第03讲 一元二次方程及其应用（复习讲义，5考点+22题型+3重点）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”专题，覆盖定义、解法、根的判别式、韦达定理、实际应用五大核心考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-命题预测”构建系统知识网络，设计考点梳理、方法指导（如解法选择、建模步骤）、真题训练（2025年各地中考真题）等环节，帮助学生突破重点难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于“基础-综合-应用”分层设计，实际应用结合电商利润、校园改造等生活情境培养数学眼光和模型意识，跨模块综合题（与二次函数、几何结合）发展推理能力。特设“解法最优选择训练”“实际问题验根步骤”等策略，配合三级分层练习和即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第03讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 18 命题点一 一元二次方程的定义与解 题型01利用一元二次方程的定义求解 题型02一元二次方程的一般式 题型03由一元二次方程的解求参数或代数式 题型04一元二次方程解的估算 命题点二 解一元二次方程 题型01 解一元二次方程（计算题） 题型02 利用配方法对方程进行配方 题型03 换元法解一元二次方程 命题点三 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02 已知根的情况求参数的取值范围 题型03根的判别式综合应用 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 题型01 根与系数的关系之直接求解 题型02 根与系数的关系之整体带入 题型03根与系数的关系之降次求解 题型04 根与系数的关系之构造方程 题型05已知根与系数的关系求参数 题型06根与系数的关系解答题综合 命题点五 一元二次方程的实际应用 题型01 一元二次方程实际应用之传播问题 题型02 一元二次方程实际应用之增长率问题 题型03一元二次方程实际应用之与图形相关的问题 题型04 一元二次方程实际应用之数字问题 题型05一元二次方程实际应用之销售问题 题型06一元二次方程实际应用之捂手循环问题 05·重难突破·思维进阶 76 突破一 利用配方法求最值 突破二 一元二次方程中定义新运算 突破三 一元二次方程中动点问题 考点 课标要求 考法分析 一元二次方程的相关概念与一般形式 1.理解一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程； 2.掌握一元二次方程的一般形式(a≠0)，能准确识别二次项系数a、一次项系数b、常数项c； 3.掌握一元二次方程解的基本概念。 多以填空题、选择题形式呈现分值3-4分；已知一元二次方程的解求参数的取值（如2025·四川绵阳卷，2025·青海卷，2025·四川达州卷等）； 一元二次方程的解法 1. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法； 2. 能根据方程的结构特征选择最简便的解法； 3. 理解求根公式的推导过程（配方法推导）。 基础题型：解具体的一元二次方程，或用指定方法解方程（如2025·江苏无锡卷，2025·江苏徐州卷，2025·黑龙江齐齐哈尔卷等）； 一元二次方程的解法主要以计算题形式出现，难度中等偏下分值（6-10） 根的判别式 1.掌握根的判别式的含义； 2.能根据的符号判断一元二次方程根的情况 ⇔有两个不相等的实数根； ⇔有两个相等的实数根； ⇔没有实数根； 3.能根据根的情况求参数的取值范围。 多为选填题，难度中等。已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围（2025·江苏镇江卷、2025·山东潍坊卷、2025·四川广元卷等）；利用根的判别式判断根的情况（2025·广东广州卷、2025·河南卷等）； 根与系数的关系（韦达定理） 1.掌握韦达定理：若一元二次方程(a≠0)的两根为、，则; 2.能利用韦达定理求与根相关的代数式的值(如、)； 3.能根据两根的值或关系求方程中的参数。 多为选填题，难度中等。利用根与系数的关系求代数式的值（2025·福建卷、2025·四川攀枝花卷、2025·黑龙江绥化卷等）；根与系数关系的综合求解（2025·四川南充卷等） 一元二次方程的实际应用 1. 能从实际问题中抽象出一元二次方程模型； 2. 掌握列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答； 3. 能解决增长率 / 下降率、面积 / 体积、销售利润、传播问题等常见实际问题。 多为解答题或选择题，难度中等。几何图形类（2025·四川巴中卷、2025·江苏南通卷、2025·山东威海卷等）；增长率问题（2025·四川泸州卷、2025·山东滨州卷、2025·广东卷等）；销售利润问题（2025·山东东营卷、2025·四川达州卷等）； 命题预测 命题趋势：基础考点为核心、综合融合为方向、生活情境为载体 既稳定考查一元二次方程的定义、解法、根的判别式及韦达定理等核心内容，又强化与二次函数、几何图形的跨模块综合，同时结合真实生活场景（如电商利润、校园改造等）突出数学建模能力，还会增加解题思路表述、多解法比较等开放性设问，体现新课标对运算能力与逻辑思维的要求。 备考建议：吃透教材概念为前提，灵活掌握解法为核心，突破综合应用为关键 既要夯实 “a≠0” 前提、四种解法的适用场景、判别式与韦达定理的联用逻辑等基础，又要通过专题训练攻克代几综合、实际应用题的建模与验根难点，同时整理易错点清单并定期复盘，提升解题规范性与应试效率。 考点一 解一元二次方程 解一元二次方程的核心逻辑是“根据方程结构选最优解法”,不同解法对应不同步骤，以下按中考优先选择的顺序梳理四种解法的完整步骤： 一、直接开平方法(适用于完全平方形式或缺一次项方程) 1.变形：将方程整理为，示例：方程变形为，即。 2.开方：等式两边同时开平方，得 注意：必须加“士”，否则会漏根。 3.求解：移项计算，得到方程的两个根，示例：，即。 4.特殊情况：若n<0，方程无实数根。 二、因式分解法(适用于左边易分解、右边为0的方程) 1.移项：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为。 2.分解：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。示例：方程分解为 3.转化：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程。示例：或。 4.求解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。示例：。 关键注意：严禁两边同除以含未知数的代数式(如x)，避免漏根。 三、配方法(适用于所有方程，多用于推导或指定解法的题目) 1.移项：把常数项移到等号右边，得示例：方程移项为。 2.化1：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1示例：方程先化为，再移项。 3.配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，示例：的一次项系数为，一半的平方是4,两边加4得。 4.变形：将左边化为完全平方形式，得，示例：。 5.开方求解：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解，例：，即。 四、公式法(通用解法，适用于所有一元二次方程) 1.化一般式：将方程整理为的标准形式。 2.算判别式：计算的值。 3.判根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 4.代入公式：当时，代入求根公式，示例：方程代入得。 5.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 1．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】，； 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解：（1）， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【答案】，； 【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法求解； 【详解】解：（1）， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 考点二 一元二次方程根的判别式 一、判别式的定义与表达式 对于一元二次方程的一般形式，我们把代数式 叫做这个一元二次方程根的判别式，其中“△”是判别式的专用符号。 关键前提：使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数，若，方程退化为一元一次方程，不存在判别式。 二、判别式与根的情况的关系 在实数范围内，判别式的符号直接决定一元二次方程实数根的个数，具体对应关系如下： 1.当时：方程有两个不相等的实数根，此时代入求根公式可得,两个根的数值存在明显差异。 2.当时：方程有两个相等的实数根，求根公式可简化为，两个根的数值完全相同。 3.当时：方程没有实数根，因为实数范围内负数不能开平方，求根公式无法计算出实数解。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 4．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 一、定理的适用前提 1.方程必须是一元二次方程，即化为一般形式。 2.方程有实数根，即根的判别式，这是使用韦达定理的关键前提，若忽略此条件易导致解题错误。 二、定理的核心内容 若一元二次方程的两个实数根为和，则： 简单记忆：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 特殊形式方程的根与系数关系 ·当二次项系数时，方程为，此时两根关系简化为： ·当常数项时，方程为，两根为，满足 ， 常用变形公式： 1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 2．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 3．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，得到a、b的值为1，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 6．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 考点四 一元二次方程实际应用 一、解题通用步骤 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式—— ①直接设元：问什么设什么; ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验—— ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。6.答：写出答案，带单位。 二、中考常见题型及解题模型 1.增长率/下降率问题 核心公式 若初始量为，平均增长率(或下降率)为，增长(或下降)n次后的量为，则： 注意：增长时用“+”，下降时用“一”。 解题关键 ●确定初始量、变化次数n、最终量; ●增长率x的取值范围是下降率同理。 2.销售利润问题 核心公式 ①单件利润=单件售价-单件成本； ②总利润=单件利润×销售量； 销量变化规律：售价每提高(或降低)m元，销量相应减少(或增加)n件。 3.传播问题 核心公式 若1个传染源每次传播给x个对象，经过n轮传播后，总感染人数为： (中考常考两轮传播，公式简化为) 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 3．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 4．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 命题点一 一元二次方程的定义与解 ►题型01 利用一元二次方程的定义求解 一元二次方程的定义相关求解，核心是围绕定义三要素(只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），结合一般形式解决参数取值、方程判定等问题，是中考基础题型的高频考点。 一、定义核心要点回顾 1.一元二次方程的三要素 整式方程：方程两边都是整式，分母不含未知数，根号内不含未知数； ①只含一个未知数； ②未知数的最高次数是2(且二次项系数)。 2.一般形式：，是关键条件)。 【典例】（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决此题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意． 故选：D． 【典例】（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 故答案为：． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，时不是一元二次方程，不符合题意； B．是分式方程，不符合题意； C．未知数最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 【变式3】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． ►题型02 由一元二次方程的解求参数或代数式 【典例】（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键． 利用一元二次方程根的定义，将代入方程求得的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， ∴ ． 故选A． 【变式1】（2024·广东广州·二模）已知关于的方程的一个根为2，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握基础知识是解题关键．将代入方程即可求出的值． 【详解】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）已知关于的一元二次方程的一个实数根为，则另一个实数根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，根据一元二次方程的一个实数根为，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到一元二次方程为，解方程即可求出另外一个根． 【详解】解：一元二次方程的一个实数根为， ， 解得：， 一元二次方程为， 分解因式得：， 或， 解得：，， 另一个实数根是． 故选：B． 【变式3】（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C ►题型03 一元二次方程解的估算 【典例】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 【变式1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解： ， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 命题点二 解一元二次方程 ►题型01 解一元二次方程（计算题） 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错类型 具体易错场景 错误示例 因式分解法漏根 方程两边同除以含未知数的代数式，未保证右边为0就分解 解方程，两边除以x得x=2，遗漏x=0 直接开平方法丢根 解时，开平方忘记加± 配方法步骤错误 1.二次项系数不为1时，未先化为1就配方； 2.配方时仅给左边加常数，右边不加 解方程,直接给加4配方 公式法参数代入错误 取值错误 解方程x²=3x-1,误取b=3、c=-1,未整理为 符号处理失误 1.求根公式中−b的符号错误，尤其b为负数时； 2.去括号、移项时未变号 解方程,移项后误写 根式化简不彻底 求根公式计算后，未将根式化为最简形式，或分子分母未约分 ， 【典例】（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得：； （2）解：， ， 或， 解得：． 【变式1】（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （4）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， 解得，． 【变式2】（2025·陕西汉中·一模）解方程： 【答案】, 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ∴或， ∴, 【变式3】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可； （2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ，，， ， ，． ►题型02 利用配方法对方程进行配方 【典例】（2025·贵州·二模）将多项式进行配方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把多项式加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C． 【变式3】（2025·安徽宣城·二模）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法， 先把11移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ． 故选D． ►题型03 换元法解一元二次方程 核心步骤 1.设元：观察方程结构，令重复出现的复杂代数式为（需满足有意义的条件，如根式下非负、分母不为0）； 2.换元：将原方程转化为关于的一元二次方程； 3.求解：解这个一元二次方程，得到的值； 4.回代：将的值代入设元式，求出原未知数的值； 5.检验：分式方程、根式方程需检验根是否使原方程有意义（避免增根）。 【典例】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 【变式1】（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法．设，则方程化为：，然后根据分解因式法解一元二次方程，再判断的值即可． 【详解】解：设，则方程化为：， ， 或， 或， x、y是实数， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设，则新方程化为， ∵方程的解为，， ∴或， 解得或， ∴新方程的解为，． 故选：B． 【变式3】（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 命题点三 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用根的判别式判断根的情况 当方程含参数时，需结合“方程是一元二次方程”的前提，分两步解题： 1.确定参数限制条件 若题目明确是一元二次方程，先列出的不等式；若未明确，需分类讨论时为一元二次方程，时为一元一次方程)。 2.根据根的情况列不等式/等式 ①若方程有两个不相等的实数根：且 ②若方程有两个相等的实数根：且 ③若方程有实数根：且 ④若方程无实数根：且 【典例】（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式1】（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【变式2】（2025·河南郑州·模拟预测）已知点在第四象限，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等实根 B．有两个不等实根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先根据点所在的象限可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴一元二次方程根的判别式为， ∴这个方程有两个不等实根， 故选：B． 【变式3】（2025·河南南阳·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的图象与性质可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ， ∴方程根的判别式为， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． ►题型02 已知根的情况求参数的取值范围 【典例】（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 【变式1】（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 【变式2】（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，比较反比例函数值的大小． 由一元二次方程有两个相等的实数根可得判别式为零，从而求出a的值，再代入反比例函数求出与的值，比较大小即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式3】（2025·四川南充·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由条件，点A在直线上，得；点B、C在抛物线上，得方程，根为，且，则，根据判别式大于0和条件，求出的取值范围，进而得到的范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，点A在直线上， ∴，即， 点B、C在抛物线上， ∴，即， 设该方程的两根为，且，则， ∴， ∵方程有两不等实根， ∴，即， 又∵，即， 整理得：， ∴， 即， 解得：或， ∵， ∴，即， 综上：， ∴当时，； 当时，， ∴， 故选：B． 【变式4】（2025·吉林·模拟预测）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负，据此列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得且． 故选：A． ►题型03 根的判别式综合应用 【典例】（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意有，则，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有，则， 方程化为， 解得：， ∵等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ∴的周长． 【变式1】（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的解析式，一元二次方程的应用，判别式的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，整理，即可作答． （2）结合，且函数的图象经过的定点，故整理，令，解得，再把代入进行计算，即可作答． （3）先求出线段的解析式为，依题意，得，再分别把，代入， 得，，则或，再解得的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ 即该函数的图象与轴有公共点； （2）解： ∵该函数的图象经过的定点 即 ∴ ∴把代入， 得 ∴该函数的图象经过的定点为． （3）解：设线段的解析式为， 把点，分别代入 得 解得 ∴线段的解析式为， ∵该函数的图象与线段没有公共点， ∴ 整理得 把代入， 得， 把代入， 得， 则或 解得，即；或解得，即 综上：或 【变式2】（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出方程，然后利用一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉在电脑屏幕上输入， 输出的多项式为； （2）同意淇淇的说法，理由如下： 若输入，输出的多项式为0， 则， ， 关于n的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即n有两个不同的值． 【变式3】（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 【变式4】（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】此题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， （1）将代入方程，然后利用因式分解法求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴ 或 ∴解得，； （2）解：∵ 根据题意得， ∴； ∵ 当时，即 ∴，解得，此时方程有解； 当时，即 根据题意得，， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 根与系数的关系之直接求解 一、直接求解的核心公式(前提条件) 1.适用前提 方程为一元二次方程，即化为一般形式； 方程有实数根，即判别式(求参数时需验证)。 2.核心公式 若方程的两根为、，则 当二次项系数时，方程为，公式简化为 二、直接求解的三类典型题型及解题步骤 题型1：已知方程，直接求、 解题步骤 1.将方程化为一般形式，确定a、b、c的值(注意符号)； 2.直接代入韦达定理公式计算，无需解方程。 题型2：已知方程的一个根，求另一个根及参数值解题步骤 1.设已知根为，待求根为，确定方程的、； 2.利用：，直接解出； 3.再利用，求出参数c(若方程含参数)。 题型3：已知根的特殊关系，求方程中的参数 解题步骤 1.根据根的关系(如互为相反数、互为倒数),结合韦达定理列方程； 2.解方程求出参数的可能值； 3.验证：将参数值代入判别式，确保△≥0(方程有实数根)。 【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式求值，准确计算是解题的关键． 利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求解． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， , ， ； 故答案为． 【变式1】（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据两根之和等于，两根之积等于得，，代入算式，进行计算，即可得到答案， 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·甘肃武威·一模）已知一元二次方程的两根是，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子进行变形，再整体代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·湖北孝感·三模）设、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，是方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系进行列式，解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， 故答案为． 【变式4】（2025·湖北·一模）已知关于t的一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程 的两根，则．据此得到，把原式变形后整体代入即可求出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得， 所以 ►题型02 根与系数的关系之整体带入 【典例】（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的定义可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4051 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． ►题型03 根与系数的关系之降次求解 【典例】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． 又∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根和根与系数的关系，解此题的关键在于利用方程的根，和根与系数的关系得到的关系式，再利用整体代入思想求解即可． 根据题意可得，，再将所求式子变形，然后利用整体代入思想求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为： ►题型04 根与系数的关系之构造方程 【典例】（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，，满足：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵两个不相等的实数，，满足：，， ∴实数，是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查一无二次方程极与系数的关系，根据所给等式可得是一元二次方程的两根，由根与系数的关系得，，将变形为，再整体供稿计算即可． 【详解】解：∵实数 m，n满足 ， ∴m，n为一元二次方程. 的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ 故答案为：20． 【变式2】（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，代入求值即可． 【详解】解： ， m和n是关于x的一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：7． 