第13章 三角形中的边角关系、命题与证明&第14章 全等三角形 专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

16 +(x-10)×3=3x+30.所以y2关于x的函数表达式 为为=60≤10， L3x+30(x>10). (2)①当0<x≤10时，令y1=y2,即5x=6x,解得 x=0.因为x>0,所以此时在两家店花费不可能相等 ②当x>10时，令5x=3x+30,解得x=15. 所以购买15kg早酥梨时，两家店花费相同. 19.(1)将点A(6,0)代入y=-x-b,得0=-6- b,解得b=-6.所以直线AB的表达式为y=-x+6. 当x=0时，y=6,所以点B的坐标为(0,6). (2)因为点B坐标为(0,6)，所以0B=6. 因为0B:0C=3:1,所以0C=2. 因为点C在x轴负半轴上，所以C(-2,0). 设直线BC的表达式为y=ax+c(a≠0)，将点 806).c(-20)代入得{26e-0,螺得 a=3, c=6. 所以直线BC的表达式为y=3x+6. 20.(1)由表格可知A商品每件的利润为：150-80 =70(元)，B商品每件的利润为：260-110=150（元）. 因为该商场计戈划同时购进A,B两种商品共200件， 其中购进A种商品x件，所以购进B种商品(200-x)件 所以y=70x+150(200-x)=70x+30000-150x =-80x+30000(0<x<200). (2)由题意，得80x+110(200-x)≤18850，解得x ≥105. 又因为x<200,所以105≤x<200. 在y=-80x+30000中，因为-80<0，所以y随x 增大而减小，所以当x=105时，y取得最大值，此时y= -80×105+30000=-8400+30000=21600,即商场 可获得的最大利润是21600元 21.（1)对于y=mx-m+4,当x=1时，y=m- m+4=4,所以直线y=mx-m+4过定点，且该定点的 坐标是(1,4). (2)在y=-x+5中，令x=0,得y=5,所以B(0, 5).因为点B,O关于点D对称，所以D是OB的中点，所 以D(0,).因为点D(0,弓)在直线y=mx-m+4上， 所以了=-m+4.解得m=子所以直线马的表达式为 3 5 y 2 (3)在y=-x+5中，当x=1时，y=-1+5=4, 所以点M(1,4)在直线y=-x+5上.所以直线1：y= -x+5与直线l2的交点为M(1,4) 在y=-x+5中，当y=0时，0=-x+5,解得x= 5所以A(5.0).所以sam=7×5x5= 2 .当SAD S,=1:4时，图1，此时Sw=号 25 =3所 以BDxl=子所以号×BDx1=所以BD= 5 5.所以D(0,0).因为点D(0,0)在直线y=mx-m+4 上，所以0=-m+4.所以m=4. 图1 图2 当S△4Cw:S四边形Woc=1:4时，如图2，此时S△4cw= 5×空=多所以4Cw1=多所以AC×4: 多所以4C=子所以c(年，0).因为点c(5.0)在直 线y=mx-m+4上，所以5m-m+4=0,所以m 16 11 参考答案、 综上所述，加的值为4或一丹 《三角形中的边角关系、命题与证明》专项练习 1.B:2.B:3.B:4.B;5.A:6.D: 7.CD,HE,AF,点B. 8.因为AD是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，所 以∠BAD=)∠BAC=50P.因为DE∥AB,所以∠ADE =∠BAD=50. 9因为E是线段AD的中点，所以S6Bc= S△ADC, 1 S△m=2Sa0所以S影=+Sa4m=2 △AD -s 4B0 =10. 10.C:11.①②③. 12.因为∠B比∠C大20°，所以∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-（∠C+20°）-∠C=160°-2∠C. 因为AF平分∠BAC,所以∠BMF=号∠BC=80 ∠C.由对顶角相等，得∠DEF=∠AEB=180°-∠B- ∠BAF=180°-（∠C+20°）-(80°-∠C)=80°.因 为FD⊥BC,所以∠EDF=90°.所以∠F=90°-∠DEF =10°. 13.因为△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，所 以∠C-∠A=90°或∠C-∠B=90°. ①当∠C-∠B=90°，因为∠A=40°，所以∠C+ ∠B=180°-∠A=140°，所以∠B=25°； ②当∠C-∠A=90°，因为∠A=40°，所以∠C= 90°+∠A=130°，所以∠B=180°-∠A-∠C=10. 