第23期 核心素养阶段测评（四）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 发评柄 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期(2025年12月) 解得ag=4或ag=0(舍去)， 第21期2版参考答案 即bg=ag=4,则b4b12=b=16. 专项小练一 3已知a.=a(分)(aeR), 1.B:2.A;3.ABC.4.112;5±2或±2 6.解：(1)设第n年后车辆的价格为a., 则4，=a(分) =1024,解得a=2048, 由题意得(1-20%)a.=a1,即=80%， a 所ua2(分)广=（台） 因为一年后的价格为a1=10×0.8, 0-11 所以ao= =2 所以an=a1×0.8"-1=10×0.8",neN () (2)由(1)得a6=10×0.86=2.62144≈2.62（万元）， 4.设公比为q,由题可得an92=4an9-3an, 所以使用6年后卖掉这辆车，他大概能得2.62万元. 因为an≠0，所以92-4g+3=0, 专项小练二 因为g≠1，解得9=3，所以an=a19-1=3"-1, 1.B;2.B;3.AD.4.127;5.7. 所以S,=1-)。1-3 6.解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q(g>0), 1-9 1-3-121 由题意可得49=16， 5.由等比数列的性质可得a1a10=a2a,=…=a5a6=4, la19+a192=2(a1+a19), 所以数列{log2a.}的前10项和loga1+log2a2+…+ 解得，2， logz ano log2 (aazao)=log2 45 =10. lg=2, 6因为等比数列中，a=号a=号9=号 9 1 所以数列{an}的通项公式为an=2×2-1=2” (2)Sm=(a1+a2+…+an)+(1+2+…+n) 所u写=是×（层）”-二所以=4 =2(1-22+n1+m 54 1-2 2 a(1-g) =21+n1+ml-2. u子g“9行1+ 2 =骨×(+号)=号 第21期3,4版参考答案 7.因为等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项 有n项，设公比为q, 等比数列同步核心素养测评 得到奇数项为1+g2+9+…+g2m=1+9(q+q3+93+ 一、单项选择题 …+92m-1)=85, 1~4 CDAC 5 ~8 ABBC 提示： 偶数项为9+93+g+…+g2-1=42, L.设等比数列{an}的公比为q, 整体代入得9=2， 则%+a=Ca+a）:g=8,解得g=2, 所以前2+1项的和为2”。85+2：127. a1+a4a1+a4 解得n=3. 因此号-是-2 8因为S=1-2a,则5，=a1=1-2a→0，=}， 2.因为数列{bn}是等比数列，若bg=ag≠0， 且Sm-1=1-2am-1(n≥2)， 由等差数列的性质可得a3+a3=2ag, 即有=4as, 两式相减得3a.=2a-1,因为a=3,所以a.≠0， 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 =号 2 所以第k个正方形面积为a%=c?=23, an-1 所以a=2°=1，故(A)正确； 则数列口，是首项为写，公比为子的等比数列， 4=2a=23=g 所以a2=16a6,故(B)正确； 所以S,= 1-号 a1+a2+…+a5+a6=22+2+2°+21+22+23= 由于y(号) 号故(C)错误： 随n的增大而减小，故Sn单调递增， 所以S≥S=3, a1+a2+…+an=22+2+…+23-m 4-(] 1- 综上se[兮 二、多项选择题 =8-) ,如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这 9.BD;10.AC;11.ABD. 些正方形的面积之和将趋近8cm,故(D)正确. 提示： 故选(A)(B)(D) 9.因为a1=1,a1=a19=8,所以g°=8，有g2=2, 三、填空题 解得g=±√2，故(A)错误，(B)正确； 127:182-2:4-6m5× 、3 当q=2时，a4=a193=22; 提示： 当q=-2时，a4=a193=-22,故(C)错误； a3=a192=64,故(D)正确.故选(B)(D). 12.由a1=2,a1+2a。=0可得21=-2， a 10.因为a1=1,3a+1=S, 所以{an}是以a1=2为首项，公比为-2的等比数列， 1 令n=1,得3a,=a=1,a,=3,(A)正确： 所以其前项和为5=2=2》白=86， 1-(-2) 3an1=Sn,所以3an=Sn-1(n≥2)， 故1-(-2)=129，即k=7. 两式相减可得3am1-3a.=a.(n≥2)， 13.由题意a+1-a.=2”, =n≥2)a=1时，不符合， 当n≥2时，an=(an-a-1）+(a-l-an-2）+…+（a2 a -a1）+a1 所以从第2项起，数列口，是公比为子的等比数列， =2+2-2+…+2+2=21-22+2=2, 1-2 n=1, 当n=1时，上式也成立， 之写之2®钢 41 所以a,=2,所以3-21-22】=2-2. 1-2 则5=a+g=(告)广)正确： 1-9 147,=134×宁+7×京++(3m-50× 1 则·s=(号)八·（告）”=（告）”=8= +(3m-2)×3, 1 ① [(告)门)循误 ①×号得7.=1x+4×+7×++(3n 1 故选(A)(C) 5) 3+(3n-2)×,. 1 ② 11.设第k个正方形的边长为ck, 则第k个正方形的对角线为2c, x3+3× ①-②得号7=+3× 33+3× 34+…+ 则第k+1个正方形的边长为汽。 1 3× 3-(3n-2)×3 所以出= 2 故c}是首项为2，公比为号的等比数列， -(3n-2)×3 1 1-3 k-1 所以c=2× =2岁， 2 一2 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 18.(1)证明：由a*1(an-4)=am-6(n∈N,) 2 得aH1=,-6 = 56n+51 an -4 4 4×3 四、解答题 4-4-2--。-2 即a1-2=a-6 a -4 15.解：(1)依题意 整理得」 。a.-4 2 「0a=a1·2"=96, 012- 4,-2-1+。-2 s=1-2”) 又1 1-2 =a1(2”-1)=189, 义a.-2=1-6, 96 所以1-ba1=-1+2(1-b.), 由于4≠0，所以两式相除得2二=8) 即bm+1=2b.(n∈N,). 解得n=6. (2)依题4=子， 又6=102=2 a1+a2 故{b,}是首项为2，公比为2的等比数列. 即+ag+a4=1 3 a1+a19 +4±正=是 1+9 2)解：自1)知么=2设6号-号 21 化简得242-9-1=0，解得9=1或g=-2 则c-6=a,t-号-m+2-2 2+1 -2" 16.解：(1)依题意第1个月底的投资总金额为a1=20000 =-2+2n+1 ×(1+10%)-1000=21000, 21+1 an1=(1+10%)a.-1000, 当n=1,2时，cnl-cn>0; 即a+l=1.1a-1000, 当n≥3时，c+1-cn<0, 可化为an+1-10000=1.1(am-10000). 即c1<c2<c3>c4>c3>…, 又a1-10000=21000-10000=11000, 又6=分4=l6=是=16=2 所以数列{a.-10000}是首项为11000，公比为1.1的等 比数列， 放1==之，1=7=6 则a.-10000=11000×1.1-1, 当n≥5时，cn<1,Tn1<T., 故数列{an}的通项公式为 综上，当n=3或n=4时，Tn取得最大值， an=11000×1.1-+10000. 19.解：(1)a=2,b=3,c=4, (2)由(1)知a12=11000×1.1"+10000 第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4， ≈11000×2.85+10000=41350， 第二次“和扩充”后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4， 41350<41388, P2=9,S2=2+7+5+8+3+10+7+11+4=57. 所以小张同学将一年理财投资总资金全部取出来是不够 (2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中 的 增加一项， 17.解：(1)设an}的公差为d,{bn}的公比为9， 数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为P., 因为a2+a5=a3+9=16, 则经第(n+1)次“和扩充”后增加的项数为P.-1, 所以4=7，a4=9,d=a4-a3=2, 所以P1=Pn+(P.-1)=2P.-1, 故am=a3+(n-3)d=2n+1. 所以P.1-1=2P.-2=2(P.-1). 因为861=b4=16, 其中数列a,b,c经过1次“和扩充”后，得到a,a+b,b,b+ =6=8,即q=2,6=2, 所以(= c,c,故P=5,P1-1=4, 故{P.-1}是首项为4，公比为2的等比数列， 故bn=b1g-1=2" 所以P。-1=4×2=2,故P。=2+1+1, (2)因为an}与{bn}均为递增数列， 则21+1≥2024，即2+1≥2023. 且as0=2×50+1=101, b6=26=64,b2=27=128, 又neN,解得n≥10， 所以不等式P.≥2024的解集为[10，+∞)，n∈eN 所以当k=50+6=56时，ck=101,故k=56. (3)因为S1=a+a+b+b+b+c+c=2a+3b+2c,S2 Se=Ss6=a1+a2+…+as0+b+b2+…+b6 =3+101)×50+2×(1-22=2726 =S1+3(a+2b+c),S3=S2+32(a+2b+c), 2 1-2 依次类推，S.