【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知，且有，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 可以看作是的两根， ， 故答案为：． ►题型05 已知根与系数的关系求参数 【典例】（2025·江苏南京·三模）设是关于的方程的两个根，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，进而得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程； 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入，即可求出m的值，即可求解． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， 即， 解得或． ∵， ∴或（无解）， 解得， ∴， 则． 故答案为0． ►题型06 根与系数的关系解答题综合 【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 【变式1】（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在实数k的值，理由见解析 【分析】本题考查了已知根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，代入数值计算，即可作答． （2）假设满足题意的k的值存在．结合根与系数的关系得，，再代入，计算得出，由（1）得，则不在的范围内，即可说明不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根 ∴， ∴， ∴． （2）解：不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 理由如下：假设满足题意的k的值存在． ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴． 由（1）得， ∵不在的范围内 ∴不存在实数k的值，使得方程的两个实数根，满足． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，抛物线的顶点为，它与轴交于两点，，且为等边三角形，求的值． (2)若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用及不等式的相关知识，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）将代入抛物线的解析式中，结合，可得出、之间的关系式，根据等边三角形，得到倍BC的长正好是点纵坐标的绝对值，联立、的关系式可求出的值． （2）根据已知条件易知，根据抛物线经过点，可得，结合，可将、看作是一元二次方程的两实根，根据，求得，分或两种情况讨论， 求解的最小值即可． 【详解】（1）解：当时，， 抛物线经过点， ，即， 抛物线顶点为， 设，， ，， ， ， 为等边三角形， ，即， ， ， ， ，即， 解得． （2）解：若，， ，， ，与矛盾， ， 抛物线经过点， ，即， 又， ，是一元二次方程的两实根， ， ，即， 故． ， 或． 若， ，与矛盾， 故此情况不符合题意； 若，则， ， ， 当，时，满足题设条件且使不等式等号成立． 故的最小值为． 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的图象的对称轴． (2)若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． (3)设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质、图象的平移、根与系数的关系、不等式，熟练掌握以上基础知识点并灵活运用是解题的关键． （1）把代入二次函数中，整理可得解； （2）由的最小值为，可得，结合（1），可得二次函数的表达式和平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可； （3）由根与系数的关系进行变形求解． 【详解】（1）解：把代入二次函数中， 得：， 整理可得：， ∴， 即对称轴为直线； （2）解：∵的最小值为， 即当时，， 又∵， ∴有， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， ∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：， 可得对称轴为：直线， 故当时，； 开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远， ∴函数最大值在处取到，即， ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）解：由（1）知， ∴， 图象与轴的交点分别为，，且， ∴，， ∵， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 解得：． 命题点五 一元二次方程的实际应用 ►题型01 一元二次方程实际应用之传播问题 通用解题步骤 1.审清题意，设未知数 设每人每轮传播的人数为(这是传播问题的核心未知数)。 2.分析轮次，列等量关系 根据传播轮次，结合核心模型列出总感染人数的方程： 两轮传播：=两轮后总感染人数 注意：若初始传染源不是1人，而是人，则两轮后总感染人数为 3.解方程，求未知数 用直接开平方法或因式分解法解方程，得到的解。 4.检验根的合理性 传播人数必须是非负整数（人数不能为负数或小数）； 根需满足实际情境，舍去不符合题意的解。 5.写答句 【典例】（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 由题意，设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可得： ． 故选：C． 【变式1】（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 【变式2】（2025·重庆·三模）（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，根据一人经过两轮传染后共有144人感染者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为： ． ►题型02 一元二次方程实际应用之增长率问题 1.审清题意，提取三要素 从题干中明确三个关键量： 初始量a：变化前的基础数量(如初始产值、初始人数、初始价格); 变化次数n：增长/下降的轮次，时间间隔等于变化次数(如“2025到2027年”间隔2年，)； 最终量b：变化后的目标数量。 2.设未知数 设平均增长率(或下降率)为x,注意x的单位为“1”(最终需化为百分数)。 3.根据公式列方程 增长问题：代入; o下降问题：代入；中考常考n=2的情况，对应一元二次方程。 4.解方程，优先用直接开平方法 步骤拆解： ①方程两边同时除以a，化简为; ②对等式两边开平方，得； ③解出x的两个值，注意符号取舍。 5.检验根的合理性 增长率：必须满足x>0,舍去负数根； o下降率：必须满足,舍去负数根和大于1的根；o根需符合实际情境(如增长率不能过大导致数量不符合常理)。 6.规范写答 将x的值化为百分数，明确回答题目所求的“平均增长率/下降率”。 【典例】（2025·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，据此列出方程即可． 【详解】解：∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于的一元二次方程； 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了．求该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率． 【答案】该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为，根据某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了，列出一元二次方程．解之，取符合题意的值即可． 【详解】解：设该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率为． 【变式3】（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【答案】(1)这两次技术改造日产量的平均增长率为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、几何体的三视图，掌握相关知识点是解题的关键． （1）设这两次技术改造日产量的平均增长率为x，根据题意列出方程，求出x的值即可解答； （2）由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为，据此求出盲盒的表面积即可． 【详解】（1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为． （2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为， ∴盲盒的表面积， 答：此类盲盒的表面积为． ►题型03 一元二次方程实际应用之与图形相关的问题 【典例】（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 【变式1】（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 【答案】(1)米 (2) 【分析】（）用总长减去再加上三个米宽的门即可求解； （）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，饲养场的长米， 故答案为：米； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴的值为． 