专题21 平面几何（下）（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题21 平面几何（下） 一、解答题 1．（2025·山东预赛）如图所示，已知内接于与分别相切于点，点在上且满足，在点处的切线交于点．求证：点对与等幂． 注：点到圆的幂是指该点到圆心的距离与半径的平方差． 【详解】连结以及． 由定理可知， 而与和分别相切于点和点，故有以及，因此由勾股 定理得 将这些结论代入（1）并化简，得到 两边同除以，得 注意到和分别是点到和的幂，因此只需证明 即 而由于以及，我们分别得到点和点四点共圆，进而有点四点共圆，因此有，而在中，有，由此得到，因此有 因此（2）等价于 从而只需证明（3）．由于是的切线，所以由弦切角定理有，由此以及公共角知，因此有 进而，此即为（3），命题得证． 2．（2025·福建预赛）如图，凸四边形内接于圆，直线与相交于点，在对角线上取点，使得．过点作，与相交于点．求证：直线是圆的切线． 【证明】如图，过点作，与相交于点，连接． 因为，且与的方向相同， 所以，且．所以． 因为，所以． 所以．． 因此． 所以四点共圆． 所以． 所以直线是圆的切线． 3．（2025·北京预赛）如图，内接于圆为的垂心．过的动直线交圆于点，直线与交于点，直线与交于点．设的外心为，求证：的轨迹为一条定直线． 【详解】以为反演中心，为反演幂，作反演变换，此后再作一个关于的角平分线的轴对称变换，则分别对应到．设对应到，则因为直线与直线的交点，直线对应到，直线对应到，故是与的交点，故，从而圆的弧与弧相等，于是与关于中垂线这条定线对称，同理与关于对称．因过定点，故关于的对称点的连线过定点关于的对称点）．因直线对应到，设定点对应到定点，则过，其圆心必在的中垂线这条定线上． 4．（2024·广东预赛）如图，为圆的一条弦为圆的半径)，为优弧的中点，为弦的中点．点分别在和劣弧上，满足，且三线共点于，延长至，使．求证：． 【详解】如图，延长交圆于，以为圆心，为半径作圆，连接． 则在圆上，在圆上． 又是圆的切线， 于是． 同理，从而． 而由托勒密定理得， 于是，且， 因此． 同理，所以． 5．（2024·江苏预赛）如图，是的外接圆，点是(不含点)的中点，的角平分线与的外角平分线交于点与交于点． (1)求证：平分的外角； (2)求证：． 【详解】(1)如图，设与交于点，则是的内角平分线 于是是的外角平分线 所以平分的外角． (2)由于是的中点，则． 又， 于是， 所以． 6．（2024·北京预赛）如图所示，锐角的三条高线AD，BE，CF交于点H，过点F作交直线BC于点G，设CFG的外接圆为与直线AC的另一个交点为P，过P作交直线AD于点Q，连接OD，OQ．求证：． 【详解】如图所示，连接，设是的直径，连接，，． 作，垂足为M． 由为的垂心，易得 (1)，，，四点共圆， (2)，，，四点共圆， (3)，，，四点共圆， (4)，，，四点共圆， 首先证明：，，三点共线． 证明：因为， 所以，，三点共线． 其次证明：点在直线上， 证明：因为是的直径， 所以， 所以点在直线上． 再次证明：，，，四点共圆． 证明：因为是的直径， 所以，所以， 最后证明：． 证明：因为，所以． 因为，所以， 因为是中点，所以是中点，所以． 法二：设CO交于另一点，那么由知在直线上． 那么注意到知四点共圆． 于是 ， 另一方面，由是直径知，故结合知．故GUQD为矩形． 进而在与中，． 因此，故． 7．（2024·福建预赛）如图，为锐角外接圆的圆心，为的一条直径，是的垂心，是的两条高，是边的中点，是点关于圆心的对称点，已知直线过点且与直线相交于点． (1)求证：三点共线； (2)求证：四点共圆； (3)若外接圆的半径为求线段的长（用表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】(1)延长交于点，连接． 依题意，，为平行四边形，则． 于是为的中点，所以三点共线． (2)四点共圆，设该圆为，则与的根轴为． 又四点共圆，该圆为，则与的根轴为与的根轴为， 于是三线共点于． 由于为的直径，则四点共线． 又为平行四边形，于是．所以四点共圆． (3)由于，注意到，则 于是， 即，从而． 所以． 8．（2024·吉林预赛）如图，外切于点，过点的直线交于另一点，交于另一点切于点，在的延长线上取一点，使得，连接交于，求证：与相切． 【详解】证明：连接并延长交于，连接，设两圆公切线为， 由弦切角定理得， 而，所以， 连接，因为，所以四点共圆． 连接，由四点共圆得(1) 由切于点，可得， 又因为，可得， 所以，即，即， 所以，可得．(2) 结合(1)、(2)，得，所以与相切． 9．（2023·北京预赛）如图，为给定的锐角三角形，其内切圆分别与边切于点．高分别与的平分线交于点．设分别为的外接圆，的中点在外． 求证：从的中点引向和的切线长相等． 【详解】如图，设内切圆的圆心为，圆与边的切点为． 易知，设圆与边的另一交点为， 则为的中点． 同理设圆与边的另一交点为，则为的中点，于是重合． 设于点，由于圆以为直径，则五点共圆．连接交圆于点，交于点，易知为的中点． 于是点在圆上，同理可知点也在圆上．从而直线为圆的圆的根轴，所以点引向和的切线长相等． 10．（2023·福建预赛）设的外接圆为圆是内部一点，连接交延长，与圆交于点；连接交延长，与圆交于点；连接交延长，与圆交于点．设关于直线的对称点为关于直线的对称点为，求证：． 【详解】依题意，， 又易知，且 ． 则， 且． 又易知，所以． 11．（2022·江西预赛）如图，以的一边为直径作圆，分别交所在直线于，过分别作圆的切线交于一点，直线与交于一点．证明：三点共线． 【详解】先证一个引理：在中，三条高的垂足，三边的中点，垂心与三角形顶点连线的中点这九个点共圆，通常称这个圆为的九点圆． 如图，四点共圆四点共圆． 而为斜边上的中点，则在上， 同理可证也在上． 为斜边上的中点， 于是在上， 同理可证也在上． 综上，九点共圆． 回到原题，设直线与交于点，连接． 在中，，，则为的垂心． 延长交于点，于是． 由九点圆可知，四点共圆， 又四点共圆，从而五点共圆，且为该圆的直径． 因此三点共线三点共线与重合． 综上可知，三点共线． 一、解答题 1．（2025·全国联赛A卷）如图，在中，为边的中点，延长交的外接圆于点，过点作一个圆与边相切于点，过点作一个圆与边相切于点．证明：三线共点． 【详解】证法1：如图，延长交于点，延长交于点． 由圆幂定理知，结合比例性质得① 同理有② 对及点用塞瓦定理，得 又为边的中点，所以，结合①、②得 故由塞瓦定理的逆定理知三线共点． 证法2：连接．由于过的圆与相切于点，并且四点共圆，故结合，又有． 记，则①② 由①、②知．同理有． 为证明共点，由塞瓦定理的逆定理，仅需证明 而，故等价于证明，即，亦即 注意与互补，故 从而结论得证． 2．（2024·全国联赛A卷）如图，在凸四边形中，平分，点分别在边上，满足．分别延长至点，使得过点的圆及过点的圆均与直线相切．证明：四点共圆． 【详解】由圆与相切知，故的延长线相交，记交点为． 由知．在线段上取点，使得，则． 由，，可知，所以． 同理，记的延长线交于点，则． 又由知，即． 所以，即与重合． 由切割线定理知，所以四点共圆． 3．（2023·全国联赛A卷）如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内．设是的弧(不含端点)上的动点，是上的两个动点，满足：在线段上，位于直线的异侧，且．记的外心为．证明： (1)点在的外接圆上； (2)为定点． 【详解】(1)易知为钝角，由为的外心知 由于，故． 所以． 又位于异侧，因此点在的外接圆上． (2)取的圆心，过点作的平行线，则为的中垂线，点在直线上． 由共圆及，可知在的平分线上，而 故为的平分线．所以点在直线上． 显然与相交，且与均为定直线，故为定点． 4．（2022·全国联赛A2卷）如图，是圆上顺次的五点，，，弦与交于点，过作的平行线，与的延长线交于点，过三点作圆，与圆的劣弧交于点．设为关于的对称点．证明：四点共圆． 【详解】证法一：如图，设与圆交于及另一点．由于且，故，进而．结合关于对称得故三点共线． 由知平分，于是，所以，故为平行四边形，有． 由知平分，因此，又由可知，所以，故，从而三点共线． 于是． 所以四点共圆． 证法二：延长，与过三点的圆交于点．由知平分，结合可知，因此．而为圆中的平行弦，由对称性知为的中点． 由知． 在与中，有 又注意到平分，得 所以． 于是 所以四点共圆． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题21平面几何（下） 全国各地竞赛真题试题汇编？ 一、解答题 1.(2025山东预赛)如图所示，已知△ABC内接于⊙O,⊙I与AB,AC分别相切于点E,F,点D在⊙O 上且满足∠ADI=90°，⊙O在点D处的切线交BC于点K.求证：点K对⊙I与⊙O等幂. 注：点到圆的幂是指该点到圆心的距离与半径的平方差 D 2.(2025·福建预赛)如图，凸四边形ABCD内接于圆w,直线AB与CD相交于点K,在对角线BD上取 点L,使得∠DAL=∠CAB.过点C作CM/i DB,与KL相交于点M.求证：直线BM是圆w的切线. B D 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025北京预赛)如图，△ABC内接于圆O,H为△ABC的垂心.过H的动直线l交圆O于点D,E, 直线AD与BC交于点M,直线AE与BC交于点N,设△AMN的外心为P,求证：P的轨迹为一条定直 线 D 0 M 4.(2024广东预赛)如图，AB为圆O的一条弦就为圆O的半径)，C为优弧AB的中点，M为弦AB的中 点.点D,E,N分别在BC,CA和劣弧AB上，满足BD=CE,且AD,BE,CN三线共点于F,延长CN至G ,使GN=FN.求证：∠FMB=∠GMB E ⊙ G 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2024江苏预赛)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点M是BC(不含点A)的中点，∠ABC的角平分线 与∠BAC的外角平分线交于点D,MD与⊙O交于点T. O. 公 (I)求证：CD平分∠ACD的外角： (2)求证：TD=TB·TC. 6.(2024北京预赛)如图所示，锐角△ABC的三条高线AD,BE,CF交于点H,过点F作FG/iAC交 直线BC于点G,设△CFG的外接圆为⊙O,⊙O与直线AC的另一个交点为P,过P作PQ/UDE交直线 AD于点Q,连接OD,OQ.求证：OD=OQ. 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2024·福建预赛)如图，O为锐角△ABC外接圆的圆心，AD为⊙O的一条直径，H是△ABC的垂 心，BE,CF是△ABC的两条高，M是边BC的中点，S是点M关于圆心O的对称点，已知直线EF过点S 且与直线BC相交于点T. B (I)求证：H,M,D三点共线： (2)求证：A,S,M,T四点共圆； (3)若△ABC外接圆的半径为R,T求线段AM的长（用R表示）· 8.(2024吉林预赛)如图，⊙O1、⊙O2外切于点A,过点A的直线交⊙O1于另一点B,交⊙O2于另一 点C,CD切⊙O1于点D,在BD的延长线上取一点F,使得BF=BC2-CD,连接CF交OO2于E,求 证：DE与⊙O2相切. "O1 A 02 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2023·北京预赛)如图，△ABC为给定的锐角三角形，其内切圆o分别与边AB,AC切于点K,L.高 AH分别与∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,Q.设O1,⊙2分别为△KPB,△LQC的外接圆，AH的中点 在01,02外. 求证：从AH的中点引向⊙，和@，的切线长相等 W2 10.(2023福建预赛)设△ABC的外接圆为圆O,P是△ABC内部一点，连接AP交延长，与圆O交于点 D;连接BP交延长，与圆O交于点E;连接CP交延长，与圆O交于点F.设A关于直线EF的对称点为 A1,B关于直线DF的对称点为B,求证：△PAB~△PA1B. B A D 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(2022江西预赛)如图，以△ABC的一边BC为直径作圆，分别交AB,AC所在直线于E,F,过E,F 分别作圆的切线交于一点P,直线AP与BF交于一点D.证明：D,C,E三点共线. A E D B G D 全国联赛真题试题汇编P 一、解答题 1.(2025·全国联赛A卷)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，延长AD交△ABC的外接圆于点P, 过点B,P作一个圆与边AC相切于点E,过点C,P作一个圆与边AB相切于点F.证明：AD,BE,CF三线 共点 E D D 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2024·全国联赛A卷)如图，在凸四边形ABCD中，AC平分∠BAD,点E,F分别在边BC,CD上， 满足EF‖BD.分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆O1及过点A,D,Q的圆O均与直线AC 相切.证明：B,P,Q,D四点共圆. 0 02 01 3.(2023·全国联赛A卷)如图，2是以AB为直径的固定的半圆弧，⊙是经过点A及2上另一个定点T的 定圆，且O的圆心位于△ABT内.设P是2的弧TB(不含端点)上的动点，C,D是O上的两个动点，满足： C在线段AP上，C,D位于直线AB的异侧，且CD⊥AB.记△CDP的外心为K.证明： (I)点K在△TDP的外接圆上： (2)K为定点. 2 0 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2022全国联赛A2卷)如图，A,B,C,D,E是圆⊙上顺次的五点，AB=BD,BC=CE,弦AC与 BE交于点P,过A作BE的平行线，与DE的延长线交于点Q,过A,P,Q三点作圆，与圆ω的劣弧DE交于 点T.设A为A关于BC的对称点.证明：A,B,P,T四点共圆. A A' E CDT 8/8