检验，m =40是原分式方程的解，且符合题意. 答：学校购买食醋40瓶。 21.(1)△CEF是等边三角形.理由如下： 因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠ACB = ∠BAC=60°.因为DE∥AB,所以∠CEF=∠B=60°， ∠CFE=∠CAB=60°.所以∠CEF=∠CFE=∠ECF = 60°.所以△CEF是等边三角形. (2)连接BD,图略.因为△ABC是等边三角形，所以