【变式2】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用和根的判别式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长，即可求解； （2）根据面积公式列出，然后即可求解； （3）根据题意列出方程，然后根据根的判别式的知识即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得或， 当时， ， 不符合题意， 舍去； 当时， ， 符合题意， ∴的长为； （3）解：不能，理由：由题意可得方程， ∴， ∵， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的实验田； 【变式3】（2025·湖北襄阳·一模）为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)的边长 (3)当长为时，实验田的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，涉及到了矩形的性质，通过篱笆长度建立等式是解决问题的关键，长不能超过墙的长时间易错点． （1）根据题意，篱笆长度，由此可知与的函数解析式，矩形的面积，从而可得与的函数解析式； （2）当时，代入二次函数求自变量的值，结合题意即可； （3）根据二次函数求最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴矩形的面积， ∴与，与的函数解析式分别是； （2）解：当时，， 整理得，， 解得：， ∵墙的长为， ∴， ∴， 当时，， ∴矩形实验田的边长； （3）解：∵， 该二次函数开口向下，对称轴是直线， 由题意可知， ∴当时，， 此时， ∴当长为时，实验田的面积最大，最大面积是． ►题型04 一元二次方程实际应用之数字问题 【典例】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 【变式1】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【变式2】（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 【变式3】（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． ►题型05 一元二次方程实际应用之销售问题 【典例】（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 【答案】(1)应多培育个品种的月季 (2)应多培育个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值，最大值为株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的顶点式与最值问题，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为未知数，根据总苗量的等量关系列一元二次方程，结合限制条件求解． （2）设多培育的品种数为未知数，构建总苗量的二次函数，通过化为顶点式，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设应多培育个品种的月季． ， 解得，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育个品种的月季时，幼苗总量为． ， 因为，， 所以抛物线开口向下，当时，取最大值． 答：应多培育25个品种的月季，幼苗总量最大值为5625株． 【变式1】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 【变式2】（2025·四川广安·一模）某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【变式3】（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本． (1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)22元 (2)销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元 【分析】本题考查了二次函数的销售利润问题，一元二次方程的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设，再结合当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本，得出，根据利润等于单价利润乘数量，进行列式计算，即可作答． （2）根据利润等于单价利润乘数量，得，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设， 由题意得 解得 ，， 故， ∵文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润 ∴ 则， ∴ 解得， ∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元， ∴， ∴， ∴当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是元． （2）解：依题意， 则开口方向向下，对称轴为直线， 故越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元， ∴， 当时， 即销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元． ►题型06 一元二次方程实际应用之捂手循环问题 【典例】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 设应邀请x支球队参赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，根据题意得： ． 故答案为：． 【变式1】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有人，则每人需赠送出份礼物，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【变式3】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 突破一 利用配方法求最值 【典例】（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、两点之间的距离，掌握在平面直角坐标系中求出两点间的距离的公式是解题的关键，先理解题意，运用配方法把被开方数变形，再根据三角形的三边关系进行分析，以及两点间的距离公式列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 上式表示与之间的距离， ， 上式表示与之间的距离， 由勾股定理得， 结合三角形三边关系得的最大值是点B和点C的距离，即的最大值， 故选：B． 【变式1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 【详解】解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 突破二 一元二次方程中定义新运算 【典例】（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 【变式1】（2024·四川眉山·一模）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，根的判别式，根据新定义，转化得到一元二次方程，再根据方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 原方程有两个实数根， 故选A． 【变式2】（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程 的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论： ； ； ； ，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 【变式3】（2025·重庆·模拟预测）已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则求出，，，，即可判断①；根据题意得到每3个一组循环，然后求出，，然后根据列方程求解即可判断②；根据每3个一组循环，得到，，然后分别当为偶数和为奇数时，求出和，然后分别代入即可判断③． 【详解】①∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ②根据题意得，每3个一组循环， ∴， ∴ ∵若， ∴ 去分母后整理得， 解得，故②错误； ③∵每3个一组循环， ∴， 当为偶数时，， ∴； 当为奇数时，， ∴； ∴对于任意正整数k，都有成立，故③正确． 综上所述，其中说法正确的有2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了新定义实数运算，解一元二次方程，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 突破三 一元二次方程中动点问题 【典例】（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意可得，，据此求出时，的长，再利用勾股定理求出此时的长即可判断①；根据三角形面积计算公式得到，则可建立方程，解方程即可判断②；求出时和时，的面积即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 【变式1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形，使点B，C在第一象限内，且，点P的坐标为，设点A运动了，则在点A的运动过程中，当 时，为等腰三角形． 【答案】或2或 【分析】作轴于点，根据菱形的性质得到，解表示出的长，得到，由为等腰三角形，分三种情况讨论：①；②；③，分别利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：作轴于点，则， 由题意得，， ∵菱形， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵点P的坐标为， ∴； ①若， ∴， 解得； ②若， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； ③若， ∴， 解得：； ∴综上，或2或时，为等腰三角形． 