4.4数学归纳法（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过等差数列通项公式归纳及《应谐录》“万字”笑话情境导入，揭示不完全归纳法局限，衔接数列知识与严谨证明方法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以多米诺骨牌类比原理，结合数学抽象与逻辑推理，通过证明等式、探究数列通项等典例，培养学生建模能力。小结清晰步骤，练习巩固全面，助力学生提升逻辑思维，也为教师提供丰富教学资源，提高课堂效率。

4.4数学归纳法 第四章 数列 学习目标 教学重点：理解数学归纳法的原理与步骤，掌握用数学归纳法证明有关命题的方法。教学难点：把握数学归纳法中两步证明的逻辑关系，理解归纳假设的作用。 理解数学归纳法的核心原理，掌握其两个基本步骤； 能运用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题； 体会归纳推理与演绎推理的结合，提升逻辑论证能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：数学归纳法的逻辑本质； 逻辑推理：分析两步证明的严谨性与关联性； 数学运算：证明过程中相关推导； 数学建模：运用数学归纳法解决数列等相关问题的模型构建。 新知引入 情境1： 、、 新知引入 情境2：明朝刘元卿的《应谐录》提到，汝有田舍翁，家资殷盛，而累世不识“之”，一岁，聘楚士训其子。楚士始训之搦管临朱，书一画，训曰:“一字。”书二画，训曰:“二字。”书三画，训曰:“三字。”其子辄欣欣然掷笔归告其父曰"儿得矣，儿得矣!可无烦先生，重费馆谷也，请谢去。其父喜而从之，具币谢遭楚士， 逾时，其父拟征召姻友万氏姓者饮，令子展起治状。久之不成。父趣之，其子患曰:“天下姓字夥矣，奈何姓万?自晨起至今，才完五百画也。”初机士卿一解，而即訑訑自矜有得。殆类是已。 一、二、三 万 新知引入 明朝刘元卿的《应谐录》 情境二： 等差数列通项公式 情境一： 考查某类对象的一部分， 得到一般结论的推理方法 不完全归纳法 结论 不一定正确 像这种由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法． 新知引入 在数列的学习过程中，我们得到过一些公式： 等差数列的通项公式 等差数列的求和公式 等比数列的通项公式 等比数列的求和公式 对于这类与正整数有关的命题，怎样证明它们对每一个正整数都成立呢? 新知探究 思考：已知数列满足，且（为正整数）.利用数列的递推公式，可以得到，，，，，你猜想数列的通项公式并证明吗？ 如何证明这个猜想呢?我们自然会想到从开始一个个往下验证．一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证起来会很麻烦． 特别是证明取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的．因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法： 通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数时命题都成立． 新知探究 多米诺骨牌游戏 新知探究 在这个游戏中欲使所有多米诺骨牌全部倒下，只需满足以下两个条件： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 追问：这两个条件描述的骨牌之间的关系，与我们曾经学过的数列的哪一个知识点类似?从此你能得到什么启发? 数列的递推关系 第块骨牌倒下→第块骨牌倒下 这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下. 新知探究 问题1：回顾数列满足，且（为正整数）时通项公式为的获得过程，归纳其与多米诺骨牌之间的共性，你能得到推理的一般结构吗？ 数列通项公式为的猜想的获得过程如下： 由，利用递推关系，推出 由，利用递推关系，推出 由，利用递推关系，推出 新知探究 问题2：你能类比多米诺骨牌游戏中的递推结构，得到证明数列通项公式的方法吗？ “多米诺骨牌原理”与“猜想的证明步骤”的类比分析 多米诺骨牌原理 猜想的证明步骤 (1)第一块骨牌倒下 (2)第块骨牌倒下→第块骨牌倒下. 根据(1)(2)，所有骨牌都能倒下 （1）当时，成立 （2）由能推出 根据（1）（2）， 新知探究 问题3：已知数列满足，且（为正整数），求证： 当时，成立 如果（为正整数）时上述猜想成立，即成立 则，， 即时，该猜想也成立。 所以对任意的正整数，猜想都成立，即数列的通项公式为 新知探究 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明当取第一个值(是一个确定的正整数，如或2等）时，命题成立； (2)假设当时命题成立，证明当时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立． 数学归纳法 典例精讲 例1：用数学归纳法证明： （为正整数） 证明：（1）当时，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当（为正整数）时，等式成立，即有 那么当时，就有 等式也成立。根据（1）（2），由数学归纳法就可以断定对任意的正整数都成立。 典例精讲 例2：用数学归纳法证明： （为正整数） 证明：（1）当时，左边==1，右边==1，等式成立。 （2）假设当（为正整数）时，等式成立，即有 那么当时，就有 典例精讲 例2：用数学归纳法证明： （为正整数） 等式也成立。 根据（1）（2），由数学归纳法就可以断定 对任意的正整数都成立。 典例精讲 例3：已知数列满足，。尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。 解：已知，利用递推公式计算得 ， ， 由此猜想，对任意正整数，都有。 下面用数学归纳法证明这一猜想. （1）当时，，所以猜想成立. （2）假设（为正整数）时，猜想成立，即有 那么当时，就有，猜想也成立 根据(1)(2)，由数学归纳法就可以断定对任意正整数都成立，这就是数列的通项公式。 典例精讲 例4：是否存在常数，使等式 对任意正整数都成立？ 解：假设存在常数，使上述等式对任意正整数都成立。 当时，有， 即； ① 当时，有， ； ② 当时，有，即. ③ 联立①②③，解关于的三元一次方程组得，， 典例精讲 例4：是否存在常数，使等式 对任意正整数都成立？ 解：由此猜想， 对任意正整数都成立。 下面用数学归纳法证明这一猜想。 （1）当时，左边==1，右边，等式成立。 （2）假设当（为正整数）时，等式成立。即有 那么当时，就有 典例精讲 例4：是否存在常数，使等式 对任意正整数都成立？ 解： 等式也成立 根据(1)(2)，由数学归纳法就可以断定对任意正整数都成立，这就是数列的通项公式。 练习巩固 练习1：用数学归纳法证明： （为正整数） 解：(1)当时，左边，右边，等式成立； (2)假设当时等式成立，即，则当+1时， 所以，当+1时，等式成立； 由(1)(2)可知，对，. 练习巩固 练习2：用数学归纳法证明： 解：(1)当时，左边右边，∴不等式成立． (2)假设当时，不等式成立．即成立． 那么当时， ， ∴当时，不等式成立． 由(1)(2)可知，不等式对一切时成立． 小结 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明当取第一个值(是一个确定的正整数，如或2等）时，命题成立； (2)假设当时命题成立，证明当时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立． 数学归纳法 感谢聆听 玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。 ——张景中 设一个等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的定义，可得 ，所以，，，...... 于是：, , , ...... 归纳可得：, 当时，式为，这就是说，上式当时也成立. 故等差数列通项公式为： ，， 归纳出： “一，二，三”归纳出： 为万 $