第19期 二次函数 复习检测卷【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

初中数学湘教中考第19~22期 发评柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学湘教中考■ 第19~22期(2025年11月) 第19期 因为m>1,所以-m+1<0, 2 一、选择题 题号123456789 10 m2-2m+业=-4[(m-02+161<0, 4 答案B BDAC C DB D C 所以平移后的抛物线的顶点一定在第三象限. 提示： 二、填空题 8解：对于A,BC选项，由图知公>0， 11.y=(x-2)2+1;12.a<2;13.45;14.7; 故二次函数的对称轴：=一品<0。 15.18:166=-多：17,20米：18②8 提示： 故A,C错误： 17.解：根据题意，设抛物线的表达式为y=a(x-8)2+ 在一次函数y=名x+c中，令x=0,则y=c: 1.8, 将点B(0,1)代入，得1=64a+1.8, 在二次函数y=ax2+bx+c中，令x=0,则y=c, 即一次函数与二次函数交于y轴上的一点， 解得a=-80, 故D错误。 故选B. 所以抛物线的表达式为y-一如x-8)户+18 9.解：令y=0,则x2+x-2=0, 令y=0即-动(-8)2+18=0， 解得x1=-2,2=1, 所以抛物线与x轴的交点为(-2,0)，(1,0). 解得x1=20,x2=-4(不合题意，舍去) 所以C(20,0),所以0C=20米. 由题意，设M(m,m2+m-2)(-2<m<0), 所以水流喷射的最远水平距离为20米. 则MQ=-m, MP=-(m2+m-2)=-m2-m+2, 18解：因为抛物线的对称销为直线x。一会=1， 所以令四边形OPMQ的周长为L, 所以b=-2a. L=2(-m2-m+2-m) 因为x=-1时，y<0,即a-b+c<0, =-2(m2+2m-2) 所以a+2a+c<0,即3a+c<0, =-2(m+1)2+6. 所以①错误； 因为-2<0， 因为x=-1时，y<0,即a-b+c<0; 所以当m=-1时，L取最大值，为6 x=1时，y>0,即a+b+c>0, 10.解：抛物线y=x2+(m+1)x+m向下平移4个单位后 所以(a-b+c)(a+b+c)<0, 的表达式为y=x2+(m+1)x+m-4, 即(a+c)2-2<0, 因为平移后的抛物线经过点(1，y),且y1>0, 所以②正确； 所以y1=1+(m+1)×1+m-4 =2m-2>0, 因为=3时，y>0,即g+名b+e>0, 即m>1. 所以a+3b+9c>0, 因为对称轴是直线x=-m+1 所以③正确： 2， 设抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为x,x,(x,< 所以把x=-”士代人y=+(m++m-4,得 x2), y=-m2-2m+17 则-1<x<0,2<x2<3, 4 所以x1<x<x2时，ax2+bx+c>0, m+1,-m-2m+17 而当-1<x<x1时，a2+bx+c<0, 所以平移后的顶点坐标为 2 4 所以④错误； 初中数学湘教中考第19~22期 综上，②③正确. 三、解答题 所以火箭运行的最高点为如 19.解：(1)y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5, 由题意，得片-135=24(km),则-古2+x=24, 因为-2<0，所以该抛物线的开口向下，对称轴为直线 解得x1=12(舍去)，x2=3. x=1,顶点坐标为(1,5) (2)因为抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1, 对于y=-3+66,当x=9时，y=3.6>24, 所以当x>1时，y随x增大而减小；当x<1时，y随x增 大而增大. 所以当)=24时，即-子+66=24，解得x=126 20.解：(1)由题图可知，二次函数的图象经过点(-2,0)， 因为12.6-3=9.6(km), (4,0),将(-2,0)，(4,0)分别代入二次函数表达式，得 所以这两个位置之间的距离为9.6km r4a-2b+4=0, (2)当水平距离为18km时，由题意，得火箭第二级的引发点 L16a+4b+4=0, 为(9,81a+9), 1 解得 =-2, 将(9,81a+9),(18,0)代入y=-子+6，得 Cb=1, 所以二次西数的表达式为y=一子++4 [81a+9=-分x9+6 rb=6. 解得 2 0=-3 ×18+b, a=- (2)由图象可知，不等式ax2+bx+4>0的解集为 27 -2<x<4. 2 21.解：(1)将点(2,3)代入y=x2-2mx+m+2, 所以-27<a<0 解得m=1, 24.解：(1)把A(-1,0)和C(0,-3)分别代人y=x2+mx+ 所以二次函数的表达式为y=x2-2x+3=(x-1)2+2, ,得1-m+n=0 解得m=-2, 所以顶点坐标为(1,2). ln=-3, ln=-3, (2)把B(2,a),C(5,b)分别代入二次函数表达式，得 所以抛物线的表达式为y=x2-2x-3. a=6-3m,b=27-9m. 令y=0,则x2-2x-3=0,解得1=-1，x2=3, 因为a>b,所以6-3m>27-9m, 所以点B的坐标为(3,0). 解得如>子 (2)设直线BC的表达式为y=x+b. 