故答案为：或2或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、菱形的性质、等腰三角形的定义、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，运用数形结合的思想，正确表示出点的坐标是解题的关键． 【变式3】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程是解题的关键； 分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：，此时； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， 此时． 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第03讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 5 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 一元二次方程的定义与解 题型01利用一元二次方程的定义求解 题型02一元二次方程的一般式 题型03由一元二次方程的解求参数或代数式 题型04一元二次方程解的估算 命题点二 解一元二次方程 题型01 解一元二次方程（计算题） 题型02 利用配方法对方程进行配方 题型03 换元法解一元二次方程 命题点三 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02 已知根的情况求参数的取值范围 题型03根的判别式综合应用 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 题型01 根与系数的关系之直接求解 题型02 根与系数的关系之整体带入 题型03根与系数的关系之降次求解 题型04 根与系数的关系之构造方程 题型05已知根与系数的关系求参数 题型06根与系数的关系解答题综合 命题点五 一元二次方程的实际应用 题型01 一元二次方程实际应用之传播问题 题型02 一元二次方程实际应用之增长率问题 题型03一元二次方程实际应用之与图形相关的问题 题型04 一元二次方程实际应用之数字问题 题型05一元二次方程实际应用之销售问题 题型06一元二次方程实际应用之捂手循环问题 05·重难突破·思维进阶 31 突破一 利用配方法求最值 突破二 一元二次方程中定义新运算 突破三 一元二次方程中动点问题 考点 课标要求 考法分析 一元二次方程的相关概念与一般形式 1.理解一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程； 2.掌握一元二次方程的一般形式(a≠0)，能准确识别二次项系数a、一次项系数b、常数项c； 3.掌握一元二次方程解的基本概念。 多以填空题、选择题形式呈现分值3-4分；已知一元二次方程的解求参数的取值（如2025·四川绵阳卷，2025·青海卷，2025·四川达州卷等）； 一元二次方程的解法 1. 掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法； 2. 能根据方程的结构特征选择最简便的解法； 3. 理解求根公式的推导过程（配方法推导）。 基础题型：解具体的一元二次方程，或用指定方法解方程（如2025·江苏无锡卷，2025·江苏徐州卷，2025·黑龙江齐齐哈尔卷等）； 一元二次方程的解法主要以计算题形式出现，难度中等偏下分值（6-10） 根的判别式 1.掌握根的判别式的含义； 2.能根据的符号判断一元二次方程根的情况 ⇔有两个不相等的实数根； ⇔有两个相等的实数根； ⇔没有实数根； 3.能根据根的情况求参数的取值范围。 多为选填题，难度中等。已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围（2025·江苏镇江卷、2025·山东潍坊卷、2025·四川广元卷等）；利用根的判别式判断根的情况（2025·广东广州卷、2025·河南卷等）； 根与系数的关系（韦达定理） 1.掌握韦达定理：若一元二次方程(a≠0)的两根为、，则; 2.能利用韦达定理求与根相关的代数式的值(如、)； 3.能根据两根的值或关系求方程中的参数。 多为选填题，难度中等。利用根与系数的关系求代数式的值（2025·福建卷、2025·四川攀枝花卷、2025·黑龙江绥化卷等）；根与系数关系的综合求解（2025·四川南充卷等） 一元二次方程的实际应用 1. 能从实际问题中抽象出一元二次方程模型； 2. 掌握列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答； 3. 能解决增长率 / 下降率、面积 / 体积、销售利润、传播问题等常见实际问题。 多为解答题或选择题，难度中等。几何图形类（2025·四川巴中卷、2025·江苏南通卷、2025·山东威海卷等）；增长率问题（2025·四川泸州卷、2025·山东滨州卷、2025·广东卷等）；销售利润问题（2025·山东东营卷、2025·四川达州卷等）； 命题预测 命题趋势：基础考点为核心、综合融合为方向、生活情境为载体 既稳定考查一元二次方程的定义、解法、根的判别式及韦达定理等核心内容，又强化与二次函数、几何图形的跨模块综合，同时结合真实生活场景（如电商利润、校园改造等）突出数学建模能力，还会增加解题思路表述、多解法比较等开放性设问，体现新课标对运算能力与逻辑思维的要求。 备考建议：吃透教材概念为前提，灵活掌握解法为核心，突破综合应用为关键 既要夯实 “a≠0” 前提、四种解法的适用场景、判别式与韦达定理的联用逻辑等基础，又要通过专题训练攻克代几综合、实际应用题的建模与验根难点，同时整理易错点清单并定期复盘，提升解题规范性与应试效率。 考点一 解一元二次方程 解一元二次方程的核心逻辑是“根据方程结构选最优解法”,不同解法对应不同步骤，以下按中考优先选择的顺序梳理四种解法的完整步骤： 一、直接开平方法(适用于完全平方形式或缺一次项方程) 1. ：将方程整理为，示例：方程变形为，即。 2. ：等式两边同时开平方，得 注意：必须加“士”，否则会漏根。 3. ：移项计算，得到方程的两个根，示例：，即。 4.特殊情况：若n<0，方程无实数根。 二、因式分解法(适用于左边易分解、右边为0的方程) 1. ：将方程所有项移到左边，使右边化为0，形式为。 2. ：把左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。示例：方程分解为 3. ：根据“若，则或”，转化为两个一元一次方程。示例：或。 4. ：分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。示例：。 关键注意：严禁两边同除以含未知数的代数式(如x)，避免漏根。 三、配方法(适用于所有方程，多用于推导或指定解法的题目) 1. ：把常数项移到等号右边，得示例：方程移项为。 2. ：若二次项系数，方程两边同时除以，使二次项系数为1示例：方程先化为，再移项。 3. ：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，示例：的一次项系数为，一半的平方是4,两边加4得。 4. ：将左边化为完全平方形式，得，示例：。 5. ：按照直接开平方法的步骤计算，得到方程的解，例：，即。 四、公式法(通用解法，适用于所有一元二次方程) 1. ：将方程整理为的标准形式。 2.算判别式：计算的值。 3.判根的情况 若：方程有两个不相等的实数根； 若：方程有两个相等的实数根； 若：方程无实数根。 4.代入公式：当时，代入求根公式，示例：方程代入得。 5.化简结果：计算并整理，得到方程的两个根。 1．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 2．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程： 考点二 一元二次方程根的判别式 一、判别式的定义与表达式 对于一元二次方程的一般形式，我们把代数式 叫做这个一元二次方程根的判别式，其中“△”是判别式的专用符号。 关键前提：使用判别式的方程必须是一元二次方程，即二次项系数，若，方程退化为一元一次方程，不存在判别式。 二、判别式与根的情况的关系 在实数范围内，判别式的符号直接决定一元二次方程实数根的个数，具体对应关系如下： 1.当 时：方程有两个不相等的实数根，此时代入求根公式可得,两个根的数值存在明显差异。 2.当 时：方程有两个相等的实数根，求根公式可简化为，两个根的数值完全相同。 3.当 时：方程没有实数根，因为实数范围内负数不能开平方，求根公式无法计算出实数解。 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 考点三 一元二次方程根与系数的关系 一、定理的适用前提 1.方程必须是一元二次方程，即化为一般形式。 2.方程有实数根，即根的判别式，这是使用韦达定理的关键前提，若忽略此条件易导致解题错误。 二、定理的核心内容 若一元二次方程的两个实数根为和，则： 简单记忆：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 特殊形式方程的根与系数关系 ·当二次项系数时，方程为，此时两根关系简化为： ·当常数项时，方程为，两根为，满足 ， 常用变形公式： 1．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 3．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 5．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 6．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 考点四 一元二次方程实际应用 一、解题通用步骤 1.审：仔细审题，明确题目中的已知量、未知量，找出关键的等量关系。 2.设：设未知数，有两种设元方式—— ①直接设元：问什么设什么; ②间接设元：当直接设元列方程复杂时，设与所求量相关的量为未知数。 3.列：根据等量关系列出一元二次方程，注意统一单位。 4.解：选择合适的方法(因式分解法、公式法等)解一元二次方程。 5.验：双重检验—— ①检验方程的根是否满足方程； ②检验根是否符合实际意义(如长度、人数、增长率不能为负，销量为正整数等)。6.答：写出答案，带单位。 二、中考常见题型及解题模型 1.增长率/下降率问题 核心公式 若初始量为，平均增长率(或下降率)为，增长(或下降)n次后的量为，则： 注意：增长时用“+”，下降时用“一”。 解题关键 ●确定初始量、变化次数n、最终量; ●增长率x的取值范围是下降率同理。 2.销售利润问题 核心公式 ①单件利润=单件售价-单件成本； ②总利润=单件利润×销售量； 销量变化规律：售价每提高(或降低)m元，销量相应减少(或增加)n件。 3.传播问题 核心公式 若1个传染源每次传播给x个对象，经过n轮传播后，总感染人数为： (中考常考两轮传播，公式简化为) 1．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 3．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 4．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 命题点一 一元二次方程的定义与解 ►题型01 利用一元二次方程的定义求解 一元二次方程的定义相关求解，核心是围绕定义三要素(只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程），结合一般形式解决参数取值、方程判定等问题，是中考基础题型的高频考点。 一、定义核心要点回顾 1.一元二次方程的三要素 整式方程：方程两边都是整式，分母不含未知数，根号内不含未知数； ①只含一个未知数； ②未知数的最高次数是2(且二次项系数)。 2.一般形式：，是关键条件)。 【典例】（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【典例】（2025·四川广元·一模）关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 ►题型02 由一元二次方程的解求参数或代数式 【典例】（2025·四川雅安·一模）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A．2028 B．2022 C． D．2025 【变式1】（2024·广东广州·二模）已知关于的方程的一个根为2，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）已知关于的一元二次方程的一个实数根为，则另一个实数根是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 ►题型03 一元二次方程解的估算 【典例】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【变式1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 命题点二 解一元二次方程 ►题型01 解一元二次方程（计算题） 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错类型 具体易错场景 错误示例 因式分解法漏根 方程两边同除以含未知数的代数式，未保证右边为0就分解 解方程，两边除以x得x=2，遗漏x=0 直接开平方法丢根 解时，开平方忘记加± 配方法步骤错误 1.二次项系数不为1时，未先化为1就配方； 2.配方时仅给左边加常数，右边不加 解方程,直接给加4配方 公式法参数代入错误 取值错误 解方程x²=3x-1,误取b=3、c=-1,未整理为 符号处理失误 1.求根公式中−b的符号错误，尤其b为负数时； 2.去括号、移项时未变号 解方程,移项后误写 根式化简不彻底 求根公式计算后，未将根式化为最简形式，或分子分母未约分 ， 【典例】（2025·四川广元·一模）选择适当的方法解方程； (1) (2) 【变式1】（2025·新疆昌吉·模拟预测）解下列方程： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式2】（2025·陕西汉中·一模）解方程： 【变式3】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） ►题型02 利用配方法对方程进行配方 【典例】（2025·贵州·二模）将多项式进行配方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖北·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽宣城·二模）用配方法解一元二次方程，则配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． ►题型03 换元法解一元二次方程 核心步骤 1.设元：观察方程结构，令重复出现的复杂代数式为（需满足有意义的条件，如根式下非负、分母不为0）； 2.换元：将原方程转化为关于的一元二次方程； 3.求解：解这个一元二次方程，得到的值； 4.回代：将的值代入设元式，求出原未知数的值； 5.检验：分式方程、根式方程需检验根是否使原方程有意义（避免增根）。 【典例】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为 ． 【变式1】（2025·江苏南京·三模）实数，满足，则 ． 【变式2】（2025·四川雅安·一模）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 命题点三 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用根的判别式判断根的情况 当方程含参数时，需结合“方程是一元二次方程”的前提，分两步解题： 1.确定参数限制条件 若题目明确是一元二次方程，先列出的不等式；若未明确，需分类讨论时为一元二次方程，时为一元一次方程)。 2.根据根的情况列不等式/等式 ①若方程有两个不相等的实数根：且 ②若方程有两个相等的实数根：且 ③若方程有实数根：且 ④若方程无实数根：且 【典例】（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式1】（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】（2025·河南郑州·模拟预测）已知点在第四象限，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等实根 B．有两个不等实根 C．没有实数根 D．无法判定 【变式3】（2025·河南南阳·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 ►题型02 已知根的情况求参数的取值范围 【典例】（2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【变式1】（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川南充·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式4】（2025·吉林·模拟预测）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A．且 B．且 C． D． ►题型03 根的判别式综合应用 【典例】（2024·广东·模拟预测）已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式1】（2025·江苏南京·三模）已知二次函数． (1)求证：该函数的图象与轴有公共点． (2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________． (3)已知点，，若该函数的图象与线段没有公共点，直接写出的取值范围． 【变式2】（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 【变式3】（2025·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【变式4】（2025·福建泉州·模拟预测）已知方程． (1)当时，求方程的根． (2)若方程与方程至少有一个方程有实根，求的取值范围． 命题点四 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 根与系数的关系之直接求解 一、直接求解的核心公式(前提条件) 1.适用前提 方程为一元二次方程，即化为一般形式； 方程有实数根，即判别式(求参数时需验证)。 2.核心公式 若方程的两根为、，则 当二次项系数时，方程为，公式简化为 二、直接求解的三类典型题型及解题步骤 题型1：已知方程，直接求、 解题步骤 1.将方程化为一般形式，确定a、b、c的值(注意符号)； 2.直接代入韦达定理公式计算，无需解方程。 题型2：已知方程的一个根，求另一个根及参数值解题步骤 1.设已知根为，待求根为，确定方程的、； 2.利用：，直接解出； 3.再利用，求出参数c(若方程含参数)。 题型3：已知根的特殊关系，求方程中的参数 解题步骤 1.根据根的关系(如互为相反数、互为倒数),结合韦达定理列方程； 2.解方程求出参数的可能值； 3.验证：将参数值代入判别式，确保△≥0(方程有实数根)。 【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式1】（2025·山东泰安·一模）已知一元二次方程有两个实数根，，则的值等于 ． 【变式2】（2025·甘肃武威·一模）已知一元二次方程的两根是，，则 ． 【变式3】（2025·湖北孝感·三模）设、是方程的两个根，则 ． 