第12章 函数与一次函数 专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

数理招 第2章函数与 ===三三======三 广东 知 识 回 顾 1.变量与函数 (1)在一个变化过程中，我们称数值发生 变化的量为 数值始终不变的量为 (2)一般地，设在一个变化过程中有两个 变量x和y,如果对于x在它允许取值范围内的 每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么 就说y是x的函数，其中x是 (3)表示函数的方法一般有： 和 2.正比例函数 (1)形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函 数叫做 函数. (2)正比例函数y=x(k为常数，且k≠ 0)的图象是一条直线， (3)正比例函数y=x(k是常数，且k≠ 0)的性质： ①当k>0时，y随x的增大而 ,图 象经过第 象限； ②当k<0时，y随x的增大而 ,图 象经过第 象限 ③1k1越大，y随x的增大而增大（或减小） 的速度越 3.一次函数 (1)形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0) 的函数叫做 函数.一次函数y=kx+ b(k,b为常数，且k≠0)的图象是一条直线 (2)一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k ≠0)的性质： ①当k>0,b>0时，y随x的增大而 ,图象经过第 、二、三象限； 当k>0,b<0时，y随x的增大而 ,图象经过第 、三、四象限； 当k<0,b>0时，y随x的增大而 ,图象经过第 、二、四象限； ④ 当k<0,b<0时，y随x的增大而 ,图象经过第 、三、四象限. 4.一次函数与方程、不等式 (1)一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)与x轴 交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的 解 (2)一次函数与一元一次不等式的关系 ①y=kx+b的图象在x轴上方时台y> 0;y=kx+b的图象在x轴下方时台 ②y1=k1x+b1的图象在y2=2x+b2的 图象上方时台y1>y2;y1=kx+b,的图象在 y32=k2x+b2的图象下方时曰 (3)一次函数与二元一次方程（组）的关 系 般地，一个二元一次方程可以转化成一 次函数y=x+b(k,b为常数，且k≠0)的形 式，所以每个二元一次方程都对应一个函数，也 对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x, y)都是这个二元一次方程的解；同样地，以这 个二元一次方程的解为坐标的点也都在这条直 线上.因此确定两条直线交点的坐标就是求方 程组=x b的解 y=k+b2 专题复习 考点3：函数的图象 一次函数 例4小哲匀速地向一个容+ 器装水，直至装满容器。若在装水 ==================== 何雨欣 的过程中，水面高度h随时间t的 变化规律如图1所示，则这个容器 考点解密 的形状可能是 必考点1：常量与变量 例1“冰冻三尺，非一日之寒.”这句谚语 体现了冰的厚度随时间的变化而变化在这个变 化过程中，下列说法正确的是 解：从图中可以看出，OE段水面上升速度最 A.时间为常量 快，EF段水面上升速度较慢，FG段水面上升速 B.冰的厚度为常量 C.冰的质量为常量 度较快，由速度变化与所给容器的粗细有关，可 D.时间和冰的厚度都为变量 得相应的排列顺序为下端较细，中间最粗，上端 解：“冰冻三尺，非一日之寒.”体现了冰的 较粗.故选C. 厚度随时间的变化而变化，因此时间、冰的厚度 。专项练习 是变量.故选D. 4.乌龟和兔子进行200米赛跑.它们同时从 ●专项练习 起点出发，乌龟坚持不解，匀速跑到终点，兔子倚 1.新能源电动车的电池续航里程受温度影 仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一 响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低， 觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终 续航里程减少.在这个变化过程中，自变量是 点.下列各图能表示它们所行路程与时间关系的 A.温度 B.电池 路程/米路程/米 4路程/米个路程/米免子 C.