第20期 27.3 位似 第二十七章整章复习【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第17~20期 装理橘 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY)第17~20期 第17期2版 (2)设反比例函数表达式为y=冬，依题意可知C(40,8) 26.2实际问题与反比例函数 在图象上，所以k=320,所以反比例函数表达式为y=320 基础训练上A:208:3,25:4Q06 (3)依题意可知，DE,CF的函数图象关于y轴对称，所以E, 能力提高5.(1)ym=960(x>24. F两点关于y轴对称，所以点F的纵坐标为32.把y=32代入y x =320,可得x=10,所以F(10,32),所以E(-10,32),所以EF (2)老师安排不合理，理由：由题易得yB=2x+20,令y4B =2x+20=38,解得x=9,令3m=960=38,解得x≈25.3， =20m,即上底面圆形的直径EF的长为20m 20.(1)一次函数表达式为y1=x+2,反比例函数表达式 因为25.3-9=16.3<23，所以老师安排不合理. 为3=3 重点集训营 1.6；2.-3；3.2；4.18. (2)由图象可得，当y1>y时，x的取值范围为-3<x< 5(1)反比例函数的表达式是y=6 0或x>1. (3)设直线y,=x+2与y轴相交于点D,过点A作AM⊥ (2)将y=3代人y=6中，得x=2,即点N的坐标是(2,3)， x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,则D(0,2),所以OD= 2,因为点B,C关于原点对称，所以C(3,1),所以MN=2,CN 因为四边形OABC是矩形，B(4,3),M(4,1.5),所以∠BC0= =1,ON=3,所以SAAC=S△BOD+S梯形ADOM+S棉形c-S△coN ∠BAO=∠B=90°，BN=4-2=2,OC=BA=3,CN=2,AM =8,即△ABC的面积为8. =BM=1.5,所以S△M0N=S矩形1Bc-S△cY-S△N-SAHw= 4x3-分×3×2-7x2x1.5-7×4×15=45 21(①)反比例函数的表达式为y=号 (2)根据题意，得S正方形BcD=4×4=16,EF=4,设P(m, 第17期3,4版 ),则Sam=BF小m1=21m=8,解得m=士4，当m 题号12345678910 答案CBDBABCCBB =4时=至=子此时P风4，》：当m=-4时=4 此时P(-4,》。 3 二、11.-1；12.0；13.35；14.y2<1<y3; 15.3 2 综上可知，在反比例函数的图象上存在点P,使得△PEF的 三、6.反比例函数的关系式为y=- ，一次函数的关系 面积等于正方形BCD面积的一半，点P的坐标为(4，子)或 式为y=-x-1. 17.(1)函数表达式为y=12 （4， (2)物距为4cm. 五22.(1)反比例函数的表达式为y=3 18.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)由题意得A(1,3),设一次函数y=-x+4与x轴交于 点E,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4,所以C(0,4),E(4, (2)反比例函数y=6的图象经过点(1,6)，(2,3)，(6， 0),所以△0AB的面积=S△coE-SAco1-S△E0=4,因为 1),画图略. △ACD的面积是△OAB面积的2倍，所以△ACD的面积为8，设 )是 D(t,0),则DE=|4-tl,所以S△AcD=S△coe-S△ADE=8,所以 四、19.(1)(40,8). 4-1×4-714-11×3=8,解得1=-12或20.所以 中考数学人教(GDY) 第17~20期 点D的坐标为D(-12,0)或D(20,0) 因为点B在函数y=3的图象上， (3)过点A作x轴的平行线CD,作FC⊥CD于点C,ED⊥ CD于点D,设E(a,名)(a>1).因为4(1,3)，所以AD=a- 所以设点B的坐标为(m,3)(m>0). m 1.DE=3-子由题意得AE=AP,∠FAE=90,所以∠EAD 所以BE=3-3,AE=m-1, m +∠CAF=90. 因为∠CDA=∠BEA=∠BAC=90°， 因为∠EAD+∠AED=90°，所以∠CAF=∠AED,所以 所以∠CAD+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，所以 △ACF≌△EDA,所以CF=AD=a-1,4C=DE=3-3 ∠CAD=∠ABE, 由旋转的性质可知，AC=AB,所以△ACD≌△BAE, 所以F(3-2,4-）.因为点F恰好也落在这个反比例函数的 所以D=BE=3CD=AE=m-上 图象上，所以(2-2)(4-0)=3， 所以点C的坐标为(3-2,4-m）, 解得a=6或a=1(舍去)，所以B(6,. 因为点C在函数y= 是图象上.所以（是-2》4-m)= m 23.(1)①点(-1,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为 3,解得m1=6,m2=1(舍去)， (2,1),把x=2代人y=2x-1,得y=2×2-1=3≠1，所 所以点B的坐标为(6，。 以点(2,1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(-1,2)不是 原点O关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 第18期2版 ②点(1,3)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(3，-1)， 把x=3代入y=2x-1,得y=2×3-1=5≠-1，所以点 27.1图形的相似 (3,-1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(1,3)不是原点 基础训练1.A;2.C:3.2:3:4. 2 0关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 5.设运动ts能使矩形CFWM与矩形AEFD相似，由题意得 ③点(-3,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(2,3)， 把x=2代人y=2x-1,得y=2×2-1=3,所以点(2,3)在 -登或奖=受解得4=4或1=山所以当M.N运动4 2t 函数y=2x-1的图象上，所以点(-3,2)是原点0关于一次 或1s能使矩形CFNM与矩形AEFD相似. 函数y=2x-1图象的“直旋点”.故填③ 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） (2)如图1，设点M绕点N顺时针旋转 90°的对应点为M',过点M作MA⊥x轴于 基础训练1A:2.D:36:47 点A,过点M'作M'B⊥x轴于点B, 5.GH的长为g 因为M(-2,4),N(1,0),所以0A=A O N 2,MA=4,ON=1,所以AN=2+1=3, 图1 能力提高6()因为AD∥B肱∥CF,所以光=张 因为∠MAN=∠M'BN=∠MNM'=90°， 所以∠AMN+∠ANM=∠AWM+∠BNM'=90°，所以 号，所以720=子.所以0E=4,所以DF=0E+F=4 ∠AMN=∠BNM',由旋转的性质可知，MN=M'N, +10=14. 所以△MAN≌△NBM',所以BN=MA=4,BM'=AN= (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以C 3, CDE 所以0B=1+4=5, 8品=分所以Q1=6因为AD∥版∥cF.所以册-能 所以W的坐标为5,3)，把(5,3)代入y=卓，得后=15 所以月=号所以Pm=15 (3)如图2，设点B绕点A顺时针旋转 27.2.1相似三角形的判定（第二课时） 90°的对应点为C,连接AC,AB,过点A作x 基础训练1.A;2.C;3.18;4.2或4. 轴的平行线DE,过点B作BE⊥DE于点E, 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 过点C作CD⊥DE于点E, 3,OB=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 因为点A(1,3)在反比例函数y=(的 图2 图象上， 在△4c和△4CD中，因为治-源=5%-25- 2 所以k=1×3=3,所以反比例函数的解析式为y=3 v5,A2==5,所以AC=9=所以△ABC一△ACD AD CD AC 2 中考数学人教(GDY) 第17~20期 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） AB =4D所以△ABD一△ACE. AC AE' 基础训练1.C:2.C:3.号42或8 19.(1)如图3，设AB=x,由翻折的性质得， A B D 能力提高5.(1)证明：因为AB=2AD,AC=2AE,所以 ∠ACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF= 号=能=2又因为∠A=∠A,所以△40呢一△C ∠BDF=90. 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= (2)因为AE=2,AD=3,所以AB=2AD=6,AC=2AE ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 图3 -4所版心=1旺-4国-能·尝品 CD ∠ECF=45°，所以BC=√2x,所以BD=BC=√2x,所以AD= =3,所以Sms=}5am,S68=2SA4m,所以匹- 1 AB+BD=(2+1)x,所以EF=CE=AD=(2+1)x,因为 SABDE DE=AC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2+2)x,所以% 1 2SAAED ÷6 -(2+2)-2+2=5 (2+1)x√2+1 第18期3版 (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 题号12345678 (2+1),A5纸短边长为(2+2)x,所以在A5纸中，长边： 2 答案DB BBC CDB 二、9.都是；10.8；11.△MCB;12.70,28; 短边=5+)正=2所以4纸与A5纸相似. 13.6:14.9. (2,+2x 2 三、I5.证明：因为菱形AEFG∽菱形ABCD,所以∠DAB= 20.(1)BE=AD.理由如下： ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 如图4，连接CE.因为a=60°，AB=AC,且由旋转的性质 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 得CD=DE, =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 所以△ABC,△DCE均为等边三角形，所以BC=AC,CE 16.(1)△BCD△BAC.理由如下： =DC,∠BCA=∠ECD=60°， 4 所以∠BCE=∠ACD,所以△BCE兰△ACD,所以BE= 因为BD=专，AB=3,BC=2,所以8C 3 2 BC BC=立=3B AD 子，所以股-答因为∠DBc=∠CB1,所以△BCD △BAC. 5 图4 （②)闪为△BCn△BMC,所以品=即表- (2)BE=√2AD.理由如下： 以C:多 如图5，连接CE.因为a=90°，AB=AC,且由旋转的性质 得CD=DE, 17.(1)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 所以△ABC,△DCE均为等腰直角三角形.设AB=AC= 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 x,DE=DC=y,则根据勾股定理得BC=√2x,CE=√2y,所以 以BE=BC. (2)AE=BC理由：因为AD∥ER,所以2=能因为DF 形=能-2，所以ee 又因为∠BCA=∠ECD=45°，所以∠BCE=∠ACD,所 =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC 以△BCE∽△ACD, 18()证明：因为8-E=长所以△ABc一△A0E。 所以BE=BC=2,所以BE=5AD ADAC 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (3)因为在△ABC中，∠BAC=120°，AC=AB=2BE= (2)因为△ABC△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 23,所以BE=√3，∠ABC=30°， ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 ∠EBC=∠BAD=21°. 所以P=宁=点 当点E在直线BC上方时，连接CE,如图6，同(2)得 (3)证明：由(1)知∠B1D=∠CME因为号=长所以 :△BCE∽△ACD,所以EB=W3AD,所以AD=1,所以DP=AD 3 中考数学人教(GDY)第17~20期 +AP=1+5,所以A0= 1 31 能力提高5.过点A作AG⊥DE,交BC于点F,垂足为G, 1+52 由题意，得AF=CM=60厘米=0.6米，AG=EN=30米，BC 当点E在直线BC下方时，连接CE, =24厘米=0.24米，因为BC∥DE,所以∠ABC=∠ADE, 如图7，同(2)得△BCE∽△ACD,所以 B ∠4ACB=LA5D,所以△AC△AE,所以%-若-是 EB=3AD,所以AD=1,所以DP=AP 1 图7 AD=3-1,所以DP=31 =0,解得DE=12米 答：这个建筑物DE的高度为12米. 3+1 2 第19期3版 综上品的值为或 一、 2 题号12345678 答案ABB ACB BD 第18期4版 二、9.∠AED=∠B(答案不惟一)；10.36；11.4； 重点集训营 12.4:10:25;13.24;14.30°或60° 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 1.C2B:5426 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°.因为∠BFE+ 第19期2版 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 27.2.1相似三角形的判定（第四课时） ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 基础训练1.A;2.D;3.70:4.4. 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5.(1)作图略. ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 16.因为AO⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, (2)证明：因为AD平分∠BMC,所以∠BAD=方∠BAC, △40E△cFE,所以品-8-87， 因为∠BAC=2LC,所以∠C=3∠BAC,所以∠BAD=∠C, 设OF=xm,则A0=OD=x+0.7, 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA. 又因为△40E~△CF,所以品-票即兰-8 能力提高6.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC 2.8+x-2.8' =∠CAB.因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB, 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=6.3m 所以AD:AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 答：0A的高度是6.3m. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以∠EAC 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN∽△ABM, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 △E∽△4wC.所以别-器-所以器-器又 ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN=EN 27.2.2相似三角形的性质 基础训练1.B;2.D;3.A;4.A; （2)因为DE/Bc,所以器=8%=号，因为DB∥BC, 5.12;6.16 所以△D0E△C0B,所以PE=0E=2 能力提高7.(1)证明：因为DE∥BC,所以∠AMD= CB=0B=5 ∠ANB=90°，∠ADM=∠B,∠AED=∠ACB, 因为DE∥BC,所以△ADE△ABC,所以△E=(D5): BC 所以△DE一△4BC,△DN~△ABN,所以0-e S△ABC 25,设SaE=4r(x>0),则SaAc=25x,因为四边形BCED 8兴所以能-兴 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S4c=50. (2)因为D是AB的中点所以治-子由()知△40E 18.(1)过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形 EFBJ,四边形EFDH都是矩形，所以EF=BJ=DH=1.5米， 一△16C,所以光-治=分所以4E=5C,所以Sw BF=EJ=2米，DB=JH=23米.因为AB=2.5米，所以AJ =AB-BJ=2.5-1.5=1(米).因为AJ∥CH,所以∠EAJ= Sc因为△ADE△ABC,所以=(4设2=（分）2- SAABC AB ∠BC,∠AB-∠c,所以△EU△sC.所以出-引 所以漂 4 =4232解得ch=12.5米，所以cD=Ch+pM= 27.2.3相似三角形应用举例 12.5+1.5=14(米). 基础训练1.D:2.D:3.4.5:4.3.6. 答：大楼CD的高度为14米. 中考数学人教(GDY) 第17~20期 (2)过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R,连接EC,由 第19期4版 题意得，点E,A,G在同一条直线上.设BF=x米，因为AR∥ GT,易证得△ER△BGT,所以答-铅=315 1 重点集训营 23+2,解得x=2.5因为2.5-2=0.5（米），所以标杆AB应 1.D,22或号 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 该向大楼方向移动0.5米. 所以△ACE≌△ABF,所以∠CAE=∠BAF 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF, 因为∠AGB=180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB. ∠BAF,因为AE=A0AB,AC=AB,所以45=45，即45= AO=AE 'A0 又因为∠ABG=∠MBA,所以△BAG∽△BMA. (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 长所以△4cEn△MPQ CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 第20期2版 CB=CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 27.3位似 以CW1BC由)刹品-所以BG·BW=A,所以 基础训练1C:2.C:3(8,10):4空 BG·BM=BC.所以BS=BC 能力提高5.(1)图略. BC BM (2)图略. 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 (3)△AOB与△AO2B2是关于某一点为位似中心的位似 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 图形，位似中心的坐标为(6，-2). 20.(1)证明：因为∠ACD=∠B,∠A=∠A,所以△ADC 重点集训营 一△4CB,所以光=器所以AC=AD:AB 1C:2.D3B:4g53或22 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC,∠A 6.(1)因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点， =∠C. 所以∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°. 又因为∠BFE=∠A,所以∠BFE=∠C. 因为CE=CE,所以△BCE≌△ACE,所以∠EBC= 又因为∠FBE=LCBF,所以△BFE∽△BCF,所以 ∠EAC,AE=BE. BC= 因为EF=EB,所以∠EBF=∠EFB,所以∠EFB= 器所以BF=E,C,所以c-E=号所以D= 9 ∠EAC 因为∠EFB+∠EFC=180°，所以∠EFC+∠EAC= (3)如图8，分别延长EF,DC相交于 180°，所以∠AEF=360°-（∠EAC+∠EFC)-∠ACB=90°. 点G, (2)证明：因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点，所 因为四边形ABCD是菱形，所以AB 以∠ADE=90 ∥DC,∠BAC=∠BAD 因为EF⊥FG,所以∠ADE=∠EFG=90°，所以∠AED 因为AC∥EF,所以四边形AEGC为 图8 +∠DAE=90°，因为∠AEF=90°，所以∠AED+∠GEF= 平行四边形，所以AC=EG,CG=AE=1,∠EAC=∠G. 90°，所以∠DAE=∠GEF,所以△AED∽△EGF, 为∠EDF三7∠BAD,所以∠EDF=∠BAC,所L 所以瓷-是即A·F=AD:BC ∠EDF=∠G 因为AE=EB,EF=EB,所以EF=AE,所以AE2=AD· EG 又因为∠DEF=∠GED,所以△EDF△EGD,所以 EG 第20期3,4版综合评估卷 部所以DE=EF,EC 题号12345678910 又因为EG=AC=2EF,所以DE2=2EF2,所以DE= 答案ABACABBACA √2EF. 二、11.∠B=∠E(答案不惟一)；12.2：1；13.20： 又因为-器所以DG=2DF=3,所以Dc=nc 14.20;15.4. 三、16.甲、乙两地的实际距离是12.5km -CG=32-1,所以菱形ABCD的边长为32-1. 17.(1)图略 5 中考数学人教(GDY) 第17~20期 (2)3:1. 3 4、13 :立所以4=后秋 (3)9+35+32. 5 18.证明：(1)略. (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC= 23.(1)证明：因为△ABC~△ADE,所以∠B=∠D,Ag 'AD ∠BCD,又因为∠BCE=LABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 能因为R,G分别是BC,DE的中点，所以BF=宁BC,Dc = ∠B0C=∠E,所以△Dcan,所u25-8品所cm 1BC =DE·DB. DE,所以能 =BC-,所以△AGD△AFB 四、19.这条河的宽度为30米 20.（1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADB= (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH, ∠AED=90°.因为∠DAB=∠DAE,所以△DAE∽△BAD,所 因为4CF=BC,4BG=BD,所8器-S 治=胎所以AD=,版 又因为AC=2BC,则CF=BC=2AC (2)瓷的值为号（提示：证△4CE~△DcP. 设CF=a,则BC=4a,所以BM=CH=AM=BC= 21.(1)由题意得AB⊥1，A'B⊥L, 2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是等边三角 所以AB∥A'B',所以∠ABO=∠A'B'O,∠BAO = 形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC=30°，所 ∠B'A'O 以AF=之AB 所以△AB0△A'B'0,所以AB=0C」 A'BOD' 因为0C=35.2cm,0D=12.4cm,AB=8.8cm,所以 因为△4C~△A0E,所以6-%-长∠c=∠E, 8-瓷异解得4g=31m ∠CB=∠BAD=90,所以哈器-长所以△ACP△ABG 答：像A'B的长为3.1cm. 所以托-6Lc4F=∠BAc （2)由题易得粉-0因为B上1.N1所以4B/nN 又因为∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所 以∠FAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG,即∠FAG=∠BAD. 因为AP∥1，所以四边形ACOP为平行四边形，所以AP=OC =35.2cm. 又因为能-治所凭-铝所以△4G△ABD.所 易证得△F0一△P,所以积-所u OF 以 AF I CD=AP BD =AB=2 因为0D=12.4cm,所以CD=0C+OD=47.6cm,所以 (3)连接4F,由（②）得品-A所以FG=D,所以 名853解得0F=9.2m 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值. 答：焦距OF的长约为9.2cm. 因为4C=4,4E=2,△MBC△M0E,所以8e-报=2. 五，2①8或号 当E在AC上，D在AB上时，因为需-部所以凭=% EG ED =2. (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD t cm,BD =(4-t)cm,BE 2t cm,CE =(5- 又因为∠C=∠AD=60治-器=2.所以△ABG 2)cm(0≤t≤3). △ACF.所以∠AGE=∠AFC. 又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线， 因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90°，所以Rt△BFE∽ 所以FG=AP-AG=AP-分F=号AC R△B1C,所u货-能-，即华-号所以BF=号。 5 cm, 所以当AF⊥BC时，FG取得最小值，最小值为)AF BF=号em,所以nF=(4-号)em, 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=4,所以BC=8,AB= 因为CD⊥DE,所以∠CDE=90°，所以∠ADC+∠EDF 43. =90°， 在Rt△ABF中，∠ABC=30°， 因为∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以 所以AF=子B=25, ∠ACD=∠EDF,所以R△ACD~△PDE,所以祭-即 所以FG的最小值为√3. 6R 9 坚 S961L08-1Ss1 8ILZS-ISEO Wa T 0 国信开)02 V7'87 0OV7 g av() 国工)：用 3VV 层 V 为 6 农 =87 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 21.如图17，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次 23.在Rt△ABC中，∠CAB =90°，∠B=30°，且△ABC∽ 19.某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度. 在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度， △ADE. 如图15，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即PE= 主光轴l垂直于凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8.8cm 问题背景：(1)如图19-①，若F,G分别是BC,DE的中点，求 20米)的点P处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人 的发光物AB进行移动，使物距0C为35.2cm,光线A0,B0传播方 证：△AGD∽△AFB; 的位置，当小军、小强两人分别站在C,D两点处时，小丽发现河北岸 向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B',此时测得像 迁移应用：(2)如图19-②，若4CF=BC,4EG=ED,连接FG, 边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即A,C,P三，点共线，B,D,P 距0D为12.4cm. 三，点共线).已知电线杆A,B之间的距离为75米，小军、小强两人之 (I)求像A'B的长； BD,求品的值： 间的距离CD为30米，求这条河的宽度 (2)已知光线AP平行于主光轴l,经过凸透镜MN折射后通过 提升拓展：(3)如图19-③，若AC=4,AE=2,F,G分别是BC 北岸 焦点F,求凸透镜的焦距OF的长（结果精确到0.1cm). A B 和DE上的动点，且始终清足器-品右将△A0E绕A点顺时针旋 M E/D 转一周，求FG的最小值， 南岸 图15 数理报·初中数学·人教中考(E)综合评估卷 图17 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题 20.如图16，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,作DE⊥AC 14分，共27分) 于E,F是AB中点，连接EF交AD于点G,连接DF: 22.