【变式4】（2025·湖北·一模）已知关于t的一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． ►题型02 根与系数的关系之整体带入 【典例】（2025·河北邯郸·三模）若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式1】（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式3】若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． ►题型03 根与系数的关系之降次求解 【典例】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式1】（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． ►题型04 根与系数的关系之构造方程 【典例】（2025·山东泰安·二模）已知两个不相等的实数，，满足：，，则 ． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个不相等的实数m，n满足 则 ． 【变式2】（2025·四川宜宾·三模）已知，则 ． 【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知，且有，则的值等于 ． ►题型05 已知根与系数的关系求参数 【典例】（2025·江苏南京·三模）设是关于的方程的两个根，且，则的值是 ． 【变式1】（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为 ． ►题型06 根与系数的关系解答题综合 【典例】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【变式1】（2024·贵州遵义·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k的值，使得方程的两个实数根分别为，，且满足？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点． (1)若，抛物线的顶点为，它与轴交于两点，，且为等边三角形，求的值． (2)若，且，求的最小值． 【变式3】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的图象的对称轴． (2)若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． (3)设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围． 命题点五 一元二次方程的实际应用 ►题型01 一元二次方程实际应用之传播问题 通用解题步骤 1.审清题意，设未知数 设每人每轮传播的人数为(这是传播问题的核心未知数)。 2.分析轮次，列等量关系 根据传播轮次，结合核心模型列出总感染人数的方程： 两轮传播：=两轮后总感染人数 注意：若初始传染源不是1人，而是人，则两轮后总感染人数为 3.解方程，求未知数 用直接开平方法或因式分解法解方程，得到的解。 4.检验根的合理性 传播人数必须是非负整数（人数不能为负数或小数）； 根需满足实际情境，舍去不符合题意的解。 5.写答句 【典例】（2025·广西南宁·三模）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【变式2】（2025·重庆·三模）（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． ►题型02 一元二次方程实际应用之增长率问题 1.审清题意，提取三要素 从题干中明确三个关键量： 初始量a：变化前的基础数量(如初始产值、初始人数、初始价格); 变化次数n：增长/下降的轮次，时间间隔等于变化次数(如“2025到2027年”间隔2年，)； 最终量b：变化后的目标数量。 2.设未知数 设平均增长率(或下降率)为x,注意x的单位为“1”(最终需化为百分数)。 3.根据公式列方程 增长问题：代入; o下降问题：代入；中考常考n=2的情况，对应一元二次方程。 4.解方程，优先用直接开平方法 步骤拆解： ①方程两边同时除以a，化简为; ②对等式两边开平方，得； ③解出x的两个值，注意符号取舍。 5.检验根的合理性 增长率：必须满足x>0,舍去负数根； o下降率：必须满足,舍去负数根和大于1的根；o根需符合实际情境(如增长率不能过大导致数量不符合常理)。 6.规范写答 将x的值化为百分数，明确回答题目所求的“平均增长率/下降率”。 【典例】（2025·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 ． 【变式1】（2025·陕西渭南·一模）我国是世界上第一个成功研发和推广杂交水稻的国家某农业基地现有杂交水稻种植面积30公顷，计划逐年增加杂交水稻种植面积，两年后将杂交水稻种植面积增加到公顷，设该农业基地这两年杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为 ． 【变式2】（2025·安徽合肥·一模）经统计，某景区去年月的游客人数比月的游客人数增加，月的游客人数比月的游客人数减少了．求该景区去年月份、月份游客人数的月平均增长率． 【变式3】（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． ►题型03 一元二次方程实际应用之与图形相关的问题 【典例】（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【变式1】（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 【变式2】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 【变式3】（2025·湖北襄阳·一模）为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ ►题型04 一元二次方程实际应用之数字问题 【典例】（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【变式1】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【变式2】（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【变式3】（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． ►题型05 一元二次方程实际应用之销售问题 【典例】（2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 【变式1】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【变式2】（2025·四川广安·一模）某玩偶商店以每个18元的价格购进一种玩偶，销售时，该种玩偶的售价不低于进价且不高于33元．经过市场调查发现，该种玩偶每天的销售数量y（单位：个）与售价x（单位：元）满足关系式． (1)若该玩偶商店销售这种玩偶每天获利240元，则该种玩偶的售价为多少元？ (2)设该玩偶商店销售这种玩偶每天获利w（单位：元），当售价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【变式3】（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本． (1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ ►题型06 一元二次方程实际应用之捂手循环问题 【典例】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）新疆维吾尔自治区体育局要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排21场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？设应邀请x支球队参赛可列出方程 ． 【变式1】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有人，则可列方程为 ． 【变式2】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【变式3】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 突破一 利用配方法求最值 【典例】（2025·山东淄博·一模）已知为实数，设，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．6 【变式1】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 突破二 一元二次方程中定义新运算 【典例】（2025·陕西渭南·一模）对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【变式1】（2024·四川眉山·一模）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的为（    ） A．有两个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式2】（2025·山东聊城·二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程 的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论： ； ； ； ，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【变式3】（2025·重庆·模拟预测）已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 突破三 一元二次方程中动点问题 【典例】（2025·天津河东·二模）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【变式2】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形，使点B，C在第一象限内，且，点P的坐标为，设点A运动了，则在点A的运动过程中，当 时，为等腰三角形． 【变式3】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $