第17期 26.2 实际问题与反比例函数 第二十六章整章复习【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

基 图 o/ 6 寸|m × 国出区) GE:tv彩精1/20 oi/m W (A- S961L08-1Ss1 8ZILZS-ISEO (宋大) :a'I ).t K(e) (!:0)88 N 纸 Z X 8 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题9分，共27分》 21.如图12，在平面直角坐标系中，A(-1,2),B(-1,-2),以 23.定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕点V顺时针旋转 19.如图10-①，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔， AB为边向右作正方形ABCD,边AD,BC分别与y轴交于点E,F,反比 90°，恰好落在函数图象W上，则称点M是点V关于函数图象W的 从这里冒出的烟雾其实只是水蒸汽，它的上、下底面均为圆形，纵截面 例函数y=女(k≠0)的图象经过点D, “直旋点”.例如，点(-1,1)是原点0关于函数y=x图象的一个“直 是如图10-②所示的轴对称图形，ABCD是一个矩形.若以地面上AB 旋点”. 所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，DE, (1)求反比例函数的表达式： (1)在①(-1,2)，②(1,3)，③(-3,2)三点中，是原点0关于 CF分别是两个反比例函数图象的一部分.经过测量可知AB=80m, (2)在反比例函数的图象上是否存在点P,使得△PEF的面积 次函数y=2x-1图象的“直旋点”的有（填序号)； BC =8 m. 等于正方形ABCD面积的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. (2)点M(-2,4)是点N(1,0)关于反比例函数y=左图象的 (1)点C的坐标为 (2)求出CF这一部分的反比例函数表达式： “直旋点”，求k的值； (3)经过测量，冷却塔顶部E点距地面32m,求上底面圆形的直 (3)如图14，点41,3)在反比例函数)=上的图象上，点B是 径EF的长 反比例函数y=左图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数 釐 y=图象的“直旋点”，求点B的坐标 数理报 报·初中数学 图10 数学 ·人教 区14 备用图 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题 14分，共27分) (GDy你 20.如图11，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 22.如图13-①，反比例函数y=”(m≠0)与一次函数y= 为=（(m≠0)的图象相交于A(1,3),B(,-)两点 -x+4的图象交于点A,点B(n,1),且一次函数y=-x+4与y轴 拿 相交于点C. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (1)求反比例函数的表达式； ·人教中考(D)综合评估卷 (2)根据图象直接写出y1>y2时，x的取值范围； (2)连接OA,OB,在x轴上是否存在一点D,使△ACD的面积是 (3)过点B作直线OB,交反比例函数图象于点C,连接AC,求 △OAB面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理 △ABC的面积 由； (3)如图13-②，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接 AE,把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在 这个反比例函数的图象上，求点E的坐标 (参考答案见下期) 姜评括 2025年11月6日·星期四 初中数学 第17期总第1161期 人教 中考(GDY) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-157 在近几年的中考试题中，总会出现一些将 名师课堂 反比例函数的图象与几何图形综合到一起考查 的问题，这类问题在考查反比例函数的同时，又 反比例函数携手几何图形 考查了同学们对几何图形性质的掌握程度，下 面我们一起来看几道例题， ©广东邢丽丽 例1如图1，△ABC是 象过点C,则k的值为 若反比例函数y= -(x<0)的图象经过C,D 等腰直角三角形，直角顶点 A.4 B.-4 C.-3D.3 两点，则k的值是 C与坐标原点重合，若点B在 解析：过点C作CE⊥y轴于点E, 在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC= A.-63 B.-6 反比例函数y=(x>0) 90°，所以∠AB0+∠CBE=90°，因为∠OAB+ C.-123 D.-12 的图象上，则经过点A的反 ∠AB0=90°，所以∠OAB=∠CBE,因为点A 解析：过点C作CE⊥y轴于点E,延长BD 比例函数表达式为 的坐标为(4,0)，所以0A=4, 交CE于点F 解析：过点A作AE⊥x轴于E,过点B作BD 因为AB=5,所以由勾股定理，得OB= 因为四边形OABC为平行四边形，所以AB ⊥x轴于D,则∠AE0=∠ODB=90°， √5-4=3. ∥0C,AB=0C,又因为BD∥y轴，所以∠COE 由题意得OA=OB,∠AOB=90°，所以 ∠OAB=∠CBE, =∠ABD. ∠EA0+∠EOA=∠AOE+∠BOD=90°，所以 在△ABO和△BCE中，{∠AOB=∠BEC,所 因为AD∥x轴，所以∠ADB=90°，所以 ∠EAO=∠DOB,所以△AE0≌△ODB,所以 AB BC, △COE≌△ABD,所以OE=BD=√5， AE OD,OE BD. 以△AB0≌△BCE,所以OA=BE=4,CE=OB 设点B的坐标为(a,b),则AE=OD=a, =3, 因为sr=B0-cP=95所航以cF OE=BD=b,所以点A的坐标为(-b,a), 所以0E=BE-0B=4-3=1,所以点C9, 因为点B在反比例函数y=1上，所以b= 的坐标为(-3,1)， 因为∠BDC=120°，所以∠CDF=60° 因为反比例函数y= k(k≠0)的图象过 所以∠DCF=30°，所以由勾股定理，得DF 1,所以经过点A的反比例函数表达式为y=- 点C,所以k=y=-3×1 =3√3，所以点D的纵坐标为43. 故填y=-1 x 故选C. 设C(m,3),D(m+9,43), 例2如图2，正方形 例3如图3，点D是 因为反比例函数)=卓(：<0)的图架经 ABCD的边长为5，点A的坐标 口OABC内一点，AD与x轴平 为(4,0)，点B在y轴上，若反 行，BD与y轴平行，BD=5 过C,D两点，所以k=3m=43(m+9),解得 比例函数y=(k≠0)的图 ∠BDC=120°，San=9 m=-12,所以k=-123, 2, 故选C 十十十■十 十十+十十十十++十十■十十 归纳总结 故填4. 解决实际问题三环节 (2)由题可得，点(4,100)在反比例函数图 象上， ⊙湖南 赵郁航 设反比例函数关系式为y= 利用反比例函数解决实际问题 般按照以 所以其图象在第一象限. 将点(4,100)代入可得k=400, 下三个环节进行： 故选C. ①“求式”，建立一个反比例函数的数学模型， 例2办公区域的自动饮水机，开机加热时 所以y=400 x 即利用待定系数法求出反比例函数的表达式； 水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加 ②“应用”，应用反比例函数的性质解决实热，此后水温开始下降。水温y(℃)与开机通电 当y=20时x-0=20, 际问题； 时间x(min)成反比例关系.若水温在20℃时 所以水温下降过程中，y与x的函数关系式 ③“注意”，在解答实际问题时，要注意自变接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之 量的取值范围. 间的函数关系如图所示 是y=40(4≤x≤20). 下面举例进行说明，供同学们参考 (1)由题图可知，水温℃ (3)当0<x<4时，设y=kx+20 例1已知甲、乙两地相距s(单位：km),汽从20℃加热到100℃，需要100 将(4,100)代入，可得4k+20=100 车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 min; 解得k=20, t(单位：h)关于行驶速度u(单位：km/h)的函数 (2)求水温下降过程 20 图象是 所以当0<x<4时，y=20x+20, 中，y与x的函数关系式，并 x/min 写出自变量x的取值范围； 当y=80时，即20x+20=80, (3)如果上午8点接通电源，那么8：20之 解得x=3, 前，水温不低于80℃的时间有多长？ 当y=80时，400 =80 解：(1)因为开机加热时水温每分钟上升 解析：根据题意有1=,所以1= 20℃. 解得x=5, 所以水温从20℃加热到100℃，所需时间 所以水温不低于80℃的时间为5-3= 故t与v之间的函数图象为反比例函数图 为10020=4(min). 2(分钟). 象，且根据实际意义v>0,t>0, 20 答：水温不低于80℃的时间有2分钟. 素养专练 数理极 ● ● 第16期2版参考答案 26.1.1反比例函数 跟踪训练 重点集训营 基础训练1.A;2.A;3.-2;4.a≠-3. 5.(1)）由题意，可得=60(0≤1≤27)，是正 60 26.2实际问题与反比例函数 1.如图1，A,B两点在双曲线y=4上，分别 比例函数，比例系数为60： 屋础训练 经过点A,B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影= (2)由题意，可得y= 20 (x>0),是反比例函 1.在电压保持不变的条 I(A) 1,则S+S2的值为 1数，比例系数为20： 件下，电流I(A)与电阻R(2) 成反比例关系，1与R的函数 (3)由题意，可得y=1000a(x>0),是反比例 图象如图1，则1关于R的函数一20.) 函数，比例系数为1000a. 解析式是 ( )0 20 R(2) 图1 能力提高6.因为反比例函数的关系式为y= A.1=220 B./= -220 R 图1 图2 ,3,所以a1-2=1,a+3≠0，解得a1=3,029 C.1=20 R n1=是 2.如图2，点A,D分别在反比例函数y= 2.综合实践小组的同学们用自制“密度计” 年(x<0)y=（x>0)的图象上，点B.C在x -3(不合题意，合去.所以该函数关系式为y= 26.1.2反比例函数的图象和性质（第一课时） 测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中 轴上.若四边形ABCD为正方形，且D的坐标是 基础训练1.A;2.D;3.A; 时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密 (2,n),则k的值为 4.x<-2或0<x<3;5.k1<2< 度p(单位：g/cm)的反比例函数，当密度计悬浮 3.如图3，菱形OABC的一边OA在x轴的负 能力提高 6.（1)a的值为-4. 在密度为1g/cm的水中时，h=20cm,当密度计 半轴上，0是坐标原点，A点坐标为(-5,0)，对角 (2)①④.(3)x<0或x>4. 悬浮在另一种液体中时，h=25cm,则该液体的 线AC和OB相交于点D,且AC·OB=40.若反比 26.1.2反比例函数的图象和性质（第二课时）】 基础训练1.A;2.A;3.4;4.8;5.3. 密度p为 g/cm'. 例函数y= <0)的图象经过点D,并与BC 3.某段公路全长200km,一辆汽车要行驶完 这段路程，则所行速度v(km/h)和时间t(h)间的 的延长线交于点E,则SAOCE= 能力提高6(1)反比例函数的表达式为y=2 (2)存在点P(8,4)或P(-8,-4),使得 函数关系为v= ,若限定汽车行驶速度 △OAP的面积等于菱形OABC的面积 不超过80km/h,则所用时间至少要 h. 第16期3版参考答案 4.生活中做拉面的过程渗透着数学知识， 题号12345678 定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细 答案DD C B C DAD (横截面面积)存在一定的函数关系.项目化学习 3 小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整 4.如图4，正方形ABCD的顶点分别在反比例 =9-2:109:1y=228 理如下： 函数)=（>0)和y=生(k>0)的图象 13.(2,6);14.4. 三15y=+24 1 面条粗细s/cm2 …0.40.30.20.1… 面条总长度y/cm .334466132… 上.若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k,+k,= 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm 16.(1)y=-36 5.如图5，在平面直角坐标系中，反比例函数 时，面条粗细为」 cm2. (2)y的取值范围为-9≤y<-6, 能刀提高 y=左(x>0)的图象与矩形OABC的边AB,BC x 17.(1)点C的坐标是(6,4). (2)k的值是15， 5.心理学研究发现，一般情y 分别交于点M,N,且M为AB的中点，点B(4,3). 况下，在一节40分钟的数学课40 B (1)求反比例函数的表达式： 18()函数，的表达式为=，函数的 中，学生的注意力随上课时间的204 (2)连接OM,ON,MN,求△MON的面积 表达式为y2=-x+4. 变化而变化开始上课时，学生的01024 14 (2)由平移的性质可得点D坐标为(-3，n- 注意力逐步增强，中间有一段时 图2 3),因为点D在函数y1的图象上，所以-3(n-3) 间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后 =2n,解得n=号，所以n的值为号 学生的注意力开始分散通过实验分析可知，学生 的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如 19.(1)一次函数的表达式为y1=-x+3. (2)①因为点B,C都在第一象限，k=-1,联立 图2所示，点B的坐标为(10,40)，点C的坐标为 (24,40),CD为反比例函数图象的一部分. 13得-x+6=及，整理，得-2+bx-m=0,由 (1)求CD所在的反比例函数的表达式： 题意知该方程有解，所以b2-4×(-1)×(-m)= (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理 b2-4m≥0. 题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学 ②因为m-b=2,所以m=b+2,由①知，当 效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问 tb2-4m=0时，B,C重合，此时BC最小，所以b2- 吴老师的安排是否合理？并说明理由. 4(b+2)=0,解得b=2±2√3.又因为b≥6，而2 ±23<6，所以当b=6,m=8时，BC有最小值.令 -x+6=,整理，得-2+6x-8=0,解得x 2,x2=4,故B(4,2),C(2,4),所以BCmin= 数理报社试题研究中心 数理报社试题研究中心√(4-2)2+(2-4)=22. (参考答案见下期) (参考答案见下期) (下转1,4版中缝) 7.已知菱形OABC在平面直角坐标系中如图y个 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 《反比例函数》综合评估卷 2放置，点C在x轴上，若点A的坐标为(3,4)，经 过点A的双曲线交BC于点D,则△OAD的面积 16.如图7，一次函数)y=x-1与反比例函数y=?的图象交 ◆数理报社试题研究中心 为 ( 于A(-2,1),B两点，分别求出反比例函数与一次函数的关系式 (考试用时：120分钟 满分：120分) A.8 B.9 C.10 D.12 题号 二 三 四 五 总分 8.若反比例函数解析式为y=6,则下列说法不正确的是( 得分 A.图象位于第一、三象限 B.图象经过点P(2,3) 、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分 C.y随x的增大而减小 D.图象关于原点对称 题号1 34 5 6 789 10 9.如图3，直线y=-x+3与y轴交于点A,与 IX* 答案 反比例数y=兰（≠0)的图象交于点C,过点 1.下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是 C作CB⊥x轴于点B,A0=3B0,则反比例函数 B O 17.如图8，根据小孔成像的科学原理，当像距和物高不变时，火 A.y=2x-1 B.y=x2+x 的表达式为 图3 A.y=4 4 焰的像高y(单位：cm)是物距x(单位：cm)的反比例函数，当x-6 1 B.y=- 数 理 C.y=3 D.y=-3* x 时，y=2. 报 (1)求y关于x的函数表达式： 2.反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(-4,3)，这个反比 C.y=2 D.y=-1 报 初 (2)若某一时刻像高为3cm,则此时物距为多少？ 初 中 例函数的图象一定经过 ( 10.如图4，已知矩形ABCD的顶点A,B分别 数 学 A.（-4,-3)》 B.(3,-4) 落在双曲线y=(k≠0)上，顶点C,D分别落在 C.(3,4) D.(-3,-4) 教 3.古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力 y轴、x轴上，双曲线y=过AD的中点E,若0C 中 ×阻力臂=动力×动力臂”.建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已 =3,则k的值为 ( 图4 知阻力和阻力臂分别是1000N和0.4m,则动力F(单位：N)关于动 A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 GDY 力臂（单位：m)的函数表达式正确的是 ( 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 综 A.F=1000 B.F=4000 C.F=1000 D.F=400 11.若函数y=-2x“是反比例函数，则m的值是 41 12.在平面直角坐标系x0y中，若函数y=(k≠0)的图象经 合评 4如图1，点A是反比例函数y=女的图象上 18.如图9，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点） 过点(3，y)和(-3，y2),则y1+y2的值是 估 卷 的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B.点C为y轴 13.如图5，取一根长100cm的匀质木杆，用 上，对角线4C,BD相交于点E,反比例函数y=k(x>0)的图象经 卷 上一点，连接AC,BC.若△ABC的面积为3，则k的 细绳绑在木杆的中点0并将其吊起来.在中点0 过点A. 值是 () 的左侧相距25cm(L,=25cm)处挂一个重 (1)求这个反比例函数的表达式； A.3 B.-6 9.8N(F1=9.8N)的物体，在中点0右侧用一 (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点， C.6 D.-3 个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与 图5 再画出反比例函数的图象； 2a=4的图象上有两点A(x1,),B(x2, 中点O的距离L(单位：cm)及弹簧秤的示数F(单位：N)满足FL 5.在反比例函数y= (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图 F,L.若弹簧秤的示数F不超过7N,则L的值至少为 cm. 象上时，平移的距离为 y2),当x,<0<x时，有y1>y2,则a的取值范围是 14.若点A(13,y1),B(-3,y2),C(11,y3)都在反比例函数y= A.a<2 B.a>2 C.a<0 D.a>0 (用“<”连接)」 6.近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y(度) +1的图象上，则2的大小关系是 t 与镜片焦距x(m)满足关系式y=10.小明原来佩戴400度近视眼 15.如图6，点P是反比例函数y= 4图象上 镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为 点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A,B,交 0123456 910 0.4m,则小明的眼镜度数 反比例函数y=左(0<k<4)的图象于C,D两 图9 A.下降了250度 B.下降了150度 C.上涨了250度 D.上涨了150度 点，若△PCD的面积是号，则务的值是中考数学人教(GDY)第17~20期 数理橘 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY)第17.20期 第17期2版 (2)设反比例函数表达式为y=真，依题意可知C(40,8) 26.2实际问题与反比例函数 在图象上，所以：=320，所以反比例函数表达式为y=32四 基础训练1.A2.0.8:3.200,2.5;4.0.06. t (3)依题意可知，DE,CF的函数图象关于y轴对称，所以E, 能力提高5.()ya=90(x>24. F两点关于y轴对称，所以点F的纵坐标为32.把y=32代入y x =320,可得x=10,所以F(10,32),所以E(-10,32),所以EF (2)老师安排不合理，理由：由题易得yAB=2x+20,令yAB =2x+20=38,解得x=9.令y0=90=38,解得x=25.3. =20m,即上底面圆形的直径EF的长为20m 20.(1)一次函数表达式为y1=x+2,反比例函数表达式 因为25.3-9=16.3<23，所以老师安排不合理 为为=3 重点集训营 1.6；2.-3；3.2；4.18. (2)由图象可得，当y1>y2时，x的取值范围为-3<x< 5(1)反比例函数的表达式是y=6 0或x>1. (3)设直线y1=x+2与y轴相交于点D,过点A作AM⊥ (2)将y=3代人y=6中，得x=2,即点N的坐标是(2,3)， x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,则D(0,2),所以OD= 2,因为点B,C关于原点对称，所以C(3,1),所以MN=2,CW 因为四边形OABC是矩形，B(4,3),M(4,1.5),所以∠BC0= =1,ON=3,所以S△ABc=S△BOD+S梯形ADOM+S梯形Ac-S△ON ∠BAO=∠B=90°，BN=4-2=2,OC=BA=3,CN=2,AM =8,即△ABC的面积为8. =BM=1.5,所以SAMON=S矩形0c-S△OCY-S△Y-S△OAM= 4×3-分x3×2-7×2x15-7x4x1.5=45 21.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)根据题意，得S正方形Bm=4×4=16,EF=4,设P(m, 第17期3,4版 m),则Sr=P小m1=21m1=8,解得m=±4，当m 题号12345678910 =4时，n= 答案CBDBABCCBB 子=子此时P4,子》当m=4时a= 4 二、11.-1；12.0；13.35；14.52<y1<y3； 子此时(-4.- 3 三，16反比例函数的关系式为y=-2,一次函数的关系 综上可知，在反比例函数的图象上存在点P,使得△PEF的 面积等于正方形ABCD面积的一半，点P的坐标为(4，之)或 式为y=-x-1 17.(1)函数表达式为y=二 (2)物距为4cm. 五，2(1)反比侧函数的表达式为y=至 18.(1)反比例函数的表达式为y=6 (2)由题意得A(1,3),设一次函数y=-x+4与x轴交于 （2)反比例函数y=的图象经过点(1,6)，(2,3)，(6， 点E,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4,所以C(0,4),E(4, 0),所以△OAB的面积=S△OE-S△A-S△E0=4,因为 1),画图略. △ACD的面积是△OAB面积的2倍，所以△ACD的面积为8，设 (3号 D(t,0),则DE=14-tl,所以SAAD=S△cDE-SaDE=8,所以 四、19.(1)(40,8) 子14-1×4-4-1×3=8，解得4=-12或20.所以 中考数学人教(GDY) 第17~20期 点D的坐标为D(-12,0)或D(20,0) 因为点B在函数y=3的图象上， (3)过点A作x轴的平行线CD,作FC⊥CD于点C,ED⊥ CD于点D,设E(a,名)(a>D.因为A(1,3),所以AD=a- 所以设点B的坐标为(m,3)(m>0), m 1,DE=3-子由题意得AE=A,∠FAE=90,所以∠EAD 所以BE=3-3,AE=m-1, m +∠CAF=90° 因为∠CDA=∠BEA=∠BAC=90°， 因为∠EAD+∠AED=90°，所以∠CAF=∠AED,所以 所以∠CAD+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，所以 △ACF≌△EDA,所以CF=AD=Q-1,AC=DE=3-3 ∠CAD=∠ABE, 由旋转的性质可知，AC=AB,所以△ACD≌△BAE, 所以F(3-2,4-a).因为点F恰好也落在这个反比例函数的 所以AD=BE=3-3,CD=AE=m-1, m 图象上，所以(3-2)(4-a)=3, 所以点C的坐标为(3-2,4-m), 解得a=6或a=1(舍去)，所以E(6,) 因为点C在函数y=是图象上，所以（品-2(4-m） 23.(1)①点(-1,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为 3,解得m1=6,m2=1(舍去)， (2,1),把x=2代入y=2x-1,得y=2×2-1=3≠1，所 以点(2,1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(-1,2)不是 所以点B的坐标为〔6，宁》。 原点0关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 第18期2版 ②点(1,3)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(3，-1)， 把x=3代入y=2x-1,得y=2×3-1=5≠-1，所以点 27.1图形的相似 (3,-1)不在函数y=2x-1的图象上，所以点(1,3)不是原点 基础训练1A:2.C:3.2:3:4. 2 0关于一次函数y=2x-1图象的“直旋点”； 5.设运动ts能使矩形CFVM与矩形AEFD相似，由题意得 ③点(-3,2)绕原点顺时针旋转90°的对应点为(2,3)， 把x=2代入y=2x-1,得y=2×2-1=3,所以点(2,3)在 兰-受或9=是解得=4或1=1所以当M,N运动4： 2t1 函数y=2x-1的图象上，所以点(-3,2)是原点0关于一次 或1s能使矩形CFWM与矩形AEFD相似. 函数y=2x-1图象的“直旋点”.故填③ 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） （2)如图1，设点M绕点V顺时针旋转 90°的对应点为M',过点M作MA⊥x轴于 基础训练1A;2.D;3.6;4,2 点A,过点M'作M'B⊥x轴于点B, 5.ch的长为g 因为M(-2,4),N(1,0),所以0A=AON 2,MA=4,0N=1,所以AW=2+1=3, 图1 能力提高6()因为AD∥BE∥c,所光== 因为∠MAN=∠M'BW=∠MWM'=90°， 所以∠AMWN+∠AWM=∠ANM+∠BNM'=90°，所以 号.所以50=号，所以0E=4,所以DF=DE+EF=4 ∠AMW=∠BWM',由旋转的性质可知，MW=M'W, +10=14. 所以△MAN≌△NBM',所以BN=MA=4,BM'=AW= 3 (2)因为点G是DE的中点，AD∥BE,QG=3,所以 DE 所以0B=1+4=5, =分所以01=6，因为D∥8E∥C,所以册=品 QG 所以M的坐标为(5,3)，把(5,3)代人y=,得k=15. 所以=号，所以PH=15 (3)如图2，设点B绕点A顺时针旋转 27.2.1相似三角形的判定（第二课时） 90°的对应点为C,连接AC,AB,过点A作x 基础训练1.A；2.C;3.18;4.2或4. 轴的平行线DE,过点B作BE⊥DE于点E, 能力提高5.证明：由A,B,C三点的坐标可以得到OA= 过点C作CD⊥DE于点E, 3,0B=4,AD=1,CD=2,所以AB=5,AC=5,BC=25, 因为点A(1,3)在反比例函数y=的 图2 1化 图象上， 在△c和△4c0中，因为胎-5-5%-2 2 所以k=1×3=3,所以反比例函数的解析式为y= 5是-后=5.所始-%-光所以A4cA4n 一2 中考数学人教(GDY) 第17~20期 27.2.1相似三角形的判定（第三课时） AB=AD,所以△ABD~△ACE. AC AE 基础训练1.C:2.C:3.专；42或8 19.(1)如图3，设AB=x,由翻折的性质得， 能力提高5.(1)证明：因为AB=2AD,AC=2AE,所以 LACF=∠HDF,∠ACB=∠HDB,∠BCF= 号=怨=2又因为∠A=∠A,所以△ADE~△ABC ∠BDF=90°. 因为∠ACE=∠ACB+∠ECB=∠BCF= (2)因为AE=2,AD=3,所以AB=2AD=6,AC=2AE ∠BCE+∠ECF,∠ECF=45°，所以∠ACB= 图3 =4,所以DC=1,BE=4.因为AED=AS=1,S△4®=AD SABDE BE 2'SACDE CD ∠ECF=45°，所以BC=2x,所以BD=BC=N2x,所以AD= 1 AB+BD=(D+1)x,所以EF=CE=AD=(D+1)x,因为 3,所以5E=9ASwE=2Sa,所以3 EEAC=AB=x,所以DF=DE+EF=(2+2)x,所以号 2SAAED 6 -(5+2)=万+2=万. (2+1)x2+1 第18期3版 (2)相似.理由：由(1)知：A5纸长边为A4纸短边，长为 题号12345678 (万+1)x,A5纸短边长为(，+2)x,所以在A5纸中，长边： 2 答案DBBBC C DB 二、9.都是；10.8；11.△MCB;12.70,28; 短边=5+)=V巨，所以A4纸与A5纸相似 13.6;14.9. 巨+2)x 2 三、15.证明：因为菱形AEFG∽菱形ABCD,所以∠DAB= 20.(1)BE=AD.理由如下： ∠EAG,所以∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB,即∠EAB= 如图4，连接CE.因为a=60°，AB=AC,且由旋转的性质 ∠GAD,因为四边形ABCD,AEFG都是菱形，所以AE=AG,AB 得CD=DE, =AD,所以△EAB≌△GAD,所以GD=EB. 所以△ABC,△DCE均为等边三角形，所以BC=AC,CE 16.(1)△BCD△BAC.理由如下： =DC,∠BCA=∠ECD=60°， 4 所以∠BCE=∠ACD,所以△BCE≌△ACD,所以BE= 因为BD=专，AB=3,BC=2,所以股= 3 2 BC BC=2=3BA AD. 子，所以批-断因为∠DBC=∠CBA,所以△BCD BC △BAC. 5 ②因为△C0△BC,所2器即亮=子所 AC (2)BE=√2AD.理由如下： 以AC=2 5 如图5，连接CE.因为a=90°，AB=AC,且由旋转的性质 得CD=DE, 17.(I)证明：因为EC平分∠FEB,所以∠FEC=∠BEC, 所以△ABC,△DCE均为等腰直角三角形.设AB=AC= 因为EF∥BC,所以∠BCE=∠FEC,所以∠BCE=∠BEC,所 x,DE=DC=y,则根据勾股定理得BC=√2x,CE=√2y,所以 以BE=BC. (2)AE=BC理由：因为4D/EF,所以昭器=能因为DF 能=巨品-万，所以怨=C 又因为∠BCA=∠ECD=45°，所以∠BCE=∠ACD,所 =FC,所以AE=BE,又因为BE=BC,所以AE=BC 以△BCE∽△ACD, 18(1)证明：因为8-能-怎所以AAC△A0E。 所5-股=厄，所以E=万AD 所以∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF=∠DAE- ∠DAF,所以∠BAD=∠CAE. (3)因为在△ABC中，∠BAC=120°，AC=AB=2BE= (2)因为△ABC△ADE,所以∠ABC=∠ADE.因为 25,所以BE=3,∠ABC=30°， ∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,所以 所以AP=AB=万， ∠EBC=∠BAD=21° (3)证明：由(1)知∠B0:∠C北因为治-长所以 当点E在直线BC上方时，连接CE,如图6，同(2)得 △BCE∽△ACD,所以EB=3AD,所以AD=1,所以DP=AD 一3 中考数学人教(GDY)第17~20期 1 =31 能力提高5.过点A作AG⊥DE,交BC于点F,垂足为G, +AP=1+3,所以DP=1+52: 由题意，得AF=CM=60厘米=0.6米，AG=EN=30米，BC 当点E在直线BC下方时，连接CE, =24厘米=0.24米，因为BC∥DE,所以∠ABC=∠ADE, 如图7，同(2)得△BCE∽△ACD,所以 ∠4ACB=∠AD,所以△A0C△A0E,所以%-装-是 EB=3AD,所以AD=1,所以DP=AP 1 AD=5-1,所以DP=5 =0解得DE=2米 答：这个建筑物DE的高度为12米 5+1 2 第19期3版 综上品的值为5安5 2 一、 题号12345678 答案ABBACB BD 第18期4版 二、9.∠AED=∠B(答案不惟一)；10.36；11.4： 重点集训营 12.4:10:25;13.24；14.30°或60° 1G:2B:3946 三、I5.证明：因为CD⊥AB,EF⊥AE,所以∠FDG= ∠FEG=90°，所以∠DGE+∠DFE=180°.因为∠BFE+ 第19期2版 ∠DFE=180°，所以∠BFE=∠DGE,又因为∠DGE= 27.2.1相似三角形的判定（第四课时） ∠AGC,所以∠AGC=∠BFE,又因为∠ACB=∠FEG=90°， 基础训练1.A;2.D:3.70:4.4. 所以∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠EAC=90°，所以∠EAC= 5.(1)作图略. ∠BEF,所以△AGC∽△EFB. 16.因为AO⊥OE,且BF⊥DF,所以△AOD∽△BFD, (2)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BMD=分∠BAC, △40E△CE,所以品=8票-87=1， 因为∠BAC=2∠C,所以∠C=∠BMC,所以∠BMD=∠C, 设OF=xm,则A0=0D=x+0.7, 又因为∠ABD=∠CBA,所以△ABD△CBA 能力提高6.证明：(1)因为AC平分∠DAB,所以∠DAC 又因为A40E△ck.所品=器即2兰=装 =∠CAB.因为∠ADC=∠ACB=90°，所以△ADC∽△ACB, 解得x=5.6,经检验x=5.6是原方程的解，所以A0=6.3m. 所以AD:AC=AC:AB,所以AC2=AB·AD 答：0A的高度是6.3m. (2)因为E为AB的中点，所以CE=BE=AE,所以∠EAC 17.(1)证明：因为DE∥BC,所以△ADN△ABM, =∠ECA.因为∠DAC=∠CAB,所以∠DAC=∠ECA.又因为 △E△4wc所u-器-所以-0又 ∠AFD=∠CFE,所以△AFD∽△CFE. 因为点M是BC的中点，所以BM=CM,所以DW=EN. 27.2.2相似三角形的性质 基础训练1.B;2.D;3.A;4.A; （2②)因为DE∥BC,所以器=%=子，因为DE∥C. 5.12；6.16. 能力提高7.(1)证明：因为DE∥BC,所以∠AMD= 所以△D0E△c0B,所以2器=器=号， ∠ANB=90°，∠ADM=∠B,∠AED=∠ACB, 因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以△= DE SAABC BC 所以△AE∽△ABC,△ADN△ABY,所以铝-瓷， = 2S,设SAE=4x(x>0),则SA4c=25x,因为四边形BCED =所以器=兴 的面积为42，所以25x-4x=42,解得x=2,所以S△4B=50. (2)因为D是4B的中点，所以光=之由()知△40E 18.(I)过点E作EH上CD于点H,交AB于点J,则四边形 EFBJ,四边形EFDH都是矩形，所以EF=BJ=DH=1.5米， 一△A0C,所以5=铝=子，所以AE=BC,所以5e= BF=EJ=2米，DB=JH=23米.因为AB=2.5米，所以AJ =AB-BJ=2.5-1.5=1(米).因为AJ∥CH,所以∠EAJ= S因为△A0E一△4BC,所以E=(8= 1)2= SAABC ∠BC,∠AB=∠CEB,所以△B~△BCI,所以出-品 =品=232解得cH=125米，所以cD=CH+01= 27.2.3相似三角形应用举例 12.5+1.5=14(米). 基础训练1.D;2.D;3.4.5;4.3.6. 答：大楼CD的高度为14米 4 中考数学人教(GDY) 第17~20期 (2)过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R,连接EG,由 第19期4版 题意得，点E,A,G在同一条直线上.设BF=x米，因为AR∥ GT,易证得△BMR~△BcT,所以号=祭=35 重点集训营 1.D; 23+2解得x=2.5.因为2.5-2=0.5（米），所以标杆AB应 22或号 3.证明：(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,因为CE=BF, 该向大楼方向移动0.5米. 所以△ACE兰△ABF,所以∠CAE=∠BAF 19.证明：(1)因为AD∥BC,所以∠MAB=180°-∠ABC, (2)因为△ACE≌△ABF,所以AE=AF,∠CAE= 因为∠BGF=∠ABC,所以∠MAB=18O°-∠BGF, 因为∠AGB=180°-∠BGF,所以∠AGB=∠MAB. ∠B4P,因为4E=A0·AB,4C=A,所以号=-是即瓷= 又因为∠ABG=∠MBA,所以△BAG∽△BMA (2)连接CM.因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC= 长所以△4CE∽△4F0 CD.因为∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形.所以AC= 第20期2版 CB CD. 又因为M为AD的中点，所以CM⊥AD.又因为AD∥BC,所 27.3位似 以CW1BC由I)得品-胎所以Bc·BM=A.所以 基瑞训练1C:2.C:3(8,10:4空 BG·BM=BC.所以EC=BC 能力提高5.(1)图略. BC=BM (2)图略。 又因为∠CBG=∠MBC,所以△BGC∽△BCM.所以 (3)△A0B与△A2O2B2是关于某一点为位似中心的位似 ∠BGC=∠BCM=90°.所以CG⊥BM. 图形，位似中心的坐标为(6，-2). 20.(1)证明：因为∠ACD=∠B,∠A=∠A,所以△ADC 重点集训营 一△4CB,所以是-治所以4C=A0·AB 1.C:2D:3.B49:53或2万 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC,∠A 6.(1)因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点， =∠C. 所以∠ABC=∠BAC=∠BCD=∠ACD=45°. 又因为∠BFE=∠A,所以∠BFE=∠C. 因为CE=CE,所以△BCE≌△ACE,所以∠EBC= 又因为∠FBE=LCBF,所以△BFE∽△BCF,所以 ∠EAC,AE=BE. BC 因为EF=EB,所以∠EBF=∠EFB,所以∠EFB= 能所以B=BE~BC,所以BC--号所以4D= 9 2 ∠EAC. 因为∠EFB+∠EFC=18O°，所以∠EFC+∠EAC= (3)如图8，分别延长EF,DC相交于 180°，所以∠AEF=360°-（∠EAC+∠EFC)-∠ACB=90°. 点G, (2)证明：因为CA=CB,∠ACB=90°，D为AB的中点，所 因为四边形ABCD是菱形，所以AB 以∠ADE=90°. ∥DC,LBAC=2∠BAD. 1 因为EF⊥FG,所以∠ADE=∠EFG=90°，所以∠AED 因为AC∥EF,所以四边形AEGC为 图8 +∠DAE=90°，因为∠AEF=90°，所以∠AED+∠GEF= 平行四边形，所以AC=EG,CG=AE=1,∠EAC=∠G 90°，所以∠DAE=∠GEF,所以△AED△EGF, 因为LEDF=∠BAD,所以∠EDF=∠BAC,所以 所以瓷=兴即A北：水=AD:C ∠EDF=∠G. 因为AE=EB,EF=EB,所以EF=AE,所以AE=AD· EG 又因为∠DEF=∠GED,所以△EDF~△EGD,所以 G 第20期3,4版综合评估卷 品所以DE=F.EG 题号12345678910 又因为EG=AC=2EF,所以DE2=2EF2,所以DE= 答案ABACABBACA √2EF 二、11.∠B=∠E(答案不惟一)；12.2：1；13.20； 又丙为e-2华所以DG=0F=3万，所以DC=G 14.20；15.4. 三、16.甲、乙两地的实际距离是12.5km. -CG=32-1,所以菱形ABCD的边长为32-1. 17.(1)图略. 中考数学人教(GDY)第17~20期 (2)3:1. 3 (3)9+35+32. 4、3 t,所以t=3. 6t 18.证明：(1)略. (2)因为在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,所以∠ABC= 23.(1)证明：因为△ABC△ADE,所以∠B=∠D,4g 'AD ∠BCD,又因为∠BCE=∠ABD,所以∠DBC=∠DCE,因为 8能因为F,G分别是BC,DE的中点，所以BF=弓BC,Dc ∠BDC=∠DE,所以△C~△R,所以2%=品所以cW 2 =DE·DB. 号DE,所以 DG =E-8所以△4GD一△AB 四、19.这条河的宽度为30米 20.(1)证明：因为AD⊥BC,DE⊥AC,所以∠ADB= (2)连接AF,AG,取BC的中点H,连接AH, ∠AED=90°.因为∠DAB=∠DAE,所以△DAE△BAD,所 因为4CF=BC,4G=BD,所以先-器。 给-治所以4心=8 又因为4AC=2BC,则CF=子Bc=24C (2)瓷的值为号（规示：运△4GE△DGF. 设CF=a,则BC=4a,所以BM=CH=AH=弓BC= 21.(1)由题意得AB⊥L,A'B'⊥L, 2a,AC=2a,所以AC=CH=AH=2a,则△ACH是等边三角 所以AB∥A'B',所以∠ABO=∠A'B'O,∠BAO = 形，又因为CF=FH=a,所以AF⊥BC,因为∠ABC=30°，所 ∠B'A'O 以AF=2AB 所以△AB0一△A'B'0,所以45=OC A'BOD' 因为0C=35.2cm,0D=12.4cm,AB=8.8cm,所以 因为△4C~△40E,所以铝=%=长<C=∠E, 器-总子解得4"公=31m ∠CB=∠BAD=90,所以器-能所以△4Cr~△AC 答：像A'B的长为3.1cm. 所以%-长Lca=LiC (2)由题易得号-品因为BL1,v1,所以AB∥N 又因为∠CAB=∠EAD=90°，所以∠FAB=∠GAD.所 以∠FAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG,即∠FAG=∠BAD. 因为AP∥1，所以四边形ACOP为平行四边形，所以AP=OC =35.2cm. 又因为名-铝所以装-治所以△A5G一△4n所 易证得△40一△PA,所以智-，所 CD =AP 因为0D=12.4cm,所以CD=0C+0D=47.6cm,所以 (3)连接4P,由(2)得品-铝所以FG=告·D,所以 名-5解得0P9.2em 当G在AF上，且AF⊥BC,D在AB上时，FG取得最小值 答：焦距OF的长约为9.2cm. 因为4C=4,4=2.△ABC△A0E,所以能-指=2 五，2智或号 当E在4C上.D在4上时，因为器-器所瓷-% EG ED =2. (2)过点E作EF⊥AB于点F,设运动时间为t秒时，CD⊥ DE,AD =t cm,BD (4-t)cm,BE 2t cm,CE =(5- 又因为∠C=LAED=60°AE-花=2，所以A4EGG 2)em(0≤t≤). △ACF.所以∠AGE=∠AFC 又因为ED∥BC,所以A,G,F三点共线， 因为∠B=∠B,∠EFB=∠CAB=90°，所以Rt△BFEM 所以FG=AF-AG=AF-方F=分4 △8C,所贺-能-片即臀-号所以BF=号 5 cm, 所以当MF⊥BC时，FG取得最小值，最小值为了 EF=号cm,所以N=(4-)em, 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=4,所以BC=8,AB= 因为CD⊥DE,所以∠CDE=90°，所以∠ADC+∠EDF 43. =90°， 在Rt△ABF中，∠ABC=30°， 因为∠BAC=90°，所以∠ADC+∠ACD=90°，所以 所以4F=之4B=25. ∠ACD=∠EDF,所以△ACD一△F0E,所以-是即 所以FG的最小值为√3. —6