2.1.1&2.1.2曲线方程的概念、圆的标准方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦曲线方程概念与圆的标准方程，通过直线方程“形→数→形”的研究流程导入，建立从直线到曲线的知识联系，以旧知为支架引导学生理解曲线与方程的对应关系。 其亮点在于融合数学抽象（提炼圆的标准方程概念）、逻辑推理（推导过程严谨）和数学建模（如造船圆弧方程应用），通过李白诗句情境引入、多解法示例（如例1两种方法）及表格化小结，帮助学生培养核心素养，也为教师提供系统的教学资源与多样化例题，提升教学效率。

2.1.1曲线方程的概念 &2.1.2圆的标准方程 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：理解曲线方程概念，掌握圆的标准方程推导及应用，求圆的标准方程。 教学难点：曲线与方程的对应关系理解，实际情境中圆的模型构建。 理解曲线方程的定义，明确曲线与方程的对应关系； 掌握圆的标准方程推导，运用方程解决圆相关问题； 体会数形结合思想，提升几何与代数转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：圆的标准方程概念提炼； 逻辑推理：圆的标准方程推导逻辑； 数学运算：圆的标准方程求解； 直观想象：圆几何特征与标准方程关联； 数学建模：实际问题中圆的模型构建与方程应用。 新知引入 问题1：在平面直角坐标系中，直线的方程是如何研究的? 直线的几何要素 （两点或者点+方向） 几何关系 代数关系 直线方程 应用 形 数 形 　 通过之前的学习，我们在坐标系内从“方程”的角度研究了直线．那么，在直角坐标系中，我们如何刻画曲线呢？ 新知探究 在一个平面直角坐标系中给定一条曲线和一个关于与的二元方程，如果给定曲线上的每一个点的坐标都是该给定方程的解，而且以给定方程的解为坐标的点都在该给定曲线上，那么称这个给定的方程是给定曲线的方程，也称这条给定的曲线是给定方程的曲线。在各种非直线的平面曲线中，我们最熟悉的是圆。 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月， 呼作白玉盘。 又疑瑶台镜， 飞在青云端。 A r x y O 月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写.如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标满足的方程如何表示? 新知探究 思考1：类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素。在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 定义：平面上到定点的距离等于定长 的 点的集合。 圆心 半径 圆上点 问题2：根据圆的定义，圆上任意一点的坐标要满足什么条件？ 新知探究 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 思考2：方程一定是圆的方程吗？若方程表示圆，满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ 当时，方程表示点． 当时，方程表示圆，此时圆的圆心为，半径为. 新知探究 辨析1：判断正误. (1)方程一定表示圆.( ) (2)圆的圆心坐标是，半径是.( ) (3)若圆的标准方程为，则圆的半径一定是.( ) 【答案】： 辨析2：以为圆心，为半径的圆的方程为( ). . . . . 典例精讲 例1：已知两点，，求以为直径的圆的方程。 解：由已知，圆心为线段的中点，可得圆心的坐标为 又半径为直径长度的一半，即 因此，所求圆的标准方程为 追问：若设为圆上任意一点，能否由求得圆的方程 典例精讲 例1：已知两点，，求以为直径的圆的方程。 解：（法二）设为圆上任意一点，则 ， 因为是圆的直径，所以，即 化简，得 所以，所求圆的方程为 练习巩固 练习1：，，，求外接圆标准方程. 解：设所求的方程是① 因为三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，得到关于，的二元一次方程组解此方程组，得 代入，得. 所以，的外接圆的标准方程是. 练习巩固 变式1-1：已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上， 所以.① 因为，是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有， 即.② 由①②可得，. 所以圆心的坐标是. 圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 练习巩固 变式1-1：已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程. 解法二：如图，设线段的中点为.由两点的坐标为，， 可得点的坐标为，直线的斜率为. 因此，线段的垂直平分线的方程是， 即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解.解得 所以圆心的坐标是.圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 练习巩固 变式1-2：求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程. 解：设圆的标准方程为， 则有解得 ∴圆的标准方程是. 变式1-3：已知圆心在轴上，半径长为，且截轴所得线段长为，求该圆的标准方程. 解：由题意设所求圆的方程为. ∵圆截轴线段长为， ∴圆过点 代入方程得，∴. ∴所求圆的方程为或. 练习巩固 练习2：求圆心为，半径为的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上. 解：圆心为，半径为的圆的标准方程是 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上. 把点的坐标代入方程的左边， 得，左右两边不相等， 点的坐标满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 新知探究 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 思考3：点不在这个圆上，那是在圆内还是圆外？如何判断？ 问题3：如何确定点与圆的位置关系？ ＝ ＝ > > < < 练习巩固 辨析3：点和圆的位置关系是( 　　) ．在圆上 ．在圆外 ．在圆内 ．以上都不对 【答案】： 辨析4：已知点在圆的内部，则的取值范围是( ) 【答案】： 练习巩固 变式2：已知圆心在点，且经过原点，求该圆标准方程，并判断点， ，和圆的位置关系. 解：∵圆心是，且经过原点， ∴圆的半径， ∴圆的标准方程是. 因为，所以在圆内； 因为，所以在圆上； 因为，所以在圆外 典例精讲 例2：设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程。 解：如图，取的中点为原点，所在直线为轴，射线方向为它的正方向，以过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有、 设点到、两点的距离的平方和为16，就有 化简，得 因此，所求的轨迹方程为 ，其 轨迹是以为圆心、以为直径的圆 典例精讲 例3：造船时，为了船体放样，要画出甲板圆弧线．由于这条圆弧线的半径很大，无法直接在钢板上用圆规画出，需要先建立这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线．如图，已知圆弧的半径为，圆弧所对的弦长为，以为单位，建立适当的平面直角坐标系，并求圆弧的方程．（结果精确到） 解：以弦所在直线为轴（射线方向为轴正方向）， 弦的 垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．可知弦的端点坐标分别为 、． 设圆弧的圆心为，连接，则， ，从而 即圆心的坐标为。 所以圆弧的方程为 典例精讲 例4：已知一个圆与轴相切，其圆心在直线上，且直线被该圆截得的弦长为．求此圆的方程. 解：如图，设所求圆的圆心为，半径为，则由圆心在直线 上，得，又圆与轴相切，得半径。 圆心到直线的距离： 由勾股定理，可得，即 典例精讲 例4：已知一个圆与轴相切，其圆心在直线上，且直线被该圆截得的弦长为．求此圆的方程. 解：解得 ： 当时，，，圆的方程为 当时，，，圆的方程为 因此，所求圆的方程为或 练习巩固 练习3：已知圆的标准方程为. (1)若点在圆上，求的值； (2)已知点和点，线段(不含端点)与圆有且只有一个公共点，求的取值范围. 解：(1)∵点在圆上，∴. 又，可得 (2)由两点间的距离公式可得， . 因为线段与圆有且只有一个公共点， 所以，两点一个在圆内，另一个在圆外， 又，所以.即的取值范围是. 小结 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $