专题09 数列（下）-综合应用（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题09 数列（下） 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）记，则与最接近的整数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（2023·吉林预赛）已知数列满足，且，则 A．不存在，使得当时， B．不存在，使得当时， C．存在，使得当时， D．存在，使得当时， 二、填空题 3．（2025·江西预赛）对于正整数，表示与最接近的整数（例如），则_____． 4．（2025·福建预赛）若数列满足：，且，则的末两位数字是_____． 5．（2025·广西预赛）数列满足，且对一切自然数都有，则的整数部分是_________． 6．（2025·贵州预赛）已知数列满足：，则_____．（为取整函数） 7．（2025·广西预赛）设为全体正整数集，．将中的元素从小到大排列得到数列，则_________． 8．（2025·浙江预赛）如图，在平面直角坐标系上有一动点，每次平行坐标轴移动一个单位．设动点从点出发，向左移动一个单位到达，向下移动一个单位到达，再向下移动一个单位到达，接着向右移动一个单位到达，再向右移动一个单位达到，又向上移动一个单位到达依次进行得到一个逆时针螺旋线．问的坐标为_____． 9．（2025·浙江预赛）记组合数，数列满足，为除以3的余数，，则数列中数字为的数目比为_____． 10．（2024·广东预赛）数列满足：对任意．如果该数列的每一项都是正数，则的最小值为_____． 11．（2024·内蒙古预赛）数列中，，且对任意，，求的整数部分是 ． 12．（2024·新疆预赛）设数列满足：．记．若的值在区间内，则整数的值为_____． 13．（2023·福建预赛）已知数列中，．设为数列的前项和，则_____．（符号表示不超过的最大整数） 14．（2022·重庆预赛）已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 15．（2022·四川预赛）已知数列满足：，且，则的末两位数字为_____． 16．（2022·浙江预赛）把与143互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第2022项为_____． 17．（2022·北京预赛）设递推数列满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是_____． 三、解答题 18．（2025·吉林预赛）对于每项均是正整数的数列，定义变换将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． （1）若数列为，求的值； （2）对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 19．（2024·广西预赛）用表示不超过的最大整数．设数列满足：，．求的个位数． 20．（2024·上海预赛）数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同． 21．（2024·重庆预赛）设，求的值．（其中[x]表示不超过实数的最大整数．） 22．（2023·广西预赛）设为一个数列，记为．若对任意的正数，均存在相应的自然数，当时，则称．若是正整数集上的一个一一对应，则称是的一个重排，称（其中）是的一个重排． 求证：（1）； （2）存在的一个重排． 23．（2023·贵州预赛）定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列．已知数列满足，证明：是一个完方数列． 24．（2023·四川预赛）给定正整数．数列满足： 若对任意的正整数，都有，求实数的最小值． 25．（2023·新疆预赛）设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 26．（2022·江西预赛）数列满足：．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项，其两两的乘积加1皆是正整数的平方． 一、填空题 1．（2023·全国联赛B卷）将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前若干项依次为），则该数列的第2023项的值为_____． 二、解答题 2．（2022·全国联赛A1卷）设正整数数列同时具有以下两个性质： （i）对任意正整数，均有； （ii）对任意正整数，均存在正整数，使得． 求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列（下） 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）记，则与最接近的整数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】当时， 所以 故选：B． 2．（2023·吉林预赛）已知数列满足，且，则 A．不存在，使得当时， B．不存在，使得当时， C．存在，使得当时， D．存在，使得当时， 【答案】C 【详解】数列的不动点满足， 则． 于是． 从而 故选C． 二、填空题 3．（2025·江西预赛）对于正整数，表示与最接近的整数（例如），则_____． 【答案】101． 【详解】注意到当且仅当．又 所以的小数位按照0.125，0.375，0.625，0.875循环出现．重复的次数在不是4的倍数时为，在是4的倍数时为．又，，所以． 4．（2025·福建预赛）若数列满足：，且，则的末两位数字是_____． 【答案】65 【详解】因为， 所以． 因此， ， ………… 一般地，对任意正整数． 所以 所以的末两位数字是65． 5．（2025·广西预赛）数列满足，且对一切自然数都有，则的整数部分是_________． 【答案】2 【详解】由可得，故． 于是． 由可得．因此，所求整数部分为2． 6．（2025·贵州预赛）已知数列满足：，则_____．（为取整函数） 【答案】63 【详解】由题意可知：，所以有，又因为，且有，所以，故． 7．（2025·广西预赛）设为全体正整数集，．将中的元素从小到大排列得到数列，则_________． 【答案】3375 【详解】因为3，4，5的最小公倍数为60，所以每60个连续正整数所剩下的数的个数都是相同的，为个，而，所以是第57组的第9个，第一组的前九个数依次为1，2，5，7，10，11，13，14，15．故． 8．（2025·浙江预赛）如图，在平面直角坐标系上有一动点，每次平行坐标轴移动一个单位．设动点从点出发，向左移动一个单位到达，向下移动一个单位到达，再向下移动一个单位到达，接着向右移动一个单位到达，再向右移动一个单位达到，又向上移动一个单位到达依次进行得到一个逆时针螺旋线．问的坐标为_____． 【答案】 【详解】考虑直线上的点的下标，它们都是偶数的平方数．，而的坐标为．又和横坐标相等，纵坐标相差24个单位．，因此的坐标为． 9．（2025·浙江预赛）记组合数，数列满足，为除以3的余数，，则数列中数字为的数目比为_____． 【答案】 【详解】解法1：是的二项式展开系数，即． 注意到，而， 于是 计算系数模3等于1的项有：； 系数模3等于2的项有：； 所以，系数模3等于0的项有：8． 解法2：将2025写成3进制数，由Kummer定理，模3余0等价于在3进制下有借位，所以除以3的余数0的项数共有． 在中，模3不等于0的有18个，在3进制下它们是 0，10000，100000，110000，200000，210000，1000000，1010000，1100000，1110000，1200000，1210000，2000000，2010000，210000，2110000，2200000，2210000 由卢卡斯定理，， 其中 计算得系数模3等于1的项有10项；系数模3等于2的项有8项． 10．（2024·广东预赛）数列满足：对任意．如果该数列的每一项都是正数，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】设 ，则． 于是 所以的最小值为． 11．（2024·内蒙古预赛）数列中，，且对任意，，求的整数部分是 ． 【答案】9 【详解】由，可得：， 所以数列是递增数列， 又，所以， 则 ， 对于正整数，可得：， 所以， 所以，，，……，， 所以，， 因为数列是递增数列，所以，， 所以， 故的整数部分是． 12．（2024·新疆预赛）设数列满足：．记．若的值在区间内，则整数的值为_____． 【答案】4 【解析】由题意知 下证，只需证，由 由归纳法知，对于任意的，则，即． 13．（2023·福建预赛）已知数列中，．设为数列的前项和，则_____．（符号表示不超过的最大整数） 【答案】14 【详解】，由于 设，则，特征方程为， 于是，代入得． 从而． 注意到， 于是． 所以． 14．（2022·重庆预赛）已知，若数列有上界，即存在常数，使得对恒成立，则实数的最大值为_____． 【答案】 【详解】考虑即可．由于， 则当时，数列单调递增，无上界； 当时，下证时，． 时，结论成立； 假设时结论成立，即 时，， 则时结论也成立． 由归纳法原理，对任意时，． 所以实数的最大值为． 15．（2022·四川预赛）已知数列满足：，且，则的末两位数字为_____． 【答案】32 【详解】成等比数列，成等差数列， 数列的前几项为：， 利用数学归纳法容易证明． 所以． 16．（2022·浙江预赛）把与143互质的全体正整数按从小到大排列成一个数列，则该数列的第2022项为_____． 【答案】2410 【详解】由于，在内与143互质的正整数有个．由于，在内与143互质的正整数（从大到小排列）是142，141，140，139，138，137，136，135，134，133，131，129，128，127，126，125，124，123，122，第102个数是122．所以该数列的第2022项为． 17．（2022·北京预赛）设递推数列满足：，如果对任意的首项且，数列中一定存在某项，则不超过的最大整数是_____． 【答案】21 【详解】考虑二次函数，它的不动点为与．设其二阶不动点为，则有， 代入． 构造周期为2的数列：，则数列中各项． 下面证明数列中一定有某项．用反证法，假设． 如果数列中有数，由二次函数的单调性，，矛盾． 因此我们假设或（舍去），于是 有． 另一方面，对任意正整数 成立，矛盾． 综上，． 三、解答题 18．（2025·吉林预赛）对于每项均是正整数的数列，定义变换将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列． （1）若数列为，求的值； （2）对于每项均是正整数的有穷数列，令，． （i）探究与的关系； （ii）证明：． 【详解】（1）依题意，，， （2）（i）记， ， ，所以． （ii）设是每项均为非负整数的数列， 当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列， 则， 当存在，使得时，若记数列为，则， 因此，从而对于任意给定的数列， 由，由知，所以． 19．（2024·广西预赛）用表示不超过的最大整数．设数列满足：，．求的个位数． 【答案】3 【详解】由是无理数和可得． 则，， ． 故，． 因此，，从而． 于是，，． 由数学归纳法及，可得 ； ． 故；． 因此，所求的个位数为3． 20．（2024·上海预赛）数列满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同． 【答案】证明见解析 【详解】设除以为余数为．构造有序数对的序列:       注意到，则序列中至多有个不同的项， 根据抽屉原理，在序列的前项中必有相同的两项，不妨设为 由于， 于．继续上述过程，可以得到． 又，，显然，所以且． 综上，在数列中存在相邻的两项，它们除以的余数相同． 21．（2024·重庆预赛）设，求的值．（其中[x]表示不超过实数的最大整数．） 【答案】答案见解析 【详解】设． 对于连续且单调递减．由于，则， 进而依次可以得到，即．     令．由于恒成立， 故当时，单调递增． 又由于，故当时，;当时，．     当为偶数时，设，有 且 故 当为大于1的奇数时，设，有 故 当时，． 综上，当时，；当时， 22．（2023·广西预赛）设为一个数列，记为．若对任意的正数，均存在相应的自然数，当时，则称．若是正整数集上的一个一一对应，则称是的一个重排，称（其中）是的一个重排． 求证：（1）； （2）存在的一个重排． 【答案】证明见解析 【详解】（1）注意到，则对任意的正数，取， 于是． 所以当时，． （2）由（1）知存在，使得． 设为的一个重排，记为． 令，对任意正数，取， 当时，存在，满足， 23．（2023·贵州预赛）定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列．已知数列满足，证明：是一个完方数列． 【答案】证明见解析 【详解】递推数列的特征方程为， 两个特征根分别为，则． 于是． 由于，则 显然由知为整数，所以数列是一个完方数列． 24．（2023·四川预赛）给定正整数．数列满足： 若对任意的正整数，都有，求实数的最小值． 【答案】 【详解】引理1：对任意，有． 由累加法得． 引理2：记，则对任意，有． 时，，结论成立； 假设时结论成立，即． 则时， ，结论也成立． 由归纳法原理，则对任意，均有． 引理3：． 首先由 知存在，设其值为，易知． 回到原题，记，则 注意到， 则． 另一方面， 综上，的上确界为，所以实数的最小值为． 25．（2023·新疆预赛）设是一个无限实数列，满足不等式对一切正整数都成立，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】先用数学归纳法证明：． 时，，命题成立； 假设时，命题成立，即．则时， 由， 于是 ，即时命题也成立． 综上，对任意都成立． 下面用数学归纳法证明：． 时，，命题成立； 假设时，命题成立，即．则时， 由，于是 即时命题也成立． 综上，对任意都成立． 26．（2022·江西预赛）数列满足：．证明：该数列的各项皆为自然数，且对于数列中的任意连续的三项，其两两的乘积加1皆是正整数的平方． 【答案】证明见解析 【详解】 ， 计算得，于是． 所以数列的各项皆为自然数． 由于 同理可得 ， 所以对于数列中的任意连续的三项，其两两的乘积加1皆是正整数的平方． 一、填空题 1．（2023·全国联赛B卷）将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前若干项依次为），则该数列的第2023项的值为_____． 【答案】4095 【详解】用表示题述数列．前2023个正奇数依次为，其中恰有这32个完全平方数，而在小于4045的正整数中恰有这7个偶立方数．因此4045是的第项． 进而（注意且）． 二、解答题 2．（2022·全国联赛A1卷）设正整数数列同时具有以下两个性质： （i）对任意正整数，均有； （ii）对任意正整数，均存在正整数，使得． 求的最大值． 【答案】 【详解】由于为正整数数列，在（i）中令知，故． 以下证明：对任意正整数，有或． 根据（ii），对任意正整数，显然有． 当时，由及知或3，故结论成立． 假设时结论成立，考虑的情形． 由（ii）知存在正整数，使得． 当时，由（i）及，可知 于是不等号均为等号，这表明，符合结论． 当时，． 若，则，符合结论； 若，则，此时 故对任意正整数，总有，与（ii）矛盾，即该情形不会发生． 综上，时结论也成立．从而由数学归纳法知结论成立． 从上述证明进一步可见，对任意正整数与不能同时成立．因此，对任意正整数，均有 所以 当，且对任意正整数，取时，易验证数列具有性质（i）、（ii），并且①取到等号． 从而的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $