第20期 27.2 与圆有关的位置关系【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

4 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 (上接第3版) 20.（12分)如图16，在△ABC中，AB=AC, 报纸发行质量反馈电话： 19.(12分)如图15，等腰三角形ABC内接∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E,AE的 于⊙O,AB=AC,点I是△ABC的内心，连结BI延长线交△ABC的外接圆于点D,连结BD 重点集训营 0351-5271248 并延长交⊙O于点D,点E在BD的延长线上，满 (1)求证：∠BAD=∠DBC: (上接4版参考答案) 足∠EAD=∠CAD.试证明： (2)求证：点B,E,C在以点D为圆心的同 1.已知：点P是⊙0外一点 20.(1)证明：因为 （1)OA所在的直线经过点I; 个圆上； (1)尺规作图：如图1，以OP为直径作 ∠BAC=∠ADB,所以AB (2)点D是E的中点 (3)若AB=5,BC=8,求△ABC内心与外 ⊙O'交⊙O于E,F两点，连结OP,PE,PF(保 留作图痕迹，不要求写作法)： =BC,所以∠ADB= 心之间的距离， (2)在(1)的条件下，求证：PE,PF是⊙O ∠CDB, 即DB平分 的切线 ADC (2)因为BD平分 ∠ABC,所以∠ABD= ∠CBD,所以AD=CD,所 以AB+AD=C+CD,即 BAD=BCD,所以BD是直 径，所以∠BAD=90°. 2.如图2，△ABC内接于⊙0，AB为⊙0的 (3)因为CF∥AD,所 直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D,过点D作 以∠F+∠BAD=180°，因 直线DE交CB的延长线于点E,且∠BDE= 为∠BAD=90°，所以∠F ∠DCE. (1)求证：DE是⊙O的切线： =90.因为AD=C,所以 AD=DC.因为AC=AD (2)若⊙0的半径为，求DB的长 所以AC=AD=CD,所以 △ADC是等边三角形，所 以∠ADC=60°.因为BD 平分∠ADC,所以∠CDB =7∠ADC=30°.因为 BD是直径，所以∠BCD= 数理报社试题研究中心 90°，所以BC=一BD.因 (参考答案见下期) 数理报社试题研究中心 为四边形ABCD是圆内接 第19期2版参考答案 积=7×6×8+7×52×52=49(cm2). (参考答案见下期) 四边形，所以∠ADC+ 27.1.1圆的基本元素 ∠ABC=180°，所以 基础训练1.A;2.B;3.C 第19期3版参考答案 ∠ABC=120°，所以 ∠FBC=60°，所以∠FCB 4.无数，1：5.36°. 一、 题号12345678 辅助线周周练 =90°-60°=30°，所以 6.连结OB.因为AB=OC,OB=OC,所以AB= 答案DB DCABC C FB=BC.因为BF=2 BO,所以∠EAD=∠BOA,所以∠EBO=∠BOA+ 二、9.4条；10.4；11.50°；12.6或221： ∠EAD=2∠EAD.又因为OE=OB,所以∠EB0= 所以BC=4,所以BD= 13.52.5;14./29-2. 1.如图1，D为△ABC内一点，且∠BAD= 2BC=8.因为BD是直径， ∠E,所以∠E=2∠EAD,所以∠EOD=∠E+∠EAD 三、15.证明略. ∠BCD,BD⊥CD.作DH⊥AB于H,HD的延长 所以此圆半径的长为 =3∠EAD=81°，所以∠EAD=27° 16.证明：因为AB为⊙0的直径，点E是弦CD的中 线交AC于E,若DE=3,AB=5,则BC= 27.1.2圆的对称性（第一课时） 2BD=4 基础训练1.D:2.120° 点，所以AB1CD,所以AD=AC,所以∠B=∠F,因为 第19期4版参考答案 CF∥BD,所以∠AGF=∠B,所以∠AGF=∠F,所以 3.(1)∠AEC=∠OAB+∠AOC=75. 重点集训营 AG AF. (2)证明：连结AC,BD,因为OA=OC,∠AOC= 1.60°：2.35. 17.(1)⊙0的半径为2 3.(1)四边形ABED 30°，所以∠ACE=75°，所以∠ACE=∠AEC,所以AC (2)因为∠BAC=90°，∠ACB=30°，所以∠B= 是矩形，理由如下： =AE,同理可证BF=BD,因为C,D是AB的三等分点， 60°，因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D 因为CD是⊙O的直 所以AC=CD=BD,所以AE=BF=CD. 图1 图2 径，所以∠CED=90°，所 =120°，因为点D为AC的中点，所以AD=CD,所以 能力提高4.∠0DC=45°，∠D0B=67.5. 2.如图2，在半径为4的⊙0中，弦AC= 以∠BED=90°，因为AD ∠DAC=∠DCA=30°. ∥BC,所以∠ABC+∠A 27.1.2圆的对称性（第二课时） 42,B是⊙0上的一动点（不与点A重合），D 18.(1)桥拱的半径是10米. =180°，因为∠A=90°， 基础训练1.C;2.C;3.15°或75：4.1.3 是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值 (2)连结OD,因为C0⊥DE,DE=12米，所以DM 所以∠ABC=90°，所以四 能力提高5.纸杯的直径为5cm 边形ABED是矩形. 27.1.3圆周角 =2DE=6米，所以0M=√OD-DM=8米，因为 ·口自巡兴☑出Y马落 (2)因为LA=90 基础训练1.C;2.A;3.24;4.99°；5.40°.0N=0C-CN=6米，所以MN=8-6=2(米)，所以 H9‘4H学中40彩殖‘斗明9+ ∠ABD=30°，所以BD= OV怕‘具￥售旗WV‘并学三‘)‘V学 2AD=6,因为2DF=BF 6(1)证明：因为AB是⊙0的直径，CD1AB,所以BC水面涨高了2米. 乐适四采‘但买丁阊未咲1(‘Q画 所以BF=4,DF=2,因为 19.(1)连结E0,设⊙O半径为r,因为EG⊥AB,所 =BD,所以∠A=∠2，又因为0A=0C,所以∠1=∠A, )学母N学匿回‘)V‘N9买‘)学中 四边形ABED是矩形，所以 以CE=CG=2EG=4,因为AC=2,所以0C=r 明a0连‘3影秉‘恤丁图2未4M‘ ∠FDE=∠ABD=30°，所 所以∠1=∠2. 图g3再0学话‘乞=90子=0低能 以∠FCE=∠FDE=30° (2)⊙0的￥径为是 2,在Rt△CE0中，由勾股定理，得OE2=CE+0C2,即 因为CD是⊙0的直径，所 2=42+(r-2)2,解得r=5,所以⊙0的半径为5. X 彩买中男三郡‘☒a买‘☒学中明 以∠CFD=90°，所以 能力提高7.因为AB是直径，所以∠ACB= (2)证明：连结OE,OF,因为AC=BD,OA=0B,所 OF连‘0a‘0v买【些群】I+EI/Z ∠BFC=90°，所以BC= ∠ADB=90°，在R△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,所以OC=OD,因为EG1AB,FH⊥AB,所以∠0CE= ·血鹅半缸兴☑出Yg 8,CF=43,所以CD= 以BC=8cm,因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠ODF=90°，在R△COE和Rt△DOF中， 弯‘9=I0乙=，OPm彩母中9，ODVV音9d ∠BCD,所以=m,所以AD=BD,在R△ABD中，由0C=OD,所以R△COE兰R△DOP,所以∠A0E= 开影单y兴味明彩玛中甲里“8门=80举 √CF2+DF2=2√3，所 毁‘0，)87=Q0A7甲}唐矣Y缸兴， 以⊙0的半径是√3. 勾股定理，得AD2+BD2=AB2,所以AD=BD=52cm LOE =OF. 唱画御‘O8°O县‘0壬斗I门冬 (全文完) 所以四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面 ∠BOF,所以AE=BR (下转1,4版中缝) 图阴☑aV7W【些群】9入T【荸号】 数理极 2025年11月13日·星期四 初中数学 剪 20期总第1164期 华东师大 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F)邮发代号：21-207 题型间 例1 如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O 三角形的外接圆 赏析 的弦，OD⊥BC于点E,交BC于点D,连结CD. (1)请写出三个不同类型的正确结论； (2)设∠CDB=,∠ABC ©河北 尹洁琼 例1如图1，⊙0是 例2如图2，点C =B,试找出a与B之间的一个 △ABC的外接圆，连结AO,若 为△ABD的外接圆上的E 关系式，并给予证明， ∠BAC+∠OAB=90°. 解：(1)由OD=OB,可得 一动点（点C不在BAD (1)求证：AB=BC; △OBD是等腰三角形；由AB是 上，且不与点B,D重 (2)作CD⊥AB交于D, ⊙0的直径，可得∠ACB=90°，△ABC是直角 合)，∠ACB=∠ABD= AO的延长线交CD于E,若 三角形；由BC是⊙O的弦，OD⊥BC于点E,交 45°. 40=3,AE=4,求线段AC的长 (1)求证：BD是该外接圆的直径； BC于点D,可得BE=CE,BD=CD,∠BED= 解：(1)证明：连结B0并延长，交AC于T. (2)连结CD,则AC,BC,CD三条线段满足 ∠0EB=90°；由∠0EB=90°，可得0E2+BE 因为AO=BO,所以∠OAB=∠OBA,又因为 什么等量关系？请证明。 =OB2等任选其中三个都符合要求. ∠BAC+∠OAB=90°，所以∠BAC+∠OBA= (2)=90°+B. 90°，所以∠BTA=90°，所以BT垂直平分AC,所 解：(1)证明：因为AB=AB,所以∠ADB= 以AB=BC. ∠ACB,又因为∠ACB=∠ABD=45°，所以 证明：因为a+∠BAC=180°，∠ACB+B+ ∠ABD=∠ADB=45°，所以∠BAD=90°，所以 BAC=180°，所以a=∠ACB+B. (2)延长A0交⊙0于F,连结CF.因为CD BD是该外接圆的直径 因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB= ⊥AB,所以∠CDA=90°，所以∠OAB+∠AED (2)√2AC=BC+CD.证明：如图2，把 90°，所以a=90°+B. =90°，因为∠BAC+∠OAB=90°，所以∠AED =∠BAC=∠FEC.因为AF为⊙0的直径，所△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连结 思维天地 以∠ACF=90°，因为∠FCE+∠ACD=90°， CE,所以AC=AE,BE=CD,∠CAE=90°， ∠BAC+∠ACD=90°，所以∠FCE=∠BAC, ∠ABE=∠ADC,所以△ACE为等腰直角三角 例析 所以∠FEC=∠FCE,所以FE=FC,因为A0形，所以CE=2AC, =3,AE=4,所以OE=1,FE=FC=OF-OE 因为∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC+ 圆的探索性问题 =A0-0E=2.所以在Rt△FCA中，AC=∠ABE=180°，所以点E在CB的延长线上，所以CE AF2-CF2=42. =BC+BE=BC+CD,所以2AC=BC+CD ◎山西赵磊 例2 如图2，在△ABC °名师课堂 中，AB=AC,D为线段BC上 角形内切圆公式的运用 异于B,C的一动点，以A为圆 心，AD的长为半径作⊙A与 ©四川 刘皓月 AB,AC分别交于E,F,连结 结论1：如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC 结论3：如图3，在△ABC中，内切圆⊙0和 DE,DF,若∠B=50°，随着 图2 =a,AC=b,AB=c,内切圆⊙0的半径为r,D, BC,AC,AB分别相切于点E,F,D,则∠FDE= 点D的运动，∠BDE+∠CDF的值是否为定 E,F为切点，则r=2(a+b-c, 90°-2LACB. 值？若不是，请说明理由；若是，请求出该定值 解：∠BDE+∠CDF=40°，为定值.理由： 证明：如图1，连结OD,OE,OF,则四边形 证明：如图3，连结OE,OF,则OF⊥AC,OE CDOE为正方形.所以CD=OE=r. BC 如图2，在⊙A上取任意一点G,连结EG,FG,则 由题意，易得AF=AE,CE=CD,BF=BD. 因为四边形CFOE的内角和为360°， 四边形EDFG是圆内接四边形.因为AB=AC, 所以a+b-c=(BD+DC)+(AE+EC) 所以∠FOE+∠ACB=180. LB=50°，所以∠C=∠B=50°，所以∠BAC (AF+BF)=2CD 2r. 因为LFDE=2∠FO0E, =80,所以∠G=2∠BAC=40,所以 所以r=2(a+b-c). 所以LFDE=90°- 1 -∠ACB. ∠EDF=180°-∠G=140°.因为∠AED= ∠B+∠BDE=50°+∠BDE,∠AFD=∠C+ ∠CDF=50°+∠CDF,AE=AD=AF,所以 ∠EDA=∠AED=50°+∠BDE,∠FDA= ∠AFD=50°+∠CDF,所以∠EDF=∠EDA +∠FDA=100°+∠BDE+∠CDF=140°，所 结论2：如图2，若⊙0为△ABC的内切圆， 结论4：如图4，△ABC的三边长BC,AC,AB 以∠BDE+∠CDF=40°，为定值. 则∠A0B=90°+ 2∠ACB 分别为a,b,c,其面积为S,内切圆⊙1的半径为 2S 证明：因为⊙O为△ABC的内切圆， r,则r= a +b c 本周主讲 航以∠1=∠CD,∠2=∠ABc 证明：如图4，连结IA,IB,IC 27.2与圆有关的位置关系 所以∠A0B=180°-（∠1+∠2）=1809 因为S=SAAB+SAAIC+S△BG= 主要内容：本期需理解并掌握，点和圆的位 2(2CMB+∠ABC)=180-2180- 置关系，直线与圆的位置关系以及圆心的确 2AC·r+2CBr=2(a+b+c)r,所以r= 定，重点掌握切线的判定定理、性质定理以及 ∠ACB)=90°+ 2∠ACB. 2S 切线长定理，掌握三角形的内切圆及内心. a+b+c 素养专练 h 数理极 3.如图1，在半径为5cm的⊙0中，直线l交 ⊙O于A,B两点，且弦AB=8cm,要使直线l与 跟踪训练 ⊙0相切，则需要将直线1向下平移 ( A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 27.2.1点与圆的位置关系 图3 屋出训练 4.如图4，在平面直角坐标系中，过格点A,B, 1.平面内，已知⊙0的半径是8cm,线段OP C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中， =7cm,则点P ( 能够与该圆弧相切的格点坐标是 ( 1 图2 A.在⊙0外 B.(2,4) B.在⊙0上 4.如图2，在平面直角坐标系中，半径为2的 A.(5,2) C.在⊙0内 D.不能确定 ⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正 C.(1,4) D.(6,2) 2.如图1，等边△ABC是⊙0的内接三角形， 方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的 5.如图5，直线AB,BC,CD分别与⊙0相切于 若AB=3,则⊙0的半径是 ( 取值范围是 E,F,G,且AB∥CD,若B0=6cm,OC=8cm,则 3 A. B.③ C.3 5.在直角坐标系中，以P(3,1)为圆心，r为半 BE+CG的长为 cm. 径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则π的值为 6.如图3，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=6,点E是BC 0 的中点，连结AE,点O是线段 AE上一点，⊙0的半径为1，如 图6 果⊙O与矩形ABCD的各边都没 图1 图2 图3 6.如图6，A,B是⊙0上的两点，AC是过A点 有公共点，那么线段AO长的取值范围是 3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中 的一条直线，如果∠A0B=120°，那么当∠CAB 三块碎片如图2所示，三块碎片中最有可能配到 能刀提高 的度数等于 度时，AC才能成为⊙0的切 线 与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 7.如图4，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4, 7.如图7，在△ABC中， A.① B.② BA=5.P是AC上的动点(P不与A,C重合)，设 ∠ACB=70°，△ABC的内切 C.③ D.均不可能 PC=x,点P到AB的距离为y. 圆⊙0与AB,BC分别相切于 4.平面直角坐标系内的三个点A(1,-3), (1)求y与x的函数关系式； B(0,-3),C(2,-3), 确定一个圆（填 点D,E,连结DE,A0的延长 (2)试讨论以P为圆心，半径长为x的圆与 线交DE于点F,则∠AFD= “能”或“不能”) AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值 5.若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大 范围. 8.如图8，四边形ABCD是⊙O的内接四边 距离为8，最小距离为2，那么⊙A的半径为 形，AB是⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的 延长线于点E,已知AC平分∠EAB.求证：CE是 能刀提高 ⊙O的切线. 6.如图3，在同一平面直角坐标系中有5个 点：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2 -2),E(0,-3). (1)画出△ABC的外接圆⊙P,则点P的坐标 为 ,点D与⊙P的位置关系为 点E与⊙P的位置关系为 (2)若在x轴上有一点F,且∠AFB= LACB,请求出点F的坐标 27.2.3切线 能刀提高 屋四训练 9.如图9，O是△ABC的外心，I是△ABC的内 1,如图1，点O是△ABC外接圆的圆心，点I心，连结AI并延长交BC和⊙0于点D,E.若AB= 是△ABC的内心，连结OB,IA.若∠OBC=20° 8,AC=6,BE=4,求AI的长 则∠CA1的度数为 A.20° B.25° C.30° D.35 27.2.2直线与圆的位置关系 垦出训练 1.已知⊙0的半径等于8cm,圆心0到直线l 图1 图2 上某点的距离为8cm,则直线l与⊙0的公共点的 2.如图2，PA,PB是⊙0的切线，切点分别为 个数为 ( A,B,点C为⊙0上一点，∠P=66°，则∠C的度 A.0 B.1 C.1或2D.0或1 数为 ( ) 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC A.66° B.63° C.57° D.60° 4,以点C为圆心，以2.4为半径的圆与AB的公共 3.如图3所示，△ABC的内切圆⊙0分别与 点的个数为 ( AB,BC,AC相切于点D,E,F,且AD=6,BE=4, A.0 B.1 CF=8,则△ABC的周长为 ( 数理报社试题研究中心 C.2 D.无法确定 A.36 B.38 C.40 D.42 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.（10分)如图12，AB是⊙0的直径，点D,E 同步达 在⊙O上，位于直径AB两侧，连结ED,EB,连结 标 检测题（十三 BD并延长至点C,使得∠ACB=∠BED. (1)求证：AC是⊙O的切线； 【检测范围：27.2】 (2)若点E是弧AB的中点，AB=√2，求EB的 (满分：120分) 弦，I是△ABC的内心，连结0L,若OI=√2，∠B01 长 =45°，则BC的长是 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号12 3456 7 号g B.v2+3 答案 C.1+2 D.1+3 1.已知平面内有⊙0和点A,B,若⊙0的半径 8.如图7，半径r=22 =x+2 为3cm,线段OA=4cm,OB=3cm,则直线AB与的⊙M在x轴上平移，且圆 ⊙0的位置关系为 )心M在x轴上，当⊙M与直 A.相离 B.相交 线y=x+2相切时，圆心M C.相切 D.相交或相切 的坐标为 ( 图7 2.如图1，AB是⊙0的直径，CD切⊙0于点 A.(0,0) B.(2,0) C,连结AC,BC,若∠BCD=50°，则∠B的度数为 C.(0,0)或(-6,0)D.(2,0)或(-6,0) 二、细心填一填（每小题4分，共24分） A.40° B.459 9.已知⊙0的半径是4，点P到圆心0的距离 17.（10分)如图13，⊙0与△ABC的AC边相 C.50 D.55 d为方程x2-4x+4=0的一个根，则点P在⊙0切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥0A, (填“上”“内”或“外”) CE是⊙O的直径. 10.如图8，在⊙0中，AB是直径，AC是弦，过 (1)求证：AB是⊙O的切线； 点C的切线与AB的延长线交于点D,若∠A= (2)若BD=4,EC=6,求AC的长 25°，则∠D的度数为 图1 图2 3.如图2，⊙0与正方形ABCD的两边AB,AD 相切，且DE与⊙0相切于E点.若⊙0的半径为 4,且AB=10,则DE的长度为 ( 图8 图9 图13 A.5 B.6 C.√30 号 11.如图9，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB 分别相切于点D,E,F,且AB=8,BC=17,CA= 4.如图3，将△ABC放在每个小正方形边长为 1的网格中，点A,B,C均落在格点上，用一个圆面 15,则阴影部分（即四边形AEOF)的面积是 去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小、 12.如图10，将一枚圆 圆面半径是 ( 形铜钱的模型放入一个矩 A.5 B.6 C.2 D. 形袋子ABCD中，铜钱模型 与矩形袋子的下边沿BC相 18.(10分)如图14，点E是△ABC的内心，AE 切于点E,与上边沿AD交于 图图10 的延长线交△ABC的外接圆于点D. 点F,G,若AB=4,FG=10,则该圆形铜钱模型的 (1)BD与DE相等吗？为什么？ 半径为 (2)若∠BAC=90°，DE=2,求△ABC外接 13.在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3, 1 圆的半径. 则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差R 图3 图4 r= 5.如图4，点I为等边△ABC的内心，连结AI 14.在△ABC中，AB=AC=13,BC=24,点D 并延长交△ABC的外接圆于点D,已知外接圆的半 为△ABC的对称轴上一动.点，过点D作⊙O与BC 径为2，则线段DB的长为 ( 相切，点O在△ABC的对称轴上，BD与⊙0相交于 A.2 B.3 C.4 D.23 点E,那么AE的最大值为 6.如图5，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点， 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） D是⊙0外一点，过点A作AE⊥CD,垂足为E,连 15.(10分)如图11，已知线段AB是⊙0的 结0C.若使CD切⊙0于点C,添加的下列条件中， 条弦 不正确的是 ( (1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心 A.OC∥AE B.∠OAC=∠CAE O(保留作图痕迹，不要求写作法)； C.∠OCA=∠CAE D.OA AC (2)应用与计算：若弦AB=10,圆心0到AB 的距离为4，求⊙0的半径. 图5 图6 7.如图6，AB是⊙0的直径，AC,BC是⊙0的 (下转第4版)中考数学华东师大第19~22期 ”数评柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第19~22期 第19期2版 Bv=号h=l.5om 27.1.1圆的基本元素 基础训练1.A;2.B;3.C; 设OM=xcm,所以ON=(3.5-x)cm,在Rt△OMD中，有 4.无数，1；5.36°. OM+MD2=OD2,在Rt△ONB中，有ON+BN2=OB2, 6.连结OB.因为AB=OC,0B=0C, 因为OD=0B,所以0MP+MD2=O2+BN2,所以x2+22 所以AB=BO,所以∠EAD=∠BOA: =(3.5-x)2+1.52,解得x=1.5,即0M=1.5cm, 所以∠EBO=∠BOA+∠EAD=2∠EAD. 所以0D=√OM+MD2=2.5cm,所以纸杯的直径为2.5 又因为OE=OB,所以∠EB0=∠E, ×2=5(cm). 所以∠E=2∠EAD,所以∠EOD=∠E+∠EAD= 27.1.3圆周角 3∠EAD=81°， 基础训练1.C;2.A;3.24;4.99°；5.40° 所以∠EAD=27. 6.(1)证明：因为AB是⊙0的直径，CD1AB,所以BC= 27.1.2圆的对称性（第一课时） 基础训练1，D;2.120. BD,所以∠A=∠2， 3.(1)∠AEC=∠OAB+∠AOC=75. 又因为OA=OC,所以∠1=∠A,所以∠1=∠2. (2)证明：连结AC,BD,因为0A=OC,∠A0C=30°， (2)00的半径为界 所以∠ACE=75°，所以∠ACE=∠AEC,所以AC=AE, 能力提高7.因为AB是直径，所以∠ACB=∠ADB= 同理可证BF=BD, 90° 因为C,D是AB的三等分点，所以AC=CD=BD,所以AE 在Rt△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,所以BC=8cm, BF CD. 因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD,所以AD=DB, 能力提高4.因为CD=AC+BD,所以∠C0D=∠A0C 所以AD=BD,在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2+BD2= +∠BOD. /100 因为∠COD+∠AOC+∠BOD=180°，所以∠COD= AB,所以AD=BD=入√2 =52(cm). ∠A0C+∠B0D=90°， 所以四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积 因为0C=0D,所以∠0DC=∠0CD=45°. 因为PC=CO,所以∠P=∠COP, =7×6×8+7×5万×5万=49(cm). 又因为∠P+∠C0P=∠OCD=45°，所以∠P=∠C0P 第19期3版 =22.5°，所以∠D0B=∠P+∠PD0=67.5°. 27.1.2圆的对称性（第二课时） 题号12345678 答案DBDCAB CC 基础训练1.C;2.C;3.15°或75°；4.1.3. 能力提高5.如图1，因为MN⊥AB,所以MN过圆心O,连 二9.4条；10.4；11.50°；12.6或2√2I;13.52.5; 结OD,OB,由题意，得MW=3.5cm. 14.V29-2. D 三、15.证明略。 M 16.证明：因为AB为⊙0的直径，点E是弦CD的中点，所 以AB⊥CD,所以AD=AC,所以∠B=∠F, 图1 因为CF∥BD,所以∠AGF=∠B,所以∠AGF=∠F,所 以AG=AF 因为AB∥CD,所以MN⊥CD,所以DM= 2 CD =2 cm, 17.(1)⊙0的半径为2. 中考数学华东师大第19~22期 (2)因为∠BAC=90°，∠ACB=30°，所以∠B=60°， 第19期4版 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D= 重点集训营 120°， 1.60°；2.35. 因为点D为AC的中点，所以AD=CD,所以∠DAC= 3.(1)四边形ABED是矩形，理由如下： ∠DCA=30. 因为CD是⊙O的直径，所以∠CED=90°，所以∠BED= 18.(1)桥拱的半径是10米。 90°， (2)连结OD,因为CO⊥DE,DE=12米，所以DM= 因为AD∥BC,所以∠ABC+∠A=180°， DE=6米，所以0M=V0D-0N=8米， 因为∠A=90°，所以∠ABC=90°，所以四边形ABED是 矩形 因为ON=OC-CN=6米，所以MW=8-6=2(米)， (2)因为∠A=90°，∠ABD=30°，所以BD=2AD=6, 所以水面涨高了2米. 因为2DF=BF,所以BF=4,DF=2, 19.(1)连结E0,设⊙0半径为r,因为EG⊥AB,所以CE 因为四边形ABED是矩形，所以∠FDE-∠ABD=30°，所 =CG=2EG=4, 以∠FCE=∠FDE=30°， 因为CD是⊙O的直径，所以∠CFD=90°，所以∠BFC= 因为AC=2,所以OC=r-2, 90°，所以BC=8,CF=45, 在Rt△CE0中，由勾股定理，得OE=CE2+0C2,即2= 42+(r-2)2,解得r=5, 所以CD=√CF2+DF=2√13，所以⊙0的半径是 所以⊙0的半径为5. √13. (2)证明：连结OE,OF,因为AC=BD,OA=OB,所以OC 第20期2版 =OD. 27.2.1点与圆的位置关系 因为EG1AB,FH⊥AB,所以∠OCE=∠ODF=90°， 基础训练1.C;2.C:3.A:4.不能：5.3或5： 能力提高6.(1)图略.(-1,0)；点D在⊙P上点E在 在Rt△COE和Rt△DOF中， OC=OD,所以Rt△COE兰 LOE OF. ⊙P外 Rt△DOF (2)点F的坐标为(5-1,0)或(-5-1,0). 所以∠AOE=∠BOF,所以AE=BF 27.2.2直线与圆的位置关系 基础训练1.C；2.B;3.B;4.1<d<5；5.3或 20.(1)证明：因为∠BAC=∠ADB,所以AB=BC,所以 ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. :&弩<A0< (2)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以AD 能力提高7.(1)连结PB,设点P到AB的距离为PD= y,因为∠ACB=90°，所以AC2+BC2=AB2. =CD,所以AB+AD=BC+CD,即BAD=BCD,所以BD是直 因为AC=4,AB=5,所以BC=3. 径，所以∠BAD=90°. (3)因为CF∥AD,所以∠F+∠BAD=180°， 因为Sa慨=Sam+Sam,所以2AC~BC=BC·PC 因为∠BAD=90°，所以∠F=90. B:PD,所以×4x3=分×3x+7×5y,即受+号 因为AD=CD,所以AD=DC. =6, 因为AC=AD,所以AC=AD=CD,所以△ADC是等边三 角形，所以∠ADC=60° 所以y=子+号0<<4) 因为BD平分LADC,所以∠CDB=2LADC=30, (2)当=y时，则=子+号，解得= 多，所以当 因为BD是直径，所以∠BCD=90,所以BC=B0 0<x<名时，OP与AB所在直线相离： 因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC+∠ABC 当x-子时，⊙P与AB所在直线相切： =180°，所以∠ABC=120°，所以∠FBC=60°，所以∠FCB= 90-60°=30°，所以FB=BC 当 <x<4时，⊙P与AB所在直线相交 因为BF=2,所以BC=4,所以BD=2BC=8. 27.2.3切线 基础训练1.D;2.C;3.A;4.D;5.10;6.60; 因为BD是直径，所以此圆半径的长为2BD=4. 7.35 2 中考数学华东师大第19~22期 8.证明：连结OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠0CA. 以⊙0的半径为v4T. 因为AC平分∠EAB,所以∠OAC=∠CAE,所以∠CAE= 16.(1)证明：因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB=90°， ∠OCA,所以OC∥AE. 所以∠DBA+∠DAB=90°， 因为AE⊥CE,所以OC⊥CE, 因为∠E=∠DAB,∠ACB=∠BED,所以∠DBA+∠ACB 因为OC是半径，所以CE是⊙0的切线. =90°，所以∠CAB=90°，所以CA⊥AB,所以AC是⊙0的切 能力提高9.如图2，连结EC,过点E作EM⊥AB,EN⊥ 线 AC交AC的延长线于点N,则EM=EN (2)连结AE,因为AB为⊙0的直径，所以∠AEB=90° 因为点E是弧AB的中点，所以BE=AE,所以BE=AE, 因为AB=√2，所以AE=BE=1. 17.(1)证明：连结OD,因为0D=OE,所以∠0ED= ∠ODE 图2 因为DE∥OA,所以∠ODE=∠AOD,∠DEO=∠AOC, 所以∠AOD=∠AOC. 因为∠BAE=∠CAE,所以BE=CE,所以BE=EC=4. 又因为OA=OA,OC=OD,所以△AOD≌△AOC, 因为AE=AE,EM=EN,所以△AEM兰△AEN,所以AM 因为AC是切线，所以∠ACB=90°，所以∠ADO=∠ACB AN. =90°. 因为BE=EC,EM=EN,所以△BME≌△CNE,所以BM 因为OD是半径，所以AB是⊙0的切线。 =CN. (2)因为AB是⊙0的切线，所以∠BD0=90°， 设BM=x,则8-x=6+x,解得x=1,即BM=1,所以 所以BD2+OD2=OB2,即42+32=(3+BE)2,解得BE AM=7. =2, 又因为BE=4,由勾股定理得，EM=√4-1下=√5， 所以BC=BE+EC=8. 所以AE=V√(5)2+7=8， 因为AD,AC是⊙O的切线，所以AD=AC, 因为I是△ABC的内心， 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC,所以(4+AC)2=AC+ 所以AE平分∠CAB,BI平分∠ABC, 82,解得AC=6 所以∠BAE=∠CAE,∠ABI=∠CBL. 18.(1)DE=BD,理由：因为点E是△ABC的内心，所以 因为∠BIE=∠BAE+∠ABI,∠IBE=∠IBD+∠EBD, AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, 又因为∠CBE=∠CAE,所以∠BIE=∠EBI,所以EB= 所以∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE,所以BD=CD,所 EI=4.所以AI=AE-EI=4. 以∠DBC=∠CAD=∠BAE, 第20期3版 因为∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+ 题号12345678 ∠BAE,所以∠DBE=∠DEB,所以DE=DB. 答案DABAADD D (2)连结CD,由(1)得BD=CD,所以CD=BD=DE=2, =9内：10.400：1.9：12g；13.15: 因为∠BAC=90°，所以BC是⊙O的直径，所以∠BDC= 90°， 14.6+√61. 所以BC=√BD2+CD=√22+22=22，所以△ABC 三、15.(1)如图3所示，在圆上取一点C,连结BC,分别作 AB,BC的垂直平分线，二者交于点O,点O即为所求. 外接圆的半径=28C=2。 19.证明：(1)连结OA,OB,OC,A,因为AB=AC,OB= OC,0A=OA,所以△A0B兰△A0C, 0 所以∠BAO=∠CAO,所以AO平分∠BAC, 因为点I是△ABC的内心，所以AI平分∠BAC, D 所以AO与AI在同一条直线上，所以OA所在的直线经过 图3 点 (2)如图3所示，连结OA,因为OD⊥AB,AB=10,OD= (2)连结OD,则OD=OA,所以∠OAD=∠ODA,所以 4,所以4D=之A4B=5,所以0A=VAD+0D=V④，所 2∠0iD+∠A0D=180°，所以∠0AD+7∠A0D=90, 3 中考数学华东师大第19~22期 因为∠ABD=分∠40D,所以∠O1D+LABD=90. ∠PE0=∠PF0=90°，即OE⊥PE,OF⊥PF. 因为OE,OF是⊙0的半径，所以PE,PF是⊙0的切线. 因为∠ABD=∠CBD=∠CAD,∠EAD=∠CAD,所以 2.(1)证明：连结OD,因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB ∠ABD=∠EAD,所以∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°. =∠ADB=90°. 因为∠DIA=∠ABD+∠BAO=∠CAD+∠CAO= 因为∠ACB的平分线交⊙O于点D,所以∠ACD=∠BCD ∠DAI,所以ID=AD, =45°， 因为∠DIA+∠E=90°，∠DAI+∠DAE=90°，所以∠E 所以∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB是等腰直角三角 =∠DAE,所以ED=AD,所以ID=ED,所以点D是IE的中 形 点 因为OA=OB,所以OD⊥AB,所以∠ODB=∠DCB= 20.(1)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD, 45°， 因为∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠DBC. 因为∠BDE=∠DCE,所以∠BDE=45°，所以∠ODE= (2)证明：连结CD,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD 90° 所以BD=DC,因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠EBC. 因为OD是⊙0的半径，所以DE是⊙0的切线. 因为∠EBD=∠DBC+∠EBC,∠BED=∠DAB+ ∠ABE,由(I)知∠BAD=∠DBC,所以∠EBD=∠BED, (2)因为⊙0的半径为号，所以4B=5, 所以DB=DE,所以DB=DE=DC, 所以点B,E,C在以点D为圆心的同一个圆上、 因为△DAB为等腰直角三角形，所以BD=5 2 (3)连结OB,设AD与BC相交于点H, 第21期2版 因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以BH= 27.3圆中的计算问题（第一课时） 2BC=4,所以AM=√AB-BF=3. 基础训练1B:2C:31酒；48：53m+9 设OB=x,则OA=0D=OB=x,OH=OA-AH=x- 能力提高6.(1)AD1CD.理由如下： 3,在Rt△BH0中，0B2=B+0H,即x2=42+(x-3)2,解 如图5，连结0C,OP 得x=名即01=00=0B= 因为CD是⊙O的切线，所以 6 0C⊥CD,即∠OCD=90° 因为AD为⊙0的直径，所以AD=20A=2 3 因为点C是PB的中点，所以 在Rt△ABD中，因为∠ABD=90°，所以BD= 1 图5 ∠BOC=2LBOP=∠BAP, v0-8-9 所以OC∥AD,所以∠D=∠OCD=90°，即CD⊥AD. 所以DE=BD= 9所以0E=DE-0D=号 (2)因为AB=4,∠PAB=45°，所以0A=0C=2,∠P0A 因为∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E,所以点E为 =90,所以∠P0E=90°，所以PB=90×2m=T. 180 △ABC的内心，所以OE的长即为△ABC内心与外心之间的距 因为OC∥AD,∠PAB=45°，所以∠COE=∠PAB= 离，所以△ABC内心与外心之间的距离为子 45°. 因为∠OCD=90°，所以0C=CE=2,所以OE= 第20期4版 √0C2+CE=22. 重点集训营 1.(1)如图4，连结OP,作OP的垂线交OP于点O',以0' 因为22≈2.83<π，所以PB的长度比0E的长度长. 为圆心，O'P为半径画圆，连结PE,PF即可. 27.3圆中的计算问题（第二课时） 基础训练1.D;2.D;3.4-T;4.8+4m; 5.(3m-32). 能力提高6.(1)证明：连结OB,因为CD是⊙0的直径， 所以∠CBD=90°. 因为OE∥BC,所以∠BGE=∠CBD=90°，所以∠E+ ∠EBG=90°. 图4 因为AE与⊙O相切于点B,所以OB⊥AE,所以∠OBD+ (2)证明：如图4，连结OE,OF,因为OP为直径，所以：∠EBG=90°，所以∠E=∠OBD 中考数学华东师大第19~22期 因为OB=OD,所以∠D=∠OBD,所以∠D=∠E. r,所以△ODE是等边三角形，所以DE=OD=r,∠OED= (2)连结BF,因为∠OBE=90°，F是0E的中点，所以BF 60°. =OF, 所以∠B0G=30、所以EG=2,所以0G= 因为OB=OF,所以OB=OF=BF,所以△OBF是等边 三角形，所以∠BOE=∠OBF=60°. OB EG =3 因为∠OGD=90°，所以OF⊥BD,所以∠OBD= 2∠0BF=30,所以0G=20B=1,BG=V0B-0G= 所以正六边形ABCDEF的面积=6×？×r× 2= 5, 33, 2 所以S=S形F-SAG=60TX2-7X1×V3= 360 因为o0的面积=㎡，所以总：㎡-23 9 2 2 27.3圆中的计算问题（第三课时） 第21期3版 题号12345678 基础训练1.C;2.C:322；445125m 答案BDAC C CBA 能力提高6.(1)设它的侧面展开图的圆心角为n°，根据 二9.12； 题意，得2=認 14.(2+1)m. 又因为，=51=20.所以2×5-29解得n=0所 三、15.如图8，连结OB,因为六边形ABCDEF是⊙0的内 接正六边形， 以它的侧面展开图的圆心角是90. (2)由(1)知侧面展开图的圆心角是 90°，画出展开图如图6，根据两点之间，线 段最短可知AB为最短路径， 因为SA=20cm,B为SA'的中点，所以 SB 10 cm. A B 图8 由(1)知∠ASA'=90°，所以AB= 图6 所以∠COB=60°，OC=OB,所以△C0B是等边三角形， √SA+SB=10√5cm,所以它所走的最短路线长是 所以OC=OB=6cm,即⊙0的半径R=6cm. 105cm. 因为OC=OB=6cm,0G⊥CB,所以CG=BG=3cm, 27.4正多边形和圆 在Rt△C0G中，r6=0G=√OC-CG=33cm,所以 基础训练1.C;2.B:3.A:4.36:5. 2 S=6Sac=6×7×6x35=54,5cm2) 能力提高6.（1)证明：如图7，连结AE,AD,AC,因为六 16.(1)连结OE,因为∠BAC=45°，所以∠A0E=∠B0E 边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，所以EF=ED=CD= =90°， BC,所以EF=ED=CD=BC 因为AB=6,所以OA=3, 所以∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB,所以过顶点A的 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE=√OA+OE= 三条对角线四等分∠BAF 32, 所以CE=AC-AE=6-3√2. (2)连结OD,AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB= 90°，所以AD⊥BC, 因为AC=AB,所以CD=DB, 因为OA=OB,所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥ 图7 AC,所以∠EOD=∠AEO, (2)如图7，过0作OG⊥DE于G,连结OE. 由(1)知∠AE0=45°，所以∠EOD=45°，所以弧DE的 设⊙0的半径为，因为∠D0E=360°=60°，0D=0E= 长为45m×3.3 6 180 . 5 中考数学华东师大第19~22期 17.(1)如图9，圆锥的轴截面为 20.(1)根据旋转的性质，得∠C0D=40°，所以以CD为边 △ABC,AC为圆锥的高，BC为圆锥底面圆 的半径，AB为圆锥的母线长，由题意可 的⊙0内接正多边形的边数为部=9 知，AC=3m,BC=4m,所以母线长AB 故填9. =√AC+BC=5m. C (2)由旋转的性质，得∠C0D=40°， 图9 (2)顶部圆锥的底面圆周长为2π×BC=8πm,所以圆锥 因为直径AB平分∠COD, 1 的侧面积为号×8m×5=20m≈63m2。 所以∠B0C=∠B0D=2∠C0D=20°， 答：所需油毡的面积至少是63m2. 所以∠A0C=180°-∠B0C=160°， 18.(1)BP与半圆A相切.理由如下： 因为AB=8所以A0=B0=分1B=4, 如图10，连结PA.因为AB为半圆O的直径， 所以∠APB=90°，即AP⊥BP. 所以=164-号，所以元的长是号 180 又因为PA为半圆A的半径， (3)当△ABE是等腰三角形，且EB=AB时，如图12所示， 所以BP与半圆A相切. 则∠A=∠E, 因为OA=OC=OD=OB,所以∠OCA=∠A=∠E,所 以OC∥BE, B 所以∠AOC=∠B=∠ODB=∠COD=40°，所以∠AOD 图10 =∠A0C+∠C0D=40°+40°=80°， (2)如图10，连结P0,易得△PA0为等边三角形， 所以S影0D=80X4-32红. 360 9 所以A0=OP=PA=2,∠PAO=∠POA=60. 所以S=Sa形w+S0形：-Sam=602 360 02-x2x5:智-5 360 19.(1)证明：连结AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB =90°， 图12 图13 图14 因为TD=BD,所以AD垂直平分BT,所以AB=AT 因为AT是⊙0O的切线，所以∠BAT=90°， 当△ABE是等腰三角形，且AE=BE时，如图13所示，则 所以△ABT是等腰直角三角形，所以∠ABT=∠ATB= ∠A=∠B, 45 因为∠A0C=180°-2∠A,∠B0D=180°-2∠B, (2)如图11，过点E作EH⊥AB于 又因为∠C0D=40°，所以∠A0C=∠B0D=70°， 点H,连结OE,OD, 所以∠A0D=∠AOC+∠C0D=110°， 因为TD=BD,OB=OA,所以OD 所以S形D=山0π×4_44红， 360 9； 是△BTA的中位线，所以OD∥TA. 当△ABE是等腰三角形，且AE=AB时，如图14所示，则 因为AB⊥TA,所以OD⊥AB. 图11 ∠B=∠E, 因为E为AD的中点，所以∠DOE=∠A0E=2∠AOD= 所以∠ODB=∠B=∠E,所以OD∥AE,所以∠BOD= 45°， ∠A=∠OCA=∠C0D=40°， 因为⊙0的半径，=2B=1, 所以∠A0D=180°-∠B0D=140°， 所以屁的长为50=于 所以SEn-140rX4_56a 360 9 因为△0EH是等腰直角三角形，所以EH=OH: 综上所述，扇形40D的面积为号或或的 2 第21期4版 所以S=Sam+SaE-SE=分×1x1+ 重点集训营 360分×1×号=4+m-22 45π×121 1.32 2 8 ：2.；312：43-28 6 中考数学华东师大第19~22期 第22期综合评估卷 设该圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得2πr= 题号123456789101112 答案ACBAC AADDAAC 9025,解得=汽，所以该圆锥的底面积=×( 180 5m =18.150:14子-1+2：15.45,9025 4 16.35 20.(1)证明：因为AC=AC,所以∠B=∠D. 三、17.(1)因为AC为⊙0的切线，所以∠0AC=90°. 因为∠EAC=∠D,所以∠EAC=∠B. 因为0A=0B,∠B=25°，所以∠0AB=∠B=25°. 因为AB是⊙0的直径，所以∠ACB=90°， 所以∠BAC=∠0AC-∠OAB=90°-25°=65°. 所以∠B+∠BAC=90°， (2)证明：取BC的中点F,连结DF,EF 所以∠EAC+∠BAC=90°，所以BA⊥AE, 因为BD,CE是△ABC的高，所以△BCD和△BCE都是直 因为OA为⊙O的半径，所以AE是⊙O的切线. 角三角形 (2)连结OC,因为OB=0C=OA=BC=2, 所以DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， 所以△BC0是等边三角形，所以∠B=60°， 所以DF=EF=BF=CF 因为AC=AC,所以∠C0A=2∠B=120°， 所以E,BC,D四点在以F点为圆心，2BC为半径的圆 所C的长-20心X2-7 180 上 21.(1)因为OC∥BD,所以∠OCB=∠CBD=30°， 18.(1)证明：连结0C 因为0C=0B,所以∠0CB=∠OBC=30°， 因为AC=CB,所以∠A0C=∠B0C 所以∠C0A=2∠OBC=60. 又因为CD⊥OA,CE1OB, (2)因为AB是⊙0的直径，所以∠ADB=90°， 所以CD=CE. 因为OC∥BD,所以∠AE0=∠ADB=90°， (2)因为∠A0B=120°，所以∠AOC=∠BOC=60°， 因为∠A0C=60°，所以∠0AE=30°， 因为∠CD0=90°，所以∠0CD=30°， 所以0B=0A,所以cE=宁0C=x4=2 所以0D=0C=1, (3)连结0D, 所以CD=√OC-0D=3, 因为∠CBD=∠OBC=30°，所以∠OBD=60°， 因为OB=OD,所以△BOD是等边三角形， 所以So=3x0DxCD= 1 2 所以S=S0wD-SAn-60X4 360. 2×4× 同理可得，5E三2×0E×CE三月 1 2， V-(=m-45 所以S四边形DDEc= 5,3 2+2 =3. 四，2.105：23.4：1：24204：25.0 19.(1)如图15，点P为所 YA 五、26.(1)证明：连结0D, 作， 因为OA=OD,所以∠BAD=∠ODA,所以∠BOD= 所以P点坐标为(2，-1)， 2∠BAD, 因为A(0,3), 0 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD,所以 所以AP=22+(-1-3)2 ∠BOD=∠BAC,所以OD∥AC,所以∠ODB=∠ACB=90°， 图15 =25, 因为OD为⊙O的半径，所以BC是⊙O的切线. 即⊙P的半径为2√5. (2)过点D作DE⊥AB,交AB于点E, 故填(2，-1)：25. 因为AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°， (2)因为P(2,-1),M(-2,1),所以PM= 所以DE=CD=3, √(-2-2)2+[1-(-1)]=25， 因为∠B=60,所以∠BDE=30,所以BE=BD 所以PM的长等于圆的半径，所以点M在⊙P上 在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2+BE2=BD2,即32+ (3)因为PA=PC=25,AC=√6+(1-3)7= 210,所以PA2+PC2=AC2,所以△PAC为直角三角形， BD2=B0,解得BD=25或BD=-25(含去)， ∠APC=90°， 所以BC=BD+CD=3+23,所以AB=2BC=6+43, 中考数学华东师大第19~22期 所以AC=√AB-BC=6+33, 所以N=CD DM=AD 所以AD=√AC2+CD=32+36. 因为∠CDA=∠ADB=90°，∠CAD=∠ABD, 27.(1)连结BD.因为四边形ABCD内接于⊙0，∠ADC= 所以△CAD∽△ABD, 124°，所以∠CBA=180°-∠ADC=56°， 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB= 所以CD=C4 A=AB 90°-∠CBA=34° 所以器-治 因为点D为AC的中点，所以∠CBD=7∠CB1=28,所 B 以∠CAD=∠CBD=28°. 综上可知∠CAB=34°，∠CAD=28°. (2)连结OC交BD于点F.因为AB为⊙O的直径，所以 ∠ADB=90°，所以∠EDF=90°， 因为CE为⊙0的切线，所以∠ECF=90°， N 因为点C为BD中点，OC为半径，所以∠CFD=90°， 图16 因为∠EDF=∠ECF=∠CFD=90°，所以四边形DECF (3)如图16，过点M作MF⊥BC于点F. 是矩形，所以CE=DF. 易得△BDM∽△EAM, 因为AD=2,AB=20A=6,∠ADB=90°，所以由勾股定 所以器-兴 理，得BD=√AB2-AD2=42, 所以AM·MB=DM·ME=12, 因为0C1BD,所以DF=8D=22,所以CE=22. 因为AB=8,设BM=x,则AM=8-x, 28.(1)证明：在△ABC中， 所以x(8-x)=12,解得x1=2,x,=6, 因为AC2+AB2=62+82=102=BC2, 因为BM<AM, 所以∠BAC=90°， 所以x=6舍去， 因为OA是⊙0的半径， 所以BM=2, 所以AC与⊙O相切. 图为LANG=能=专血LABC=荒=号 3 (2)证明：如图16，连结AD. 所以BF=BM·c∠ABC=号x2=号，FW=BM. 4 因为∠CDA=∠NDM=90°， 所以∠CDN=∠ADM, sin∠ABC= 3 4 又因为∠NDM=∠NAM=90°， 5x2=6 ,BD=AB·cosLABC= 5×8=32 5 所以∠AMD+∠AND=180°， 所以DF=BD-BF=32-8-24 5-5= 又因为∠CND+∠AND=180°， 因为∠BAE=∠BDE, 所以∠CND=∠AMD, 6 所以△CDN∽△ADM, 所以an∠BAE=tan L BDE=MF: 5 1 24=4