专题复习-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

数理极 专题复习 3 解：一组勾股数中的三个数必须是正整数， 第⊙章 勾股定理 故选项A,C,D均不符合题意.3+42=52，是勾 股数，故选项B符合题意.故选B. ●三三三二三=二三三三三三三二三=三二三三三三= ●专项练习 ©广东陈亦驰 知识回质 的关系 5.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理 3.勾股数 的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法 1.勾股定理 满足a2+b2=c2的三个 称为勾股 则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体 直角三角形 数常见的勾股数有 现了中国传统数学在数论领域的贡献由此法 于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三 则写出了下列几组勾股数：①3,4,5：②5,12 角形的两条直角边和斜边的长度，那么 4.应用 13:③7,24,25：④9,40,41…根据上述规律 (1)勾股定理的应用主要有： 写出第⑤组勾股数为 在运用勾股定理时，要注意： ①已知直角三角形的两边，求第三边： ”考点4：勾股定理的应用 (1)勾股定理只对直角三角形适用，而不 ②已知直角三角形的一边，求另两边的关系： 例3如图6，桌上有一个圆柱形无盖玻璃 适用于锐角三角形和钝角三角形： ③用于说明含有平方关系的式子的关系； 杯高6厘米，底面周长为16厘米，在杯口内壁离 (2)要分清斜边和直角边，避免盲目代入 ④用于作长为n(n为正整数)的线段： 杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外 公式致错 ⑤借助勾股定理来构造方程，解决实际问题 壁A的相对方向有一只小虫P,小虫离杯底的垂 2.判定直角三角形的方法 (2)判定直角三角形的方法的应用主 直距离是1.5厘米，则小虫爬到蜜糖A处的最短 如果三角形三边的长度a,b,c满足 要有： 距离是 厘米 ,那么这个三角形是直角三角形. ①判定某三角形是否为直角三角形： 利用这一判定方法，要注意如下两点： ②说明两条线段垂直. (1)这一方法与勾股定理的条件和结论正 (3)求几何体表面两点间的最短路程是 好相反，值得注意的是，在这一方法的描述中， 类比较常见的数学问题，解答这类问题时，通常 不能带有“斜边”“直角边”字样： 将几何体的表面 ,把立体图形转化为 图6 图 (2)要判定一个三角形是否是直角三角 利用勾股定理及其他知识加以 解：如图7，将圆柱形玻璃杯沿侧面展开，作 形，先确定最长边，即斜边c,再验证c2与a2+ 解答 点A关于BC的对称点A',连接A'P,此时A'P的 长度即为小虫爬到蜜糖A处的最短距离.过点P 考点解密 角三角形的为 作PE1AM',交A'A的延长线于点E,PE为底面 A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 周长的一半.由题意，得PE=8厘米，A'C=AC 冬考点1：勾股定理 B.AB 1,BC =3,AC =2 =1.5厘米.所以4'E=6-1.5+1.5=6(厘 例1如图1，有一张长方 C.AB =2,BC =4,AC =6 米).在Rt△A'PE中，由勾股定理，得A'P= 形纸片ABCD,AB=8cm,BC D.∠A=∠B=2∠C =10cm,点E为CD边上一点， 解：A.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以 √PE+A'E=10厘米.故填10. 将纸片沿AE折叠，BC的对应 5 ●专项练习 边B'C'恰好经过点D,则线段 最大角∠C=180°×3+4+5=75°，所以 6.如图8，一只小猫沿着斜立在墙角的木板 DE的长为 △ABC不是直角三角形，不符合题意：B.因为 往上爬，木板底端距离墙角0.7米.当小猫从木 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm AB2+BC2=12+(5)2=4=AC2,所以△ABC 板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了 解：由长方形的性质，得AD=BC=10cm, 是直角三角形，且∠B=90°，符合题意：C.2+4 1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的 ∠B=90°.根据折叠的性质，得AB'=AB= =6,不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 长为 米 8 cm,C'E CE =8-DE,B'C'BC 10 cm, 更不能构成直角三角形，不符合题意：D.设∠C ∠B'=∠B=90°.在Rt△AB'D中，由勾股定 =x,则∠A=∠B=2x,所以x+2x+2x= 理，得B'D=√AD-AB7=6cm所以C'D= 180°，解得x=36°，所以∠A=∠B=72°，∠C B'C'-B'D=4cm.在Rt△EC'D中，由勾股定 =36°，所以△ABC不是直角三角形，不符合题 理，得C'E2+C'D=DE2,即(8-DE)2+4= 意.故选B. DE2.解得DE=5cm.故选C. ●专项练习 ●专项练习 3.如图4，∠BAC=90°，AB=4,AC=4, 1.如图2,5个阴影四边形都是正方形，所有 BD=7,DC=9,则∠DBA= 7.在一个长6m、宽3m、高2m的房间里放 进一根竹竿，竹竿最长可以是 三角形都是直角三角形，若正方形A,C,D的面积 8.第12届世界运动会于2025年8月7日至 依次为4,5,20，则正方形B的面积为 ( A.8 B.9 C.10 D.11 8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也 席卷全市，更多的人开始运动健身.为了方便人 图4 们运动，现在对市郊区绿道进行修整.绿道分布 4.如图5，在△ABC中，BC的垂直平分线DE 分别交AB,BC于点D,E,且BD-DM=AC2 具体如下：如图9，已知AB=16km,AC= 20km,BD=13km,点B在点C的正西方向，点 (1)求证：△ABC是直角三角形； D在点C的正北方5km处. 图2 图3 (2)若BC=24,AD:BD=3:4,求AC (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明 2.如图3，在离水面高度为8米的岸上，有 的长 人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为 理由； 冬考点3：勾股数 17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子 (2)修整好后，居委会派出无人机进行环 例3下列各组数中，是勾股数的是( CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米 A.0.6,0.8.1 境检测，无人机从A飞到D,求线段AD的长度 B.3.4,5 冬考点2：直角三角形的判定 111 (本合刊专项练习答案见第15~18版) C345 D.1,2,5 例2满足下列条件的△ABC,其中是直 (本章复习检测卷见第7~8版) 专题复习 数理招 知识回圆 1.平方根 第⊙章 实数 (1)一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a,那么这个正数x就叫作a的 ©山西左志轩 ,记作a,读作 一特别地， 考点解密 A.10 B.5 我们规定：0的算术平方根是0，即 C.5+1 D.13 (2)一般地，如果一个数x的平方等于a,即 冬考点1：平方根与立方根 9.把下列各数填入相应的集合内： x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作 例1√6的平方根为 125的 二次方根) -078,-号0.号，-3.141526,20%. 一个正数有 平方根：0有 立方根为 :0的算术平方根为 平方根，它是0本身：负数平方根 解：因为16=4，（±2）2=4， -3子2，-1,3.10101001-（相年两个1之 (3)求一个数的平方根的运算，叫作开平方， 所以√6的平方根，即4的平方根为±2： 间0的个数逐次加1). 2.立方根 1 正实数集合： …}: (1)一般地，如果一个数x的立方根等于a, 因为(-P=5,02=0, 负实数集合： …; 即x=a,那么这个数x就叫作a的立方根（也 所以~5的立方根为-写，0的算术平方 整数集合：{ … 叫作三次方根)，记作a,读作 负分数集合： …; 正数的立方根是 一：0的立方根是 根为0. 无理数集合： :负数的立方根是 故填±2，-50 。考点3：二次根式 (2)求一个数的立方根的运算知叫作开立方， ●专项练习 例3下列计算正确的是 3.实数 1.已知2m+2的立方根是2，m+n的算术平 A.巨+5=5 B.√(-3)7=-3 (1)无理数： 称为无理数； 无理数的三种形式：开方开不尽的根式、无 方根是3.若a=-3m+n,则后= C.⑧-E=√2 D.=3 限不循环小数、部分含有π的数 2.某正数的两个不相等的平方根分别是a (2)实数： 数和 数 解：A.√2,3无法合并，故A错误； 2和18+a,则a的值为 统称为实数.每一个实数都可以用数轴上的 个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示 3.