如图18，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm,AC=3cm,点 数理报·初中数学·人教中考(CD)综合评估卷 (1)求证：AD2=AB·AE; D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C （2)若CD=2.CB=1,求瓷的值， 运动，速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止，连接DE,CD AE. (1)当动点运动时间t= 秒时，△BDE与△ABC相似； (2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由. 图18 (参考答案见下期) 数理报 2025年11月27日·星期四 初中数学 第20期总第1164期 人教 中考(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F) 邮发代号：21-157 探究发现：如图1，在 Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD 名师课 平分∠BCA,作AE⊥CD交 等积式证明策略 BC于点E,垂足为F,作BG⊥ AE,垂足为G.求证：AC2= 图 CF·CD. ©广东张秀玲 思路分析：根据比例的基本性质，欲证AC 证明：因为AB∥DC,所以∠BAO= 因为∠ACE+∠ECB=90°，∠CAE+ =CPCD.只需治-架而相以E角形的 ∠OCE. ∠ACE=90°， 又因为∠AOB=∠COE 所以∠ECB=∠CAE,所以△ACE 对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所 确定的两个三角形相似即可.由线段AC,CF确 所以△40B△c0E,所u9-8乐 △CBE,所以张-怨即CE=AB·BE CE 定的三角形是△ACF,由线段CD,AC确定的三 因为AD∥BC,所以∠AFO=∠CBO, 又因为AE·EB=DE·EP 角形是△ACD,根据题意和图形可知这两个三 因为∠AOF=∠COB,所以△AOF 所以CE2=DE·EP. 角形纪有两组对应角相等，于是问题得证（同学 △c08,所89-0片肌%-80 三、等线段替换 们自己完成证明过程). 例3如图4，在等腰三角 所以BO2=OE·OF. 形ABC中，AB=AC,AD⊥BC 方法归纳：上述证明等积式的方法我们称 二、等积替换 之为“三点定形法”，一般步骤是：(1)把等积式 于点D,CG∥AB,连接BG分别 例2如图3，已知CE是 转化为比例式；(2)观察成比例的四条线段确定 交AD,AC于点E,F.求证：BE Rt△ABC的斜边AB上的高，点P =EF·EG. 可能相似的两个三角形；(3)找出使这两个三角 是CE的延长线上任意一点，BG 证明：如图4，连接CE. 形相似的条件 ⊥AP.求证：CE2=ED·EP. 因为AB=AC,AD⊥BC 若在步骤(2)中，发现四条线段不在两个三 证明：因为CE是Rt△ABC的 所以∠ABC=∠ACB,AD垂直平分BC, 角形中，我们可以用相等的量替换其中一个或 斜边AB上的高，BG⊥AP,所以 所以BE=CE,所以∠EBC=LECB,所以 两个量，包括等比替换，等积替换等 ∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，所∠ABE=∠ACE. 变式探究 以∠P=∠DBE. 因为CG∥AB,所以∠ABE=∠G, 一、等比替换 又因为∠AEP=∠DEB=90° 所以∠ACE=∠G 例1如图2，E为平行四 所以△AEP△DEB, 又因为LFEC=LCEG, 边形ABCD的边CD延长线上 的一点，连接BE,交AC于O, 所以派-B即AE,BB=DE·BR 所以△GBF~△GC,所gE-E民 交AD于F.求证：B02=0E· 因为CE是Rt△ABC斜边AB上的高， 即CE2=EF·EG, OF. 所以∠AEC=∠CEB=90° 所以BE2=EF·EG 方法技巧 所以AD=a-2,CD=b, 所以AD'=2a-4,C'D'=2b, 位似变换中点的坐标的确 所以D'(2-2a+4,0), 所以C'(6-2a,-2b) 故填(6-2a,-2b). ©山西赵华 三、求位似中心的坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以 当△A'B'O在第三象限时，点A'的坐标为 例3如图3，已知矩 原点为位似中心，变换后的图形与变换前图形 形ABCO与矩形ODEF是 的相似比为k,那么原图上点(x,y)的对应点的 (一3 2,-×6).即(-号，-2) 位似图形，M是位似中心， 坐标为(kx,y)或(-kx,-y);对于位似中心 故填（号，2）或(-号，-2)， 若点B的坐标为(4,3)，点 非原点的位以变换，解题时要充分发挥位以图 形的定义和相似三角形的性质的作用。 二、位似中心非原点，求图形上点的坐标 B的坐标为(-2，)，则 一、位似中心是原点，求图形上点的坐标 例2如图2，在平面 图中点M的坐标为 例1如图1，△AB0的顶点坐 直角坐标系中，△ABC与 标是A(2,6),B(3,1),0(0,0),以 △AB'C'的相比为1：2， 0D,计 分析：根6位似变换的性质符册-9肥 点A是位似中心，已知点 图2 点0为位似中心，将△AB0缩小为 算出MO,OA的长，即可得到点M的坐标. A(2,0),点C(a,b),∠C=90°，则点C'的坐标 原来的}，得到△AB0,则点A的 解：因为点B的坐标为(4,3)，点E的坐标 0 为 (结果用含a,b的式子表示) 坐标为 分析：过点C,C分则作轴的套线Cn,为(-2,2)，所以4B=3,0A=4,0m= 分析：根据位似变换的性质，按△A'B'O在 C'D',根据题意，得出AD'=2AD,则AD=a-2, 因为矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形 第一象限和第三象限两种情况分别计算即可， CD=b,得到点D'的坐标，进而求得点C'的坐 M是位似中心 解：因为以点O为位似中心，将△ABO缩小、 标 解：过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D', 所以40 2 为原来的写，得到△4B"0,A(2,6), 垂足分别为D,D', 所以当△A'B'0在第一象限时，点A'的坐 因为△ABC与△AB'C'的相似比为1：2，点 所以M0=OA=4, 标为（写×2，×6），即（号，2： A是位似中心，A(2,0),所以AD'=2AD, 所以M点坐标为(-4,0). 因为C(a,b), 故填(-4,0) 素养专练 数理极 第19期2版参考答案 跟踪训练 重点集训营 27.2.1相似三角形的判定（第四课时） 基础训练1.A;2.D;3.70;4.4. 5.(1)作图略. 27.3位似 (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD= 1.如图1所示，点D为△ABC中AC边上 屋础训练 点，若∠DBC=∠A,BC=3,AC=6,则CD的长 ∠BAC, 1.如图1，在正方形网格中，以点0为位似中 为 因为∠BAC=2∠C,所以∠C= 分∠BAC,所以 心，△ABC的位以图形可以是 ( A.1 B.2 D ∠BAD=∠C, A.△DEF B.△DFH 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD∽△CBA C.△GEH D.△GDJ 能力提高6.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以 ∠DAC=∠CAB. 因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB,所 以AD:AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD. 1 图2 (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以 2.如图2，在口ABCD中，点E在AD上，且AE ∠EAC=∠ECA. 图1 图2 =2ED,CE交对角线BD于点F,若SADEF=2,则 因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA 2.如图2，△ABC与△DEF是位似图形，点O S△Bcr为 又因为∠AFD-∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 为位似中心，且0A:OD=1:2,若△ABC的周长 A.4 B.6 C.9 D.18 27.2.2相似三角形的性质 为8，则△DEF的周长为 ( 3.如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC,交AC 基础训练1.B;2.D:3.A;4.A; 5.12:6.16. A.4 B.22C.16 D.32 于点E,作ED∥AB,交BC于点D,若BD=6,AB 3.如图3，在△AB0中，点A的坐标为(4,5)， =10,则DC的长为 能力提高7.(1)证明：因为DE∥BC,所以∠AMD= ( ∠ANB=90°，∠ADM=∠B,∠AED=∠ACB, 以原点0为位似中心，在第一象限内，把这个三 A. 24 18 B.9 C. D.8 所以△ADE△ABC,△ADM△ABN 5 5 角形放大为原来的2倍，得到△A'B'O,则点A的 肌光瓷兴肌-兴 对应点A'的坐标是 (2)号的值为好 27.2.3相似三角形应用举例 基础训练1.D;2.D;3.4.5;4.3.6. 能力提高5.这个建筑物DE的高度为12米 B 3 4 图4 4.如图4，在正方形ABCD中，AB=12,点E, 第19期3版参考答案 4.如图4，四边形ABCD与四边形A'B'CD'F分别在边BC,CD上，AE与BF相交于点G,若 题号12345678 BE=CF=5,则BG的长为 答案ABBACBBD 是以点0为位似中心的位以图形，已奥知=号， 5.如图5，四边形ABCD 二、9.∠AED=∠B(答案不惟一)；10.36；11.4 若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D' 12.4:10:25;13.24;14.30°或60. 中，AB∥CD,∠B=90°，AB= 三、15.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= 的面积为 1,CD=2,BC=m,点P是边 ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°. BC上一动点，若△PAB与 因为∠BFE+∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE 能刀提高 △PCD相似，且满足条件的点P 又因为∠DGE=∠AGC,所以∠AGC=∠BFE, 5.如图5，在平面直角坐标系中，△AOB的顶 恰有2个，则m的值为 又因为∠ACB=∠FEG=90°，所以∠AEC+∠BEF= 点坐标分别为A(2,1),0(0,0),B(1,-2). 6.如图6，在Rt△ABC中，CA=CB,∠ACB= ∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC=∠BEF,所以△AGC (1)画出将△A0B向左平移3个单位长度， 90°，D为AB的中点，E是射线CD上的一点，连接 ∽△EFB. 16.0A的高度是6.3m. 再向上平移1个单位长度后的△A,O,B,; EB,EA,F是BC上一点，且满足EF=EB,EF⊥ 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM (2)以原点0为位似中心，相似比为2：1，在 FG y轴的左侧画出△AO,B,放大后的△A,O,B2: (1)求∠AEF的度数； △ANEAAC,所以器=器瓮=所以瓮 (3)判断△AOB与△A,O2B2是否是关于某 (2)求证：AE=AD·EG 一点为位以中心的位似图形？若是，请直接写出 又因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DN= 该点的坐标；若不是，请说明理由. E (2)△ABC的面积为50. 18.(1)大楼CD的高度为14米. (2)标杆AB应该向大楼方向移动0.5米 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°- ∠ABC, 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=180°-∠BGF 因为∠AGB=18O°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB. 又因为∠ABG=∠MBA,所以△BAG∽△BMA. (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC =CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以 AC CB CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥ c,所以cW1Bc由D得品-胎所拟c·w- 数理报社试题研究中心 数理报社试题研究中心 A.所以acBW=Bc,航瓷-品 (参考答案见下期) (参考答案见下期) (下转1,4版中缝) BC之间的距离.若a=4cm,b=5cm,AC=20m,则BC= 小孔0在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.设AB=36cm,A'B'= 《相似》综合评估卷 ( 24cm.小孔0到AB的距离为30cm,则小孔0到A'B'的距离为 A.15m B.16m C.18m D.20m cm ◆数理报社试题研究中心 7.如图5，在口ABCD中，点E在BC上，连接BD,AE,AE与BD交 (考试用时：120分钟 满分：120分) 于点F,若SAm=18,SAEr=8,且AD=12,则CE的长为（ 题号 二 三 四 五 总分 A.3 B.4 C.5 D.6 得分 12 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 15.如图12，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC,线段AB被 图5 题号1 34 6 789 10 截成三等份.若△ABC的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积为 8.如图6，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边上的点，DE∥BC 答案 cm2. BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是 ( 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1.若△ABC∽△DEF,它们的面积比为4：1，则△ABC与 B 16.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为 △DEF的相比为 DE 25cm,求甲、乙两地的实际距离. A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 c品 D.DE EF ·BF=FC 理 整 报 2.下列选项中是相似图形的是 9.如图7，平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与 报 初 O© AD,BD交于点F,G,则图中相似三角形（相似比不是1）共有 留 B A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 3.如图1，直线a,b,c分别与直线m,n交于点A,B,C,D,E,F.已 17.如图13，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均 知直线a∥6∥c,若AB=2,BC=3,则2S的值为 ( 为1，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且 EF 点A,是点A以点0为位似中心得到的. 教 中 2 中 3 A. B. C. D. (1)画出△ABC以点0为位似中心的位似图形△A,B,C1; 3 5 图8 (GDY (2)△A,B,C,与△ABC的相以比为 10.如图8，在矩形ABCD中，AB=2BC,点M为BC的中点，以点 (3)△A,B,C,的周长为 C为圆心，CB长为半径作弧交AC于点E,再以点A为圆心，AE长为 综合 半径作弧交AB于点F,连接CF,DM与CF相交于点G,则CG:GF的 评 值为 ( 估 4.5+5 D.5-1 (QDx)综合评估卷 卷 4.如图2，在平面直角坐标系中，△ABC与△FDE是位似图形 10 2 则它们位似中心的坐标是 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） A.(3,1) B.(4,2) C.(5,2) D.(6,0) 5.如图3，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，连接DE 1如图9.在△ABC与△AD中，-%要使△ABC与 图13 AB=2AE,AC=2AD,若BC=8,则DE的长为 △AED相似，还需添加一个条件，这个条件是 18.如图14，梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,E是对角线BD 上一点，∠BCE=∠ABD.求证： A.4 B.5 C.6 D.2 (1)△ABD∽△ECB; (2)DC2=DE·DB. 10 12.如图10，点0是两个位以图形的位似中心，若OA'=A'A,则 △ABC与△A'B'C'的周长之比等于 图3 13.一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四 6.古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图4-①，用“矩” 边形的最小边长为5cm,则它的最大边长为 cm. 测量远处两点间距离的方法是：把矩按图4一②平放在地面上，人眼 14.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传 从矩的一端A望点B,使视线刚好通过点E,量出AC的长，即可算得 播特性实现图像投影的方法.如图11，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经