新能源车 D.续航里程 2020200- 考点2：函数的定义与表示方法 时间0 。。乌龟 时向0 时间 A B C D 例2函数)-去4中自交量的取值范 ?考点4：正比例函数的图象与性质 围为 例5若正比例函数y=(k-3)x经过第 A.x≠2 一、三象限，则k的值可能为 () B.x≠-1 C.x≥2 D.x≥-1 A.-2 B.0 解：根据分母不为零列出不等式求解即可. C.2 D.5 由2x-4≠0，得x≠2.故选A. 解：因为正比例函数y=(k-3)x经过第 。专项练习 一、三象限，所以k-3>0.解得k>3.显然只有 2.函数)=金+2中自变量x的取值范围 D选项符合题意.故选D. x-1 ●专项练习 是 () 5.已知正比例函数y=(m-1)xm-2,当m A.-2<x<1 B.x≥-2 时，y随x的增大而增大. C.x≠1 D.x≥-2且x≠1 6.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的 例3鲁老师乘车从学校到省城开会，学校图象经过第二、四象限，且不经过点(-1,1)，请 距离省城120千米，车辆行驶的平均速度为80千写出一个符合条件的函数表达式： 米/时，x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之 冬考点5：一次函数的图象与性质 间的函数关系式为 () 例6对于一次函数y=4x-1,下列结论 A.y=80x-120 B.y=-80x+120正确的是 C.y=80x+120 D.y=-80x-120 A.图象与y轴交于点(0,2) 解：选B. B.y随x的增大而减小 ●专项练习 C.图象经过第一、二、三象限 3连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠 D.当x>0时，y>-1 久，主产于平定冠山.泡茶时，水温很有讲究，连 解：令x=0,得y=-1,所以图象与y轴交 翘茶的冲泡温度一般建议在80~90℃，为了冲于点(0，-1)，故A错误； 泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了 因为k=4>0,所以y随x的增大而增大， 水温T(单位：℃)随时间t(单位：min)变化的数故B错误； 据，如下表： 因为k=4>0,b=-1<0,所以图象经过 时间/mim0246 第一、三、四象限，故C错误； 水温T/℃18345066 当x=0时，y=-1,且y随x的增大而增大 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加 所以当x>0时，y>-1,故D正确.故选D. ℃. (下转第6版) 6 专题复习 (上接第5版) 12.如图5，直线y=-x+3与y=mx+n交 ●专项练习 点的横坐标为1，则关于x,y的二元一次方程组 7.将直线y=子-1沿x轴向左平移4个 「x+y=3,的解为 -mx +y =n 单位长度，则平移后的直线与y轴交点的坐标是 。考点8：一次函数的应用 ( 例9珊珊与姐姐司司本skm A.(0,5) B.(0,3) 相约去离家30km的图书馆30 C.(0,-5) D.(0,-7) 看书，珊珊9：00从家骑自行 8.一次函数y=kx+b(k,b是常数，且b≠车去图书馆，司司9：30从家 0)与正比例函数y=bx在同一平面直角坐标中出发，乘车沿相同路线去图oW 的图象可能是 99.51010.511时间 书馆，珊珊和司司的行进路 图6 程s(km)与时间的函数图象如图6所示，则下列 说法中错误的是 A.10点时司司追上了珊珊 B ”考点6：求一次函数的表达式 B.司司坐车的平均速度是珊珊骑自行车的 平均速度的2倍 例7如果直线y=kx+b在y轴上的截距 C.司司到达图书馆时，珊珊离目的地还有 是1，且平行于直线y=-3x-5,则此直线的表7.5km 达式是 D.司司在距家11km处与珊珊相遇 解：因为直线y=kx+b平行于直线y= 解：A.根据图象，s与s2的图象在10点时有 -名-5，所以&=子又因为直线y=k+b 交点，此时司司追上了珊珊，故该选项正确，不符 合题意； 在y轴上的截距是1，所以b=1,所以此直线的 B.由图象知，司司坐车的平均速度=30÷ 表达式是y=-了+1故填y=-了+1 (10.5-9.5)=30(km/h),珊珊骑自行车的平 均速度为：30÷(11-9)=15(km/h),30÷15= ●专项练习 2,故该选项正确，不符合题意： 9.如图2，已知直线l1:y=-2x1y C.观察图象，司司到达图书馆时，珊珊又骑 +4与坐标轴分别交于A,B两点，那 B 行了：11-10.5=0.5(h),离目的地还有：15× 么过原点0且将△A0B的面积平分 0.5=7.5(km),故该选项正确，不符合题意； 的直线，的表达式为 () 0 A D.根据图象可知，10点时司司追上了珊珊， Ay= B.y=x 图2 此时司司坐车行驶了：10-9.5=0.5(h),距家： 30×0.5=15(km),故该选项错误，符合题意， C.y=2 D.y =2x 故选D. 10.若一次函数y=x+b的图象经过点 ●专项练习 13.A,B两城相距600千米，甲、乙两车同时 (分，-2)，(2，)，则该一次函数的表达式为从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返 回.如图7是他们离A城的距离y(千米)与行驶 考点7：一次函数与方程、不等式 时间x(时)之间的函数图象，当他们行驶了7小 例8如图3，一次函数y 时，两车相遇.则当乙到达B城时，甲、乙两车相 =ax+b(a,b为常数，且a<0)、 距 千米 y千米 与正比例函数y,=kx(k为常数 元 y=ax+b 600 且k>0)的图象交于点P(-4, 图3 80 -2),则关于x的方程(a-k)x+b=0的解是 14/时 4 12x/次 悠7 图8 解：因为一次函数y1=ax+b(a,b为常数， 14.随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲 且a≠0)与正比例函数为=x(k为常数，且k乙两种消费卡，其中甲按照次数收费，乙收取办 ≠0)的图象交于点P(-4,-2),所以关于x的 卡费用以后每次打折收费.当消费次数为x时， 方程ax+b=kx的解是x=-4,即关于x的方 设甲所需费用为y,(元)且y,=k,x;乙所需费用 程(a-k)x+b=0的解是x=-4.故填x=-4. 为，（元）且3=k,x+b,y1y2与x的函数关系 ●专项练习 如图8所示根据图中信息，解答下列问题： 11.一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠ (1)分别求出k,,2及b的值并说明它们的 实际意义. 0)的图象如图4所示，那么关于x的不等式kx+ (2)在游乐场游玩多少次时，两种消费卡花 b<0的解集是 费一样？费用是多少？ =mx+ (3)洋洋爸爸准备了240元，请问选择哪种 消费卡划算？ 0 2\ 图4 图5 (本章检测卷见第9~10版) 数理招 (上接第28版) 选取条件②， 在△ABC 和△DEF中， 因为 AB =DE, ∠ABC=∠DEF,所以 △ABC ≌ BC EF, △DEF(SAS); 选取条件③，不能判定△ABC兰△DEF. 故填①，SSS或②，SAS. (2)因为△ABC≌△DEF, 所以∠A=∠EDF. 所以AB∥DE. ●专项练习 11.如图14，点D是 A △ABC内一点，AD=CD, ∠ADB=∠CDB,则有以 下结论：①LDAC B ∠DCA;②AB=AC;③BD 图14 平分∠ABC;④BD与AC的位置关系是互相垂 直，其中正确的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12.如图15，A,C,E三点共线，∠1=∠2， ∠3=∠4.求证：AB=AD. B E D C 图15 图16 13.如图16，点A,D,C,F在同一直线上，AB ∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证：AD=CF. 考点4：全等三角形的应用 例5如图17，工人师傅 要检查三角形工件ABC的∠B 和∠C是否相等，但他手边没 有量角器，只有一个刻度尺， 他是这样操作的： B D 图17 ①分别在BA和CA上取 BE CG; ②在BC上取BD=CF; ③连接DE,FG,量出DE的长为a米，FG的 长为b米. 若a=b,则说明∠B和∠C是相等的，他的 这种做法合理吗？为什么？ 解：他的这种做法合理.理由如下： BE CG, 在△BDE和△CFG中，因为BD=CF, DE FG, 所以△BDE≌△CFG(SSS). 所以∠B=∠C. ●专项练习 14.如图18，为了测 量一幢楼的高AB,在旗杆 CD与楼之间选定一点P, 测得旗杆顶C的视线PC D P B 与地面的夹角∠DPC= 图18 33°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB =57°，量得点P到楼AB的距离PB与旗杆CD的 高度都为8米，量得旗杆与楼之间距离DB为 20米，且CD⊥BD,AB⊥BD,点D,P,B在同一 条直线上，求楼高AB. (本章检测卷见第13~14版)数理极 第18期2版参考答案 专题一轴对称图形 1.B:2.-1. 3.答案不惟一，图略。 专题二 线段的垂直平分线与角的平分线 1.B;2.4. 3.过点A作AH⊥EF于点H,图略 由题意得AB⊥EB,因为EA平分∠BEF,AH⊥EF, 所以AH=AB 因为AB=AD,所以AH=AD. 所以Rt△ADF≌Rt△AHF(HL). 所以∠AFD=∠AFH.所以FA平分∠DFE. 4.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠C=90°.因为 AM⊥BC,所以∠AMB=90°.所以∠ABC+∠BAM= 90°.所以∠C=∠BAM.因为AD平分∠MAC,所以 ∠MAD=∠CAD.所以∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD. 因为∠ADB=∠C+∠CAD,所以∠BAD=∠ADB.所以 AB=BD.因为BE平分∠ABC,所以BF⊥AD,AF=FD, 即线段BF垂直平分线段AD. 专题三 等腰三角形 1.D;2.D:3.6. 4.（1)等边. (2)△BEF是等腰三角形.理由略. 第18期3,4版综合测评卷 题号 2 3 8 10 答案 C D 二、11.21°；12.50°；13.3265；14.3：15.2. 三、16.(1)图略. (2)点C的坐标为(4,3). 17.(1)图略. (2)△ABC的面积为24. 18.在AB上截取AD=AC,连接CD,图略 因为∠A=60°，所以△ACD是等边三角形 所以CD=AD,∠ADC=∠ACD=60°. 因为AC= 2 所以AD=子A&所以BD=AD=CD,所以∠B: ∠BCD=30°. 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°.所以△ABC 是直角三角形， 19.(1)因为点A关于射线BW的对称点为D,所以 △BAC≌△BDC.所以∠BAC=∠BDC (2)当点P运动到点B时，△PDE周长最小，为36. 20.(1)△DEF是等边三角形.理由如下： 因为AB=AD,∠DAB=60°，所以△ABD是等边三 角形 所以∠ABD=∠ADB=60°. 因为CE∥AB,所以∠CED=∠DAB=60°，∠DFE =∠ABD=60° 所以△DEF是等边三角形 (2)因为AB=AD,CB=CD,所以AC是BD的垂直 平分线.所以AC平分∠DAB. (3)CF的长为4. 21.(1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C 因为BD=BC,所以∠BDC=∠C.所以∠ABC= ∠BDC. 因为∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+ ∠ABD. 所以∠A=∠DBC.所以BD是△ABC的“等角分害割 线” (2)∠C的度数为67.5°. (3)45°或9 参考答案、 复习专号参考答案 《平面直角坐标系》专项练习 1.A;2.D;3.(3,-4);4.4. 5.A(3,3),B(-5,2),C(-4,-3),D(5,-4),E(4, 0).描点略 6(1)因为点P在y轴上，所以2x-1=0.解得x= 1 (2)因为点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之 和为9，所以2x-1+3x=9.解得x=2.所以2x-1= 3,3x=6.所以点P的坐标是(3,6). 7.B;8.C. 9.(北偏东40°，20海里)； 10.(-3,2)或(3,2) 11.(1)(2,90), (2)北偏东60°距观测站1500米，南偏西30°距观 测站1200米， (3)(2.5,315°) 12.(1)图略 (2)图略.三角形ABC的面积为：5×4-】 ×3×3 -7×4x2-x5×1=9 13.D:14.(1,0) 15.(1)图略.点C的坐标是(4，-5). (2)点P的坐标是(x-5,y+4). 16.A;17.四；18.(24，-2)；19.C. 《平面直角坐标系》复习检测卷 题号 2 3 4 5 6 8 10 答案 B B 二、11.3排2号；12.四；13.2；14.3； 15.1或2. 三、16.图略. 17.(1)点A的坐标为(-1,4)，点B的坐标为(-4， 2),点C的坐标为(-2,0) (2)图略.点B'的坐标为(1,0) 18.(1)因为点P在x轴上，所以4a=0.