综上所述，∠B的度数为10°或25°. 14.C: 15.A;16.80°. 17.(1)因为BD是△ABC的角平分线，∠DBC= 30°，所以∠ABC=2∠DBC=60°.因为∠ACB=90°，所 以∠A=90°-∠ABC=30°. (2)因为∠CPD=75°，所以∠BCP=∠CPD- ∠DBC=45°.因为∠ACB=90°，所以∠ACP=∠ACB -∠BCP=45°=∠BCP.所以CP是∠ACB的平分线， 18.A: 19.C. 20.(1)逆命题：两直线平行，同旁内角互补，这个命 题是真命题， (2)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直 角，这个命题是假命题 《三角形中的边角关系、命题与证明》复习检测卷 题号 1 2 3 5 8 9 10 答案 B 二、11.两个锐角互余的三角形是直角三角形： 12.14:13.100°；14.40°；15.60cm. 三、16.图①中，x=55;图②中，x=65. 17.(1)6. (2)因为BC∥DE,所以∠ADE=∠B=60°.所以 ∠A=∠CED-∠ADE=45°. 18. 因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.因 为AB=10cm,AC=6cm,所以△ABD与△ACD的周长 差为：(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC= 4 cm. (2)因为△BDE的周长与四边形ACDE的周长相 等，所以BE+BD+DE=AE+AC+CD+DE.因为BD =CD,所以BE=AE+AC.因为AB=10cm,AC=6cm, 所以10-AE=AE+6.所以AE=2cm. 19.（1)△ACD与△CBD:△ACD与△ABC(答案不 惟一) (2)因为∠A=40°，∠B=60°，所以∠ACB=180° -∠A-∠B=80°.因为CD为△ABC的角平分线，所以 ∠ACD=∠BCD=2∠ACB=40所以∠CDB=∠A 数理极 +∠ACD=80°=∠ACB.因为∠A=∠BCD,∠CDB= ∠ACB,所以△CBD与△ABC互为“等角三角形”.又因 为∠ACD=∠A,所以CD是△ABC的“等角分割线”. 20.(1)因为BC⊥AB,所以∠ABC=90°.所以∠C +∠BAC=90°.因为AD是△ABE的角平分线，所以 ∠BAC=号∠BAR所以∠C+7∠EAB=0.所以 2∠C+∠EAB=180°.因为2∠1+∠EAB=180°，所以 ∠1=∠C.所以EF∥BC (2)因为∠ABC=90°，∠C=72°，所以∠BAC= 90°-∠C=18°.所以∠EAD=∠BAC=18°.因为 ∠ADE=∠BDC,所以∠EAD+∠AED=∠C+∠CBE, 很即18°+78°=72°+∠CBE.所以∠CBE=24°. 21.(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.理由如下： 连接AD并延长到点M,图略.因为∠BDM=∠BAD +∠B,∠CDM=∠CAD+∠C,所以∠BDC=∠BDM+ ∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=∠BAC+∠B +∠C. (2)①30°. ②因为∠BAC=60°，∠BEC=130°，所以∠ABE+ ∠ACE=∠BEC-∠BAC=70°.因为BF平分∠ABE, CF平分∠ACE,所以∠ABF=方∠ABE,∠ACF= LACE所以∠ABF+LACF=方LABE+3LACE 2 (LABE+LACE)=35°.所以LBFC=∠BAC+ 2 ∠ABF+∠ACF=95°. 《全等三角形》专项练习 1.C;2.C;3.B. 4.因为△ABF≌△BCG,所以AB=BC=5,BF= CG=3.所以CF=BC-BF=2. 5.C. AB AC. 6.在△ABD和△ACE中，因为{BD=CE,所以 AD AE, △ABD兰△ACE(SSS).所以∠BAD=∠CAE.所以 ∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,即∠1=∠2. 7.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B.在△CDE和 ,∠EDC=∠B, △ABC中，因为 CD AB, 所以△CDE≌ ·∠DCE=∠A, △ABC(ASA).所以BC=DE=10.所以BD=BC-DC =2. 8.设AC与BD交于点O,图略.在△AOD和△BOC ∠AOD=∠BOC, 中， 因为 ∠A= ∠B, 所以△AOD兰 AD BC. △BOC(AAS).所以A0=B0,D0=C0.所以A0+C0= BO+DO,即AC=BD. 9.A. 1O.因为BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE =CD.因为GE⊥BC,FD⊥BC,所以∠GEB=∠FDC= 90.在R1△BBG和R△CDF中，因为BG=CE,所以 BE CD, Rt△BEG≌Rt△CDF(HL).所以GE=FD. 11.B. 12.因为∠3=∠4，所以180°-∠3=180°-∠4， 即∠ACB=∠ACD.在△ACB和△ACD中，因为 r∠1=∠2， ACAC, 所以△ACB≌△ACD(ASA).所以 N∠ACB=∠ACD, AB AD. 13.因为AB∥DE,所以∠A=∠EDF.在△ABC和 ∠A=∠EDF, △DEF中，因为 {∠B=∠E, 所以△ABC≌ BC EF. △DEF(AAS).所以AC=DF.所以AC-DC=DF-DC, 数理极 即AD=CF. 14.根据题意，得∠D=∠ABP=90°.因为∠DPC =33°，所以∠PCD=90°-∠DPC=57°.因为∠APB= 57°，所以∠APB=∠PCD.因为DB=20米，PB=8米， 所以PD=DB-PB=12米.在△PCD和△APB中，因 ,∠PCD=∠APB, 为{CD=PB, 所以△PCD≌△APB(ASA).所以 C∠D=∠ABP, AB=PD=12米 答：楼高AB为12米 《全等三角形》复习检测卷 题号 2 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A 二、11.2.5；12.答案不惟一，如AB=BC: 13.=;14.10:15.1100. 三、16.因为AF=DC,所以AF+FC=DC+FC,即 AC=DF.因为BC∥EF,所以∠ACB=∠DFE.在 BC EF, △ABC和△DEF中，因为{∠ACB=∠DFE,所以△ABC AC DF, ≌△DEF(SAS).所以∠E=∠B=84. 17.根据题意，得∠i=∠r.所以∠ABG=∠CBF ,∠FCB=∠GAB=90°， 在△FCB和△GAB中，因为{CB=AB, 所 ∠CBF=∠ABG, 以△FCB≌△GAB(ASA).所以AG=CF=1.5m. 答：灯泡到地面的高度AG为1.5m. 18.(1)20°，60. (2)当DC=4时，△ABD≌△DCE.理由如下： 因为∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B= ∠ADE=40°，所以∠BAD=∠CDE.在△ABD和△DCE中， ,∠BAD=∠CDE, 因为AB=DC, 所以△ABD≌△DCE(ASA). ∠B=∠C, 19.(1)因为DE⊥AB,所以∠AED=90°.在 R△ADE和R1△ABC中，因为厂AD=AB,所以RL△ADE LAE AC, 兰Rt△ABC(HL).所以DE=BC. (2)连接AF,图略.因为BF=2,CF=1,所以BC= BF+CF=3.所以DE=BC=3.在Rt△AEF和Rt△ACF 中，因为AF=AE,所以R△ABF兰R△ACF(HL.所 LAE AC, 以EF=CF=1.所以DF=DE+EF=4. 20.(1)因为∠BAC=∠FAG,所以∠BAC-∠CAD= ∠FAG-∠CAD,即∠BAF=∠CAG.在△ABF和△ACG中， ,∠BAF=∠CAG, 因为AB=AC, 所以△ABF≌△ACG(ASA). ·∠ABF=∠ACG, (2)因为△ABF≌△ACG,所以AF=AG,BF=CG.因 为AB=AC,AD⊥BC,所以∠BAD=∠CAD.因为∠BAD= ∠CAG,所以∠CAD=∠CAG.在△AEF和△AEG中，因为 AF AG, ∠FAE=∠GAE,所以△AEF≌△AEG(SAS).所以EF= AEAE, EG.所以BE=BF+FE=CG+EG. 21.(1)因为AD是BC边上的高，BE是AC边上的 高，所以∠BEC=∠AEO=∠ODB=90°.所以∠OAE+ ∠AOE=90°，∠OBD+∠BOD=90°.因为∠BOD= ∠AOE,所以∠OBD=∠OAE.在△AOE和△BCE中，因 ·∠OAE=∠CBE, 为{AE=BE, 所以△AOE≌△BCE(ASA). L∠AEO=∠BEC, (2)存在. 因为△AOE≌△BCE,所以∠AOE=∠BCE.所以 180°-∠AOE=180°-∠BCE,即∠BOP=∠ECG. ·参考答案 ①当Q在BC上，△BOP≌△FCQ时，OP=CQ,即 t=5-41,解得t=1; ②当点Q在BC的延长线上，△BOP≌△FCQ时， 0P=CQ,即1=4-5，解得1= 3 综上所述，4=1或；时，以点B,0,P为顶点的三角 形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等. 