利用计算器求得0.342≈0.699， B.√-3)7=5=3，故B错误： 个实数，即实数和数轴上的点是 的 3.42≈1.507,34.2≈3.246，则34200000 C.8-2=22-2=2,故C正确： 4.实数的分类 D.6 =5≠3，故D错误 考点2：实数 =2 故选C 例2如图1，实数√7在数轴上对应的点 有限小数或 可能是 ●专项练习 无限循环小数 M N P 10.下列各式一定是二次根式的是( 0 4 A.a B.√3 图1 无限不循环小数 A.M点 B.V点 C.√e+1 D.6 C.P点 D.H点 11.若x-5在实数范围内有意义，则实数 5.二次根式 x的取值范围为 (1)定义：一般地，形如 的式子叫 解：根据无理数的大小估算可知：√6< 作二次根式。 √7<√20.25，即4<7<4.5，故P点符 12.若n为自然数，且18n是整数，那么n 注意：被开方数a只能是正数或0，即a≥0. 合题意 的最小值是 (2)最简二次根式：一般地，被开方数不含 故选C 13.若最简二次根式√2m-9与√m+4可 ,也不含 ,这样的二 ●专项练习 以合并，则3m+6的值是 次根式叫作最简二次根式 4.下列实数为无理数的是 A.35 B.35 (3)基本性质 A.-3 B.万 C.45 D.43 ①非负性：√a(a≥0)是一个 ,并且 D.0.3 14.已知√/4x-y2+1与1y2-51互为相反 a也是 (常说a具有双重非负性)。 c 数，其中x,y是实数，则x+y= 小结：常见的具有非负性的数：a(a≥0) 5.-√5的相反数是 绝对值是 15.对于任意正实数a,b,定义一种新的运 I al,a2". ,倒数是 ②两个重要公式： 6比较大小：兮 算：a※b=a+√ad.例如：2※9=2+ 2 (a)2=a( √2×9=42.按照这种运算方法，则5※16= (a≥0) 7.数轴上点A表示的数是2，点B,C分别位 √=lal= (a<0) 于点A的两侧，且到点A的距离相等.若点B表 16.计算： 6.二次根式的运算 示的数是3，则点C表示的数是 ( 加减：先将二次根式化成】 )-+√： 二次根 A.2+3 B.2-5 式，再将」 的二次根式进行合并.合并 C.4-5 D.25-2 (2)2⑩+5 -4 时，仅合并」 不变 8.如图2，根据尺规作图痕迹，判断点M在 乘法：a·万= (a≥0，b≥0). 数轴上表示的数是 (3)(25-1)2+(5+2)(5-2): ( 除法 (a≥0，b>0) 1 (4)(-2)15-21+√登÷√8 注意：(1)合并同类二次根式与合并同类 22 6 项类似，被开方数不同的二次根式不能合并. (5) 6-025-32 (2)二次根式运算的最后结果应化为 (本章复习检测卷见第9~10版) 数理极 专题复习 5 (1)按照此方法表示目标B的位置为B: 第€章位置与坐标 (2)若目标C的实际位置是北偏西30°距观 测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60 ©四川马舒悦 距观测站1500米，写出目标A,D的实际位置： 知识回圆 数轴称为x轴或 轴，习惯上取向 A: :D: 为正方向；竖直的数轴称为y轴或 (3)若另有目标G在东南方向距观测站 1.在平面内表示地理位置的方法 轴，习惯上取向 为正方向.两 750米处，则目标G的位置表示为G: 在平面内，确定一个物体的位置一般需要坐标轴的交点0称为平面直角坐标系的 8.如图5，方格纸中每个小方格都是边长为 数据.常用的方法一般有以下几种： 1个单位长度的正方形.已知学校的位置坐标为 (1)区域定位法：先规定行、列，然后数出物 3.点的坐标特征 1(2,1),图书馆的位置坐标为B(-1,-2). 体是第几行第几列便可确定其位置 (I)象限内点的坐标的特征：第一象限 (1)在图中建立平面直角坐标系，并标出坐 (2)极坐标定位法：采用方位角和距离的方 ),第二象限( ,),第三象限 标原点0： 式来表示物体具体位置的定位方法，显然也需 ),第四象限( (2)若体育馆的位置坐标为C(4,-3),在 要两个数据，其特点是先选择一个原点作为基 (2)特殊的点 坐标系中标出点C,并连接AB,BC,AC,得到 准，然后借助量角器、刻度尺来表述方位角和距 ①若点P(x,y)在x轴上，则 △ABC,求△ABC的面积 离的具体数值 ②若点P(x,y)在y轴上，则 (3)直角坐标定位法：利用直角坐标来表示 ③若点P(x,y)在第一、三象限的角平分线 物体的位置，需要两个数椐：一个是横坐标，另 上，则 一个是纵坐标，二者缺一不可，习惯上常用(a, ④若点P(x,y)在第二、四象限的角平分线 b)来表示（其中a是横坐标，b是纵坐标，且二者 上，则 具有顺序性).其方法是先选原点，然后根据方 (3)对称的点：点P(x,y)关于x轴的对称 向的正负以坐标形式表述各点的位置，即“找 点为P 一，关于y轴的对称点为P 图5 ÷考点3：轴对称与坐标变化 点、建系、读坐标”三步 例3在平面直角坐标系中，已知点M(2m 2.平面直角坐标系 (4)平行于坐标轴的直线上点的坐标的特 +3,-4)和点N(-1,2n)关于y轴对称，则代数 在平面内，两条互相 且有 征：平行于x轴的直线上所有点的 相 式m2+2n-3的值为 ( 原点的数轴组成平面直角坐标系.其中，水平的同：平行于y轴的直线上所有点的 相同 A.-6 B.-3 考点解密 1,3x). C.2 D.5 (1)若点P在y轴上，求x的值； 解：因为M,N两个点关于y轴对称，则它们 ÷考点1：平面直角坐标系 (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距 的横坐标互为相反数，纵坐标相等.所以 例1若点A(2,m)在x轴上，则点B(m- 离之和为9，求点P的坐标 (2m+3)+(-)=0解得m=-所以 1,m-4)在 ( 考点2：确定位置 l-4=2n. ln=-2. A.第一象限 B.第二象限 例2在如图2所示的正方形网格中，若建 m2+2n-3=1-4-3=-6.故选A C.第三象限 D.第四象限 立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为 ●专项练习 解：因为点A(2,m)在x轴上，所以m=0. (-1,0),(1,1),则“强”的坐标为 9.乐乐在公园的石墩上发 所以m-1=-1,m-4=-4.所以点P(-1 现了如图6所示的“晋”字图 -4)在第三象限.故选C. 案，整体为轴对称图形非常美 ●专项练习 年 观，他拍照打印后将其置于平面 1.下列各点中，位于第四象限的是( 直角坐标系中.若图中点A,B,C A.(4,-5) B.(4,5) 的坐标分别为A(-3,1), 图2 图3 C.(-4,-5) D.(-4,5) 解：建立适当的平面直角坐标系如图3所 B(-1,2),C(1,2),则点D的坐标为 2.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到！ 示，则“强”的坐标为(2,3).故填(2,3) 10.已知点A(a+1,4a-2)位于第一象限， 原点的距离为√13，那么点P的坐标是( ●专项练习 若点A关于x轴的对称点B到x轴的距离是到y A.（-2,3) B.(-3,2) 5.在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边 轴距离的2倍，则点B的坐标是 C.(2,-3) D.(3,-2) 均与某坐标轴平行.已知(-2，-2)，(3,1)是该 11.如图7，在平面直角坐标系中，点A的坐 3.如图1，在平面直角坐标系中，一电子蚂 长方形的两个顶点坐标，则下列各点中可以是该 标为(-1,5)，点B的坐标为(-3,1) 蚁按照设定程序从原点0出发，按图中箭头所示 长方形顶点的是 ( (1)画出线段AB关于y轴对称的线段 的方向运动，第1次从原点运动到点(1,5)，第 A.（-2,3) B.(3,-2) AB,(点A,B的对称点分别为A1,B),并写出点 2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点 C.(1,-2) D.(-3,1) A,B的坐标： (2,-2),第4次接着运动到点(4，-2)，第5次 6.已知点A(-1,2),点B到y轴的距离为3.若 (2)若点C(a,-3)关于x轴的对称点C,的 接着运动到点(4,0)，第6次接着运动到点(5， 线段AB与x轴平行，则点B的坐标是 坐标为(2，b),则a= ,b= 5),…,按这样的运动规律，经过29次运动后， 7.如图4，雷达探测器测得六个目标A,B (3)求△CAB,的面积， 电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 C,D,E,F出现，按照规定的目标表示方法，目标 C,F的位置分别表示为C(6,120°)，F(5,210). 120° 90° 150 80 4,-2)(6.-2)(8.-2 图1 7 4.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2x (本章复习检测卷见第11~12版)】 专题复习 数理极 ●专项练习 第四章 一次函数 7.如图2，已知直线l1:y= 2x+4与坐标轴分别交于A,B两 点，那么过原点O且将△AOB的面 江西 李博文 积平分的直线1，的表达式为 知识回质 ,图象经过第 象限； 2 ②当k<0时，y的值随着x值的增大而 8.若一次函数y=x+b的图象经过点 1.定义 图象经过第 象限 (1)一般地，如果在一个变化过程中有两 (3)一次函数y=kx+b(k≠0)的性质： (2,-2),(2,1),则该一次函数的表达式为 个变量x和y,并且对于变量x的每一个值，变量 ①当k>0,b>0时，y的值随着x值的增 y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的 大而 ,图象经过第 象限； 。考点4：一次函数的应用 函数，其中x是」 一，y是 ②当k>0,b<0时，y的值随着x值的增 例4珊珊与姐姐司◆sm (2)若两个变量x,y之间的对应关系可以 大而 ,图象经过第 象限； 司相约去离家30km的图301 表示成y=x+b(k,b为常数，k≠0)的形式， ③当k<0,b>0时，y的值随着x值的增 书馆看书，珊珊9：00从家 则称y是x的 函数.特别地，当b=0 大而 ,图象经过第 象限； 骑自行车去图书馆，司司 时，称y是x的 函数 ④当k<0,b<0时，y的值随着x值的增 9:30从家出发，乘车沿相 0 2.图象与性质 大而 ,图象经过第 象限 同路线去图书馆，珊珊和司 9951010.511时间 图3 (1)正比例函数y=x(k≠0)的图象是经 (4)设两条直线的表达式分别为y1=kx 司的行进路程s(km)与时间的函数图象如图3 过点(0， ),(1, )的一条直 +b(k1≠0)和y2=k2x+b2(k2≠0)，则： 所示，则下列说法中错误的是 线，一次函数y=x+b(k,b为常数，k≠0)的 ①若k1=k2,b1≠b2,则两直线 A.10点时司司追上了珊珊 图象是经过点(0 ),( 0)的 B.司司坐车的平均速度是珊珊骑自行车平 一条直线 若k,=2,b1=b2,则两直线 均速度的2倍 (2)正比例函数y=kx(k≠0)的性质： ②若k1≠k2,b1≠b2,则两直线 C.司司到达图书馆时，珊珊离目的地还有 ①当k>0时，y的值随着x值的增大而 若k≠，b,=b2时，则两直线交于 7.5km D.司司在距家11km处与珊珊相遇 考点解密 正确的是 解：A.根据图象，s1与32的图象在10点时 A.图象与y轴交于点(0,2) 有交点，此时司司追上了珊珊，故该选项正确， 。考点1：函数的定义与表示方法 B.y随x的增大而减小 不符合题意； 例1鲁老师乘车从学校到省城开会，学 C.图象经过第一、二、三象限 B.由图象知，司司坐车的平均速度=30÷ 校距离省城120千米，车辆行驶的平均速度为 D.当x>0时，y>-1 (10.5-9.5)=30(km/h),珊珊骑自行车的平 80千米/时，x小时后鲁老师距省城y千米，则y 解：令x=0,得y=-1,所以图象与y轴交 均速度为：30÷(11-9)=15(km/h),30÷15 与x之间的函数关系式为 于点(0，-1)，故A错误； =2,故该选项正确，不符合题意： A.y=80x-120 B.y=-80x+120 因为k=4>0,所以y随x的增大而增大， C.观察图象，司司到达图书馆时，珊珊又骑 C.y=80x+120 D.y=-80x-120 故B错误； 行了：11-10.5=0.5(h),离目的地还有：15× 解：选B. 因为k=4>0,b=-1<0,所以图象经过 0.5=7.5(km),故该选项正确，不符合题意； ●专项练习 第一、三、四象限，故C错误； D.根据图象可知，10点时司司追上了珊 1.函数y=+2 当x=0时，y=-1,且y随x的增大而增 珊，此时司司坐车行驶了：10-9.5=0.5(h), 中自变量x的取值范围 x-1 大，所以当x>0时，y>-1,故D正确.故选D. 距家：30×0.5=15(km),故该选项错误，符合 是 ●专项练习 题意.故选D. A.-2<x<1 B.x≥-2 4.已知正比例函数y=(m-1)xm-2,当 ●专项练习 C.x≠1 D.x≥-2且x≠1 时，y随x的增大而增大 9.A,B两城相距600千米，甲、乙两车同时 2.连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠 久，主产于平定冠山.泡茶时，水温很有讲究，连 5将直线y=多-1沿y轴向下平移4个 从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返 回.如图4是他们离A城的距离y(千米)与行驶 翘茶的冲泡温度一般建议在80~90℃，为了冲 单位长度，则平移后的直线与y轴交点的坐标 时间x(时)之间的函数图象，当他们行驶了7小 泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录 是 时，两车相遇.则当乙到达B城时，甲、乙两车相 6.一次函数y=x+b(k,b是常数，且b≠ 距 千米 了水温T(单位：℃)随时间t(单位：min)变化 千米 的数据，如下表： 0)与正比例函数y=bx在同一平面直角坐标中 y元 的图象可能是 200 时间t/min0246 水温T/℃18345066 12/ 若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增 图4 图5 加 ℃ 10.随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲 3.小哲匀速地向一个容器装h个 乙两种消费卡，其中甲按照次数收费，乙收取办 ◆考点3：求一次函数的表达式 水，直至装满容器。若在装水的过 卡费用以后每次打折收费.当消费次数为x时，设 例3如果直线y=x+b与y轴的交点坐 程中，水面高度h随时间t的变化 甲所需费用为y,(元)且y,=k,x;乙所需费用为 规律如图1所示，则这个容器的 标是(0,1)，且平行于直线y=-3-5,则此 2(元)且2=k2x+b,y2与x的函数关系如 图5所示根据图中信息，解答下列问题： 形状可能是 直线的表达式是 (1)分别求出k:,k及b的值并说明它们的 解：因为直线y=x+b平行于直线y= 实际意义. 子-5，所以k=子又因为直线y=:+b (2)在游乐场游玩多少次时，两种消费卡 花费一样？费用是多少？ 与y轴的交点坐标是(0,1)，所以b=1.所以此直 (3)洋洋爸爸准备了240元，请问选择哪种 考点2：一次函数的图象与性质 例2对于一次函数y=4x-1,下列结论 线的表达式是)=-了+1.故填)=- 消费卡划算？ 3t+1. (本章复习检测卷见第13~14版) 数理极 专题复习 29 温州博物馆.学校向租车公司租赁A,B两种车 第团章二元一次方程组 型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车 6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型 车4辆，则15人没有座位.求A,B两种车型各有 O江西 徐梦鱼 多少个座位 知识回圆 知数 解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位 (2)加减消元法：观察方程组，若某未知数 1.基本概念 系数的绝对值相等，可直接将两方程相加或相 根据题意，得3x+6y-480=15, 15x+4y+15=480. (1)二元一次方程：含有 未知数 减消元：若不相等，先给方程乘适当系数使该未 并且含有未知数的项的次数都是 的方 知数系数绝对值相等，再通过加减消元，求解后 解得r=45, ly=60. 程叫作二元一次方程 将结果代回原方程求另一个未知数 答：A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)二元一次方程组：共含有两个未知数 3.三元一次方程组的解法 ●专项练习 的 一次方程所组成的一组方程，叫作 通过“代入法”或“加减法”进行 10.明代数学家吴敬的《九章算法比类大 二元一次方程组. 把“三元”化为“ ”,使解三元一次方程 全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个 (3)二元一次方程的一个解：使一个二元 组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解 头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若 次方程左、右两边的值相等的一组未知数的 元一次方程。 干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒 值，叫作这个二元一次方程的一个解 (4)二元一次方程组的解：二元一次方程 4.二元一次方程组的实际应用 夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则所 列方程组是 组中各个方程的 ,叫作这个二元一次 (1)列二元一次方程组解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，为：审 11.某元宵生产商家受原料保质期影响，在 方程组的解 购买元宵的主要原料糯米粉和黄油时分三次购 2.解二元一次方程组的基本方法 题、设未知数、 、检验、写答 买，每次购买的价格不变，购进原料价格和数量 解二元一次方程组的基本思路是 (2)列二元一次方程组解应用题的关键在 如下表所示： ,即通过消去一个未知数，将其转化为 于找出表示应用题全部含义的两个相等关系 第一次第二次 易求解的一元一次方程. 5.二元一次方程组与一次函数 糯来粉/千克 10 12 (1)代入消元法：从方程组中选一个系数 般地，从图形的角度看，确定两条直线的 黄油/千克 2 3 较简单的方程，将其变形为“一个未知数用另一 交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的 总金额/元 310 405 个未知数表示”的形式，再代入另一个方程消 :解一个二元一次方程组相当于确定 若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克， 元，解出一个未知数后，代回变形式求另一个未 相应两条直线的 则第三次购买的总金额为 元 解：①+②，得5x+5y=2k+1. 12.国家“双减”改策实施后，某校开展了 考点解密 又因为关于，y的方程组2+3y=k,的 丰富多彩的社团活动.学生可以报名参加书法 3x+2y=k+1 围棋和象棋三个社团，活动组织者为参加社团 考点1：基本概念 3x+y=3的 解的和是k-1,所以x+y=k-1. 的同学们购买了毛笔、围棋和象棋（三种都购 例1若二元一次方程组 所以2k+1=5k-5. 买)，共花费500元，其中毛笔每支20元，围棋每 2x -y =2 副25元，象棋每副30元.若象棋至少买5副，最 解为=4，则a+b的值为 解得k=2. 。专项练习 多买6副，则购买方案共有 ly =b, 5.解关于x,y的二元一次方程组 A.5种 B.6种 解：由题意，将=代入x+y=3,得 C.7种 D.8种 Ly =b l2x-y=2, [y=2x-3,①将①代入②，消去y后所得到 13x+2y=8,② 13.李明和刘伟分别从A,B两地同时出发 3a+b=3, 李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀 2a-b =2. 的方程是 ( A.3x+4x-3=8 速而行，出发24min后两人相遇.相遇时李明比 解得1， B.3x+4x+3=8 刘伟多行进4.8千米，相遇后6min李明到达 lb=0. C.3x+4x-6=8 B地.两人每小时分别行进多少千米？相遇后经 所以a+b=1+0=1. D.3x+4x+6=8 过多长时间刘伟到达A地？ 故填1. 6.以方程组：+y=2,的解为坐标的点 ”考点4：二元一次方程与一次函数 ●专项练习 Lx-y =1 例4如图，直线y= 1.下列是二元一次方程的是 2x与y=kx+b相交于点 y=kx+ (x,y)在平面直角坐标系中的第 象 生*y=2 B.xy =1 限 P(m,2),则二元一次方程 7.已知13x-y-13|+(x+y-3)2=0, C.x+y=3 D.x+y2=1 组 y=2x，的解是 则y的值为 Ly kix+b 2.关于x,y的方程组2x+y=■·的解为 8.定义运算“★”，规定x★y=ax2+by,其 x+y=3 中a,b为常数，且1★2=5,2★1=6，则2★3= 解：因为直线y=2x与y=kx+b相交于点 x=2,则■+A= P(m,2),所以2m=2.解得m=1. y=▲ 9.解下列方程组： 所以点P(1,2),故二元一次方程组 3.二元一次方程2x+y=7有」 P=2x,,的解是= 非负整数解 (1)=x+3, l7x+5y=9; Ly kx +b y=2. 4.已知化=m,是二元一次方程2x-3y+ (2)2x+3y=-5, 故填=1， ly =n 13x-4y=18; ly=2. 4=0的解，则-4m+6n-7的值为 x +2y+z=0 ●专项练习 。考点2：解二（三）元一次方程组 (3)2x-y-2=1, 14.直线y=x+7的图象与x轴的交点坐标 例2已知关于x,y的方程组 3x-y-z=2. 是关于x,y的二元一次方程bx-2y=14的解， 2+3y=k,①的解的和是k-1,求k的值。 ?考点3：二元一次方程组的应用 那么b= 3x+2y=k+1② 例3某校组织七年级师生共480人参观 (本章复习检测卷见第19~20版) 30 专题复习 数理报 平均数中位数众数方差 第公章 数据的分析 A区域167 166 b B区城166 a168158 ●三三三二=三三二二三=三三三二二=三三二三三三二 ⊙湖南 陈茜华 根据以上信息，解决下列问题： 3.方差 (1)表中a= ,b= 知识回顾 (1)①离差平方和是各个数据与它们 1.平均数 之差的平方和，即S= (2)调查组成员小文认为A区域“晋燕8 (1)一组数据中所有数据之和除以这组数 ②方差是各个数据与它们平均数之差的平 号”种植亩产量的平均数高于B区域，因此A区 据的个数，就得到这组数据的算术平均数，简称 方的平均数，即s2= 域“晋燕8号”的种植情况更好，成员小明认为 平均数. 其中元是1,2，书3，…，xn的平均数， 小文只从平均数分析是片面的，请你结合表中 (2)一般地，在n个数据中，如果数据x1, 数据，帮助小文进一步阐述理由； ③标准差：方差的 名2，…，x出现的次数分别为，…，其中 (3)为了更全面地了解A区域燕麦的种植 (2)方差越大，数据的波动 ;方差越 情况，调查组又对A区域内种植的两个新品种 +6+…+f=n,那么这n个数据的平均数为 小，数据的波动 “坝莜1号”和“白燕2号”展开研究，并请专家 T= 4.中位数 对这两种燕麦的三个指标进行评分，结果如下 这个平均数叫作这组数据的加权平均数，其中 (1)一般地，n个数据按大小顺序排列，如 表（单位：分，满分10分）： f,…分别叫作这组数据x1,x2,…,x的 果数据的个数为奇数，那么位于 的 产量与适应性品质与用途种植成术 个数据是这组数据的中位数：如果数据的个数 坝被1号 > 9 6 (3)平均数能充分利用数据所提供的信 为偶数，那么位于 的平均数是这组数 白燕2号 9 息，但其缺点是受个别特殊值（也称为极端值） 据的中位数， 的影响会影响数据的平均水平，为了避免这个 (2)中位数是一个反映数据集中趋势的位 调查组将“产量与适应性”“品质与用 缺点，可以将这个特殊值去掉，然后求平均数 置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统 途”“种植成本”分别赋权2,5,3，请你帮助调查 2.众数 计量，这组数据中约有一半的数据大于（或小 组分析：该地区更适宜种植哪种燕麦. (1)一组数据中出现次数 的那个 于)中位数.中位数计算简单，受特殊值影响较 解：(1)a= 167+165=166: 2 数据叫作这组数据的众数， 小，但不能充分反映所有数据的信息 A区域中166出现的次数最多，即b=166: (2)众数是表明一组数据出现次数最多的 (3) 和 统称 1 统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数 为四分位数， c=10×[(170-167)2+(165-167)2+ 往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪 (4)箱线图是用来表示一组或多组数据分 (168-167)2+(166-167)2+(169-167)2+ 个（些）数据出现的次数最多，但当各数据出现 布情况的统计图，其中包含了最小值、最大值和 (164-167)2+(165-167)2+(166-167)2+ 的次数大致相等时，众数往往没有特别意义. 四分位数信息 (171-167)2+(166-167)2]=5. 故填166,166,5. 考点解密 准差是 (2)A区域种植亩产量的平均数高于B区 5.某校团委举办合唱赛，其中5位评委对 域，方差小于B区域，产量较为稳定，因此A区 冬考点1：基本概念 九年级1班的打分分别为9.5,9,9,9.2,9.3.对 域“晋燕8号”的种植情况更好 例1振兴初中随机调查了部分出行学生 这组数据描述正确的是 ( A.众数为9.2 B.平均数为9.2 (3)“坝腋1号”得分为：7×2+9×5+6x3 周内使用共享单车的情况，并整理成下表： 2+5+3 使用次数012345 C.中位数为9 D.方差为0.006 =7.7(分)；“白燕2号”得分为： 人数4622121262 6.已知一组数据：8,4,6，a,5的平均数为 9×2+8×5+7×3=7.9(分).因为7.7< 5,则这组数据的标准差为 2+5+3 则这组数据的中位数和众数分别是( 7.已知甲、乙两班人数相 7.9,所以该地区更适宜种植“白燕2号” 个成 A.12,12B.1.1C.0.0D.1,0 同，在一次测试中两班的成绩 ●专项练习 解：本次调查的人数为：46+22+12+12+ 箱线图如图1所示 90 8.某校为了普及环保知识，从七、八两个年 6+2=100.因为46<50,46+22>50，所以这 60 (1)甲班成绩的中位数 级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分 组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数 0 为 ,乙班成绩的上四 0 100分)，并对成绩进行整理分析，得到图2. 甲班乙班 为1,1，因此中位数为：十1=1：这组数据中出 学生环保知识竞赛成绩折线统计图 分位数为 图1 2 10F成绩/分 99 ·七年级 (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两 现次数最多的是0，因此众数是0.故选D. '97 88 91 ◆…八年级 部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ ●专项练习 8 9 (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的 8083V8587 1.经调查八年级(1)班7位同学每周阅读 班级是哪个， 76778080 74 时间（单位：min)分别为78,80,85,90.79,82 考点2：利用数据分析作判断 83,则这组数据的下四分位数为 12345678910序号 例2素有“山西燕麦之乡”之称的右玉县 图2 2.某中学规定学生的学期体育成绩满分为 是中国优质燕麦的黄金产区，“右玉燕麦”还获 平均数众教中位数 100,其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中 得国家农产品地理标志登记保护， 七年级参赛学生成绩85,5 m 87 考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，某学 【数据收集】为了解右玉县种植燕麦“晋燕8 八年级参赛学生成鲼85.585 n 生的三项成绩（百分制）依次是95,90.86，该学 号”的情况，某调查组从A,B两个区域随机选取 根据以上信息，回答下列问题： 生这学期的体育成绩是 分 10块种植区，它们的亩产量（千克/亩）如下： (1)填空：m= ,n= 3.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10 A区域：170,165,168,166,169,164,165 (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别 次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差 166.171.166. 记为s子，好，则 (填“>”“<”或 分别是s品=0.63,2=2.56，满=0.49，子= B区☒域：163,167,168,168,171,173,165， “=”); 0.46,则射箭成绩最稳定的是 164,161,160. (3)从平均数和中位数的角度分析哪个年 4.已知一组数据：1,2,3,4,5，则这组数据 【数据分析】A区域和B区域“晋燕8号”亩 级参赛学生的成绩较好 的离差平方和是 一，方差是 标 产量数据分析如下： (本章复习检测卷见第21~22版) 数理极 专题复习 31 考点3：平行线的判定 第巴章 证明 例3将一张纸条按如图2所示方式折叠， 下列条件能说明纸条两边平行的是 广东 董家楠 知识回顾 4.公理、证明、定理 (1) 称为公理，公理不 1.数学结论的判断 需要证明，同时还是证明其他命题的起始依据。 图2 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠 (2)除了公理外，其他命题的真假都需要 A.∠2+∠4=90°B.∠2=∠3 是不够的，必须 通过 的方法判断， 的过程称 C.∠1+∠5=180°D.∠3=∠5 进行有理有据的 为证明. 解：由∠2+∠4=90°，∠2=∠3，∠3= 2.定义与命题 (3)经过 的真命题称为定理 ∠5不能得到纸条两边平行，故选项A,B,D不 (1)对名称和术语的 加以描述， 5.证明的一般步骤 正确，不符合题意； 作出明确的规定，也就是给出它们的定义. (1)理解题意； 由∠1+∠5=180°，∠3+∠5=180°可得 (2)判断 的句子，叫作命题每个 (2)根据题意，画出 ∠1=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”即▣ 命题都由■ 和 两部分组成 (3)根据题设、结论、结合图形，写出 得到纸条两边平行，故选项C正确，符合题意. 故选C 是已知的事项， 是由已知事 和 (4)经过分析找出 ●专项练习 项推断出的事项一般地，命题都可以写成“如 的途径： 5.如图3，点E在BA的延长线上，下列四个 果…，那么…”的形式，其中“如果”引出 (5)依据寻求的思路，运用数学符号和数 选项中，不能判定AD∥BC的是 的部分是 “那么”引出的部分是 学语言条理清晰地写出 A.∠EAD=∠ABC 6.平行线的判定 B.∠ADC+∠DCB=1809 3.真命题、假命题、反例 (1) 两直线平行 C.∠BAD+∠ADC=180 (1) 的命题称为真命题如正方 (2) 两直线平行 D.∠1=∠2 形的四条边都相等。 (3) 两直线平行 (2) 的命题称为假命题如面积 7.平行线的性质 相等的两个三角形一定全等。 (1)两直线平行 (3)要说明一个命题是假命题，常常可以 (2)两直线平行 举出一个例子，使它具备命题的 而不 (3)两直线平行， 图3 具备命题的 ,这种例子称为反例 (4)平行于同一条直线的两条直线 6.如图4，AE平分∠BAC,CE平分∠ACD 且∠a+∠B=90°.求证：AB∥CD 考点解密 C.a=2 ?考点4：平行线的性质 考点1：定义与命题 3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是： 例4如图5，在△4BG 两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担 中，∠ACB=90°，顶点A,C分 例1下列命题正确的是 别在直线m,n上.若m∥n,∠1 A.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯” 任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比 =50°，则∠2的度数是 是必然事件 赛了4局，丙当了3次裁判则第二局的输者是 B.3.14精确到十分位 解：如图5，设AB与直线n C.点(-2，-3)关于x轴对称的点的坐标是 ”考点2：证明 交于点D. (-2,3) 例2小渝在证明“等 因为m∥n,∠1=50°， D.甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平 腰三角形的两条底角平分线 所以∠ACD=∠1=50° 均成绩相同，方差分别是s=2.25,2=1.81, 的长度相等”时，画出了图 因为∠ACB=90°， 则甲的成绩比乙的稳定 1,在△ABC中，AB=AC,BE 所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=40° 解：A选项中，“经过有交通信号灯的路口， 平分∠ABC交AC于点E,CD 所以∠2=180°-∠BCD=140 遇到红灯”是随机事件，故该选项命题错误： 平分∠ACB交AB于点D.请 故填140°. B选项中，3.14精确到百分位，故该选项命 帮他完成证明过程。 ●专项练习 题错误； 证明：因为AB=AC,所以∠ABC 7.如图6，有平面镜A与B,光线由水平方 ∠ACB. C选项中，点(-2，-3)关于x轴对称的点 向射入，传播路线为a→b→c,已知平面镜A平 因为BE平分∠ABC,CD平分∠ACB,所以 的坐标是(-2,3)，故该选项命题正确： 行于平面镜B,∠1=30°，则∠2= 1 D选项中，甲、乙两人的平均成绩相同， ∠EBC=∠ABC,LBCD=∠ACB >2,则乙的成绩比甲的成绩稳定，故该选项命 所以∠EBC=∠DCB. 题错误 又因为BC=CB,所以△EBC≌ 故选C △DCB(ASA).所以BE=CD. ●专项练习 所以等腰三角形的两条底角平分线的长度 6 1.下列语句不是命题的是 相等 8.如图7，AB∥DE,∠1=26°，∠2 A.带根号的数都是无理数 。专项练习 116°，则∠BCD= B.连接AB,并延长至点C 4.请判断下列命题的真假，如果是真命题， 9.如图8，AD⊥BC于点D C.两直线平行，内错角相等 请给出证明：如果是假命题，请举出反例. EF⊥BC于点F,∠ADG=35 D.等角的补角相等 (1)0,AB 3k,BC 4k,AC =6k, ∠C=55° 2.命题“若a是实数，则Ia1>-a”,能说 则△ABC是直角三角形： (1)求证：DG∥AC: 明它是假命题的反例是 (2)若a>4,则代数式(a+2)(a-2) (2)求证：∠FEC=∠ADG. A.a=-2 B.a=3 a(a-1)是正数 (本章复习检测卷见第23~24版)数理极 第18期3,4版参考答案 题号 8 10 答案 D B D B 二、11.如果两条直线平行于同一条直线，那么这两 条直线平行： 12.105°；13.2401；14.128°；15.10或28. 三、16.(1)条件：一个数是无理数；结论：这个数是 无限小数；真命题， (2)条件：AB=BC;结论：点B是线段AC的中点；假 命题.反例：在△ABC中，AB=BC,但点B不是线段AC 的中点 17.由对顶角相等，得∠1=∠BEF.因为∠1+∠2 =180°，∠2+∠CFE=180°，所以∠CFE=∠BEF.又 因为∠3=∠4，所以∠CFE+∠4=∠BEF+∠3，即 ∠EFH=∠FEG.所以EG∥FH. 18.答案不唯一，如选的条件是①②，结论是③.证 明：因为BE是∠ABC的平分线，所以∠2=∠CBE.因为 ∠E=∠2，所以∠CBE=∠E.所以AE∥BC.所以∠A +∠ABC=180°.因为∠1+∠ABC=180°，所以∠A= ∠1.所以DF∥AB. 四、I9.(1)因为DE∥AB,所以∠A=∠CDE, ∠DFA=∠FDE.因为∠DFA=∠A,所以∠CDE= LFDE.所以DE平分∠CDF. (2)因为∠C=80°，∠ABC=60°，所以∠A=180 -∠C-∠ABC=40°.因为∠DFA=∠A,所以∠GFB= ∠DFA=40°.又因为∠GBF=180°-∠ABC=120°，所 以∠G=180°-∠GBF-∠GFB=20°. 20.两直线平行，同旁内角互补；已知；同旁内角互 补，两直线平行；EF∥BG;两直线平行，同位角相等；等 量代换：同旁内角互补，两直线平行：两直线平行，同旁 内角互补：同角的补角相等. 21.(1)因为20252+20252×20262+20262= (2025×2026+1)2,所以20252+20252×20262+ 20262的算术平方根为2025×2026+1. (2)第n个等式为n2+n2(n+1)2+(n+1)2= [n(n+1)+1]2.验证：左边：n2+n2(n+1)2+(n+1)2 =n4+2n +3n2+2n+1,右边：[n(n+1)+1]2=n +2n3+3n2+2n+1,所以左边=右边，故等式成立. (3)不成立.理由：(nm+m-n)2=n2m2+m2+n2 +2nm2-2n2m-2mn≠n2+n2m2+m2,故原式不成立. 若成立，则m-n=1.证明：因为n2+n2m2+m2= n2m2+m2+n2+2nm2-2n2m-2mn,所以2nm2-2n2m -2mn=0.