第19期 27.1 圆的认识【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（华东师大版）

中考数学华东师大第19~22期 ”数评柄 答案详解 2025~2026学年 中考数学华东师大第19~22期 第19期2版 Bv=号h=l.5om 27.1.1圆的基本元素 基础训练1.A;2.B;3.C; 设OM=xcm,所以ON=(3.5-x)cm,在Rt△OMD中，有 4.无数，1；5.36°. OM+MD2=OD2,在Rt△ONB中，有ON+BN2=OB2, 6.连结OB.因为AB=OC,0B=0C, 因为OD=0B,所以0MP+MD2=O2+BN2,所以x2+22 所以AB=BO,所以∠EAD=∠BOA: =(3.5-x)2+1.52,解得x=1.5,即0M=1.5cm, 所以∠EBO=∠BOA+∠EAD=2∠EAD. 所以0D=√OM+MD2=2.5cm,所以纸杯的直径为2.5 又因为OE=OB,所以∠EB0=∠E, ×2=5(cm). 所以∠E=2∠EAD,所以∠EOD=∠E+∠EAD= 27.1.3圆周角 3∠EAD=81°， 基础训练1.C;2.A;3.24;4.99°；5.40° 所以∠EAD=27. 6.(1)证明：因为AB是⊙0的直径，CD1AB,所以BC= 27.1.2圆的对称性（第一课时） 基础训练1，D;2.120. BD,所以∠A=∠2， 3.(1)∠AEC=∠OAB+∠AOC=75. 又因为OA=OC,所以∠1=∠A,所以∠1=∠2. (2)证明：连结AC,BD,因为0A=OC,∠A0C=30°， (2)00的半径为界 所以∠ACE=75°，所以∠ACE=∠AEC,所以AC=AE, 能力提高7.因为AB是直径，所以∠ACB=∠ADB= 同理可证BF=BD, 90° 因为C,D是AB的三等分点，所以AC=CD=BD,所以AE 在Rt△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,所以BC=8cm, BF CD. 因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD,所以AD=DB, 能力提高4.因为CD=AC+BD,所以∠C0D=∠A0C 所以AD=BD,在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2+BD2= +∠BOD. /100 因为∠COD+∠AOC+∠BOD=180°，所以∠COD= AB,所以AD=BD=入√2 =52(cm). ∠A0C+∠B0D=90°， 所以四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积 因为0C=0D,所以∠0DC=∠0CD=45°. 因为PC=CO,所以∠P=∠COP, =7×6×8+7×5万×5万=49(cm). 又因为∠P+∠C0P=∠OCD=45°，所以∠P=∠C0P 第19期3版 =22.5°，所以∠D0B=∠P+∠PD0=67.5°. 27.1.2圆的对称性（第二课时） 题号12345678 答案DBDCAB CC 基础训练1.C;2.C;3.15°或75°；4.1.3. 能力提高5.如图1，因为MN⊥AB,所以MN过圆心O,连 二9.4条；10.4；11.50°；12.6或2√2I;13.52.5; 结OD,OB,由题意，得MW=3.5cm. 14.V29-2. D 三、15.证明略。 M 16.证明：因为AB为⊙0的直径，点E是弦CD的中点，所 以AB⊥CD,所以AD=AC,所以∠B=∠F, 图1 因为CF∥BD,所以∠AGF=∠B,所以∠AGF=∠F,所 以AG=AF 因为AB∥CD,所以MN⊥CD,所以DM= 2 CD =2 cm, 17.(1)⊙0的半径为2. 中考数学华东师大第19~22期 (2)因为∠BAC=90°，∠ACB=30°，所以∠B=60°， 第19期4版 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D= 重点集训营 120°， 1.60°；2.35. 因为点D为AC的中点，所以AD=CD,所以∠DAC= 3.(1)四边形ABED是矩形，理由如下： ∠DCA=30. 因为CD是⊙O的直径，所以∠CED=90°，所以∠BED= 18.(1)桥拱的半径是10米。 90°， (2)连结OD,因为CO⊥DE,DE=12米，所以DM= 因为AD∥BC,所以∠ABC+∠A=180°， DE=6米，所以0M=V0D-0N=8米， 因为∠A=90°，所以∠ABC=90°，所以四边形ABED是 矩形 因为ON=OC-CN=6米，所以MW=8-6=2(米)， (2)因为∠A=90°，∠ABD=30°，所以BD=2AD=6, 所以水面涨高了2米. 因为2DF=BF,所以BF=4,DF=2, 19.(1)连结E0,设⊙0半径为r,因为EG⊥AB,所以CE 因为四边形ABED是矩形，所以∠FDE-∠ABD=30°，所 =CG=2EG=4, 以∠FCE=∠FDE=30°， 因为CD是⊙O的直径，所以∠CFD=90°，所以∠BFC= 因为AC=2,所以OC=r-2, 90°，所以BC=8,CF=45, 在Rt△CE0中，由勾股定理，得OE=CE2+0C2,即2= 42+(r-2)2,解得r=5, 所以CD=√CF2+DF=2√13，所以⊙0的半径是 所以⊙0的半径为5. √13. (2)证明：连结OE,OF,因为AC=BD,OA=OB,所以OC 第20期2版 =OD. 27.2.1点与圆的位置关系 因为EG1AB,FH⊥AB,所以∠OCE=∠ODF=90°， 基础训练1.C;2.C:3.A:4.不能：5.3或5： 能力提高6.(1)图略.(-1,0)；点D在⊙P上点E在 在Rt△COE和Rt△DOF中， OC=OD,所以Rt△COE兰 LOE OF. ⊙P外 Rt△DOF (2)点F的坐标为(5-1,0)或(-5-1,0). 所以∠AOE=∠BOF,所以AE=BF 27.2.2直线与圆的位置关系 基础训练1.C；2.B;3.B;4.1<d<5；5.3或 20.(1)证明：因为∠BAC=∠ADB,所以AB=BC,所以 ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. :&弩<A0< (2)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以AD 能力提高7.(1)连结PB,设点P到AB的距离为PD= y,因为∠ACB=90°，所以AC2+BC2=AB2. =CD,所以AB+AD=BC+CD,即BAD=BCD,所以BD是直 因为AC=4,AB=5,所以BC=3. 径，所以∠BAD=90°. (3)因为CF∥AD,所以∠F+∠BAD=180°， 因为Sa慨=Sam+Sam,所以2AC~BC=BC·PC 因为∠BAD=90°，所以∠F=90. B:PD,所以×4x3=分×3x+7×5y,即受+号 因为AD=CD,所以AD=DC. =6, 因为AC=AD,所以AC=AD=CD,所以△ADC是等边三 角形，所以∠ADC=60° 所以y=子+号0<<4) 因为BD平分LADC,所以∠CDB=2LADC=30, (2)当=y时，则=子+号，解得= 多，所以当 因为BD是直径，所以∠BCD=90,所以BC=B0 0<x<名时，OP与AB所在直线相离： 因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC+∠ABC 当x-子时，⊙P与AB所在直线相切： =180°，所以∠ABC=120°，所以∠FBC=60°，所以∠FCB= 90-60°=30°，所以FB=BC 当 <x<4时，⊙P与AB所在直线相交 因为BF=2,所以BC=4,所以BD=2BC=8. 27.2.3切线 基础训练1.D;2.C;3.A;4.D;5.10;6.60; 因为BD是直径，所以此圆半径的长为2BD=4. 7.35 2 中考数学华东师大第19~22期 8.证明：连结OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠0CA. 以⊙0的半径为v4T. 因为AC平分∠EAB,所以∠OAC=∠CAE,所以∠CAE= 16.(1)证明：因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB=90°， ∠OCA,所以OC∥AE. 所以∠DBA+∠DAB=90°， 因为AE⊥CE,所以OC⊥CE, 因为∠E=∠DAB,∠ACB=∠BED,所以∠DBA+∠ACB 因为OC是半径，所以CE是⊙0的切线. =90°，所以∠CAB=90°，所以CA⊥AB,所以AC是⊙0的切 能力提高9.如图2，连结EC,过点E作EM⊥AB,EN⊥ 线 AC交AC的延长线于点N,则EM=EN (2)连结AE,因为AB为⊙0的直径，所以∠AEB=90° 因为点E是弧AB的中点，所以BE=AE,所以BE=AE, 因为AB=√2，所以AE=BE=1. 17.(1)证明：连结OD,因为0D=OE,所以∠0ED= ∠ODE 图2 因为DE∥OA,所以∠ODE=∠AOD,∠DEO=∠AOC, 所以∠AOD=∠AOC. 因为∠BAE=∠CAE,所以BE=CE,所以BE=EC=4. 又因为OA=OA,OC=OD,所以△AOD≌△AOC, 因为AE=AE,EM=EN,所以△AEM兰△AEN,所以AM 因为AC是切线，所以∠ACB=90°，所以∠ADO=∠ACB AN. =90°. 因为BE=EC,EM=EN,所以△BME≌△CNE,所以BM 因为OD是半径，所以AB是⊙0的切线。 =CN. (2)因为AB是⊙0的切线，所以∠BD0=90°， 设BM=x,则8-x=6+x,解得x=1,即BM=1,所以 所以BD2+OD2=OB2,即42+32=(3+BE)2,解得BE AM=7. =2, 又因为BE=4,由勾股定理得，EM=√4-1下=√5， 所以BC=BE+EC=8. 所以AE=V√(5)2+7=8， 因为AD,AC是⊙O的切线，所以AD=AC, 因为I是△ABC的内心， 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC,所以(4+AC)2=AC+ 所以AE平分∠CAB,BI平分∠ABC, 82,解得AC=6 所以∠BAE=∠CAE,∠ABI=∠CBL. 18.(1)DE=BD,理由：因为点E是△ABC的内心，所以 因为∠BIE=∠BAE+∠ABI,∠IBE=∠IBD+∠EBD, AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, 又因为∠CBE=∠CAE,所以∠BIE=∠EBI,所以EB= 所以∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE,所以BD=CD,所 EI=4.所以AI=AE-EI=4. 以∠DBC=∠CAD=∠BAE, 第20期3版 因为∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+ 题号12345678 ∠BAE,所以∠DBE=∠DEB,所以DE=DB. 答案DABAADD D (2)连结CD,由(1)得BD=CD,所以CD=BD=DE=2, =9内：10.400：1.9：12g；13.15: 因为∠BAC=90°，所以BC是⊙O的直径，所以∠BDC= 90°， 14.6+√61. 所以BC=√BD2+CD=√22+22=22，所以△ABC 三、15.(1)如图3所示，在圆上取一点C,连结BC,分别作 AB,BC的垂直平分线，二者交于点O,点O即为所求. 外接圆的半径=28C=2。 19.证明：(1)连结OA,OB,OC,A,因为AB=AC,OB= OC,0A=OA,所以△A0B兰△A0C, 0 所以∠BAO=∠CAO,所以AO平分∠BAC, 因为点I是△ABC的内心，所以AI平分∠BAC, D 所以AO与AI在同一条直线上，所以OA所在的直线经过 图3 点 (2)如图3所示，连结OA,因为OD⊥AB,AB=10,OD= (2)连结OD,则OD=OA,所以∠OAD=∠ODA,所以 4,所以4D=之A4B=5,所以0A=VAD+0D=V④，所 2∠0iD+∠A0D=180°，所以∠0AD+7∠A0D=90, 3 中考数学华东师大第19~22期 因为∠ABD=分∠40D,所以∠O1D+LABD=90. ∠PE0=∠PF0=90°，即OE⊥PE,OF⊥PF. 因为OE,OF是⊙0的半径，所以PE,PF是⊙0的切线. 因为∠ABD=∠CBD=∠CAD,∠EAD=∠CAD,所以 2.(1)证明：连结OD,因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB ∠ABD=∠EAD,所以∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°. =∠ADB=90°. 因为∠DIA=∠ABD+∠BAO=∠CAD+∠CAO= 因为∠ACB的平分线交⊙O于点D,所以∠ACD=∠BCD ∠DAI,所以ID=AD, =45°， 因为∠DIA+∠E=90°，∠DAI+∠DAE=90°，所以∠E 所以∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB是等腰直角三角 =∠DAE,所以ED=AD,所以ID=ED,所以点D是IE的中 形 点 因为OA=OB,所以OD⊥AB,所以∠ODB=∠DCB= 20.