《轴对称图形与等腰三角形》专项练习 1.图略 2.B. 3.因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC,∠B= ∠ACB=60°.由轴对称的性质，得∠ACF=∠ACB= .AB AC, 60°.在△ABD和△ACE中，因为{∠B=∠ACF,所以 BD CE. △ABD兰△ACE(SAS).所以AD=AE. 4.D:5.B;6.A 7.图略. 8.(1)图略 (2)(-4,3). (3)设点P(m,0),则)x2-m×1=1.解得m =0或m=4.所以P(0,0)或P(4,0) 9.8:10.35°：11.12. 12.(1)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD= BD.所以∠A=∠ABD.所以∠BDC=∠A+∠ABD= 2∠A.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC=2∠A.因为AB =AC,所以∠ABC=∠C=2∠A.在△ABC中，∠A+ ∠ABC+∠C=5∠A=180°，所以∠A=36°. (2)由(1)得，∠ABD=36°，∠ABC=72°.所以 ∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°.所以BD平分∠ABC. 因为DE⊥AB,DF⊥BC,所以DE=DF,∠DEB= ∠DFB=90°.在Rt△BDE和Rt△BDF中，因为 (BDBD '所以Rt△BDE≌Rt△BDF(HL).所以BE= LDE DF BF.所以BD垂直平分EF 13.D:14.C. 15.(1)因为∠A=60°，∠C=40°，所以∠ABC= 180°-∠A-∠C=80°.因为BD平分∠ABC,所以 ∠DBC= ∠ABC=40°=∠C.所以DB=DC.所t以 1 △BCD为等腰三角形， (2)因为∠DBC=∠C=40°，所以∠BDC=180° -∠DBC-∠C=100°.因为DB=DC,E为BC的中点， 所以∠BDC=方∠BDG=50 16.D:17.A. 18.因为∠ABC=87°，∠C=33°，所以∠BAC= 180°-∠ABC-∠C=60°.因为点D在线段AB的垂直 平分线上，所以DA=DB.所以△ABD是等边三角形 19.A:20.A. 《轴对称图形与等腰三角形》复习检测卷 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B B 二、11.4； 12.1.6;13.60°；14.108°； 15.8 三、16.（1)图略. (2)因为DE垂直平分AB,所以EA=EB.所以 ∠E.AB=∠B=35°.所以∠AEC=∠EAB+∠B=70. 17.过点D作DF⊥BC于点F,图略.所以∠CFD= 90°.因为∠DEB+∠C=180°，∠DEB+∠AED=180°， 所以∠AED=∠C.在△DAE和△DFC中，因为 ∠A=∠CFD=90°， ∠AED=∠C, 所以△DAE≌△DFC(AAS).所 DE DC, 17 以DA=DF.因为DA⊥AB,DF⊥BC,所以BD是∠ABC 的平分线 18.因为△ABD是等边三角形，所以AB=AD, ∠ADB=60°.因为点E是AB的中点，所以DE⊥AB, LADE=之LADB=30.所以∠DE1=90,在△ACB ∠C=∠DEA, 和△DEA中，因为{∠BAC=∠ADE,所以△ACB≌ AB DA, △DEA(AAS).所以AC=DE. 19.(1)因为DH垂直平分BC,所以BD=DC.因为 ∠ABC=45°，所以∠DCB=45°.所以∠ADC=∠ABC +∠DCB=90°.所以∠A+∠ACD=90°.因为BE⊥AC, 所以∠A+∠ABF=90°.所以∠ABF=∠ACD.在 ∠BDF=∠CDA, △BDF和△CDA中，因为 DB DC, 所以 +∠DBF=∠DCA, △BDF≌△CDA(ASA).所以BF=AC. (2)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE.在 ,∠ABE=∠CBE, △ABE和△CBE中，因为{BE=BE, 所以 ∠AEB=∠CEB=90°， △ABE≌△CBE(ASA).所以AE=CE=4C=BR 所以BF=2CE. 20.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC= 60°，AB=AC.因为线段AB与线段AD关于直线AP对称， 所以AB=AD,∠BAE=∠EAD.所以AC=AD,∠CAD= ∠BAD-∠BAC=2∠BAE-60°.所以∠ACD=∠D= 2(180°-∠CAD)=120°-LBAE.所以∠E=∠ACD -∠EAC=120°-∠BAE-(60°-∠BAE)=60°. (2)过点A作AT⊥DE于点T,图略.所以∠ATE= 90.所以LEA7=90°-LE=30所以E7=2AE= 4.因为AC=AD,所以CT=D7=2CD=号所以CE ET-CT=5 21,因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC= ∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC. (1)因为BD=CE,所以AC-CE=BC-BD,即AE AB CA, =CD.在△ABE和△CAD中，因为{∠BAE=∠ACD,所 AE =CD. 以△ABE≌△CAD(SAS). (2)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为EF∥BC,所以∠CEF=∠ACB =60°.所以∠AEF=180°-∠CEF=120°.因为EF= EC,所以△CEF是等边三角形.所以CF=EF,∠ECF= ∠EFC=60°.所以∠DCF=∠ACB+∠ECF=120°= ∠AEF. 在△AEF和 △DCF中， 因为 AE DC, ∠AEF=∠DCF,所以△AEF≌△DCF(SAS).所以 EF CF. AF=DF,∠AFE=∠DFC.所以∠AFD=∠AFE+ ∠EFD=∠DFC+∠EFD=∠EFC=60°.所以△ADF 是等边三角形 (3)△ADF是等边三角形.理由如下： 连接CF,图略.因为∠ABC=60°，所以∠ABD = 180°-∠ABC=120°.因为EF∥BC,所以∠E=∠ACB =60°.因为EF=EC,所以△CEF是等边三角形.所以 CF=CE,∠ECF=60°.所以∠ACF=180°-∠ECF= 120°=∠ABD.因为BD=CE,所以BD=CF在△ABD AB AC, 和△ACF中，因为{∠ABD=∠ACF,所以△ABD≌ BD CF. △ACF(SAS).所以AD=AF,∠DAB=∠FAC.所以 ∠DAF=∠DAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF=∠BAC= 60°，所以△ADF是等边三角形数理极 第B章三角形中帕 河北 知 识 回顾 1.基本概念 (1)由不在 三条线段 相接所组成的封闭图形知叫作三角形 (2)从三角形的一个 顶点到它 所在直 线的 叫作三角形 的高.如图，线段AD叫作B EFD △ABC的边 上的高.一个三角形有 条高 (3)三角形中，连接一个顶点它对边 的线段叫作三角形的中线.如图，点E 是BC的 ,则线段AE是△ABC的一条 中线.一个三角形有 条中线 (4)在三角形中，一个角的 与这 个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三 角形的角平分线.如图，AF平分」 ,则AF 是△ABC的一条角平分线.一个三角形有 条角平分线 (5)三角形按边分类： 三不等边三角形 等服三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 (6)三角形按角分类： 直角三角形 三角形锐角三角形 钝角三角形 2.主要性质 (1)三角形中任意两边的和 第三 边，三角形中任意两边的差 第三边 (2)三角形的内角的和等于 一，三 角形的外角和等于 (3)三角形的外角 与它不相邻的 两个内角的 (4)三角形的外角大于 的任何一 个内角 (5)直角三角形的两锐角 ,有两 个角互余的三角形是 三角形 3.命题、定理 (1)可以判断 的陈述句，叫作命 题.命题通常由 和 两部分组 成.命题常写成“如果…那么…”的形式， 其中“如果”引出的部分是 ,“那么”引 出的部分是 (2) 的命题是真命题， (3) 的命题是假命题. (4)具备命题 ,但不满足命题 的例子，我们称之为反例. (5)从已知条件出发，依据定义、基本事 实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方 法称为 专题复习 27 的边角关系、命题与证明 赵紫新 图5 6 考点解密 8.如图6，已知AD为△ABC的角平分线 ?考点1：三角形 DE∥AB交AC于点E.若∠BAC=100°，求 例1已知三角形三条边的长分别为3,5，∠ADE的度数. x,则x的值可能是 ( 9.如图7，在直角 A.2 B.5 △ABC中，∠BAC=90°，AB C.8 D.11 =8,AC=5,AD是边BC上 解：由三角形的三边关系，得5-3<x<5的中线，E是AD的中点，连B 图 +3,即2<x<8. 接BE,CE,求阴影部分的面 所以x的值可能是5. 积 故选B. 考点2：三角形的内角和 ●专项练习 例2如图8，一轮船在 20 1.如图1，以点D为 海上往东行驶，在A处测得 顶点的三角形的个数为 灯塔C位于北偏东75°，在B ( 处测得灯塔C位于北偏东 图8 B A.3 B.4 35°，则∠C的度数是 图 C.5 A.309 B.32 D.6 D.40° 2.如图2所示的两种图示均表示三角形的 C.35 分类，下列判断正确的是 解：由题意，得∠CAB=90°-75°=15°， ∠ABC=90°+35°=125°. 所以∠C=180°-∠ABC-∠CAB=40°， 角形 角形 故选D. 三角形 。专项练习 ① ② 10.将一副三角尺如图9放置，∠A=∠ABC 图2 =45°，∠C=∠DBE=90°，∠D=60°，当ED A.①对，②不对 B.②对，①不对 所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是 C.①，②都不对 D.①，②都对 ( 3.下列长度的三条线段能首尾相接构成三 A.120 B.1359 角形的是 C.150° D.165 A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,4 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.6 cm,9 cm,2 cm 4.如图3，△ABC的 B 周长为20cm,AD是边 BC上的中线，已知CD =4cm,AC=7cm,则B 图9 图10 AB的长为 ( 图3 11.在下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A: A.6 cm B.5 cm ∠B:∠C=5：3:2:③∠A=90°-∠B;④∠A C.4 cm D.3 cm =2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形 5.如图4，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置的是 （填序号). 在数轴上，点A,B对应的数分别为-5,5，从点 12.如图10，AF平分∠BAC,交BC于点E C,D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角过点F作FD1BC于点D.若∠B比LC大20°， 形，其中点C对应的数为-2，则点D在数轴上对 求∠F的度数 应的数可能为 ( 13.定义：如果一个三角形有两个内角的差 为90°，那么这样的三角形叫作“准直角三角 形”.若△ABC是“准直角三角形”，且∠A= A 40°，∠C>90°，求∠B的度数. 考点3：三角形的外角 A.2 B.3 例3如图11，点D,E C.4 D.5 分别在线段AC,BC上，连接 6.已知a,b,c是△ABC的三条边长，化简AE,BD交于点F若∠A= 1a+b-c1-1c-a-b1的结果为() 27°，∠B=45°，∠C=38°， B A.2a+2b-2c B.2a 26 则∠DFE的度数为( C.2e D.0 A.110° B.1159 7.如图5，已知△ABC的三条高AD,BE,C1 C.120 D.125 交于点H,则△ACH的三条高是 解：因为∠B=45°，∠C=38° 这三条高所在直线交于 (下转第4版) 28 专题复习 数理极 知识回顾 1.全等三角形的概念 第4章 全等三角形 能够 的两个图形知叫作全等形.能 够 的两个三角形知叫作全等三角形.全 ◎湖北黄辰玉 等三角形互相重合的顶点叫作 ,互相重 D.B'C平分∠BB'A 6.如图7，已知AB=AC,BD=CE,AD 合的边叫作 互相重合的角叫作 AE,求证：∠1=∠2. 夹边就是三角形中相邻两角的公共 7.如图8，在△ABC中，点D在边BC上，CD 边；夹角就是三角形中有公共端点的两边所组成 = AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.若DE=10,AB 的角. =8,求BD的长 图2 图3 2.全等三角形的性质 全等三角形的 相等， 3.如图3，已知△ABC兰△ADE,连接BD 等.全等三角形的一切对应元素都 若∠EAC=90°，AB=4,则图中阴影部分的面 3.三角形全等的判定 积为 A.4 B.8 图8 图9 (1)三角形全等的判定方法见下表： 8.如图9，∠A=∠B=90°，AD=BC,求证 C.16 D.无法确定 三角形种类 判定三角形全等的方法简记 文字语言简述 4.如图4，点F,G分别在 AC =BD. 例3如图10，已知 边角边 SAS 正五边形ABCDE的BC,CD边 上，连接AF,BG相交于点H. AD⊥BE,垂足C是BE的 角边角 一般三角形 已知△ABF≌△BCG,∠ABF 中点，AB=DE.求证： 边边边 =∠BCG.若AB=5,CG=3, Rt△ABC≌Rt△DEC. 客10 角角边 求CF的长 证明：因为AD⊥ 4 BE, 直角三角形 斜边、直角边 考点2：三角形全等的判定 例2小明准备证明命题：如果两个三角形 所以∠ACB=∠DCE=90°. (2)证明三角形全等的思路： 有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这 因为C是BE的中点， (注：根据已知条件，灵活选择三角形全等 两个三角形全等.他已经画出如图5的图形，请 所以BC=EC 的判定方法，是本章的重点内容，同学们务必掌 你帮他用符号表示已知、求证，并写出证明过程. 在Rt△ABC和Rt△DEC中， 握) 找夹角：SAS 因股低 ①已知两边{找直角： 所以Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). 找另一边： 。专项练习 ②已知两角找夹边： ☒5 9.如图11，已知AB1 找角的对边： 解：已知：如图5，在△ABC和△A'B'C'中，BD,CD⊥BD,若用“HL” ③已知一边一角 AB=A'B',BC=B'C',AD和A'D'分别是△ABC 判定Rt△ABD和Rt△CDB 边为角的对边：找一角： 和△A'B'C'的中线，且AD=A'D' 全等，则需要添加的条件 找边的另一邻角： 求证：△ABC兰△A'B'C' 边为角的邻边 找边的对角： 证明：因为AD和A'D'分别是△ABC和 A.AD CB B.∠A=∠C 找角的另一邻边： △A'B'C'的中线， C.BD =DB D.AB CD 考点解密 所以BD=c,BD=BC 10.如图12，D,E是BC上 两点，且BD=CE,GE⊥BC, 因为BC=B'C', 考点1：全等三角形的性质 FD⊥BC,分别与BA,CA的延 所以BD=B'D' 例1如图1，将 A 长线交于点G,F,若BG=CF,B 在△ABD和△A'B'D'中， △ABC推倒后变为 求证：GE=FD 图12 AB A'B', △DEC,其中B,C,D在同 考点3：三角形全等的性质和判定的综合 因为{BD=B'D',所以△ABD≌ 一条直线上，若CE=5, 运用 AD =A'D'. AC=8,则DE的长不可能 例4如图13，点A, △A'B'D'(SSS). 为 D,C,F在同一条直线上， 所以∠B=∠B' A.4 B.8 C.12 D.13 在△ABC和△A'B'C AB=DE,BC=EF.有下 中， 因为 解：根据题意，得△ABC≌△DEC. 列三个条件：①AC=DF 图13 AB A'B', ②∠ABC=∠DEF,③∠ACB=∠DFE. 所以DC=AC=8. ∠B=∠B 所以8-5<DE<8+5,即3<DE<13. (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使 BC B'C', 故选D. 得△ABC≌△DEF,你选取的条件为 所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). ●专项练习 (填写序号，只需选一个条件，多选不得分)，你 ●专项练习 (填 1.下列各组图形中，是全等形的是( 判定△ABC≌△DEF的依据是 5.如图6，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C “SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”): 来染◇◇田ES⑤ =61°，∠BDE=76°，则∠EBC的度数为 (2)利用(1)的结论△ABC兰△DEF,求 A B C ( 证：AB∥DE. 2.如图2，△ABC≌△A'B'C,点B与点B'是 A.129 B.13° 解：(1)选取条件①， 对应顶点，且点B'在AB边上，点A'恰好在BC的 C.159 D.259 AC DF. 延长线上，下列结论错误的是 在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,所 A.∠BCB'=∠ACA' BC EF, 2 B.∠ACB=2∠B 以△ABC≌△DEF(SSS); C.∠B'CA=∠B'AC 图6 图7 (下转第6版)