所以mn(m-n-1)=0.因为m,n为正整数， 所以mn≠0.所以m-n-1=0.所以m-n=1. 五、22.(1)因为AM∥BN,∠A=60°，所以∠ABN =180°-∠A=120°.因为BC,BD分别平分∠ABP和 ∠PBN,所d∠CBP=子∠ABP DBP=1 2 ∠PBN.所 以∠CD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+ ∠PBN 2∠ABN=60°.所以∠CBD=∠A (2)∠CBD=180°-∠A 2 (3)∠APB=2∠ADB.理由：因为BD平分∠PBN, 所以∠PBN=2∠NBD.因为AM∥BN,所以∠PBN= ∠APB,∠NBD=∠ADB.所以∠APB=2∠ADB. (4)因为AM∥BN,所以∠ACB=∠CBN.当∠ACB =∠ABD时，∠ABD=∠CBN,即∠ABC+∠CBD= ∠CBD+∠DBN,所以∠ABC=∠DBN.又因为BC,BD 分别平分∠ABP和∠PBN,所以2∠ABC= ∠ABN.因 为AM∥BN,所以∠A+∠ABN=180°.所以2∠ABC+ 2人A ∠ABN ∠A)= + ×180°=90°. 23.(1)30,30,AB∥CD. (2)∠FMN+∠GHF=180°.证明如下： 由(1)可知：AB∥CD,所以∠PMG=∠PWF.因为 ∠MGH=∠PNF,所以∠PMG=∠MGH.所以GH∥ PN.所以∠GHM=∠FMN.因为∠GHM+∠GHF= 180°，所以∠FMN+∠GHF=180°. (3)在旋转的过程中∠FPN。 的值不发生变化，始终 ∠Q 等于2.理由：因为M'Q平分∠PM'B,所以设∠PM'Q = ∠BM'Q=a.所以∠QM'M=180°-0，∠PM'B=28.所以 ∠PM'M=180°-∠PM'B=180°-2a.由(1)可知：AB∥ CD,∠EFM=∠DFM=30°，所以∠PFN=∠EFM+ 参考答案 ∠DFM=60°，∠QMM'=∠DFM=30°.所以∠Q=180° -∠QMM'-∠QM'M=0-30°.因为AB∥CD,所以 ∠PEM'=∠PFN=60°.所以∠FPN'=180°-∠PEM' -∠PM'E=20-60.所以∠FPY=20-60 ∠Q 0-30° 复习专号参考答案 《勾股定理》专项练习 1.D 2.船向岸边移动了9米. 3.45 4.(1)连接CD,图略.因为DE是BC的垂直平分线， 所以CD=DB.因为BD2-DA2=AC2,所以CD2-DA2= AC2.所以CD=AD+AC2.所以△ACD是直角三角形， 且∠A=90°.所以△ABC是直角三角形. (2)设AD=3x,BD=4x,则CD=BD=4x,AB= AD+DB=7x.在Rt△ACD中，AC=√CD2-AD √16x2-9x=√7x,在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2,所 以(7x)2+(7x)2=(2√14)2.解得x=1(负值舍去). 所以AC=√万×1=√7. 5.11,60,61；6.2.5；7.7m 8.(1)AB⊥BC.理由：因为点D在点C的正北方 5km处，即DC=5km.所以BC2=BD2-DC2=132 52=122.因为AB2+BC2=162+122=202=AC2,所以 △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.所以AB⊥BC. (2)过点D作DE⊥AB,交AB的延长线于点E,图 略.所以∠E=90°，DE=BC=12km,BE=CD=5km. 所以AE=AB+BE=21km.所以AD=√AE+DE= 3/65km. 《勾股定理》复习检测卷 题号 2 3 4 8 9 10 答案 B B B 二、11.3或√41；12.4；13.45°；14.15；15.60. 三、16.旗杆折断之前的高度为18m. 17.△ABD是直角三角形 18.钟摆AD的长度为17cm. 四、19.图略 20.连接BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于 点F,图略.由题意知BF=b-a,因为S四边形ABD=S△ABE +S△ADE ab,S四边形ABsD=S△DB 2 +SADE&= +2a( -）,所以5+2=2+6-a 所以a2+b2=2 21.(1)因为BC=8m,CD=6m,BD=10m,所以 BC2+CD2=82+62=102=BD2.所以△BCD是直角 三角形，且∠BCD=90°. (2)过点A作AE⊥BD于点E,图略.因为AB=AD 13m,BD=10m,所以BE=)BD=5m在Rt△AB旺 中，AE=√AB2-BE=12m.所以S阴影=S△BD-S△BCD =BD:45-8C.CD=36m.所以20×36= 7200(元)，即此块空地全部种植花卉共需花费7200元 五、22.(1)2. (2)当点P到达点C时，t=8÷2=4,所以4s内， 点P在线段BC上，连接AP,图略.因为BP=AP=2tcm, BC=8cm,所以PC=(8-2t)cm.根据勾股定理，得PC +AC=AP,即(8-2)2+62=(2)2.解得1= 8所 以B即=2x空=25(em）. 8 (3)①当∠APB=90°时，点P和点C重合，t=4: ②当∠BAP=90°时，点P在线段BC延长线上，因为BP =2tcm,BC=8cm,所以PC=(2t-8)cm,在Rt△ACP 中，AP2=AC2+PC2=62+(2t-8)2,在Rt△ABP中， AP2=BP2-AB2=(2t)2-102,所以62+(2t-8)2= (2)2-102,解得t= 25 综上所述，当△ABP为直角三角形时，1=4或草 23.(1)13. (2)因为AC=2,DF=1,CF=5,所以AH=2+1 =3,HD=5.所以AD=√32+5=√34.所以 √x+4+√(5-x)2+1的最小值是34. 15 (3)构造△ABC,CD⊥AB于点D,AC=6,BC=8, 图略.设CD=x,则AD=√36-x,BD=√64-x.所以 4B=√36-x+√4-x=10.因为6+82=10，所以 乙ACB=0所以x6x8=7×10x所以￥=4.8 《实数》专项练习 1.√5：2.-8：3.324.6；4.B; 555- ；6.<；7.C;8.B. 9.正实数集合：2号，20%，2,3.1010010001…（相 邻两个1之间0的个数逐次加1)，…； 负实数集合：-0.78，-受，-31415926，-34 4 -1,…} 整数集合：{0,2，-1，…； 负分数集合：-0.78，-3.1415926，-31， 4,… 无理数集合：-受，3.1010101…（和邻两个1 之间0的个数逐次加1)，…}. 10.C;11.x≥5；12.2；13.B; 14.1+5或1-5；15.55. 16(1)45;(2)-1:(3)12-45: (4)6+25;(5)2-5. 《实数》复习检测卷 题号 2 8 9 10 答案 B B D 二、11.±5：12.<；13.-2a:14.10: 15.-80. 三、16有理数集合：-7,0.32，号，0,27，…： 无理数集合：√⑧，π，0.1010010001…（相邻两个1 之间0的个数逐次加1)，…}； 负实数集合：{-7,27，…. 17.(1)25+2;(2)7. 18.x+y23+z的平方根是±25. 四、19.（1)二次根式的除法法则. (2)②，去括号时，符号错误 2 3 2 122-22=- 252 2 (4)答案不唯一，如二次根式运算的最后结果应化 为最简二次根式 20.(1)80. (2)不需要.理由：设长方形的长为5x分米，宽为3x 分米.依题意，得5x·3x=285.解得x=√19（负值舍 去).所以长方形的长为5√19分米，宽为319分米所 以长方形的周长为：2×(519+3√19)=16√19（分 米).因为4<19<5，所以64<1619<80.所以围 成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长 21.(1)由题意，得x=,1=2-5,y=,1 2+5 2-5 =2+3.所以x+y=2-5+2+3=4,x-y=2- 5-2-3=-25.所以原式=4。=-23 -23 3 (2)由(1)，得xy=(2-5)(2+5)=1,x-y= -25.所以原式=(x-y)2-y=(-23)2-1=11. 五、22.(1)由题意，得m=6÷√3=23. (2)由题意，得5a-1= 4 4(5-1) 5+1(W5+1)(5-1) =5-1.所以5a=√5.所以a=1. 23.(1)√/13+4√10=√/13+2√40，因为5+8 =13,5×8=40,即(5)2+（√8）2=13，W5×8 = √40，所以W√13+410=W√13+240 W(W5)2+(8)2+2(5×√⑧)=W√(5+√8)2=√5 +22. (2)4+2. (3)根据题意，得BC=√AB2-AC2 16 √(4-3)2-(3)2=√16-83+3-3 √16-83=√(23)2-83+22=√(23-2)月 =23-2. 《位置与坐标》专项练习 1.A;2.B;3.(24,-2). 4.(1)x=1 (2)点P的坐标是(3,6). 2 5.B;6.(-3,2)或(3,2)： 7.(1)(2,90),(2)北偏东60°距观测站1500米， 南偏西30°距观测站1200米，(3)(2.5,315). 8.(1)图略. (2)图略.△ABC的面积为9. 9.(3,1);10.(3,-6). 11.(1)图略.点A(1,5),点B1(3,1). (2)2,3. (3)△CAB,的面积为6. 《位置与坐标》复习检测卷 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B C D 二、11.3排2号；12.四；13.(1，-2)； 4(0,；15.-7<a<1 三、16.图略. 17.a206+a=0. 18.点P的坐标是(0，-4) 四、19.(1)图略，A,(4,3),B1(-3,0),C1(2,5). (2)图略。 20.(1)图略，C(-1,2) (2)图略，AC∥DE. 21.(1)-3,2. (2)由(1)知A(-3,0),B(2,0),所以AB=2- (-3)=5.因为点P(2,m)在第四象限，m<0,所以 aw=x5(-m）=-n 1 （3）当m=-2时，5am=-子×(-2)=5.因为 △APD的面积是△ABP面积的2倍，所以△APD的面积 为：2×5=10. 设点D(O,n).当点D在AB上方时，过点D作x轴的 平行线与过点A,B平行于y轴的直线分别交于点M,N, 图略，故)(n+n +2)×5-7x3n-3x2(n+2)= 10,解得n=号，所以点D(0,4): 当点D在C下方时，过点D作x轴的平行线与过点 A,B平行于y轴的直线分别交于点P,Q,图略，故2(-” -n-2)×5-分×3(-n）-7x2(-n-2)=10,解 得0=-9所以点00，-. 综上所述，点D的坐标为(0，号)或(0，-2)。 五、22.(1)3. (2)①设点B的坐标为(0，b).因为点A(2,0)与点 B的“识别距离”为4,12-01=2，所以10-b1=4.所 以b=±4.所以点B的坐标为(0,4)或(0，-4) ②2. (3)点C与点D“识别距离”的最小值为？，相应的 点C的坐标为（兮，-子）理由如下： 由“识别距离”的定义可知，点C与点D“识别距离” 最小时，1x-21=1y1-y21.因为点C(m,2m-1), (0,0),所以1m=12m-11.解得m=1或m=了 当m=1时，“识别距离”为1：当m=号时，“识别距离 为}所以点C与点D”识别距离”的最小值为？，相应 的点C的坐标为(3，-了)， 23.(1)(0,6),(8,0). (2)当点P与点C重合时，△OAP为直角三角形，此 时a=8; 参考答案 当∠OAP=90°时，△OAP为直角三角形，此时AO2 +AP2=OP2.由题意，得AC⊥OC.在Rt△AOC中，由勾股 定理，得A02=AC2+0C2=100;在Rt△ACP中，由勾股 定理，得AP2=AC2+CP2=36+CP.因为0P2=(0C+ CP)2=(8+CP)2,所以100+36+CP2=(8+CP)2.解 得CP=4.5.所以OP=0C+CP=12.5.所以a=12.5. 综上所述，当△OAP为直角三角形时，a的值是8或 12.5. (3)由题意，得0B=6,0C=8.所以S△0n 12四边形4B0c= 2oB·0C=4. 当点Q在AB边上时，0≤b≤4，此时BQ=2b,所以 40=8-2b,所以2×6(8-26)=4，解得6= 3 当点Q在AC边上时，4<b≤7，此时AQ=2b-8. 因为D(2,0),所以OD=2.所以CD=0C-OD=6.所 以号×6(26-8)=4.解得6=14 31 综上所述，当6=9或号时，500=、 四边形ABOC: 《一次函数》专项练习 1.D;2.8;3.C;4.3; 5.(0,-5);6.D;7.y=2x; 8.y=2x-3;9.150. 10.(1)观察图象可知直线y1=kx经过点(4,80)， 所以80=4k1.解得k,=20.所以直线y1=20x,k,的实 际含义：每次收费20元. 因为一次函数y2=k2x+b经过点(0,80)，(12， 2如.所0-m解化0所以直线为 1b=80. =10x+80,b的实际含义：办消费卡80元；k2的实际含 义：每次收费10元 (2)联立12，得=20x, 解得=8， y2=10x+80, =160 所以在游乐场游玩8次时，两者花费一样，费用为 160元. (3)由(2)得E(8,160),因为240>160，由图象得 选择乙消费卡划算 《一次函数》复习检测卷 题号 2 3 6 7 8 9 10 答案 B C B B D 二、11.9；12.y=0.1x-0.1;13.y=-x+10: 14.（2,4)或(4,2)；15.256. 三、16.y关于x的函数表达式为y=x+2. 17.(1)将点A(-1,4),C(2,-2)代入y=x+b, b=2. 所以一次函数的表达式为y=-2x+2. (2)令y=-2x+2=0,解得x=1. 所以点B的坐标为(1,0). 18.(1)Q与x之间的函数表达式为Q=-0.17s+80. (2)该汽车最多还能行驶3.2h. 四、19.(1)(0,3). (2)一次函数y=x-4(k>0)的“交叉相反函数” 为y=4x-k.对于y=4x-k,当x=0时，y=-k,当y =0时x=年，所以0A=车0B=么 因为△10B的面积为8，所以)01·0B=8,即号， ·k=8.解得k=8或k=-8(舍去).故k的值为8. 4 20.(1)由题意，得y1关于x的函数表达式为y,= 5x(x>0). 当0<x≤10时，y2=6x;当x>10时，y2=10×6 +(x-10)×3=3x+30.所以y2关于x的函数表达式 <x≤10)， 为2三13x+30(x>10)' (2)①当0<x≤10时，令y1=y2,即5x=6x,解得 x=0.因为x>0,所以此时在两家店花费不可能相等： ②当x>10时，令5x=3x+30,解得x=15. 所以购买15kg早酥梨时，两家店花费相同. 21.(1)将点A(6,0)代入y=-x-b,得0=-6- b,解得b=-6.所以直线AB的表达式为y=-x+6. 当x=0时，y=6,所以点B的坐标为(0,6). (2)因为点B坐标为(0,6)，所以0B=6. 数理极 因为OB:0C=3:1,所以OC=2. 因为点C在x轴负半轴上，所以C(-2,0). 设直线BC的表达式为y=ax+c(a≠0)，将点B(0, 6),C(-2,0)代入，得{-20+ c=6, 0解得3 Lc=6. 所以直线BC的表达式为y=3x+6. 五、22.(1)由表格可知A商品每件的利润为：150- 80=70(元)，B商品每件的利润为：260-110 150(元). 因为该商场计划同时购进A,B两种商品共200件， 其中购进A商品x件，所以购进B商品(200-x)件 所以y=70x+150(200-x)=70x+30000-150x =-80x+30000(0<x<200). (2)由题意，得105≤x<200.在y=-80x+30000 中，因为-80<0，所以y随x增大而减小，所以当x=105 时，y取得最大值，此时y=-80×105+30000=-8400 +30000=21600,即商场可获得的最大利润是21600元. 23.（1)对于y=mx-m+4,当x=1时，y=m- m+4=4,所以直线y=mx-m+4过定点，且该定点的 坐标是(1,4). (2)在y=-x+5中，令x=0,得y=5,所以B(0, 5).因为点B,O关于点D对称，所以D是OB的中点，所 以D(0,子.因为点D(0,弓)在直线y=mx-m+4上， 所以子=-m+4解得m=多所以直线的表达式为 3 y= 5 (3)在y=-x+5中，当x=1时，y=-1+5=4, 所以点M(1,4)在直线y=-x+5上.所以直线l1:y= -x+5与直线l2的交点为M(1,4). 在y=-x+5中，当y=0时，0=-x+5,解得x= 5.所以A(5,0.所以S408= x5x5= 25 2 1 当S△DM:S四边形MDA=1：4时，S△BDM= 25 5 2 ，所以Bm1=多所以xBD×1=子所以 BD=5.所以D(0,0).因为点D(0,0)在直线y=mx- m+4上，所以0=-m+4.所以m=4. 当：5m=1:4时，5a=号×空- 子，所以34C1=子所以4Cx4=3所以4C =子所以C(,0).因为点C(华，0)在直线y=mx- m+4上，所以5m-m+4=0,所以m:-16 11 综上所述，m的值为4或-16 《二元一次方程组》专项练习 1.C:2.6;3.4;4.1:5.C;6.-; 7.1;8.10. x rx=1, 9.(1) 5 (21y =3. 10.3x+y=36, 11.675;12.B. 6x+8y=108; 13.设李明每小时行进x千米，刘伟每小时行进y千米 24 24 60 =4.8, 由题意，得 60 24 解得x二16， y=4. 60 所以升 ×16÷4=1.6(小时). 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米， 相遇后经过1.6小时刘伟到达A地 14.-2. 《二元一次方程组》复习检测卷 题号 8 10 答案 B B 4 B 二、11.-3：12.2：13.2：14.5和7：15.3或15. 三.611：2[22 17.a的值是4. 数理极 18.√匠+6的值是-) 四、19.（1)设第一次实验用了x公斤粮食槽醅，y公 斤芋头糟醅 根据题意，得30%x+20%y=16, L30%×2x+20%×3y=36. 答：第一次实验用了40公斤粮食槽醅，20公斤芋头 糟醅 (2)设需要准备m公斤大米， 根据题意，得(m÷4)×30%×80%=(40+40× 2)×30%.解得m=37.5. 答：需要准备37.5公斤大米， 20.（1)因为点C(m,3)在直线y=3x-2上，所以 3m-2=3.所以m=子所以c(号，3).设直线4的函 数表达式为y=x+b(k≠0).由题意，得 6 k=- 3解得 所以直线，的函数表达 14k+b=1. b= 31 7 式为y=乡+积 2)方程组的解为 = =3. 21.26 =7. (2)由题意，得3x+4=32,0①+②，得7x+7y l4x+3y=31.② =63.两边同时除以7，得x+y=9.②-①，得x-y= -1.解x+y=9,得 =4, Lx-Y y=5. 五、22.(1)当a=2时，方程组为3x+y=6,①0 x-Y =-2.② +②，得4x=4.解得x=1.把x=1代人②，得1-y= -2.解得y=3.所以当a=2时，方程组的解为=1， y=3. 2 y=5a-4,①①-②，得2x+2y=6a 4,即2(x+y)= -4.所以x+y=3u-2. (3)3x+y x-y 1-4,①①+②，得4x=4a-4.所 a,② 以x=a-1.把x=a-1代人②，得a-1-y=-a.所 以y=2a-1.所以kx-3y=k(a-1)-3(2a-1)=(h -6)a+3-k.因为无论a取何值时，代数式kx-3y的值 始终不变，所以k-6=0.所以片=6. 23.(1)设甲、乙两种型号头盔每个的进货单价分别 是m元n元 根提层意得+0解得口故 答：甲、乙两种型号头盔每个的进货单价分别是45 元、60元. (2)①由题意，得w=(65-45)x+(70-60)(300 -x)=10x+3000(150≤x≤200).因为10>0，所以 w随着x的增大而增大.所以当x=200时，w取得最大 值，最大值为：10×200+3000=5000. ②由题意，得w=[65-(45+2a)]x+[70-(60- a)](300-x)=(10-3a)x+3000+300a(150≤x≤ 200). 当a<号时，随若x的增大而增大，当x=150时。 w取得最小值4200，即(10-3a)×150+3000+300a= 4200,解得a=2; 时，0=4000≠420，不符合题意； 当a=10 当a>9时，w随着x的增大而减小，当x=200时， 3 w取得最小值4200，即(10-3a)×200+3000+300a= 4200,解得a= (舍去)： 3 综上所述，a的值为2. 《数据的分析》专项练习 1.79:2.89:3.丁：4.10,2,2：5.B;6.2. 7.(1)128,128. (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大 于中等偏上的同学 (3)估计甲班平均分较高. 参考答案、 8.(1)80,86.(2)>. (3)因为七、八年级参赛学生成绩的平均数相同，七 年级参赛学生成绩的中位数较大，所以七年级参赛学生 的成绩较好 《数据的分析》复习检测卷 题号 2 6 7 8 9 10 答案 C 2 B 二、11.2；12.22.5；13.24；14.3b+2,9a 15.-1或3或9. 三、16.(1)小明家每天的平均用电量是6度. (2)小明家4月份的电费约为100.8元 17.(1)40,15. 鞋号为37号的学生人数为：40-6-12-10-4= 8(人)，补图略 (2)这组样本中的众数为35号；中位数为36号. (3)建议购买35号轮滑鞋：200×30%=60（双）. 18.由题意得，最小值为102，m25= 117+110 2 113.5,ms0 118+122 132+123 2 =120,m75 2 127.5,最大值为150.箱线图略. 四、19.号=号×[(35-25)2+(30-25)2+（23 -25)2+(17-25)2+(20-25)2]=43.6;2=5× [(27-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(24-25)2+ (23-25)2]=2.因为43.6>2，所以乙的光合作用速率 更稳定 20.（1)甲的得票分是：40×25%×2=20（分）： 乙的得票分是：40×40%×2=32（分）； 丙的得票分是：40×35%×2=28（分）. (2)甲的得分是：(75+90+20)÷3=185（分）： 3 乙的得分是：(80+80+32)÷3=64（分）： 丙的得分是：(84+80+28)÷3=64（分）. 因为64=64>1，所以无法确定人选 (3)甲的个人成绩是：75×40%+90×35%+20× 25%=66.5(分)： 乙的个人成绩是：80×40%+80×35%+32×25% =68(分)； 丙的个人成绩是：84×40%+80×35%+28×25% =68.6(分). 因为68.6>68>66.5，所以丙将被选中. 21.(1)6,8. (2)第二次测评的平均数c= 20×(5×3+6×2+7 ×2+8×6+9×3+10×4)=7.8. (3)该校组织体育活动能促进学生的阅读能力和认 知加工能力提高.理由如下： 从平均数来看：第一次测评和第二次测评平均数分 别为7.4和7.8，说明阅读能力和认知加工能力平均成绩 有了提高： 从众数来看：第一次测评和第二次测评众数分别为 6和8，说明阅读能力和认知加工能力众数有了提高； 从中位数来看：第一次测评和第二次测评中位数分 别为7和8，说明阅读能力和认知加工能力中位数有了提 高 五、22.（1)3.75,1.91,2.0. (2)B种树. (3)因为11÷5.6≈1.96，所以这片树叶更可能来 自于B种树. 23.(1)①92,4；②90. (2)x 91+88+90+91+90=90,=写[2 5 ×(91-90)2+(88-90)2+2×(90-90)2]=1.2: 89+90+90+90+9 0=89 5 8,2=[(89 -89.8)2+4×(90-89.8)2]=0.16. 因为丙的排序居中，所以x甲≥x丙≥x2.所以89.8 ≤与×(88+92+8+92+6)≤90.解得89≤长≤90， 当k=89时，=2=89.8，此时品=写2×(88 -89.8)2+2×(92-89.8)2+(89-89.8)2]=3.36, 此时甲、乙、丙三位选手的排序不合题意： 当=90时，=年=90，此时编=号2x(8 17 -90)2+2×(92-90)2+(90-90)2]=3.2,此时甲、 乙、丙三位选手的排序是甲、丙、乙 综上所述，甲的排序最靠前，k的值为90 《证明》专项练习 1.B:2.A;3.丙. 4.（1)假命题，反例：当k=1时，AB=3,BC=4,AC =6.所以AB2+BC2=25,AC2=36.所以AB2+BC2≠ AC2.所以△ABC不是直角三角形； (2)真命题，证明：原式=a2-4-a2+a=a-4. 因为a>4,所以a-4>0,即(a+2)(a-2)-a(a-1) >0.所以a>4时，(a+2)(a-2)-a(a-1)是正数 5.C. 6.因为CE平分∠ACD,所以∠ACD=2∠a.因为 AE平分∠BAC,所以∠BAC=2∠B.因为∠a+∠B= 90°，所以∠ACD+∠BAC=2∠a+2∠B=2(∠a+ ∠B)=180°.所以AB∥CD. 7.30°；8.90. 9.(1)因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°.因为 ∠ADG=35°，所以∠BDG=∠ADB-∠ADG=55°.又 因为∠C=55°，所以∠BDG=∠C.所以DG∥AC. (2)因为AD⊥BC,EF⊥BC,所以∠ADC=∠EFC =90°.所以AD∥EF.所以∠FEC=∠DAC.因为DG∥ AC,所以∠ADG=∠DAC.所以∠FEC=∠ADG. 《证明》复习检测卷 题号 3 6 8 9 10 答案 B B 二、11.如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两 个角相等：12.40°或140°：13.23：14.35°： 15.3或12或21或30. 三、16.(1)题设：一个整数的个位数是3，结论：这个 数一定能被3整除，此命题是假命题； (2)题设：两条射线是对顶角的平分线，结论：这两 条射线在同一条直线上，此命题是真命题， 17.因为∠1=∠2，所以AC∥DE.因为∠3+∠4= 180°，所以DE∥FG.所以AC∥FG. 18.因为DE⊥AC,所以∠AHE=90°.因为∠BAC =90°，所以∠BAC=∠AHE=90°.所以BA∥DE.所以 ∠ABD+∠BDE=180°.因为∠ABD+∠CED=180°， 所以∠BDE=∠CED.所以BD∥EC. 四、19.因为扶手AB与底座CD都平行于地面，所以 AB∥CD.所以∠BOD=∠ODC=32°.因为OE⊥OF, 所以∠E0F=90°.所以∠AOE=180°-∠EOF- ∠BOD=58°. 因为DM∥OE,所以∠AND=∠AOE=58°.所以 ∠AWM=180°-∠AND=122, 20.(1)有三个真命题，分别是：①②→③；①③→ ②：②③→①. (2)选择①②→③.证明：因为AB∥CD,所以∠B =∠DCF.因为∠B=∠D,所以∠D=∠DCF.所以DE ∥BF.所以∠E=∠F. 选择①③→②.证明：因为AB∥CD,所以∠DAB+ ∠D=180°.因为∠E=∠F,所以DE∥BF.所以∠DAB +∠B=180°.所以∠B=∠D. 选择②③→①.证明：因为∠E=∠F,所以DE∥ BF.所以∠DAB+∠B=180°.因为∠B=∠D,所以 ∠DAB+∠D=180°.所以AB∥CD. 21.(1)因为∠1=∠B,所以AB∥GD.所以∠2= ∠BAD.因为∠2+∠3=180°，所以∠BAD+∠3= 180°.所以EH∥AD. (2)因为EH∥AD,所以∠2=∠H.因为∠2= ∠BAD,所以∠H=∠BAD.因为AB∥GD,所以∠BAC =∠DGC=58°.所以∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+ ∠4=58°.因为∠H-∠4=10°，所以2∠H=68°.所以 ∠H=34 五、22.(1)45. (2)①因为∠BAE=50°，AB平分∠CAN,所以 ∠CAB=∠BAE=50°.因为∠ACB=90°，所以∠ABC =90°-∠CAB=40°. 因为BD∥MN,所以∠ABD=180°-∠BAE= 130°.所以∠CBD=∠ABC+∠ABD=170°.因为BE平 分∠CBD,所以 ∠EBD=子∠CBD =85. ②∠ABE的大小不变 设∠BAE=a.因为AB平分∠CAN,所以∠CAB= ∠BAE=a. 因为∠ACB=90°，所以∠ABC=90°-x.因为BD