解得a=0. 所以a-1=-1.所以点P的坐标为(-1,0). (2)因为点P在过点A(2,8)且与x轴平行的直线 上，所以4a=8.解得a=2. (3)因为点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，所 以a-1=4a或a-1+4u=0.解得a=-分或a=号 所以点P的坐标为(-手，-手)或(-号，号). 19.(1)点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(3,0)， 点C的坐标为(2，-3). (2)过点P作PD∥AO,图略.因为线段AO平移至 BC,所以AO∥BC.所以PD∥AO∥BC.所以∠BCP= ∠DPC,∠DPO=∠AOP.因为∠AOB=B,所以∠AOP =90°-∠A0B=90°-B=∠DP0.所以∠DPC= ∠DPO+∠CPO=90°-B+∠CPO=∠BCP,即∠BCP -∠CP0=90°-B. 20.(1)点P的“3阶派生点”的坐标为：(3×(-1) +5,-1+3×5),即(2,14). 2所 以点P的坐标为(-2,1) (3)因为点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长 度，再向上平移1个单位长度后得到了点P,所以点P 的坐标为(c-1,2c).所以点P,的“-3阶派生点”P2的 坐标为(-3(c-1)+2c,c-1+(-3)×2c),即(-c+ 3,-5c-1).因为点P2位于坐标轴上，所以当点P2位于 y轴上时，-c+3=0,解得c=3,此时点P2的坐标为(0， -16);当点P2位于x轴上时，-5c-1=0,解得 15 6=-专，此时点B的坐标为(0)， 综上所述，点P,的坐标为(0，-16)或(，0). 21.(1)4,6. (2)①由(1)，得A(0,4),N(6,0).因为EN⊥x轴， 所以点E的坐标为(6,4).设运动时间为t秒.根据题意， 得0Q=tcm.当点P在y轴右侧时，AP=(6-2t)cm,因 为AP=0Q,所以6-2t=t,解得t=2;当点P在y轴左 侧时，AP=(2t-6)cm,因为AP=OQ,所以2t-6=t, 解得t=6. 综上所述，经过2秒或6秒，AP=OQ. ②设运动时间为t秒.根据题意，得OA=4cm.当点 P在y轴右侧时，AP=(6-2t)cm,OQ=tcm,因为以A, 0,Q,P为顶点的四边形的面积是1cm,所以号×4×(6 -2+)=1,解得1=之，此时点P的坐标为(5,4)：当点 P在y轴左侧时，AP=(2t-6)cm,OQ=tcm,因为以A,0, Q,P为顶点的四边形的面积是1cm,所以7×4×(2-6 +)=1,解得：=令此时点P的坐标为(-子。 综上所述，点P的坐标为(5,4)或(-子，4). 《函数与一次函数》专项练习 1.A;2.D;3.8;4.D;5.3;6.y=-2x(答 案不惟一)；7.A8.D;9.D;10.y=2x-3; 222 13.150. 14.(1)观察图象可知直线y1=k1x经过点(4， 80),所以80=4k1.解得k1=20.所以直线y1=20x,k1 的实际含义：每次收费20元 因为一次函数y2=k2x+b经过点(0,80)，(12， 200),所以=80， 112k,+6=200.1 解得=10·所以直线为 b=80. =10x+80,b的实际含义：办消费卡80元：k,的实际含 义：每次收费10元 2)联立1，得1=2,0章 解得=8， y=160. 所以在游乐场游玩8次时，两者花费一样，费用为 160元 (3)由(2)得E(8,160),因为240>160，由图象得 选择乙消费卡划算. 《函数与一次函数》复习检测卷 题号 2 8 10 答案 B 二、11.乘车人数；12.x≥2；13.y=-x+10; 14.(2,4)或(4,2)；15.256. 三、16.(1)将点A(-1,4),C(2,-2)代人y=kx+ 6,得-水+6=4， 2k+6=-2解得6=2 所以一次函数的表达式为y=-2x+2. (2)令y=-2x+2=0,解得x=1. 所以点B的坐标为(1,0) 17.(1)3. (2)一次函数y=kx-4(k>0)的“交叉相反函数” 为y=4x-k.对于y=4x-k,当x=0时，y=-k,当y =0时=全所以0A=÷,0B=k 因为△40B的面积为8，所以0A·0B=8,即宁· ·k=8.解得k=8或k=-8(舍去).故k的值为8. 4 18.(1)由题意，得y关于x的函数表达式为y1= 5x(x>0). 当0<x≤10时，y2=6x;当x>10时，y2=10×6