(1)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD, 45°， 因为∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠DBC. 因为∠BDE=∠DCE,所以∠BDE=45°，所以∠ODE= (2)证明：连结CD,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD 90° 所以BD=DC,因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠EBC. 因为OD是⊙0的半径，所以DE是⊙0的切线. 因为∠EBD=∠DBC+∠EBC,∠BED=∠DAB+ ∠ABE,由(I)知∠BAD=∠DBC,所以∠EBD=∠BED, (2)因为⊙0的半径为号，所以4B=5, 所以DB=DE,所以DB=DE=DC, 所以点B,E,C在以点D为圆心的同一个圆上、 因为△DAB为等腰直角三角形，所以BD=5 2 (3)连结OB,设AD与BC相交于点H, 第21期2版 因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以BH= 27.3圆中的计算问题（第一课时） 2BC=4,所以AM=√AB-BF=3. 基础训练1B:2C:31酒；48：53m+9 设OB=x,则OA=0D=OB=x,OH=OA-AH=x- 能力提高6.(1)AD1CD.理由如下： 3,在Rt△BH0中，0B2=B+0H,即x2=42+(x-3)2,解 如图5，连结0C,OP 得x=名即01=00=0B= 因为CD是⊙O的切线，所以 6 0C⊥CD,即∠OCD=90° 因为AD为⊙0的直径，所以AD=20A=2 3 因为点C是PB的中点，所以 在Rt△ABD中，因为∠ABD=90°，所以BD= 1 图5 ∠BOC=2LBOP=∠BAP, v0-8-9 所以OC∥AD,所以∠D=∠OCD=90°，即CD⊥AD. 所以DE=BD= 9所以0E=DE-0D=号 (2)因为AB=4,∠PAB=45°，所以0A=0C=2,∠P0A 因为∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E,所以点E为 =90,所以∠P0E=90°，所以PB=90×2m=T. 180 △ABC的内心，所以OE的长即为△ABC内心与外心之间的距 因为OC∥AD,∠PAB=45°，所以∠COE=∠PAB= 离，所以△ABC内心与外心之间的距离为子 45°. 因为∠OCD=90°，所以OC=CE=2,所以OE= 第20期4版 √0C2+CE=22. 重点集训营 1.(1)如图4，连结OP,作OP的垂线交OP于点O',以0' 因为22≈2.83<π，所以PB的长度比0E的长度长. 为圆心，O'P为半径画圆，连结PE,PF即可. 27.3圆中的计算问题（第二课时） 基础训练1.D;2.D;3.4-T;4.8+4m; 5.(3m-32). 能力提高6.(1)证明：连结OB,因为CD是⊙0的直径， 所以∠CBD=90°. 因为OE∥BC,所以∠BGE=∠CBD=90°，所以∠E+ ∠EBG=90°. 图4 因为AE与⊙O相切于点B,所以OB⊥AE,所以∠OBD+ (2)证明：如图4，连结OE,OF,因为OP为直径，所以：∠EBG=90°，所以∠E=∠OBD 中考数学华东师大第19~22期 因为OB=OD,所以∠D=∠OBD,所以∠D=∠E. r,所以△ODE是等边三角形，所以DE=OD=r,∠OED= (2)连结BF,因为∠OBE=90°，F是0E的中点，所以BF 60°. =OF, 所以∠B0G=30、所以EG=2,所以0G= 因为OB=OF,所以OB=OF=BF,所以△OBF是等边 三角形，所以∠BOE=∠OBF=60°. OB EG =3 因为∠OGD=90°，所以OF⊥BD,所以∠OBD= 2∠0BF=30,所以0G=20B=1,BG=V0B-0G= 所以正六边形ABCDEF的面积=6×？×r× 2= 5, 33, 2 所以S=S形F-SAG=60TX2-7X1×V3= 360 因为o0的面积=㎡，所以总：㎡-23 9 2 2 27.3圆中的计算问题（第三课时） 第21期3版 题号12345678 基础训练1.C;2.C:322；445125m 答案BDAC C CBA 能力提高6.(1)设它的侧面展开图的圆心角为n°，根据 二9.12； 题意，得2=認 14.(2+1)m. 又因为，=51=20.所以2×5-29解得n=0所 三、15.如图8，连结OB,因为六边形ABCDEF是⊙0的内 接正六边形， 以它的侧面展开图的圆心角是90. (2)由(1)知侧面展开图的圆心角是 90°，画出展开图如图6，根据两点之间，线 段最短可知AB为最短路径， 因为SA=20cm,B为SA'的中点，所以 SB 10 cm. A B 图8 由(1)知∠ASA'=90°，所以AB= 图6 所以∠COB=60°，OC=OB,所以△C0B是等边三角形， √SA+SB=10√5cm,所以它所走的最短路线长是 所以OC=OB=6cm,即⊙0的半径R=6cm. 105cm. 因为OC=OB=6cm,0G⊥CB,所以CG=BG=3cm, 27.4正多边形和圆 在Rt△C0G中，r6=0G=√OC-CG=33cm,所以 基础训练1.C;2.B:3.A:4.36:5. 2 S=6Sac=6×7×6x35=54,5cm2) 能力提高6.（1)证明：如图7，连结AE,AD,AC,因为六 16.(1)连结OE,因为∠BAC=45°，所以∠A0E=∠B0E 边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，所以EF=ED=CD= =90°， BC,所以EF=ED=CD=BC 因为AB=6,所以OA=3, 所以∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB,所以过顶点A的 在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE=√OA+OE= 三条对角线四等分∠BAF 32, 所以CE=AC-AE=6-3√2. (2)连结OD,AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB= 90°，所以AD⊥BC, 因为AC=AB,所以CD=DB, 因为OA=OB,所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥ 图7 AC,所以∠EOD=∠AEO, (2)如图7，过0作OG⊥DE于G,连结OE. 由(1)知∠AE0=45°，所以∠EOD=45°，所以弧DE的 设⊙0的半径为，因为∠D0E=360°=60°，0D=0E= 长为45m×3.3 6 180 . 5 中考数学华东师大第19~22期 17.(1)如图9，圆锥的轴截面为 20.(1)根据旋转的性质，得∠C0D=40°，所以以CD为边 △ABC,AC为圆锥的高，BC为圆锥底面圆 的半径，AB为圆锥的母线长，由题意可 的⊙0内接正多边形的边数为部=9 知，AC=3m,BC=4m,所以母线长AB 故填9. =√AC+BC=5m. C (2)由旋转的性质，得∠C0D=40°， 图9 (2)顶部圆锥的底面圆周长为2π×BC=8πm,所以圆锥 因为直径AB平分∠COD, 1 的侧面积为号×8m×5=20m≈63m2。 所以∠B0C=∠B0D=2∠C0D=20°， 答：所需油毡的面积至少是63m2. 所以∠A0C=180°-∠B0C=160°， 18.(1)BP与半圆A相切.理由如下： 因为AB=8所以A0=B0=分1B=4, 如图10，连结PA.因为AB为半圆O的直径， 所以∠APB=90°，即AP⊥BP. 所以=164-号，所以元的长是号 180 又因为PA为半圆A的半径， (3)当△ABE是等腰三角形，且EB=AB时，如图12所示， 所以BP与半圆A相切. 则∠A=∠E, 因为OA=OC=OD=OB,所以∠OCA=∠A=∠E,所 以OC∥BE, B 所以∠AOC=∠B=∠ODB=∠COD=40°，所以∠AOD 图10 =∠A0C+∠C0D=40°+40°=80°， (2)如图10，连结P0,易得△PA0为等边三角形， 所以S影0D=80X4-32红. 360 9 所以A0=OP=PA=2,∠PAO=∠POA=60. 所以S=Sa形w+S0形：-Sam=602 360 02-x2x5:智-5 360 19.(1)证明：连结AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB =90°， 图12 图13 图14 因为TD=BD,所以AD垂直平分BT,所以AB=AT 因为AT是⊙0O的切线，所以∠BAT=90°， 当△ABE是等腰三角形，且AE=BE时，如图13所示，则 所以△ABT是等腰直角三角形，所以∠ABT=∠ATB= ∠A=∠B, 45 因为∠A0C=180°-2∠A,∠B0D=180°-2∠B, (2)如图11，过点E作EH⊥AB于 又因为∠C0D=40°，所以∠A0C=∠B0D=70°， 点H,连结OE,OD, 所以∠A0D=∠AOC+∠C0D=110°， 因为TD=BD,OB=OA,所以OD 所以S形D=山0π×4_44红， 360 9； 是△BTA的中位线，所以OD∥TA. 当△ABE是等腰三角形，且AE=AB时，如图14所示，则 因为AB⊥TA,所以OD⊥AB. 图11 ∠B=∠E, 因为E为AD的中点，所以∠DOE=∠A0E=2∠AOD= 所以∠ODB=∠B=∠E,所以OD∥AE,所以∠BOD= 45°， ∠A=∠OCA=∠C0D=40°， 因为⊙0的半径，=2B=1, 所以∠A0D=180°-∠B0D=140°， 所以屁的长为50=于 所以SEn-140rX4_56a 360 9 因为△0EH是等腰直角三角形，所以EH=OH: 综上所述，扇形40D的面积为号或或的 2 第21期4版 所以S=Sam+SaE-SE=分×1x1+ 重点集训营 360分×1×号=4+m-22 45π×121 1.32 2 8 ：2.；312：43-28 6 中考数学华东师大第19~22期 第22期综合评估卷 设该圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得2πr= 题号123456789101112 答案ACBAC AADDAAC 90×25,解得1=停所以该圆维的底面积=×（受 180 5m =18.150:14子-1+2：15.45,9025 4 16.35 20.(1)证明：因为AC=AC,所以∠B=∠D. 三、17.(1)因为AC为⊙0的切线，所以∠0AC=90°. 因为∠EAC=∠D,所以∠EAC=∠B. 因为0A=0B,∠B=25°，所以∠0AB=∠B=25°. 因为AB是⊙0的直径，所以∠ACB=90°， 所以∠BAC=∠0AC-∠OAB=90°-25°=65° 所以∠B+∠BAC=90°， (2)证明：取BC的中点F,连结DF,EF 所以∠EAC+∠BAC=90°，所以BA⊥AE, 因为BD,CE是△ABC的高，所以△BCD和△BCE都是直 因为OA为⊙O的半径，所以AE是⊙O的切线. 角三角形 (2)连结OC,因为OB=0C=OA=BC=2, 所以DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， 所以△BC0是等边三角形，所以∠B=60°， 所以DF=EF=BF=CF 因为AC=AC,所以∠C0A=2∠B=120°， 所以E,BC,D四点在以F点为圆心，2BC为半径的圆 所C的长-20心X2- 180 上 21.(1)因为OC∥BD,所以∠OCB=∠CBD=30°， 18.(1)证明：连结0C 因为0C=0B,所以∠0CB=∠OBC=30°， 因为AC=CB,所以∠A0C=∠B0C 所以∠C0A=2∠OBC=60°. 又因为CD⊥OA,CE⊥OB, (2)因为AB是⊙0的直径，所以∠ADB=90°， 所以CD=CE. 因为OC∥BD,所以∠AE0=∠ADB=90°， (2)因为∠A0B=120°，所以∠AOC=∠BOC=60°， 因为∠A0C=60°，所以∠0AE=30°， 因为∠CD0=90°，所以∠0CD=30°， 所以0B=0A,所以cE=宁0C=x4=2 所以0D=0C=1, (3)连结OD, 所以CD=√OC-0D=3, 因为∠CBD=∠OBC=30°，所以∠OBD=60°， 因为OB=OD,所以△BOD是等边三角形， 所以So=3x0DxCD= 1 2 所以S=S0wD-SAn-60X4 2 -×4× 360. 同理可得，5E三2×0E×CE三月 1 2， V-(=m-45 所以S四边形DDEc= 5,3 2+2 =3. 四，2.105：23.4：1：24204：25.0 19.(1)如图15，点P为所 YA 五、26.(1)证明：连结0D, 作， 因为OA=OD,所以∠BAD=∠ODA,所以∠BOD= 所以P点坐标为(2，-1)， 2∠BAD, 因为A(0,3), 0 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD,所以 所以AP=22+(-1-3)7 ∠BOD=∠BAC,所以OD∥AC,所以∠ODB=∠ACB=90°， 图15 =25, 因为OD为⊙O的半径，所以BC是⊙O的切线. 即⊙P的半径为2√5. (2)过点D作DE⊥AB,交AB于点E, 故填(2，-1)：25. 因为AD是∠BAC的平分线，∠ACB=90°， (2)因为P(2,-1),M(-2,1),所以PM= 所以DE=CD=3, √(-2-2)2+[1-(-1)]=25， 因为∠B=60,所以∠BDE=30,所以BE=BD 所以PM的长等于圆的半径，所以点M在⊙P上 在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2+BE2=BD2,即32+ (3)因为PA=PC=25,AC=√6+(1-3)7= 210,所以PA2+PC2=AC2,所以△PAC为直角三角形， BD=B0,解得BD=25或BD=-25(含去)， ∠APC=90°， 所以BC=BD+CD=3+23,所以AB=2BC=6+43, 中考数学华东师大第19~22期 所以AC=√AB-BC=6+33, 所以N=CD DM=AD 所以AD=√AC2+CD=32+36. 因为∠CDA=∠ADB=90°，∠CAD=∠ABD, 27.(1)连结BD.因为四边形ABCD内接于⊙0，∠ADC= 所以△CAD∽△ABD, 124°，所以∠CBA=180°-∠ADC=56°， 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠CAB= 所以CD=C4 A=AB 90°-∠CBA=34° 所以器-治 因为点D为AC的中点，所以∠CBD=7∠CB1=28,所 B 以∠CAD=∠CBD=28°. 综上可知∠CAB=34°，∠CAD=28°. (2)连结OC交BD于点F.因为AB为⊙O的直径，所以 ∠ADB=90°，所以∠EDF=90°， 因为CE为⊙0的切线，所以∠ECF=90°， N 因为点C为BD中点，OC为半径，所以∠CFD=90°， 图16 因为∠EDF=∠ECF=∠CFD=90°，所以四边形DECF (3)如图16，过点M作MF⊥BC于点F. 是矩形，所以CE=DF. 易得△BDM∽△EAM, 因为AD=2,AB=20A=6,∠ADB=90°，所以由勾股定 所以器-兴 理，得BD=√AB2-AD2=42, 所以AM·MB=DM·ME=12, 因为0C1BD,所以DF=8D=22,所以CE=22. 因为AB=8,设BM=x,则AM=8-x, 28.(1)证明：在△ABC中， 所以x(8-x)=12,解得x1=2,x,=6, 因为AC2+AB2=62+82=102=BC2, 因为BM<AM, 所以∠BAC=90°， 所以x=6舍去， 因为OA是⊙0的半径， 所以BM=2, 所以AC与⊙O相切. 图为LANG=能=专血LABC=荒=号 3 (2)证明：如图16，连结AD. 所以BF=BM·c∠ABC=号x2=号，FW=BM. 4 因为∠CDA=∠NDM=90°， 所以∠CDN=∠ADM, sin∠ABC= 3 4 又因为∠NDM=∠NAM=90°， 5x2=6 ,BD=AB·cosLABC= 5×8=32 5 所以∠AMD+∠AND=180°， 所以DF=BD-BF=32-8-24 5-5= 又因为∠CND+∠AND=180°， 因为∠BAE=∠BDE, 所以∠CND=∠AMD, 6 所以△CDN∽△ADM, 所以an∠BAE=tan L BDE=MF: 5 1 24=44 素养·拓展 数理极 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 传题铺导 报纸发行质量反馈电话： 90°圆周角的性质体验 重点集训营 0351-5271248 细■■■■■数■■言 (上接4版参考答案) ◎山东李浩然 1.如图1，弦CD所对的圆心角为120°，AB 一、求圆的半径 的直径，所以∠ACB=90°.因为∠BAC和 为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过 四2.4：280 点D作AB的垂线，垂足为E,则∠DEF的度数 24y=子 例1如图1，⊙0是 LCDB是同弧BC所对的圆周角，所以∠BAC= 为 △BCD的外接圆，AB⊥BC 25.音或号 若BC=4,∠BDC=30°，则 ∠CDB=30°，因为AB=4,所以BC= 五26()y=子 ⊙0的半径为 2,所以AC=√AB2-BC=25.故填25. c-2. 解析：连结AC,则∠CAB 图1 (2)点M的坐标为 三、求圆周角的度数 =∠BDC=30°，因为AB⊥BC,所以∠ABC= (0,0), 例3如图3，在⊙0中， (0), 1 图2 90°，所以AC为⊙0的直径.因为∠ABC=90°， 直径AB与弦CD相交于点P, 2.如图2，A,B,C,D均为圆周上十二等分 ( 1+7,4) 或 4 ∠CAB=30°，BC=4,所以AC=2BC=8,所以 连结AC,AD,BD,若∠C= 点，若用直尺测量弦CD长时，发现C点、D点分 -4. ⊙0的半径为8=4.故填4 别与刻度1和4对齐，则A,B两点的距离是 4 20°，∠BPC=70°，则∠ADC 27.(1)S=-2+5t,0 二、求弦的长度 0. <t≤3.5. 3.如图3，在四边形ABCD中，∠A=90° (2)不能，理由略 例2如图2，AB是 解析：因为∠C=20°，所 图3 AD∥BC,以CD为直径的⊙O与BC边交于点 (3)经过1或-9+ 以∠B=20°，因为LBPC=70°，所以∠BDP= E,与对角线BD交于点F,连结DE,CF √30秒时，△DPQ是等腰 ⊙O的直径，点C,D在⊙0 (1)请判断四边形ABED的形状，并说明 三角形 上，若∠CDB=30°，AB= ∠BPC-∠B=50°，又因为AB为直径，所以 28.(1)y=-x2-2+3. 理由； (2)点D的坐标为(0， 4,则AC的长为 ∠ADB=90°，所以∠ADC=∠ADB-∠BDP= (2)若AD=3,2DF=BF,∠ABD=30°， 0),(0,-3),(0,3-32) 解析：因为AB为⊙O 40°.故填40. 求⊙0的半径 或(0,3+32). + (3)存在，理由：抛物 线y= 2x+3的对利 第17期2版参考答案 17.(1)y=-2(x-0.4)2+3.32.(2)0D=1m. 轴为直线x=-1,设 26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 18.(1)x=10时，劳动教育基地的面积能达到 P(-11)0(m.n).丙 (第二课时) 150平方米. A(-3,0),C(0,3 ,则AC =18,AP2 =1+4.P 基础训练1.B:2.D:3.36 (2)当x是15米时，劳动教育基地面积y最大，最大 2-6+10.用为】AC 能力提高4.(1)y=-2x+80.S=-2x2+80x(19面积是187.5平方米 P,Q为顶点的四边形是菱 数理报社试题研究中心 ≤x<40). 19.(1)150:4560. 形，所以分三种情况：当AP (参考答案见下期) X寸角线计CP三CA (2)x=25时，围成的矩形花圃的面积为750平方米 (2)该商品日销售利润的最大值为6250元 4十“十”十”+”十“十十 所以2-61+10=18，解得 (3)围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为 (3)m=2. =3±√7，所以P(-1 800平方米，此时x的值为20. 26.2.3求二次函数的表达式 20.()顶点C的坐标为(a,2) 辅助线 3-17)或P2(-1,3+ 17),因为四边形ACPQ 基础训练1.B;2.D;3.B;4.答案不惟一， (2)y=2x2-8x+9 周周练 是菱形，所以AP与CQ互 (3)1<a<3. 目垂直平分，即AP与C0 如y=(x-1)2. 的中点重合，当P1(-1,3 能力提高5.(1)二次函数表达式为y=x2-4x 第17期4版参考答案 重点集训营 1.如图1，AB是⊙0的直径，C为圆上 7)时，所以m+0 3,对称轴为直线x=2. (1)c=5,J顶点M的坐标是(2,1). 点，且∠A0C=120°，⊙0的半径为4，P为圆上 -3-1 (2)m=4. 2 26.3实践与探索（第一课时） (2)因为点A在x轴上，点B的坐标为(1,5)，所以 一动点，Q为AP的中点，则CQ长度的最大值是 基础训练1.B:2.C:3.1. 点A的坐标是(1,0 0+3-厄，解得m= 2 能力提高4.(1)w=-50.x2+5500x-140000. ①QG=1. -4,n=-√17，所以 (2)当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大 ②存在.理由：因为△PGQ的面积为1，PG=1,所 Q1(-4,-17),当 利润为10800元. 以QG=2.根据题意，得P,Q的坐标分别是(1,2-41+ P2(-1,3+7)时，所 26.3实践与探索（第二课时） 5),(t+1,1-21+2).当点G在点Q的上方时，则QG= m+0=-3-1n+3 2 ’2 基础训练1.A;2.B;3.-3<x<1;4.9.2-4H+5-(-2+2)=3-21=2,此时t=)(在 M 0+3+页，解得m 能力提高5.(1)证明略， (2)抛物线方=a2+a-2a的对称轴为直线x0<t<3的范围内)，当点G在点Q的下方时，则QG= 1 图2 =-4,n=17,所以 2.如图2，在平面直角坐标系中，四边形 Q2(-4,17):当AC为对 =-22=-2令⅓=0，得名=1,4=-2，所以抛物 -21+2-(-41+5)=21-3=2,此时1=（在 ABC0为矩形，A(0,4),B(10,4),点M为边0C 角线时，则PC=AP,所以 线女2与轴的交点坐标为1,0(2.0<1<3的范周内)，所以t=分或多 上 点，以点M为圆心，CM为半径作⊙M,交x -6t+10=2 +4,解得 t=1,所以P3(-1,1),同 0).因为无论x为何值，总有y1≤y2,所以a>0,抛物线 轴于点D,连结BD交⊙M于点E,连结AE,点F 理可得Q3(-2,2);当CP 第18期综合评估卷参考答案 为AE的中点，则OF的最小值为 AC y2=ax2+ax-2a与直线y1=2x-2没有交点或只有 为对角线时，则AP 题号123456789101112 所以2+4=18，解得t= 一个交点，令y1=y2,可得ax2+(a-2)x-2a+2=0, 答案BCBCBBBBAAC C 耳/售40用 ±√14，所以P4(-1, 则4=b2-4ac=(3a-2)2≤0，所以3a-2=0,解得 二、13.-2：14.40：15.220：16.(2.0). 举旦怕‘斗阴O0度马☑出「唑‘事小/智 √14)，P(-1,-√14) =子 同理可得Q4(2,3 三、17.(1)新抛物线不经过P(1,-5),理由略. 身H0‘H并学三)‘H‘0示阴‘丁阊湖 14),Q(2,3-14) (2)此二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 未头I‘Q画g9学母4学[道‘1=9H 综上，符合条件的点 第17期3版参考答案 日‘玛中9H☒VV头OHg☑‘乙斗明H团 P,Q的坐标为P1(-1,3 题号12345678 18.(1)h=-;(2)k=-1或子 M‘06=aA07=Qa071婚‘（￡‘s)9 17),Q1(-4,-7) 答案ADD B CD C D 19.(1)b=1,c=1.2.(2)2.45米. (乙0I)H‘b=O8(0‘0I)0影9 或P2(-1,3+7), 二、9.y=3x2;10.m>9;11.2.5;12.24; 20.(1)剪掉的正方形的边长为10cm. 甲‘30‘O!买‘)学中HV组‘H☒‘H‘H Q2(-4,17)或P3(-1, 1),Q3(-2,2)或P4(-1, 13.42；14.-6 (2)长方体盒子的侧面积最大为968cm2, 学中O8谁‘4O县【坐群】【-个乙 √14)，Q(2,3+√14)或 21.(1)y=-x+40. 怕D吊半斑举☑出唑￥售3‘H阿 P5(-1,-14),Q5(2,3 三、15.(1)抛物线C2的表达式为y=(x-2)2-2. (2)销售单价为16元时，每天的销售利润为 彩斗阴YO母0学乐‘YO录‘Y⊙厚 -14). (2)点A不在抛物线C,上.理由略. 144元. 头0/MZ90学I1书‘H学⊥8V (全文完) 16.(1)证明略. (3)这种纪念品每天销售的最低利润是125元. THO“00买【些群】L乙+乙I【粪号】 (2)a的取值范围为-1<a<0或a>0. (下转1,4版中缝) 数理报 2025年11月6日·星期四 初中数学 第 19期总第1163期 华东师大 中考 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-207 名师课堂· 一、为弦牵线搭桥 例1如图1，AB是 垂径定理有妙用 ⊙O的直径，四边形ABCD 内接于⊙O,若BC=CD ◎湖南张玉霞 =DA=4cm,则⊙0的直 一、求直径 直径，所以∠C=90°，因为OD⊥AC,所以点D 径AB为 ( 例1《九章算术》标 是AC的中点，所以OD是△ABC的中位线，所以 A.5cm B.4 cm 志着中国古代数学形成了 C.6cm D.8 cm 完整的体系第九卷《勾股》 0D∥BC,且OD=2BC.设0D=x,则BC= 解析：连结OD,OC. 中记载了一个“圆材埋壁” 2x,因为DE=4,所以0E=4-x,所以AB= 因为BC=CD=DA=4cm,所以AD=CD 的问题：“今有圆材埋在壁 20E=8-2x,在Rt△ABC中，由勾股定理可得， BC, 中，不知大小、.以锯锯之，深 AB2=AC2+BC2,即(8-2x)2=(42)2+ 寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语 (2x)2,解得x=1.所以BC=2x=2.故填2. 所以∠A0D=∠D0C=LB0C=60°. 言可表述为：“如图1，AB是⊙0的直径，弦CD 又因为OA=OD,所以△A0D是等边三角 三、实际应用 37 形，所以OA=AD=4cm,所以AB=8cm.故 ⊥AB于点E,AE=1寸，CD=10寸，求直径AB 例3赵州桥是当今世 的长.”可求出直径AB的长为 、 界上建造最早，保存最完整 选D. 解析：连结OC,则OA=OC,设0A=0C=的中国古代单孔敞肩石拱 方法指导 x寸，则0E=(x-1)寸，AB=2x寸，因为AB是桥如图3，主桥拱呈圆弧形， ⊙0的直径，弦CD1AB于点E,CD=10寸，所跨度约为37m,拱高约为 牵线搭桥 以CE=2CD=5寸，在R△C0E中，0E+CE7m,则州桥主桥铁半径R约为 m(结 圆 果保留整数) =0C2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,所以 解析：由题意可知，AB=37m,CD=7m,主 ©安徽廖小洁 AB=26寸.故填26： 二、为圆周角牵线搭桥 二、求弦长 桥拱半径为Rm,所以OD=OC-CD=(R 例2如图2，AB是 例2如图2，AB是⊙0 7)m,因为OC是半径，且OC⊥AB,所以AD= BD=方AB=}m在△AD0中，AD+0n ⊙0的直径，C,D是⊙0上 的直径，OD垂直于弦AC于 的两点，若∠CAB=65°，则 点D,D0的延长线交⊙0于 ∠ADC的度数为 点E.若AC=42,DE=4 =0A,即(7)+(R- 7)2=R2,解得R= ( A.25 B.35 则BC的长是 1565 C.45° D.65 解析：因为AB是⊙0的 ≈28m.故填28 56 解析：因为AB是直径，所以∠ACB=90° 因为∠CAB=65° 思维天地 所以∠ABC=90°-∠CAB=259 性质用( 所以∠ADC=∠ABC=25°.故选A. 三、为圆周角和圆心角牵线搭桥 例3如图3，A,B,C是 ⊙四川赵勇 ⊙0上的三点，若∠A0C = 如图1，四边形ABCD的四 =180°，所以∠BAD=65°，所以∠BOD 90°，∠ACB=25°， 则 个顶点都在⊙O上，则四边形 2∠BAD=130°.故填130 ∠BOC的度数是 ( ABCD内接于⊙O,⊙O是四边 二、说理用 A.20° B.25 形ABCD的外接圆.因为∠A 例2如图3，四边形 C.409 D.509 所对的弧为BCD,∠C所对的 ABCD为⊙O的内接四边形， 解析：因为AB=AB,所以∠AOB 已知LC=∠D,判断AB与 2∠ACB=50°， 弧为BAD,且BCD与BAD所对圆心角的和为周CD的位置关系，并说明 因为∠A0C=90°，所以∠B0C=LA0C 角，所以由圆周角定理，得∠A+∠C=?×理由 图3 ∠A0B=40°.故选C. 解：AB∥CD.理由：因为四边形ABCD是 四、为特殊角牵线搭桥 360°=180.同理，∠B+∠D=180°. 由此可得：圆内接四边形的对角互补 ⊙0的内接四边形，所以∠A+∠C=180°因为 例4如图4，AB是 ∠C=∠D,所以∠A+∠D=180°.所以AB∥ ⊙0的直径，C,D,E是⊙O 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关 CD. 上的点，则∠1+∠2等于 的边、角问题，往往能够起到事半功倍的效果 一、求角用 本周主讲 解析：连结AC,BC,根 例1如图2，四边形 据同弧所对的圆周角相等 ABCD内接于⊙O,E为BC延 27.1圆的认识 可知，∠1=∠ABC,∠2= 长线上一点.若∠DCE= 主要内容：本期需掌握弦、孤、圆心角、圆 ∠CAB. 65°，则∠BOD的度数是 周角的概念，了解圆的对称性，掌握弦、孤、圆 所以∠1+∠2=∠ABC+∠CAB. 心角之间的关系和圆周角定理，掌握垂径定理 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB= 解析：因为∠DCE= 90°， 及其在生活中的应用，理解并掌握圆周角定理 65°，所以∠DCB=180°-∠DCE=115°.因为 所以∠1+∠2=∠ABC+∠CAB=90°. 的推论 四边形ABCD内接于⊙O,所以∠BAD+∠DCB 故填90° 2 素养专练 数理极 能刀提高 27.1.3圆周角 跟踪训练 4.如图4，已知⊙0的直径BA与弦DC的延长 屋础训练 线交于点P,且PC=CO,CD=AC+DB,求 1.如图1，点A,B,C在⊙0上，∠BAC=52° 27.1.1圆的基本元素 ∠ODC与∠DOB的度数： 连结OB,OC,则∠BOC的度数为 ( A.26° B.709 C.104° D.128 堡础训练 1.如图1所示的线段，是圆0弦的是( A.线段AB B.线段AC C.线段AE D.线段DE 图1 图2 2.如图2，已知四边形ABDC内接于⊙0， ∠BDC=115°，则∠BOC的度数为 A.130°B.120°C.110° D.100° 图1 图2 27.1.2圆的对称性（第二课时） 3.如图3，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0 2.已知⊙0中，最长的弦长为16cm,则⊙0 屋四训练 上.若∠DAB=66°，则∠ACD= 度 的半径是 A.4 cm B.8 cm C.16 cm D.32 cm 3.下列说法错误的是 1.如图1，已知在⊙0中，半径0C垂直于弦 AB,垂足为D.如果CD=8,AB=24,那么OA的 A.圆有无数条直径 长为 ( B.连结圆上任意两点之间的线段叫做弦 C.过圆心的线段是直径 A.12 B.123C.13 D.16 D.同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 图3 图4 4.过圆内一点（非同心）有 条弦，有 4.如图4，四边形ABCD内接于⊙0，AD∥ 条直径 BC,BD平分LABC,∠A=126°，则∠BDC的度数 5.如图2，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦， AB,CD的延长线交于点E.若AB=2DE,∠E= 5.如图5，⊙0是△ABC 18°，则∠C的度数为 的外接圆，BC=BD,点A是 6.如图3，CD是⊙0的直径，0是圆心，E是圆 图1 图2 弧BD的中点，若∠CBD = 上一点，且∠E0D=81°，A是DC延长线上一点 2.如图2，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD,垂 20°，则∠ABD的度数为 AE与圆交于另一点B,且AB=OC,求∠EAD的 足为M,连结AD.若CD=8,BM=2,则AD的长 度数. ( 6.如图6，AB是⊙0的直 A.10 B.53 C.45D.310 径，CD是⊙O的一条弦，且 3.已知⊙0的半径为2，弦AB,AC的长分别 CD⊥AB于点E,连结AC,OC,BC 为22和23，则∠BAC的度数为 (1)求证：∠1=∠2； 4.圆在中式建筑中 (2)若BE=2,CD=6,求⊙0的半径长. 图3 有着广泛的应用.如图3， 某园林中圆弧形门洞的 顶端到地面的高度为 27.1.2圆的对称性（第一课时） 2.8m,地面人口的宽度 为1m,门枕的高度为 m 垦础训练 0.3m,则该圆弧所在圆 图3 1.如图1，在⊙0中，AB=CD,OE⊥AB,0F 的半径为 m. 图6 上CD,则下列结果中错误的是 ( 能刀提高 A.AB =CD B.OE =OF 5.一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸 C.∠AOB=∠COD D.BC AD 条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小 能刀提高 明同学所在的学习小组想到了如下方法：如图4， 7.如图7，⊙0的直径AB为10cm,弦AC为 将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与 6cm,∠ACB的平分线交⊙0于点D,求BC,AD, 杯口相交于A,B,C,D四点，利用刻度尺量得该纸 BD的长及四边形ACBD的面积. 条宽为3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.请你帮忙 计算纸杯的直径 图 2.如图2，在⊙0中，AC=BD,若∠AOC= 120°，则∠B0D= 3.如图3，∠A0B=90°，C,D是AB的三等分 点，连结AB,分别交OC,OD于点E,F (1)求∠AEC的度数； (2)求证：AE=BF=CD 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 17.（10分)如图15，四边形ABCD是⊙0的内 司步 达 接四边形，BC是⊙0的直径，∠ACB=30°，AB= 检测题（十二 2,点D为AC的中点. (1)求⊙0的半径： 【检测范围：27.1】 (2)求∠DAC的度数 (满分：120分) A.2⑤ B.3⑤ C.3⑤ 3 5 D.5 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 题号1 2 3 45 6 7 9.如图8，在⊙0中，弦的条数是 答案 1.已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的 长不可能是 A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图1所示，在⊙0中，AD是直径，弦BC交 AD于点E,连结AB,AC,若∠BAD=32°，则∠ACB 图8 图9 18.(10分)如图16，有一座圆弧形拱桥，桥下 的度数是 水面宽AB为16米，拱高CN为4米. A.68° B.58 C.64 D.54° 10.如图9，在⊙0中，AB=CD,A,C之间的距 离为4，则B,D之间的距离为 (1)求桥拱的半径； 11.如图10，四边形ABCD (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为 内接于⊙O,AD=DC,∠DAC 12米时，求水面涨高了多少？ =25°，则∠ABC= 12.已知圆中两条平行的 图1 弦之间的距离为1，其中一弦长 3.如图2，AB,CD是⊙0的弦，且AB=CD,若 为8，若半径为5，则另一弦长为 10 图16 ∠B0D=84°，则∠AC0的度数为 A.42° B.44° C.46° D.48° 13.如图11，四边形ABCD是⊙0的内接四边 4.如图3，以CD为直径的⊙0中，弦AB1CD 于点M,若AB=24,CD=26,则MD的长为 形，∠BCD=110°，连结OB,OC,OD,BD,∠BOC ( =3∠COD,则∠BDC的度数是 A.5 B.7 C.8 D.10 19.(12分)如图17，在⊙0中，C,D是直径AB 上的两点，且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,交AB 于点C,D,点E,G,F,H在⊙0上 (1)若EG=8,AC=2,求⊙0的半径； 图11 图12 (2)求证：AE=BF 图3 图4 14.如图12，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= 5.如图4，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的 5,BC=4,点E是AC边上的动点，以CE为直径作 两点，连结AC,AD,CD,若∠ADC=70°，则∠CAB ⊙F,连结BE交⊙F于点D,则AD的最小值为 的度数是 ( A.20° B.30 C.70° D.90 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 6.如图5，四边形ABCD内接于⊙O,点E,F分 别在AB和DC的延长线上，且EF∥BC,若∠E= 15.(10分)如图13，在⊙0中，D,E分别为半 80°，则下列结论正确的是 径OA,OB上的点，且AD=BE.C为弧AB上一点， A.∠F=110° B.∠D=100° 连结CD,CE,CO,且CD=CE.求证：C为AB的中 C.∠BCD=110° D.∠A=80° 点 D 20.(12分)如图18，圆内接四边形ABCD的对 角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB. (1)求证：DB平分∠ADC; 图13 (2)求∠BAD的大小； 图5 (3)过点C作CF∥AD,交AB的延长线于点 7.数学活动课上，同学们想测出一个破损轮子的 16.(10分)如图14，在⊙0中，点E是弦CD的 F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长. 半径，小宇的解决方案如下：如图6，在轮子圆弧上任中点，过点O,E作直径AB(AE>BE),连结BD,过 A 取两点A,B,连结AB,再作出AB的垂直平分线，交AB点C作CF∥BD交AB于点G,交⊙0于点F,连结 于点C,交AB于点D,测出AB,CD的长度，即可计算得AF.求证：AG=AF. 出轮子的半径，现测出AB=16cm,CD=4cm,则轮 子的半径为 A.6 cm B.8cm C.10cm D.12 cm 8.如图7，AB是⊙0的一 条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连 结AO并延长交翻折后的弧于 点C,连结BC,若AB=2,BC= 数理报社试题研究中心 1,则AC的长为 图7 (参考答案见下期)