第20期 2.2 二次函数的图象与性质(第四课时) 2.3 确定二次函数的 表达式 2.4 二次函数的应用（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

例☐大他纺戈Y=x +bx+c与x轴相交于A(-1, 0),B两点，与y轴相交于点 C(0,-3). 0 B (1)求b,c的值； (2)P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面 积与△ABC的面积相等，求直线AP的表达式： (3)在(2)的条件下，设E是直线BC上一 点，点P关于AE的对称点为点P',试探究，是否 存在满足条件的点E,使得点P'恰好落在直线 BC上，如果存在，求出点P'的坐标；如果不存 在，请说明理由. 解：(1)由题這得1-6+c=0,防以=-2， lc=-3. Lc=-3. (2)由(1)得抛物线的表达式为y=x2-2x -3. 令y=0,则x2-2x-3=0,得x1=-1,x2 =3,所以点B的坐标为(3,0). 因为S△Pc=S△ABc,所以AP∥BC. 因为B(3,0),C(0,-3),所以直线BC的表 达式为y=x-3. 因为AP∥BC,所以可设直线AP的表达式 为y=x+m. 因为A(-1,0)在直线AP上，所以0=-1+m, 第19期2版参考答案 2.1二次函数 基础训练1.D;2.B:3.A;4.<;5.四. 6.(1)y=x3,不是二次函数； (2)y=30(1-x),是二次函数： (3)t=;,不是二次函数： (4)y=180°-2x,不是二次数 能力提高7.(1)当m=2时，y是x的二次函数 (2)①当m+3=0且m+2≠0时，即m=-3时， y是x的一次函数；②当m+m-4=0且m+2≠0时， y是x的一次函数，解得m=二1去厄；③当m'+m- 2 4=1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，解得 m=1±21 2 综上，当m为-3或1专万或1专，团时，y 2 2 是x的一次函数 2.2二次函数的图象与性质（第一课时） 基础训练1.A；2.D;3.k<2; 4%>:25 能力提高6.(1)a=分6=6 (2)分别过点A,D作AM⊥y轴于点M,DN⊥y轴 于点由()知直线B的表达式为y=-子+6，令 x=0,则y=6,所以C(0,6),因为∠AMC=∠DNC= ∠ACD=90°，所以∠ACM+∠DCN=90°，∠DCN+ ∠CDN=90°，所以∠ACM=∠CDN,因为CA=CD,所 所以n=p+1,n=p2-2p-3.所以p+1 =p2-2p-3. 解得p1=4,P2=-1(舍去)，所以点P的坐 图1 标为(4,5). 由题意得∠AEP=∠AEP',P'E=PE. 2.如图2，□ABCD中，B 因为AP∥BC,所以∠PAE=∠AEP',所以 60，点F为AB中点，点E为A ∠PAE=∠PEA. =OE+OB,则EF的长为 所以PE=PA=√(4+1)2+(5-0)2= 斗阴 52. =aH7T量‘。09=5 设点E的坐标为(t,t-3),则PE=(t-m‘:三音H9V匪 4)2+(t-3-5)2=(52)2,所以t=6±√/21.m‘94秉‘H=Ha=H 当t=6+√21时，点E的坐标为(6+√2T, 斗娶=Hy∥阳 3+√21)， ∥H双插斗等彩玛中阴：其 设P'(s,s-3),由P'E=PE=52,得(s- ▣‘H‘Ha瓣买‘H学中 6-2I)2+(s-3-3-√2I)2=(52)2,解 ‘80=IW谊律T0V【些 得s=1+21,则点P'的坐标为(1+√21， 浅是吊邓 -2+21). 鸟出座量‘06=Wa7用 当t=6-√2I时，同理可得，点P'的坐标 为(1-√2T,-2-√2I) 0a名=waar/m30 综上所述，点P'的坐标为(1+√21，-2+ 缸其彩玛中阴处三群御 /21)或(1-/21，-2-21). 学中阴OV连‘OV买【些音 十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十十 以△AMC≌△CND,所以CN=AM=4,DN=CM=2, (2)点B的坐标为(2，-4). 所以0(-22)，当x=-2时，y=×(-22=2,所 (3)由图象可得，当ax<kx- 17.(1)C(-4,8). 以点D在抛物线y=子2上 (2)存在. 令y=0,则(x+4)2=0,解 2.2二次函数的图象与性质（第二课时） 点A(-4,0).因为AP∥OB,所以 基础训练1.C;2.A;3.D: 4.2>y1>y3;5.(-3,3),(2,-2) 以P,A,O,B为顶点的四边形是平 A的上方时，点P的坐标为(-4,16 能力提高6.BC的长度为6. 2.2二次函数的图象与性质（第三课时） 方时，点P的坐标为(-4，-16). 基础训练1.D;2.C;3.-9; 综上，当点P的坐标为(-4,16 4.答案不惟一，如m=2;5.2≤y<18;6.1. 以P,A,O,B为顶点的四边形为平 7.(1)m的值为5或1. 18.(1)过点C作CD⊥AB于 (2)b的值为0. △ABC为等边三角形，CD⊥AB, 能力提高8.(1)a=1,k=-1. ∠ACD=30°，所以AC=2a,由勾明 (2)设N(2,n),因为B(0,3),A(1,0),所以AB2=所以点B坐标为(2+a,√5a), 12+32=10,NB2=22+(n-3)2=n2-6n+13,N42 因为点B在抛物线上，所以√5 =(2-1)2+n2=1+n2,当△ABW是以AB为斜边的 直角三角形时，由勾股定理得N+Ng-AB,所以1得a= 2或a=0(舍去)，所以B +n2+n2-6n+13=10,即2n2-6n+4=0,解得m1= 1,n2=2,所以点N的坐标为(2,1)或(2,2). (2)sac=35 4 第19期3版参考答案 19.(1)a=2,b=5. 一、 题号12345678 (2)点B的坐标为(2,8) 答案BADABABD (3)设直线AB的表达式为y 二、9.y=x(15-x)；10.m>-1;11.-1; B(2,8)代入，得5e+d=5,解 12.1;13.4;14.10. l2c+d=8, 三、15.(1)平移后的函数表达式为y=(x-1)2-AB的表达式为y=-x+10,当PA 4,平移后的函数图象略。 B,P在同一条直线上，因为P是y (2)当-1<x<3时，函数值小于0. 10). 16.(1)-1,-1. D.Y- A.(0,-1) B.(2,-3) C.y=-x2+2x-3 的飞行轨迹为抛物线L C.(-2,3) D.(2,3) D.y=-x2-2x+3 度为1m)的一部分，已 2.已知二次函数y=2x2-4x+5,当y随x的 4.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同 DE 2 m,AD 5 m. 增大而增大时，x的取值范围是 ( 学各指出这个函数的一个性质。 (1)求抛物线L的 A.x≤-1 B.x≥1 + 甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x<1 (2)若弹珠投入箱 C.x≤1 D.x≥-1 时，y随x的增大而减小；丙：该函数的开口大小、 沿与抛物线L形状相同 3.下列关于二次函数y=-3(x+1)(x-2)形状均与函数y=x2的图象相同. 挡时弹珠最大高度可达 的图象和性质的叙述中，正确的是 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足 箱子，并说明理由. A.点(0,2)在函数图象上 上述所有性质的一个二次函数表达式 B.开口方向向上 C.对称轴是直线x=1 能力提高 D.与直线y=3x有两个交点 5.二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象 4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过经过点A(1,0),B(3,0). A(-4,1),B(2,1),C(-5,y1),D(1,y2)四点，则 (1)求该二次函数的表达式和对称轴； y1与y2的大小关系是y1 (填 (2)设P(m,y1),Q(m+1,2)(m>2)是该 “>”“<”或“=”) 二次函数图象上的两点.当m≤x≤m+1时，函 2.4二次函数的 5.二次函数y=-x2-2x+c在-3≤x≤2 数的最大值与最小值的差为5，求m的值. 堡础训练 的范围内有最小值-5，则c的值是 6.如图1，在平面直角坐标系x0y中，二次函 1.“燎原书店”销自 数y=x2+bx+c的部分图象与x轴，y轴的交点 本可获利x元，一天可售 分别为(1,0)和(0，-3) 店出售该种中考复习资 (1)求此二次函数的表达式： A.500元 B.750 (2)结合函数图象，当-2<x<1时，直接写 2.将进货单价为3 出y的取值范围。 100元/件卖出时，每天 零售价在一定范围内每 2.4二次函数的应用（第一课时） 加1件，为了获得最大的 -3-2-1 10 屋础训练 A.5元 B.15元 3.某电商平台11月 1.某农场要建矩形的饲养室，如图1所示，一 牌手机，当月的日销售客 图1 面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围x天(1≤x≤30且x为 能刀提高 墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留1m宽关系y=-(x-h)2+ 7.如图2，抛物线y=- +b:+e与铂交 的门，已知计划中的材料可建墙体总长为22m(不 在当月中旬日销售额达 包括门)，则能建成的饲养室最大总占地面积为 售额比第19天的销售额 于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C. ( ) 的日销售额最大 (1)求抛物线和直线BC的表达式； A.52m2 B.48m2 C.45m2 D.41m 4.随着互联网应用 (2)动点M,N从点0O同时出发，都以每秒1个 个ym 15 商务在近几年得到了迅 单位长度的速度分别在线段OB,OC上向点B,C运 40元的价格购进某款T 动，过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于 售.经统计，元旦前一周 点H,当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标 0 32 在元旦期间进行降价销 x/m 旦前一周销售量的基础 图1 图2 2.在圆形喷水池的中央竖直安装一根水管， 会增加50件.设该T恤 其顶端安一喷头，喷出水流的高度y(m)与水平 为w元 (1)求0与x之间 7 M 距离x(m)之间满足y=ar+bx+4,如图2所 (2)若要求销售单 图2 价部门规定销售利润率 示，当x= 时，水流达到最高点，当x-2时，y 能使得利润最大？并求出 2.3确定二次函数的表达式 若喷出的水流没有落在池外，则喷水池的 率 利澳×100%)？ 进 基础训练 不少于 ( A.3 m B.3.2mC.3.5m D.4m 1.已知二次函数的图象经过(-1,0)，(2， 3.如图3，在△ABC中，∠B A 0),(0,2)三点，则该函数的表达式为 = 90°，AB=12mm,BC= Ay=-x2+x+2B.y=x2+x-2 24mm,动点P从点A开始沿边 C.y=x2+3x+2D.y=-x2-x+2 AB向点B以2mm/s的速度移 Q 2.二次函数y=ax+bx+c自变量x与函数！动，动点Q从点B开始沿边BC 图3