第三单元 第2课时 2和5的倍数特征(分层作业)数学青岛版五四制四年级下册

第三单元 第2课时 2和5的倍数特征 分层作业 1.个位上是（ ）、（ ）、（ ）的数是2的倍数。 2.个位上是（ ）或（ ）的数是5的倍数。 3.一个数如果既是2的倍数又是5的倍数，它的个位上一定是（ ）。 4.在1-20的自然数中，既是2的倍数又是5的倍数的数有（ ）和（ ）。 5.要使三位数4□0同时是2和5的倍数，□里可以填的数字有（ ）个 1．下列说法错误的有（    ）个。 ①一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数末尾一定是0。 ②一个非零自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。 ③因为7.0等于7.00，所以它们表示的意义相同。 ④五星红旗冉冉升起，在这个过程中红旗的运动方式是平移。 ⑤一个自然数的数字之和除以3的余数和这个数除以3的余数相同。 A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 2．1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 3．猜猜下面的数可能是几。 ( )             ( ) 4．10～20中，含有( )个合数，质数有( )个，既是2的倍数又是5的倍数的数是( )。 5．1～9九个数字按如图所示的次序排成一个圆圈。请你在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针顺序形成两个九位数，如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被18整除，那么应当在 之间剪开。 6．老师有一包糖果，总数在30到40颗之间。 如果每人分3颗，最后会剩下2颗。如果每人分5颗，最后会正好分完。 请问：这包糖果有多少颗？请写出你的思考过程。 这包糖果有（    ）颗。我是这么想的：（ ）（ ） 7．丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 8．某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 9．有一堆棋子，无论是平均分给3个人，还是4个人，都正好剩2个；如果平均分给5个人，那么正好分完。这堆棋子至少有多少个？ 10．在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 11．园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 12．虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 13．在庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，阳光小学的同学们满怀崇敬与热忱，精心制作了125个抗战主题小徽章。若每2个小徽章装成一盒，能正好装完吗？每5个小徽章装成一盒，能正好装完吗？为什么？ 14．下面是暑期七月份的月历表，李乐上篮球课的日子是5的倍数，唐朗上篮球课的日子是4的倍数，请在月历上用“△”画出李乐上篮球课日，用“○”画出唐朗上篮球课日，这个月有（    ）天是李乐篮球课日，有（    ）天是唐朗篮球课日，7月共有（    ）天同时是李乐和唐朗的篮球课日。 15．数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策。如果我们换一个角度，以退为进，从简单情况找规律，也许就柳暗花明了。 有24个同学站成一排做游戏，头上分别戴上编号1，2，3，…，24的帽子，他们从左往右按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，凡报到1的同学退出游戏，剩下的同学又从左往右继续按1，2，1，2，1，2，…，依次报数，如此进行下去。 （1）当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？ （2）如果有200个同学做这样的游戏，当剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是几号？请找出其规律，并表示出来。 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．D 【分析】（1）（5）根据2、3和5的倍数特征及余数的判定规律进行分析； （2）根据自然数的认识，以及质数和合数的定义进行分析； （3）根据小数的意义进行分析； （4）根据图形运动：平移是指沿直线的平行运动进行分析。 【详解】①同时是2和5的倍数，末尾一定是0，所以该说法正确； ②1是非零自然数，但1既不是质数也不是合数；所以该说法错误； ③7.0的计数单位是0.1，表示精确到十分位，7.00的计数单位是0.01，表示精确到百分位，数值相等，但精确度和计数单位不同，因此表示的意义不同；所以该说法错误； ④红旗沿直线上下移动，属于平移，所以该说法正确； ⑤这是3的倍数特征，一个数的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数且余数完全相同，所以该说法正确。 错误的说法为：②和③ 故答案为：D 2．C 【分析】一个就有一个零，的个数决定算式结果零的个数。而算式中2的个数多于5的个数，因此末尾零的个数由5的个数决定。需要计算从1949到2013的所有整数中因数5的总个数，通过找出5的倍数、25的倍数、125的倍数等，并分层计算它们的数量。 【详解】乘积末尾连续零的个数等于因数2和因数5配对个数的最小值。计算因数5的总个数： 5的倍数：最小为1950，最大为2010，共13个（1950、1955、1960、1965、1970、1975、1980、1985、1990、1995、2000、2005、2010），每个至少有1个因数5。 25的倍数：最小为1950，最大为2000，共3个（1950、1975、2000），每个是25的倍数，额外多1个因数5（因为25＝5×5，作为5的倍数时已计入1个）。 125的倍数：2000是125的倍数（125×16＝2000），额外多1个因数5（因为125＝5×5×5，作为5和25的倍数时已计入2个）。 因数5总个数＝13＋3＋1＝17。 2的倍数（含至少1个2）： （个） 2的倍数已经远大于17（4、8、16、32的倍数不需要再进行统计），所以末尾连续零的个数为17个。 故答案为：C 【点睛】计算乘积末尾0的个数，核心逻辑是“抓少的因数”：因为每1个0对应1对“2×5”，而连续整数中因数2的数量通常远多于因数5，因此只需统计质因数5的总个数（分层统计5、25、125等倍数的数量），即可直接得到末尾0的个数。 3． 28 10/30 【分析】第一幅图中，50以内7的倍数，其中一个因数是4，求出这个数。即这个数是7的倍数，也是4的倍数，可求出公倍数在50以内的，可得出答案；第二幅图中，是30的因数，又是2和5的倍数，要求出这个数，即先求出2和5的公倍数是10，可写出30以内的10的倍数，再求出30以内的因数，进而得出答案。 【详解】4和7的最小公倍数是：4×7＝28，28在50以内，即这个数是28；这个数是2和5的倍数，即求出2和5的最小公倍数：2×5＝10，30以内10的倍数有10、20、30，30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，则这个数可能是10或30。 4． 7 4 10和20 【分析】根据质数与合数的定义：一个自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，除了1和它本身还有别的因数这样的数叫做合数，据此找出10～20中的质数和合数。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上的0或5的数；既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上是0的数。据此解答即可。 【详解】10～20的数：10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20。 合数：10、12、14、15、16、18、20，共7个。 质数：11、13、17、19，共4个。 既是2的倍数又是5的倍数的数，个位必须是0，符合的数是10、20。 所以10～20中，含有7个合数，质数有4个，既是2的倍数又是5的倍数的数是10和20。 5．1和9 【分析】因为18＝2×9，一个数能被18整除，那么这个数既要能被2整除，又要能被9整除。 【详解】能被9整除的情况‌：无论从哪两个数之间剪开，按顺时针或逆时针次序所得到的两个九位数，其各个数位上的数字和都是1至9九个数字之和， 即1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45能被9整除，所以两个九位数一定能被9整除，它们的差也能被9整除。 能被2整除的情况‌：一个数能被2整除，其个位数字应为偶数。两个九位数的差能被2整除，那么这两个九位数的个位数字奇偶性应相同。 分别分析不同剪开位置： 在1和9之间剪开，顺时针是192345678，逆时针是876543291，差的个位是7，为奇数，不满足差能被2整除； 在2和3之间剪开，顺时针是234567891，逆时针是198765432，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 在4和5之间剪开，顺时针是456789123，逆时针是321987654，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 在6和7之间剪开，顺时针是678912345，逆时针是543219876，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 在8和9之间剪开，顺时针是891234567，逆时针是765432198，差的个位是9，为奇数，不满足差能被2整除； 再看差能否被4整除（因为能被4整除一定能被2整除，且判断差能否被4整除可进一步确定），不管从哪两个数之间分开，它们的差都是9的倍数，因此只看从哪两个数之间分开，差的后两位数是4的倍数即可： 如果从1和9之间分开，差的后两位为321－89的后两位是32，32是4的倍数； 如果从2和3之间分开，差的后两位为912－43的后两位是69，69不是4的倍数； 如果从4和5之间分开，差的后两位为234－65的后两位是69，69不是4的倍数； 如果从6和7之间分开，差的后两位为456－87的后两位是69，69不是4的倍数； 如果从8和9之间分开，差的后两位为678－19的后两位是59，59不是4的倍数。 所以应当在1和9之间剪开。 【点睛】本题通过验证被4和被9整除的条件，结合具体剪开位置的末两位数字计算，最终确定唯一满足条件的剪开位置。 6．35；思考过程见详解 【分析】糖果总数在30到40颗之间，且是5的倍数（因为每人分5颗正好分完）。同时，总数除以3余2（因为每人分3颗剩下2颗）。列举30到40之间的5的倍数：30、35、40，并逐一检查除以3的余数，发现35满足余2的条件。 【详解】这包糖果有（35）颗。 我是这么想的：由“每人分5颗正好分完”可知，糖果总数是5的倍数。在30到40之间，5的倍数有30、35、40。由“每人分3颗剩下2颗”可知，总数除以3余2。 验证：30÷3＝10，没有余数，不符合条件； 35÷3＝11……2，余数为2，符合条件； 40÷3＝13……1，余数为1，不符合条件。 因此，糖果总数为35颗。 7．丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【分析】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【详解】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 8．找回的钱不对。理由见解析。 【分析】根据赣南脐橙和南丰蜜橘的单价，分析购买这两种水果所花费的钱数的个位数字特征，进而判断找回钱数是否正确。 【详解】找回的钱不对。 理由：赣南脐橙10元/份，南丰蜜橘5元/份，10和5都是5的倍数，所以购买这两种水果所花费的钱数一定是5的倍数，那么花费钱数的个位数字一定是0或5。 园园给了50元，50是5的倍数，个位是0，花费钱数个位是0或5，那么找回的钱数个位上一定是5或0，而实际找回12元，个位是2，所以找回的钱不对。 9．50个 【分析】根据题意，平均分给3个人，还是4个人，都正好剩2个；说明这堆棋子的总数比3和4的公倍数还多2；先求出3和4的最小公倍数，再求出最小公倍数的倍数，把这些倍数分别加上2，根据5的倍数特征“个位上是0或5的数”判断是否是5的倍数，进而得出这堆棋子至少的总数。 【详解】3和4的最小公倍数是3×4＝12 12的倍数有：12、24、36、48… 12＋2＝14，不是5的倍数； 24＋2＝26，不是5的倍数； 36＋2＝38，不是5的倍数； 48＋2＝50，是5的倍数； …… 其中能被5整除的最小数是50。 答：这堆棋子至少有50个。 10． 至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【分析】先计算32名同学平均分成五组时的余数，根据余数确定至少再来或离开的同学数量，进而求出每组的人数。 【详解】（名）（名） 因为平均分组时剩余2名同学，所以让这2名同学离开，此时总人数为：（名） 每组人数为：（名） 因为5 组每组6名剩余2名同学，要使每组人数增加1人（即每组7人），需要的总人数为：（名） 至少再来的同学数为：（名） 每组人数为：（名） 答：至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 11．最少103棵；最多198棵 【分析】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【详解】100到200之间大于100的5的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 12．每2顶装一袋能正好装完；每5顶装一袋不能正好装完；理由见详解 【分析】根据2、5的倍数特征进行判断，如果虎头帽的总数是2、5的倍数，就能正好装完；如果不是2、5的倍数，就不能正好装完 。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】42的个位是2，则42是2的倍数，不是5的倍数。 答：如果每2顶装一袋，能正好装完，因为42是2的倍数；如果每5顶装一袋，不能正好装完，因为42不是5的倍数。 13．不能；因为125不是2的倍数，所以若每2个小徽章装成一盒，不能正好装完；能；因为125是5的倍数，所以每5个小徽章装成一盒，能正好装完。 【分析】根据2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数进行分析。 【详解】125不是2的倍数，所以若每2个小徽章装成一盒，不能正好装完； 125÷5＝25（盒） 125是5的倍数，所以每5个小徽章装成一盒，能正好装完。 答：不能正好装完。因为125不是2的倍数，所以若每2个小徽章装成一盒，不能正好装完；能正好装完。因为125是5的倍数，所以每5个小徽章装成一盒，能正好装完。 14．画图见详解；6；7；1 【分析】5的倍数的特征：个位数字是0或者5的数都是5的倍数； 4的倍数：根据倍数的定义，一个整数能被4整除就是4的倍数，用4依次乘1、2、3、4……，并判断结果是否小于31来确定； 据此用“△”画出李乐上篮球课日，用“○”画出唐朗上篮球课日，图见详解。 【详解】根据分析可知： 个位数字是0或者5的数是5的倍数，所以七月份的月历表中，李乐的篮球课日分别是：5、10、15、20、25、30共计6天； 4的倍数：4×1＝4 4×2＝8 4×3＝12 4×4＝16 4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32，因为32＞31，舍去。 所以七月份的月历表中，唐朗的篮球课日分别是：4、8、12、16、20、24、28共计7天； 其中20日同时是李乐和唐朗的篮球课日； 月历上用“△”画出的李乐上篮球课日，用“○”画出的唐朗上篮球课日如下图所示： 所以这个月有6天是李乐篮球课日，有7天是唐朗篮球课日，7月共有1天同时是李乐和唐朗的篮球课日。 15．（1）16号 （2）128号；规律见详解 【分析】（1）24个同学第一轮报数：报1的同学退出，剩下的是编号为2，4，6，…，24（即2的倍数）的同学。 第二轮报数：剩下的同学从左往右按1，2报数，报1的退出，剩下的是编号为4，8，12，…，24（即4的倍数）的同学。 第三轮报数：剩下的同学继续报数，报1的退出，剩下的是编号为8，16，24（即8的倍数）的同学。 第四轮报数：剩下的同学报数，报1的退出，最后剩下的是编号为16的同学。 （2）200个同学的情况：先找2的倍数，小于等于200的2的倍数有2，4，6，…，200。再从这些数中找4的倍数，有4，8，12，…，200。接着找8的倍数，有8，16，32，…，192。然后找16的倍数，有16，32，48，…，192。继续找32的倍数，有32，64，96，128，160，192。再找64的倍数，有64，128，192。最后找128的倍数，小于等于200的128的倍数只有128。所以，当有200个同学时，最后剩下的同学的帽子编号是128号。 【详解】（1）第一轮：剩下的是编号为2，4，6，…，24（即2的倍数）的同学。 第二轮：剩下的是编号为4，8，12，…，24（即4的倍数）的同学。 第三轮：剩下的是编号为8，16，24（即8的倍数）的同学。 第四轮：剩下的是编号为16的同学。 答：当还剩下最后一人时，这个同学的帽子编号是16号。 （2）小于等于200的2的倍数有2，4，6，…，200； 剩下的4的倍数，有4，8，12，…，200； 剩下的8的倍数，有8，16，32，…，192； 剩下的16的倍数，有16，32，48，…，192； 剩下的32的倍数，有32，64，96，128，160，192； 剩下的64的倍数，有64，128，192； 小于等于200的128的倍数只有128。 答：最后剩下同学的帽子编号是128号，规律是每次报数后剩下同学的编号依次是2的倍数、4的倍数、8的倍数…，即最后剩下同学的帽子编号是2n（n为剩下一人所需淘汰的次数）。 【点睛】解决这类报数留人的问题，关键是发现每次剩下的都是当前能找到的、小于等于总人数的最大的2的倍数相关数，逐步筛选最终确定最后一人编号。 $