把B(3,0),C(0,-3)分别代入y=x+b,得 故城m>子 [必+60解得=山 1b=-3, 1b=-3, 22.(1)证明：令x2-mx-3=-x,整理，得 所以直线BC的表达式为y=x-3. x2+(1-m)x-3=0. 设P(a,a2-2a-3)(0<a<2), 因为4=(1-m)2+12>0, 则Q(a+1,a2-4),M(a,a-3),N(a+1,a-2), 所以该函数图象上一定存在两个“M点”. 所以PM=-a2+3a,QN=-a2+a+2, (2)解：设y=x2+(1-m)x-3, 所以PM+QN=-2a2+4a+2=-2(a-1)2+4. 则x1,x2是x2+(1-m)x-3=0的解， 因为-2<0， 所以函数y=x2+(1-m)x-3的图象与x轴相交于点 所以当a=1时，PM+QN有最大值4， (x1,0),(x2,0) 此时a+1=2,a2-4=-3, 因为该函数图象开口向上，且：<1<x2, 所以点Q的坐标为(2，-3). 所以当x=1时，y<0,即1+1-m-3<0, 25.解：(1)因为抛物线C和C2都过点A(-3,0),B(3,0), 所以m>-1. 所以设C1和C,的表达式分别为y=a,(x-3)(x+3), 23.解：(1)①因为火箭第二级的引发点的高度为3.6km, y=2(x-3)(x+3). 所以抛物线y=a2+x和直线y=-了+6均经过点(9。 因为抛物线C经过D(0,-3), 3.6), 所以将D(0,-3)代人y=a,(x-3)(x+3)中， 所以3.6=81u+9,3.6=-3×9+6, 解得4=子 解得a=-5b=66, 则G的表达式为y=子-3(-3≤≤3). 因为抛物线C2经过C(0,1), 所以函数表达式分别为y=-5式+x,y=-3+66 所以将C(0,1)代人y=a2(x-3)(x+3)中， ②)知y=-5+=-5(-)+ 1 解得42=-9： 初中数学湘教中考第19~22期 则C的表达式为y=-g2+1(-3≤≤3) 6.解：(1)连接AC,BD. 因为∠A0B=90°，C,D为AB的三等分点， (2)对于Gy-3-3. 所以LA0C=了LA0B=39 当炒菜锅里的水位高度为1dm时， 因为OA=OB. y=-2.即}-3=-2. 所以∠0AB=∠0BA=45°. 解得x=±√5， 因为∠AOC=∠B0D=30°， 则此时水面的直径为23dm 所以∠AEC=∠OAB+∠AOC=75° (3)锅盖不能正常盖上，理由如下： (2)证明：因为0A=0C,∠A0C=30°， 当=1时，对于Cy=号xP-3=- 所以∠ACE=75, 3 所以∠ACE=∠AEC,所以AC=AE. 对于Cy=-)xP+1=8, 同理可证BF=BD. 因为8-(）=8+=8<36 因为C,D是AB的三等分点， 所以AC=CD=BD 所以锅盖不能正常盖上. 所以AE=BF=CD. 26.解：(1)设AB=acm ◆2.3垂径定理 当0≤t≤2时，PB=(a-t)cm,BQ=2tcm, 1.C;2.C; 所以s=PB:B0=a-)21=-f+ar 3.答案不唯一，大于等于4小于5即可，如4.2；4.1.3. 重点集训营 因为抛物线经过点(2,2)， 所以a=3,所以S=-2+3t. 1.60°；2.35；3.7. 因为AB=3cm,所以t≤3. 4.解：(1)四边形ABED是矩形，理由如下： 当2<t≤3时，PB=(3-t)cm,BC=4cm, 因为CD是⊙O的直径， 所以S=PB·BC=23-)4=-21+6, 所以∠CED=90°，所以∠BED=90°. 因为AD∥BC,所以∠ABC+∠A=180° s=94 因为∠A=90°，所以∠ABC=90°， 所以四边形ABED是矩形. (2)在二次函数S=-2+3(0≤t≤2)中， (2)因为∠A=90°，∠ABD=30°， 当S=子时即-+3=子 所以BD=2AD=6. 因为2DF=BF,所以BF=4,DF=2. 解得4=分4=（合去）。 因为四边形ABED是矩形， 在一次函数S=-2t+6(2<t≤3)中， 所以∠FDE=∠ABD=30, 当S=子时，即-2+6=子 ,解得1=19 所以∠FCE=∠FDE=30°. 81 因为CD是⊙O的直径，所以∠CFD=90°， 所以在≤1≤号时，△P80的面积不小于子m 所以∠BFC=90°，所以BC=8,CF=43, 20期2版 所以CD=√CF+DF=2√13， 2.1圆的对称性 所以⊙0的半径是3. 1.A;2.B;3.C;4.内；5.36 20期3版 6.解：连接0B,如右图. 一、选择题 因为AB=OC,OB=OC, 所以AB=BO,所以∠EAD= 题号12345678910 ∠2. 答案DB BA D C D BC C 所以∠1=∠2+∠EAD= 提示： 2∠EAD. 9.解：设圆心为O,连接OB.如图1. 又因为OE=OB. 所以∠1=∠E,所以∠E=2LEAD R△0BC中，BC=号AB=8em, 所以∠EOD=∠E+∠EAD=3∠EAD=81°， 根据勾股定理，得OC2+BC2=OB, 所以∠EAD=27°. 即(0B-4)2+82=0B2, 2.2圆心角、圆周角 解得OB=10. 1.D;2.C;3.A;4.120°；5.24. 故轮子的半径为10cm. 初中数学湘教中考第19~22期 所以AD的最小值为√29-2. 三、解答题 19.证明：因为OA=OB,AD=BE. 所以OD=OE. 又因为CD=CE,OC=0C, 所以△OCD兰△OCE, 图1 图2 所以∠COD=∠COE, 1O.解：延长AC交⊙0于点D.连接BD,过点B作BE⊥AD于 点E,如图2. 所以AC=BC, 因为劣弧沿弦AB翻折，AD与翻折后的弧交于点C,而BC和 即C为AB的中点. 20.证明：因为AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点， BD都对应∠BAD, 所以AB⊥CD, 所以BC=BD,所以BC=BD=1. 所以AD=AC,所以∠B=∠F 因为BE⊥CD,所以CE=DE. 因为CF∥BD,所以∠AGF=∠B, 因为AD为直径，所以∠ABD=90. 所以∠AGF=∠F,所以AG=AF, 在Rt△ABD中， 21.证明：取BC的中点F,连接DF,EF AD=√BD+AB-√P+22=5. 因为BD,CE是△ABC的高， 因为BE·AD=4B·BD, 所以△BCD和△BCE都是直角三角形， 所以DF,EF分别为Rt△BCD和RL△BCE斜边上的中线， 所以BE=2X1、25 所以DF=EF=BF=CF, 5 5 在RL△BDE中， 所以E,B,C,D四点在以F点为圆心，2BC为半径的圆上. 5 22.解：因为AB是直径，所以∠ACB=∠ADB=90°. DE=BD-BE=√1P- 在RL△ABC中，AB=10cm,AC=6cm, 所以CD=2DE=25 所以BC=√AB-AC=8(cm. 5 因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD, 所以AC=AD-CD=5-25_35 5 5 所以AD=DB,所以AD=BD. 二填空题 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD+BD2=AB, 11.4条；12.4；13.12；14.55°；15.50°： 所D=m=√受=55am. 16.70°或110°；17.8；18.29-2. 所以S网边形ACBD=S△ABc+S△ABD 提示： 17.解：标点、连线如图3所示.由题意可 =方x6x8+7×5ix5万=49(cmi 知AB=32cm,锅盖直径为40cm,OC⊥AB, 23.解：(1)因为点D是弧AC的中点， 所以A0=B=16em, 所以AD=C⑦ A0=0C=20cm,∠AD0=90°， 所以∠DAC=∠DCA=35°， 所以∠D=180°-∠DAC-∠DCA=110° 所以0D=√A0-AD=√20-16 图3 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形， =12(cm), 所以∠B=180°-∠D=70° 所以CD=0C-0D=20-12=8(cm), 因为AB=AC, 所以锅盖最低点C到AB的距离是8cm. 所以∠ACB=∠B=70°， 18.解：连接DC,如图4. 所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40° 因为CE为⊙F的直径， (2)连接OA.因为AB=8, 所以∠CDE=90°，所以∠CDB= 所以AB=AC=8. 90°. 因为点D是弧AC的中点， 因为BC=4, 所以OD⊥AC, 所以动点D在以BC中点O为圆心， 图4 2为半径的圆上运动， 所以∠ABD=∠AB0=0,AE=BC=4C=4 当A,D,O三点共线时，AD取最小值.连接AO, 在Rt△ADE中， 因为A0=√52+2=√29， AD=5,由勾股定理，得DE=√AD-AE=3. 初中数学湘教中考第19~22期 设⊙0的半径为r. 因为四边形ABCD是圆内接四边形， 在Rt△AEO中，由勾股定理，得 所以∠ADC+∠ABC=180°， A0=AE2+0E,即2=4+(r-3)2, 所以∠ABC=120°，所以∠FBC=60°， 解得r=25 6, 所以LFCB=90°-0=30°，所以FB=2BC 所以0D的长为名 因为BF=2,所以BC=4,所以BD=2BC=8. 24.解：(1)因为BC是⊙0的直径，所以∠BAC=90 因为BD是直径，所以此圆半径的长为)BD=4 因为AB=2,∠ACB=30°， 21期2版 所以BC=2MB=4,所以0B=0C=BC=2 2.4过不共线三点作圆 1.C;2.C;3.A; (2)因为∠BAC=90°，∠ACB=30°， 所以∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°. 45:5(43:65 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 2.5直线与圆的位置关系 所以∠D=180°-∠B=120°. 1.C;2.D;3.C;4.A; 因为点D为AC的中点，所以AD=CD, 5.60；6.1<d<5;7.10;8.35° 所以∠DAC=∠C1=2(180-∠D)=30 9.证明：连接0C,因为OA=0C,所以∠0AC=∠0CA. 因为AC平分∠EAB, 25.解：(1)连接E0,设⊙0半径为m 所以∠OAC=∠CAE, 因为BG1AB,所以CE=6G=G=4 所以∠CAE=∠OCA, 所以OC∥AE. 因为AC=2,所以0C=r-2. 因为AE⊥CE, 在Rt△CEO中，由勾股定理，得 所以OC⊥CE, 0E2=CE2+0C2,即r2=42+(-2)2,解得r=5, 因为0C是半径， 所以⊙0的半径为5. 所以CE是⊙O的切线. (2)证明：连接0OE,OF 10.解：(1)由切线长定理可知，DC=DA,EC=EB,PA=PB, 因为AC=BD,OA=OB, 则△PDE的周长为PD十DE+PE=PD+DC+EC+PE= 所以OC=OD. PD DA EB PE PA PB 2PA 12, 因为EG⊥AB,FH⊥AB,所以∠OCE=∠ODF=90°. 所以PA=6. 在Rt△COE和Rt△DOF中， (2)连接OA,0B,0C, 因为0C=OD,0E=OF, 则∠DOC=∠DOA,∠COE=∠BOE. 所以Rt△COE≌Rt△DOF, 所以∠AOB=∠DOC+∠COE+∠DOA+∠BOE 所以∠AOE=∠BOF, =2(∠D0C+∠COE) 所以AE=BF =2∠D0E 26.(I)证明：因为∠BAC=∠ADB,所以AB=BC, =144°. 在四边形PAOB中， 所以∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. 因为∠PA0=∠PB0=90°，∠AOB=144°， (2)解：因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD, 所以∠APB=36. 所以AD=CD, 重点集训营 所以AB+AD=BC+CD,即BAD=BCD, 1.(1)解：连接OP,作OP的垂直平分线交OP于点O',以O'为 所以BD是直径，所以∠BAD=90°. 圆心，O'P为半径画圆，连接PE,PF即可.图略. (3)解：因为CF∥AD,所以∠F+∠BAD=18O. (2)证明：连接OE,OF, 因为∠BAD=90°，所以∠F=90° 因为OP为直径， 因为AD=CD,所以AD=DC. 所以∠PE0=∠PF0=90°， 即OE⊥PE,OF⊥PF 因为AC=AD,所以AC=AD=CD, 因为OE,OF是⊙0的半径， 所以△ADC是等边三角形，所以∠ADC=60°， 所以PE,PF是⊙O的切线. 因为BD平分∠ADC,所以∠CDB=∠ADC=30 2.(1)证明：连接OD, 因为BD是⊙O的直径， 因为AB为⊙0的直径， 所以∠ACB=∠ADB=90° 所以∠BCD=90°，所以BC=2BD 因为∠ACB的平分线交⊙O于点D, 初中数学湘教中考第19~22期 所以∠ACD=∠BCD=45°， 由题意知FO+FD=PQ,且FO+FD≥OD 所以∠DAB=∠ABD=45°， 当点F,O,D共线时，F0+FD有最小值，即PQ有最小值， 所以△DAB是等腰直角三角形 此时P0=0D=04:0B=2x9=72.2 因为OA=OB,所以OD⊥AB, AB 15 所以∠ODB=45° 二填空题 因为∠BDE=∠DCE,∠DCE=45°， 11.4:12.相交或相切：13.40°；14.4：159： 所以∠BDE=45°， 16智：n2；189 所以∠ODE=90° 提示： 因为OD是⊙0的半径， 所以DE是⊙O的切线. 17.解：设AD与DM交于点E, 则∠AED=∠BAC=90°，ME=DE. (②)解：因为⊙0的半径为， 因为DN∥AB, 所以AB=5. 所以∠EDN=90°，MA=AN 因为AC=4,所以BC=√AB-AC=3. 连接DA,则AD=号MN, 因为△DAB为等腰直角三角形， 当AD⊥BC时，AD有最小值，则MN有最小值， 所以m=号B=号 因为∠ABC=30°，BC=4, 2 所以AB=25, 过点B作BF⊥CD于点F, 则△BCF为等腰直角三角形， 所以在Rt△ABD中，AD=3, 所以=c-号c-32 即MN=2AD=23, 21 即MN的最小值为23. 在 RL△DBF 中，DF BD -BF 18.解：连接OE,OD,过点C作CH⊥AD,垂足为点H, 因为AD是⊙O的切线， √(2）-( =22 所以OA⊥AD, 所以CD=CF+DF=35+22=75 所以∠OAD=90°. 2 2 AD DE. 因为∠BDE=∠DCE,∠E=∠E, 在△AD0和△ED0中，{D0=DO, 所以△BDE∽△DCE, 0A OE, 所器能0 所以△ADO≌△EDO(SSS), 所以∠OED=∠OAD=90°， 所BE=号DE,CE=子DE 所以OE⊥CD, 又因为0E是⊙0的半径， 因为CE=BC+BE, 所以CD是⊙O的切线. 所以3+马0E=子E。 因为BC是⊙0的切线， 第得优-空 所以OB⊥BC, 因为CH⊥AD,OB⊥BC,OA⊥AD, 21期3版 即∠OBC=∠BAH=∠CHA=90°， 一、选择题 所以四边形HABC是矩形， 题号123456 78910 所以CH=AB=12,AH=BC=4, 则DH=AD-AH=AD-4. 因为CD,BC,AD都分别是⊙O的切线， 提示： 所以CE=BC=4,AD=DE, 1O.解：设QP的中点为F, 所以CD=DE+CE=AD+4. 因为在△P0Q中，∠P0Q=90°， 因为∠CHD=∠CHA=90°， 所以F为圆心 又圆F与AB的切点为D, 在Rt△DHC中，Df+CR=CD 即(AD-4)2+12=(AD+4)2, 连接FD,OF,OD,则FD⊥AB. 因为A(12,0),B(0,9), 解得AD=9. 所以A0=12,B0=9, 三、解答题 19.解：在圆弧内作两条弦AB,BC,分 所以AB=VA0+B0=√12+9=15. 别作出AB,BC的中垂线，交于点O,以点O 图 初中数学湘教中考第19~22期 为圆心，OA的长为半径作圆，如图1，⊙0即为所求 所以AD=BD 20.证明：连接0D, 所以∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD. 因为AC是⊙0的直径， 因为∠DAI=∠DAB+∠BAL,∠DIA=∠ACI+∠CAI, 所以∠ABC=90°. 所以∠DAI=∠DIA,所以DI=DA=DB. 因为BD平分∠ABC, 24.证明：(1)连接0D,OB,AC, 所以∠DBE=45°， 因为⊙O经过菱形ABCD的顶点B,D, 所以∠D0C=2∠DBE=90° 所以AC过点O,AD=DC=BC=AB,∠DAO=∠BAO, 因为DE∥AC, ∠DCO=∠BCO. 所以∠ODE=∠D0C=90°. 因为OD是⊙0的半径， 又因为OD=OB, 所以DE是⊙O的切线 所以△AOD兰△AOB, 21.证明：连接BD, 所以∠ADO=∠ABO 因为AB为⊙0的直径， 因为AB与⊙0相切， 所以∠ADB=90, 所以∠AD0=∠AB0=90, 所以∠BDC=90° 又因为0D是⊙0的半径， 因为∠ABC=90°，0B为⊙0的半径， 所以AD与⊙O相切. 所以BC为⊙O的切线. (2)连接0F,OE,在△DOC和△BOC中， 因为DE为⊙O的切线，所以DE=BE, 因为DC=BC,∠DC0=∠BCO,OD=OB. 所以∠EBD=∠EDB. 所以△DOC≌△BOC, 又因为∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°， 所以∠ODF=∠OBE. 所以∠DCE=∠CDE,所以DE=CE, 因为OD=OF=OB=OE, 所以DE=BC 所以∠ODF=∠OFD=∠OBE=∠OEB, 所以∠DOF=∠BOE, 22.(1)证明：因为AB为⊙0的直径， 所以DF=BE. 所以∠ADB=90°， 25.证明：(1)设P0和AB相交于点F, 所以∠DBA+∠DAB=90. 因为PA和PB是⊙O的切线， 因为∠E=∠DAB,∠ACB=∠BED, 所以PA=PB,PO平分∠APB, 所以∠DAB=∠ACB, 所以AF=BF 所以∠DBA+∠ACB=90°， 又因为0A=0C, 所以∠CAB=90°，所以CA⊥AB. 所以OF是△ABC的中位线， 因为OA是⊙0的半径， 所以OF∥BC,即BC∥OP 所以AC是⊙0的切线. (2)解：连接AE, (2)如图2，连接AE,BE, 因为点E是弧AB的中点， 因为PA是⊙O的切线， 所以∠OAP=90°， 所以BE=AE, 所以∠OAE+∠3=90°. 所以BE=AE. 因为PA和PB是⊙O的切线， 因为AB是⊙O的直径， 所以PA=PB,PO平分∠APB, 所以∠AEB=90°， 图2 P0⊥AB, 所以△AEB是等腰直角三角形， 所以∠1+∠2=90°. 所议BE=号B=1 因为04=0E, 23.解：(1)因为AB是⊙0的直径， 所以∠OAE=∠2， 所以∠ADB=∠ACB=90°. 所以∠1=∠3， 又因为∠ABC=25°， 所以AE平分∠PAB. 所以∠CAB=90°-25°=65. 又因为PO平分∠APB, 因为四边形ABEC是⊙O的内接四边形， 所以点E是△ABP的内心. 所以∠CEB=180°-∠CAB=115°， 26.解：(1)由题意知，AP=tcm,BQ=2tcm, (2)DI=DA=DB,理由如下： 则BP=(6-t)cm, 连接AI,因为点I为△ABC的内心， 因为5n=P0=号6-)2=8， 所以∠CAI=∠BAL,LAC=∠BCI=∠ACB=45°， 解得t=2或t=4, 初中数学湘教中考第19~22期 故当运动时间为2秒或4秒时，△BPQ的面积等于8cm2. 60°， (2)如图3，设切点为E,连接PE. 所以∠B'0C=180°-∠B'0C'-∠B0C=60°， 由题意，得⊙P分别与AD,BD相切， 所以∠B0B'=∠B'OC+∠BOC=120° 所以AD=DE=8cm,PE⊥BD. 又因为AB=2cm,所以B0=1cm, 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=10cm, 所以BE=BD-DE=2cm. 所以c0=C0=专60=方m 1 因为AP=PE, 图3 所以S扇形BB= 120°×π×12 =(m), 所以PE=tcm,PB=(6-t)cm. 360° 在R△PEB中，由勾股定理，得(6-t)2=2+22, 120°xmx(3P 第得1等 S扇形0c= 360° =(m). (3)①由题意知⊙Q不与AB,BC相切， SE=Sag-Se=号-5=平(em), 如图4，当⊙Q与AD相切时，设切点为E,连接QE, 2.7正多边形与圆 则QE⊥AD,QE=PQ, 1.C:2.C:3.90°；4.36°；5.9. 所以四边形ABQE是矩形， 6.解：设AB与⊙0相切于M,AD与⊙0相切于N,BC与⊙0 所以QE=AB=PQ. 相切于P, 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得62=(6-t)2+(2t)2, 解得1=0政号 连接0E,OF,OM,OV,OP, 则∠E0F=90°，OM⊥AB,ON⊥AD,OP⊥BC, 所以四边形AMON,OMBP是矩形， D 所以AM=ON,BM=OP. 设⊙0的半径为r,所以EF=√OE2+OF=2r,AM=ON =r,BM =OP =r, 所以AB=AM+BM=2r, 图4 图5 所以图中空白部分与阴影部分面积的比值为2'-(2 如图5，当⊙Q与DC相切时，则PQ=QC, (2r)2 在Rt△PQB中， =1. 由勾股定理，得(6-t)2+(2)2=(8-2t)2, 重点集训营 解得t1=-10+82,2=-10-82(舍去). 1 3m;2a;3.12 综上，当：的值为0或号或-10+8万时，©0正好与四边形 22期3版 ABCD的一边（或边所在的直线）相切. 一、选择题 ②当1=0时，如图6所示，⊙Q与四边形DPQC有两个公共 题号1234 5678910 点； 答案CC B D CC CC BA D 提示： 9.解：如图1，设矩形为ABCD,连接 A(P B(O AC,BD,AC与BD相交于点O, B 则0为圆心 图6 图7 由题意，得CD=2m,AD=23m, 如图7所示，当⊙Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两个 ∠ADC=90°， 图 公共点，则QD=PQ. 所以AC=√CD+AD=4m, 在Rt△PBQ和Rt△DCQ中， 所以0C=2m, 由勾股定理，得(6-t)2+(2)2=36+(8-2t)2, 所以OC=OD=CD, 解得t1=-10-2④红（舍去），42=-10+2√4， 所以△OCD为等边三角形， 所以∠AOB=C0D=60°， 所以当0<t<-10+2√41时，⊙Q与四边形CDPQ有三个 公共点. 所以改建后门洞的圆弧长为300：×2_10▣， 180 3m. 故填0<t<-10+2√4. 10.解：如图2，设圆的圆心为0，连接0C, 22期2版 OD,过点O作OM⊥CD于点M. 2.6弧长与扇形面积 1.B;2.D;3.C;4.D; 由题意，得∠C0D=360° =60°，0C= 6 56；64-m:7.8m;88+4m:93元+9 OD. 设0C=0D=CD=a. 10.解：由旋转的性质，得S△rcw=S△Cw,LB'OC'=∠BOC= 因为OM⊥CD, 图2 初中数学湘教中考第19~22期 所以CM=DM= 所以△COB是等边三角形， 2, 所以OC=OB=6cm, 所以OM=√OC2-CM= 2, 即⊙0的半径R=6cm. 因为0C=0B=6cm,0G⊥CB /31 2 所以So=m×0f=m×(2a）=4ma, 3 所以CG=BG=3cm, 在Rt△C0G中，r6=0G=√0C2-CG2=33(cm) 所以黑色部分的面积为2× 3 4 ma= 3 8ma2. 所4=68am=6×7×6x35=545(m), 因为SE大边形cB=6×2CD.0M=3Xa× 35 24 2 20.(1)证明：因为CD⊥AB,CD是直径， 所以图中黑色部分的面积与正六边形ABCDEF的面积之比 所以AD=BD, 3 是8a 所以∠ACD=∠BAD. =3m×2 = 3π (2)解：连接OA,OB,BC. 835-12 因为CD⊥AB,CD是直径，所以AD=BD 二、填空题 所以∠ACD=∠BCD=30°， 12:2m:13g;4三十四：15 5:16.12: 所以∠ACB=60°， 所以∠AOB=2∠ACB=120°， n9-22a 所以MB的长=20×3=2m 3 2 180 提示： 21.解：(1)连接OE,0D, 17.解：如图3，连接OC,AC,过点0 因为∠BAC=45°，0OA=OE. 作OD⊥AC于点D. 所以∠AE0=∠BAC=45°， 根据题意，得OA=OC=AC=1, 所以∠AOE=90°. 所以△OAC为等边三角形， 因为OA=0E=3cm, 所以∠OAC=60°， 图3 所以AE=32+32=32(cm), 0D=0A·sin60= 2 所以CE=6-32(cm). 所以SD=2(S形0ac-S△oac） (2)因为OD=OB,所以∠B=∠ODB, 因为AB=AC,所以∠B=∠C, 、=2×(60m×12、)×1×3) 360 2 所以∠C=∠ODB, 所以OD∥AC, 所以∠E0D=∠AE0=45°， 由旋转的性质，得“五叶花瓣”的面积为 所以5的长为3=子。 4(em). 5x(骨9)=管9 22.解：(1)BP与半圆A相切.理由如下： 18.解：如图4，设圆心为0，连接OA, G 连接PA.因为AB为半圆O的直径， OB,OD, 所以∠APB=90°，即AP⊥BP. B A OB AB AD OD =3, 又因为PA为半圆A的半径， D 所以△AOB和△AOD,是等边三角 所以BP与半圆A相切. B 形， (2)连接PO,易得△PAO为等边三角形， 所以∠OAB=∠OAD1=60°， 所以A0=OP=PA=2,∠PA0=∠P0A=60°. 图4 所以∠BAD,=120°， 所以S阴形=S形P0+S形mA-S△mA 所以∠BAB,=∠BAD,-∠B,AD,=30°， -60·π2+60·π2-1 360 360 ×2×5 所以弧BB,的张=弧B,B,的长=30×3=T 180 21 弧B,B,的长=30m×32-2 180 2 T. 23.(1)证明：连接AE,AD,AC, 因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形 故点B运动的路径长为2+，②)▣ 2 所以EF=ED=CD=BC, 三、解答题 所以ER=-ED=CD=BC, 19.解：连接OB, 所以∠FAE=-∠EAD=∠DAC=∠CAB, 因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， 所以过顶点A的三条对角线四等分∠BAF, 所以∠C0B=60°，OC=0B, (2)解：过O作OG⊥DE于G,连接OE, 初中数学湘教中考第19~22期 设⊙0的半径为r, 因为∠D0E=30°=60°，0D=0E=r, ②作0M⊥BC于H,则CH=2BC=3 6 在Rt△0CH中，因为∠C=30°， 所以△ODE是等边三角形， 所以DE=OD=T,∠OED=60°， 所以0H=之C0.C0=0f+HC. 所以∠E0G=30°， 所以0H=5,0B=0C=23, 所以EG=2· 1 所以Sa-2Bcx0H=35, 所以0G=VOE-EG= 60 2, S形0ns=300m×(25)2=2, 所以正六边形ABCDEF的面积为6× 1 -35, 所以S形=SAx+S期形=35+2元 2 2 26.(1)证明：因为CD=CD,所以∠CAD=∠DBC 因为⊙0的面积为2， 因为∠DAB=∠CBA,所以AC=BD,∠CAD+∠DAB= ∠DBC+∠CBA,即∠CAB=∠DBA. 9 21 rAC BD. 在△CAB和△DBA中，{∠CAB=∠DBA, 24.(1)证明：连接AD,因为AB是⊙0的直径， ABAB, 所以∠ADB=90°， 所以△CAB兰△DBA. 因为TD=BD,所以AD垂直平分BT,所以AB=AT. (2)解：①如图5，当点C与点A重 D 因为AT是⊙O的切线， 合时，连接OD,OM,过点M作ME⊥AB 所以∠BAT=90°， 于点E,线段ME的长度即为点M到AB 所以△ABT是等腰直角三角形， A(C) 的距离。 所以∠ABT=∠ATB=45°. 因为直径AB=6,弦CD=3, 图5 (2)解：过点E作EH⊥AB于点H,连接OE,OD, 所以OC=OD=CD=3, 因为TD=BD,OB=OA, 所以△COD是等边三角形 所以OD是△BTA的中位线， 因为M是CD的中点，所以CM= 3 所以OD∥TA. 2.OM L CD, 因为AB⊥TA,所以OD⊥AB. 因为E为AD的中点， 所以0M=Voc-C=33 2 所以∠D0B=LA0E=7∠A0D=45, 所以E=Von-0E-√厚-0F, 因为⊙0的半径：=24B=1, 所以当OE最大时，ME最小，而当C与A重合（或D与B重合） 时，0E最大 所以庞的长为5=子 因为△COD是等边三角形，M是CD的中点， 所以∠M0C=30°， 因为△OEH是等腰直角三角形， 所以EH=OH=号， 所以E=0M=39 4 所以S能=Sam+See-Sowe-4+g2迈 即点1到B的距离的最小值是3,3 4 8 D 25.(1)证明：连接OB,因为AB=BC, ②如图6，由①知0M=33 2, 所以∠C=∠A=30°. 所以点M的运动轨迹是以点O为 因为0B=OC,所以∠OBC=∠C=30°， 圆心，9为牛径. A(C 所以∠AOB=2∠C=60°， 图6 所以∠OBA=180°-∠A-∠A0B=90°， 当C与A重合时，∠AOM=30°，同理，当D与B重合时， 所以OB⊥AB. ∠B0M'=30°， 因为OB是⊙0的半径， 所以∠MOM'=120°， 所以AB是⊙O的切线. (2)解：①在Rt△OAB中，∠A=30°， 所以0B=子40,40=0B+A 所以点M的运动路径长为130 故填3π. 又因为AB=6,所以0B=23, 所以BD的长为60m×25_23m 180 3 10■主管单位：山西师范大学 ■出版单位：数理报社 数理报® 初中数学 第19 期 总第1163期 ■主办单位：山西师大教育科技传媒集团 ☐社长：徐文伟 湘教中考 2025年11月6日 星期四 ■国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 密 封 线 17 A.y2 y1 >y3 P07 C:3-R(12-46) A.2 P.35 C:40 好(15.100)。回店否(m.-224)在原就助s是。nlm D. En：8米(c.Va·(的.t(小丛ia含wee A.y =x(18 -4x) 8.27 B.ks B12 【机助热y-32-2的城质店前福 a2> A.(-2.2)6:(0.-2)c.(0.2) D.3-128-29 B:Y18(18-26 专帮山K120%件91209) 《二次国级)量社培训县 D47 D.2.2) 咽 8.一次函数y=5x+c(ab≠0)与二次函数y=ax+ bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 9.如图3，M是抛物线y=x2+x-2 在第三象限部分上的一点，过点M向x轴 和y轴作垂线，垂足分别为P,Q,则四边形 OPMQ周长的最大值为 A.1 B.2 C.4 D.6 图3 10.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+(m+1)x+ m向下平移4个单位长度后经过点(1，少)，且y1>0,则平移 后的抛物线的顶点一定在 ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2-k的 形式为 12.二次函数y=（a-2)x2-5x+7有最高点，则a的取 值范围是 13.从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球 的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关 系式是h=30t-52(0≤t≤6)，则小球运动中的最大高度 是 m 14.若抛物线y=ax2+bx-4经过点(1,3)，则a+b= 15.已知某直角三角形的两条直角边的和等于12，则该 直角三角形面积的最大值是 16.已知M(x1y1),N(x2,y2)是抛物线y= +r+3 上任意两点，若对于任意1<x1<2,2<x2<3,都有y1<y2, 则b的取值范围为 17.如图4，一个移动喷灌架喷 ↑y/米 射出的水流可以近似地看成抛物线，1.8 喷水头的高度（即OB的长度）是1 米.当喷射出的水流距离喷水头8米 8 时，达到最大高度1.8米，则水流喷 Cx/米 图4 射的最远水平距离为 18.已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图5所示，其对称轴是直 线x=1,下列结论：①3a+c>0;②(a+ c)2<b2;③a+3b+9c>0;④若-1< -10123衣 x<2,则ax2+bx+c>0,其中正确的结 图5 论有 (填序号) 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19.(6分)已知二次函数y=-2x2+4x+3. (1)求该函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当x为何值时，y随x增大而减小？当x为何值时，y随 x增大而增大？ 20.(6分)图6是二次函数y=ax2+bx+4的图象. (1)求二次函数表达式； (2)根据图象直接写出关于x的不等式ax2+bx+4>0 的解集 图6 21.(8分)已知二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常 数)的图象是抛物线. (1)若图象经过点(2,3)，求m的值和图象的顶点坐标； (2)若点B(2,a),C(5,b)在抛物线上，且a>b,则m的 取值范围是 22.(8分)我们规定：在平面直角坐标系中，若一个点的 横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“M点”.如P(2, -2)就是“M点”.已知二次函数y=x2-mx-3. (1)求证：该函数图象上一定存在两个“M点”； (2)若这两个“M点”的横坐标分别是x1,x2,且x1<1< x2,求m的取值范围. 23.(9分)某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运 行过程.如图7所示，在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直 于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径 包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径为抛物线y= ax2+x,当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的 第二级，火箭第二级沿直线y=-了+b运行. (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km, ①求两段路径所在函数的表达式； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的 最高点低1.35km,求这两个位置之间的距离； (2)当火箭落地点与发射点的水平距离超过18km时， 求a的取值范围。 ↑y/Λkm (火箭第二级的引发点) (地平线) 9 (落地，点)xkm 图7 24.(9分)如图8-①，已知抛物线y=x2+mx+n与x 轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C(0,-3) (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)如图8-②，点P,Q为直线BC下方抛物线上的两 点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴， 交BC于点M,过点Q作QN∥y轴，交BC于点N.求PM+QN 的最大值及此时点Q的坐标. 图8 25.(10分)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经 过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形， 不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高 1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立平面直角坐标系 如图9所示.如果把锅纵断面的抛物线记为C,锅盖纵断面 的抛物线记为C2 (1)求C,和C2的表达式； (2)如果炒菜时锅的水位高度是1dm,求此时水面的直 径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为2dm,高度为3.6dm的圆柱 形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说 明理由， C C(0,1） A(-3,0) B(3,0 D(0,-3) 图9 26.(10分)如图10-①，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC =4cm.点P以1cm/s的速度从点A出发沿AB匀速运动到 B;同时，点Q以2cm/s的速度从点B出发沿BC匀速运动到 C.两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为 t(s),△PBQ的面积为S(cm2).当点Q在BC上运动时，S与t 的函数图象如图10-②所示 (1)求S(cm2)关于运动时间t的函数表达式，写出自变 量的取值范围； (2)当时间t在什么范围内变化时，△PBQ的面积不小 脚 于子cem?请直接写出，的取值范围 个S/em2 0 2 3 t/s B→Q ② 图10 些 烯 参考答案见下期