第22期 3.1 圆 3.2 圆的对称性 3.3 垂 径定理 3.4 圆周角和圆心角的关系（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养拓展 A 数理极 专题铺导 90°圆周角的性质体验 ■■■■■■■■。言 辅助线周周练 ⊙山东李浩然 一、求圆的半径 1.如图1,4B是⊙0的直径，C为圆上 因为∠BAC和∠CDB是同弧BC所对的圆 例1如图1，A,B,C,D 点，且∠A0C=120°，⊙0的半径为4，P为圆上 周角， 是⊙0上的点，AB⊥BC.若 动点，Q为AP的中点，则CQ长度的最大值是 所以∠BAC=∠CDB=30°， BC=4,∠BDC=30°，则 因为AB=4, ⊙0的半径为 解析：连接AC,则∠CAB 所以BC=2AB=2, =∠BDC=30°， 图1 所以AC=AB2-BC=√42-22=25 因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°， 故填2√3. 所以AC为⊙O的直径. 三、求圆周角的度数 图2 因为∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=4, 例3如图3，在⊙0中 2.如图2，在平面直角坐标系中，四边形 所以AC=2BC=8, 直径AB与弦CD相交于点P, 4BC0为矩形，A(0,4),B(10,4),点M为边0C 所以⊙0的半径为号=4 连接AC,AD,BD,若∠C= 上一点，以点M为圆心，CM为半径作⊙M,交x 20°，∠BPC=70°，则∠ADC 轴于点D,连接BD交⊙M于点E,连接AE,点F 故填4. 为AE的中点，则OF的最小值为 二、求弦的长度 解析：因为∠C=20°，所 小/售H0用 例2如图2，AB是 以∠B=20°， 华怕‘斗用30倭马部出唑‘卧兽 ⊙0的直径，点C,D在⊙0 因为∠BPC=70°，所以∠BDP=∠BPC-1 身H0‘阳形并学三9‘‘0乐阴‘g于画明 上，若∠CDB=30°，AB= ∠B=50°， 未头1‘Q图联3学M尹！学m1=31门 4,则AC的长为 又因为AB为直径，所以∠ADB=90°， ‘彩四中阴HaVV年31年图‘Z联斗傅Ha 解析：因为AB为⊙O 所以∠ADC=∠ADB-∠BDP=40. M‘.06=aa07=aa07昏‘(cs)3 的直径，所以∠ACB=90°. 故填40°. (乙‘0L)H'b=O8‘(0'0L)3明：出 甲‘30‘9H瓣要‘9学中HW难‘Ha‘HV瓣要‘H CG所在直线表达式为y=x-1,当x=2时，y=x-1 学中O8连‘IO瓣县【些群】I-个乙 第21期2版参考答案 =2-1=1,所以D(2,1):②当AD为边时，同理过点A 怕O吊华缸其g出唑￥售00‘阳可 2.5二次函数与一元二次方程 作AC的垂线，交I于点D',交y轴于点H,易得AH所在 彩斗明YO0乐‘Y0瓣买‘Y⊙罗厚 基础训练1.A;2.B;3.x1=-3,x2=1；49. 直线表达式为y=x+1,则AH与对称轴L的交点坐标为 头OVM☑1gZ0学I19‘H学⊥a 能力提高5.(1)证明略. D'(2,3).当AC为对角线时，DE也为对角线，易得DE= THO00瓣段【些】少忆+乙1【号】 (2)抛物线y2=ax2+ax-2a的对称轴为直线x= AC=√2，此时点D不可能在上，所以此种情况不存在. 名=-分，令为=0，得有=1出=-2，所以抛物线 十”十”十十”十十十十”十 4十十十”十十 综上，在新抛物线L'的对称轴l上存在点D,使得以 白，与轴的文支点标为102.0.人，C0,E为而点的四边形是矩形，此时点D的坐标为以Sm=宁·子·A=子，解得=2，所以点为她 因为无论x为何值，总有y1≤y2,所以a>0,抛物线2=(2,1)或(2,3)· 物线上到BC的距离为2的点，所以M的纵坐标为0或4， ax2+ax-2a与直线y,=2x-2没有交点或只有一个交 第21期3,4版综合评估卷参考答案 点，令y1=y2,可得ax2+(a-2)x-2a+2=0,则4= 令y=子-子=0，解得x=0,=分所以，(0， 6-4ac=(3a-2)妒≤0，所以3a-2=0,解得a=子 -、题号12345678910 答案BBBBBB AA C C 0)4,(分0：令y=子-子=4，解得。 专项练习 题型一：图象题 二1.-2：1220；13.(2,0：44：15g 1+可=1-可，所以M,(1+阿，4， 4 4 1.C:2.D. 三、16.2m2-6m的值为40. M,-4). 题型二：应用题 4 3.(1)由题易得：抛物线的顶点为(10,6)，设水流 n.(1)k=-子(2)k=-1或3 5 形成的抛物线的表达式为y=a(x-10)2+6,将点(0， 综上，点M的坐标为(0.0)，(3,0，(+7,4 4 18.(1)b=1,c=1.2. 1)代人可得a=-20,所以抛物线的表达式为y= (2)大棚的最高点到地面的距离为2.45米 或-应4. 4 2六(x-10)2+6,当x=15时，y=-0×25+6= 四、19.(1)剪掉的正方形的边长为10cm. 五、22.(1)S=-t+5t,0<t≤3.5. (2)侧面积有最大值. (2)不能，理由略. 4.75>4.2,所以能浇灌到小树后面的草坪 设剪掉的小正方形的边长为tcm,盒子的侧面积为 (3)因为AP=t,BQ=2t,所以BP=5-t,CQ=7 (2)喷射架应向后平移1米 ycm2,则y与t的函数关系为y=4(44-2t)t,即y=-2t,在Rt△APD,Rt△BPQ,Rt△CDQ中，由勾股定理 (3)-2的最大值为号 8(t-11)2+968,因为-8<0，自变量t的取值范围得，PD=2+49,PQ2=(5-t)2+4t2=25-10t+52, 4.(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,-1) 为0<t<22,所以当t=11时，y有最大值，y=968,DQ=25+(7-2)2=74-28+4f,当PD=D0时， (2)由题易求得抛物线儿的表达式为y=号(x- 即当剪掉的正方形的边长为11cm时，长方体盒子的侧则PD=DQ,所以f+49=74-28:+42,解得有= 面积最大为968cm2 1,6=5(含去)：当PD=P0时，则Pn=PQ,所以 2)2-子，所以对称轴1为直线x=2 20.(1)y与x的函数关系式为y=-x+40. （2)销售单价为16元时，每天的销售利闲为144元。+49=25-10+5，解得5=4（合去）.6=-之（合 当AC为边时，分两种情况：①当AD为对角线时，连 (3)这种纪念品每天销售的最低利润是125元.去)；当D0Q=PQ时，则DQ2=PQ,所以74-28t+4 接AC,过点C作AC的垂线，交l于点D,交x轴于点G,因 为A(-1,0),C(0,-1),所以0A=0C=1,所以∠0CA 21.(1)抛物线的函数表达式为y=子2-分x=25-10+5,解得有=-9+150=-9 =45°，所以∠0CG=45°，所以0G=0C=1,所以 /130(舍去). G1,0).设cG所在直线表达式为y=kx+6,将(0，C(-号，2). 综上所述，经过1或-9+√130秒时，△DPQ是等 -).10)代人得，信.0探得[化1所以 lb=-1, (2)设△BCM边BC上的高为A,因为BC=子，所 腰三角形 (下转1,4版中缝) 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话： 初中数学 0351-5271268 教理橘 2025年11月27日·星期四 报纸发行质量反馈电话 第 22期总第1166期 北师大 0351-5271248 中考 【上接4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-205 23.(1)y=-x 2x+3. 名师课堂 一、为弦牵线搭桥 (2)点D的坐标为 (0,0),(0,-3),(0,3 例1如图1，AB是 -32)或(0,3+32) 垂径定理有妙用 ⊙O的直径，四边形ABCD (3)存在，理由如 内接于⊙O,若BC=CD ○湖南张玉霞 DA=4cm,则⊙0的直径 抛物线y=-x2 一、求直径 解析：因为AB是⊙O的直径，所以∠C AB为 ( ) 2x+3的对称轴为直线 =-1,设P(-1,t) 例1《九章算术》标志 90°，因为OD⊥AC,所以点D是AC的中点，所以 A.5 cm B.4 cm Q(m,n),因为A(-3 着中国古代数学形成了完整 OD是△ABC的中位线，所以OD∥BC,且OD= C.6 cm D.8cm 0),C(0,3),则AC2 的体系.第九卷《勾股》中记 解析：连接OD,OC 18,AP2=t2+4,PC2 BC.设OD=x,则BC=2x,因为DE=4,所以 -6t+10,因为以A 载了一个“圆材埋壁”的问 因为BC=CD=DA=4cm,所以AD=CD C,P,Q为顶点的四边形 题：“今有圆材埋在壁中，不 0E=4-x,所以AB=20E=8-2x,在 BC. 是菱形，所以分三种情 知大小以锯锯之，深一寸， Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2=AC2 + 况：当AP为对角线时， 所以∠AOD=∠D0C=∠BOC=60°， 则CP=CA,所以t-6t 锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表BC2,即(8-2x)2=(42)2+(2x)2,解得x=1. 又因为OA=OD,所以△A0D是等边三角 +10=18,解得t=3± 述为：“如图1，AB是⊙0的直径，弦CD1AB于点所以BC=2x=2.故填2. 形，所以OA=AD=4cm,所以AB=8cm.故 17,所以P,(-1,3 E,AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长.”可求 三、实际应用 选D /17)或P2(-1,3 出直径AB的长为」 寸 例3赵州桥是当今世 方法指导 7),因为四边形 解析：连接0C,则0A=0C,设0A=0C= 界上建造最早，保存最完整 ACPQ是菱形，所以AP 的中国古代单孔敞肩石拱 与CQ互相垂直平分，即 x寸，则0E=(x-1)寸，AB=2x寸，因为AB是 牵线搭桥 AP与CQ的中点重合， ⊙0的直径，弦CD上AB于点E,CD=10寸，所 桥.如图3，主桥拱呈圆弧 当P(-1,3-17)》 以CB=2CD=5寸，在RIACOE中，0B+CE 形，跨度约为37m,拱高约 时，所以” 为7m,则赵州桥主桥拱半径R约为 话圆弧 =0C2,即(x-1)2+52=x2,解得x=13,所以 果保留整数) 3-1 n+3 2 AB=26寸.故填26 解析：由题意可知，AB=37m,CD=7m,主 ⊙安徽廖小洁 0+3-，解得m= 桥拱半径为Rm,所以OD=OC-CD=(R- 二、为圆周角牵线搭桥 二、求弦长 7)m,因为0C是半径，且0C⊥AB,所以AD=BD 例2如图2，AB是 4,n=-√17，所以 例2如图2，AB是⊙0 ⊙0的直径，C,D是⊙0上 Q(-4,-7),当 的直径，OD垂直于弦AC于点 =2AB=7m,在R△AD0中，AD+OD 1 37 的两点，若∠CAB=65° P2(-1,3+7)时， D,D0的延长线交⊙0于点E. 则∠ADC的度数为 所以m+0 =3-1 若AC=42,DE=4,则BC 0N,即（乃）2+(R-7)2=R,解得R=1 2 56 2 +3 =0+3+7 的长是 28m.故填28 m A.25 B.35° 2 C.45° D.659 解得m= -4,n 思维天地 解析：因为AB是直径，所以∠ACB=90° /7, 所 小办性质用以 因为∠CAB=65° Q2(-4,√17)： 所以∠ABC=90°-∠CAB=25°， 当AC为对角线时 所以∠ADC=∠ABC=25°故选A. 则PC=AP,所以t2-6t +10=2+4,解得t= 杨志忠 三、为圆周角和圆心角牵线搭桥 ,所以P3(-1,1), 如图1，四边形ABCD的四 C.130° D.1409 例3如图3，A,B,C是 同理可得Q3(-2, 个顶点都在⊙O上，则四边形 解析：因为∠DCE=65°，所以∠DCB ⊙0上的三点，若∠A0C= 2)； 当CP为对角线时， ABCD内接于⊙0，⊙0是四边 180°-∠DCE=115°. 90°，∠ACB=25°， 则 则AP=AC,所以子+4 形ABCD的外接圆 因为四边形ABCD内接于⊙O,所以∠BAD ∠BOC的度数是( ) =18,解得t=±√14 因为∠A所对的弧为 +∠DCB=180°，所以∠BAD=65°，所以 A.20 B.25° 所以P4(-1,14) C.409 D.509 P(-1,-4), BCD,∠C所对的弧为BAD,且 ∠BOD=2∠BAD=130° 故选C. 解析：因为AB=AB,所以∠AOB 同理可得Q,(2,3+ BCD与BAD所对圆心角的和为周角 二、说理 2∠ACB=50° 14),Q(2,3-14) 所以由圆周角定理，得∠A+∠C= 例2如图3，四边形 因为∠A0C=90°，所以∠B0C=∠A0G 综上，符合条件的 点P,Q的坐标为 ABCD为⊙O的内接四边形， ∠A0B=40°.故选C. P(-1,3- 17) 360°=180. 四、为特殊角牵线搭桥 已知∠C=∠D,判断AB与 Q1(-4,-√7)或 同理，∠B+∠D=180° CD的位置关系，并说明 例4如图4，AB是 P2(-1,3+√7) 由此可得：圆内接四边形的对角互补 ⊙0的直径，C,D,E是⊙0 理由 Q2(-4, 17)或 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关 上的点，则∠1+∠2等于 P,(-1,1),Q(-2,2) 解：AB∥CD.理由如下： 的边、角问题，往往能够起到事半功倍的效果 或P4(-1,√14)，Q4(2 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 解析：连接AC,BC,根 3+14)或P(-1, 一、求角 所以∠A+∠C=180° 据同弧所对的圆周角相等 √4)，Q(2 例1如图2，四边形 因为∠C=∠D,所以∠A+∠D=180 可知，∠1=∠ABC,∠2=∠CAB, 3-14). ABCD内接于⊙O,E为BC延 所以AB∥CD. 所以∠1+∠2=∠ABC+∠CAB. (全文完) 长线上一点.若∠DCE 温馨提示：从以上几例可以看出，圆内接四 因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB= 65°，则∠B0D的度数是 边形的性质虽简短，但在解决与圆的内接四边90° ( 形有关的问题时很有效，同学们在解题时要注 所以∠1+∠2=∠ABC+∠CAB=90° A.65° B.115° 意灵活选择运用， 故填90° 2 素养专练 人 数理极 跟踪训练 3.1圆 垦出训练 3.4圆周角和圆心角的关系 1.如图1所示的线段，是圆0弦的是( 能刀提高 A.线段AB B.线段AC 垦础训练 C.线段AE D.线段DE 4.如图4，已知⊙0的直径BA与弦DC的延长 1.如图1，点A,B,C在⊙0上，∠BAC=52° 线交于点P,且PC=C0,CD=AC+DB,求连接OB,OC,则∠B0C的度数为 () ∠ODC与∠DOB的度数 A.26° B.70° C.104° D.128° 图1 图2 2.已知⊙0中，最长的弦长为16cm,则⊙0 的半径是 ( A.4cm B.8 cm C.16cm D.32 cm 图1 3.下列说法错误的是 ( 2.如图2，已知四边形ABDC内接于⊙0， A.圆有无数条直径 ·3.3垂径定理 ∠BDC=115°，则∠BOC的度数为() B.连接圆上任意两点之间的线段叫做弦 A.130°B.120°C.110°D.100° C.过圆心的线段是直径 堡出训练 3.如图3，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙O D.同圆中，直径是最长的弦，为半径的两倍 1.如图1，已知在⊙0中，半径0C垂直于弦 上.若∠DAB=66°，则∠ACD= 度 4.平面内，已知⊙0的半径是8cm,线段OP AB,垂足为D.如果CD=8,AB=24,那么0A的 =7cm,则点P在⊙0（填“内”“外”或 长为 ( “上”). A.12 B.125 C.13 D.16 5.如图2，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦， AB,CD的延长线交于点E.若AB=2DE,∠E= 18°，则∠C的度数为 图3 网4 6.如图3，CD是⊙0的直径，0是圆心，E是圆 4.如图4，四边形ABCD内接于⊙O,AD八 上一点，且∠EOD=81°，A是DC延长线上一点， BC,BD平分∠ABC,∠A=126°，则∠BDC的度数 AE与圆交于另一点B,且AB=OC,求∠EAD的 为 度数. 图2 5.如图5，点A,B,C,D在 2.如图2，CD是⊙0的弦，直径AB1CD,垂 ⊙O上，BC=BD,点A是弧 足为M,连接AD.若CD=8,BM=2,则AD的长 BD的中点，若∠CBD=20, 为 则∠ABD的度数为 A.10 B.55 6.如图6，AB是⊙0的直 C.45 D.310 径，CD是⊙0的一条弦，且 图5 3.如图3，⊙0的半径为5，弦AB=6,P是弦CD1AB于点E,连接AC,0C,BC AB上的一个动点（不与A,B重合），写出一个符合 (1)求证：∠1=∠2； 3.2圆的对称性 条件的OP的值」 (2)若BE=2,CD=6,求⊙0的半径长， 垦出训练 1.如图1，在⊙0中，AB=CD,0E⊥AB,0F 1CD,则下列结果中错误的是 0.3m A.AB CD B.OE =OF 1 m C.∠AOB=∠COD D.BC AD 图3 图4 4.圆在中式建筑中有着广泛的应用.如图4， 某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为 能刀提高 2.8m,地面入口的宽度为1m,门枕的高度为 0.3m,则该圆弧所在圆的半径为。 m. 7.如图7，⊙0的直径AB为10cm,弦AC为 6cm,∠ACB的平分线交⊙0于点D,求BC,AD, 能力提高 BD的长及四边形ACBD的面积. 图 图2 5.一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸 2.如图2，在⊙0中，AC=BD,若∠A0C= 条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小、 120°，则∠B0D= 明同学所在的学习小组想到了如下方法：如图5， 3.如图3，∠A0B=90°，C,D是AB的三等分 将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与 点，连接AB,分别交OC,OD于点E,F 杯口相交于A,B,C,D四点，利用刻度尺量得该纸 图7 (1)求∠AEC的度数： 条宽为3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.请你帮忙 数理报社试题研究中心 (2)求证：AE=BF=CD. 计算纸杯的直径. (参考答案见下期) 数理叔 素养·测评 3 16.(10分)如图15，在⊙0中，点E是弦CD 的中点，过点O,E作直径AB(AE>BE),连接BD 同步达 标 检测题（十三 过点C作CF∥BD交AB于点G,交⊙O于点F, 连接AF.求证：AG=AF 【检测范围：3.13.4】 8.如图7，AB是⊙0的 (满分：120分】 条弦，将劣弧沿弦AB翻折，连 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 接A0并延长交翻折后的弧于 题号12 345 67 点C,连接BC,若AB=2,BC= 15 答案 1,则AC的长为 ( 图7 1.已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的 A.2⑤ C.36 3 B.35 4 5 D.⑤ 17.(10分)如图16，四边形ABCD是⊙0的内 长不可能是 !接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB=30°，AB= 二、细心填一填（每小题4分，共24分） A.2 B.3 C.4 D.5 9.如图8，在⊙0中，弦的条数是 2,点D为AC的中点. 2.如图1所示，在⊙0中，AD是直径，弦BC交 (1)求⊙0的半径： AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD=32°，则∠ACB (2)求∠DAC的度数 的度数是 ( A.689 B.58 C.64° D.549 图8 9 10.如图9，在⊙0中，AB=CD,4,C之间的距 离为4，则B,D之间的距离为 18.(10分)如图17，有一座圆弧形拱桥，桥下 图1 图2 11.如图10，四边形ABCD内接于⊙0,4D=水面宽AB为16米，拱高CW为4米. DC,∠DAC=25°，则∠ABC= (1)求桥拱的半径； 3.如图2，AB,CD是⊙0的弦，且AB=CD,若 (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度DE为 ∠B0D=84°，则∠AC0的度数为 ( 12米时，求水面涨高了多少？ A.42°B.44°C.46° D.48° 4.如图3，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD 于点M,若AB=24,CD=26,则MD的长为 图10 A.5 B.7 C.8 D.10 图11 12.如图11，以原点0为圆心的圆交x轴于A, 17 B两点，交y轴的正半轴于点C,且点A的坐标为 (-2,0),D为第一象限内⊙0上的一点，若 ∠0CD=75°，则AD= 19.(12分)如图18，在⊙0中，C,D是直径AB 13.如图12，四边形ABCD是⊙0的内接四边 上的两点，且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,交AB 形，∠BCD=110°，连接OB,0C,0D,BD,∠B0C 于点C,D,点E,G,F,H在⊙O上. 图3 图4 =3∠COD,则∠BDC的度数是 (1)若EG=8,AC=2,求⊙0的半径； 5.如图4，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的 (2)求证：AE=BF 两点，连接AC,AD,CD,若∠ADC=70°，则∠CAB 的度数是 ( A.20° B.30° C.70° D.90° 6.如图5，四边形ABCD内接于⊙0，点E,F分 别在AB和DC的延长线上，且EF∥BC,若∠E= 1 图12 图13 80°，则下列结论正确的是 A.∠F=110° B.∠D=100 14.如图13，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= C.∠BCD=110 D.∠A=80° 5,BC=4,点E是AC边上的动点，以CE为直径作 ⊙F,连接BE交⊙F于点D,则AD的最小值为 20.(12分)如图19，圆内接四边形ABCD的对 :角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB. 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） 15.(10分)如图14，在⊙0中，D,E分别为半 (1)求证：DB平分∠ADC; 径OA,OB上的点，且AD=BE.C为弧AB上一点， (2)求∠BAD的大小； (3)过点C作CF∥AD,交AB的延长线于点 图5 6 连接CD,CE,C0,且CD=CE.求证：C为AB的中F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长. 7.数学活动课上，同学们想测出一个破损轮子的点. 半径，小宇的解决方案如下：如图6，在轮子圆弧上任 取两点A,B,连接AB,再作出AB的垂直平分线，交AB 于点C,交AB于点D,测出AB,CD的长度，即可计算得 出轮子的半径，现测出AB=16cm,CD=4cm,则轮 图19 子的半径为 14 A.6 cm B.8 cm 数理报社试题研究中心 C.10cm D.12 cm (参考答案见下期)