=Sm-1+3"-(a+2b+c), —3 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 故S.=Sn-1+3"-(a+2b+c) 6.根据题意得at1-a2=2(n≥l,neN), =Sn-2+3-2(a+2b+c)+3"-(a+2b+c) 故{a}是公差为2的等差数列， =…=S1+(a+2b+c)(3+32+…+3"-1) 所以a2=ag+2(n-9)=2n, =2a+36+2c+(a+2b+c).31-3- 又{an}各项为正，则an=√/2n, 1-3 所以2 2 =(6+)3+9 an anl √2n+2+√2n 2 若使{S}为等比数列， 2(2n+2-2n)】 （√2n+2+√2n)(√2n+2-√2m) ra+c=0, 2 ,4+C≠0， 2 =2n+2-2n, 则 或{ 6+≠0， 2 b+utc=0. 故数列 ∫2 的前24项和为(4-√2)+(6 2 Lan an+i 即存在实数a,b,c,满足的条件为a+c=0,且b≠0或2b 4)+…+(50-48)=50-2=42. +a+c=0,且b≠0. 7.设数列{an}的公差为d, 第22期3,4版参考答案 ra+d=-7, 由已知 数列核心素养综合测评 2a=5a,+5x4解得/-10， 2d,ld=3, 一、单项选择题 则s.=-10n+nn,)×3=3n,23n 1~4 DBBC 5 ~8 CADC 2 2 提示： 因为f(到)=宁(32-23)的零点为=0=号 3 1.因为根据数列1,3,5，√7,3，…， 所以If(x)](x∈N,)的最小值是靠近零点处的函数值. 所以an=√2n-I(neN), 又1S1I=10,IS,1=7,ISg1=4, 又33=√27， 所以n=8时，ISnI最小 所以2n-I=√27，解得n=14. 8.设等比数列{an}的公比为q,9>0,且am>0, 2.a=gxg×a,=2×5×a=9a,=3 3222 由意意符a1+）:20两式相除得矿=子 az a a(1+q2)=5, 3.设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1,a,…,ag 由题意可得a1+a2+a3=0.5,a,+ag+ag=2.5, 所以g=之所以a=16,放a,=2 所以3a2=0.5,3ag=2.5→a2+ag=1, 显然当n≤5时，aa2…a4<1不成立， 所以4，=十=0.5 所以n>5且neN, 2 则a1a,a.=234210(-(-245-0=292<1, 4.设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 即(9，m<0,则n>9, 由题意知a=a2ag,a4=4, 2 所以(4-2d)(4+4d)=16, 故正整数n的最小值为10. 解得d=1或d=0(舍去)，所以a1=1, 二、多项选择题 所以S。=10×1+10×9×1=55. 9.ACD;10.ACD;11.AC. 2 提示： 54=a4349=ls4= 9.根据题意，等比数列{a.}的首项为3，公比为q,(q∈ Z), 5,+1=12→2g+3+4=12, 9 若243是该数列中的一项，设243是该数列的第n项， 则2g2-9g+4=(2g-1)(g-4)=0 则a1g1=243,变形可得g-=81, 又由q∈Z,当n=2时，9=81， →91=24=4， 当n=3时，9=±9，当n=5时，9=±3. 由于a,}为递增数列，则9=4,4=4， 故选(A)(C)(D). 10.{an}的前若干项依次为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1， 所以a}的通项公式为am=4"-2, 0,· 1(1-4) 所以a5=0,故(A)正确； 所以S。= 41-4=4-0 4 由a1=1>0,am≥0，可得Sn>0,故(B)错误； 4 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 由a5=0,可得S4=S,故(C)正确； 则当n=1时，S=a1三名 S2=1+2+10×(1+1+0)=23,故(D)正确 故选(A)(C)(D) 当n≥2时，Sn=a1+a2+a3+…+am 11.设等差数列的公差为d,因为a1+3a5=S, =2+11 1 3+3京+3+…+ 3 所以a1+3(a+4d)=7a1+21d, 11 解得a1=-3d. 2,373" 5 1 + = 又am=a1+(n-1)d=(n-4)d, 3 1 1一3 2.3 所以a4=0,所以(A)正确； 因为公差d的正负不能确定， 因为当n=1时，、=子也满足上式， 所以S可能为最大值，也可能为最小值，故(B)不正确； 5 1 因为S。-S1=a2+a3+a4+a5+a6=5a4=0, 所以5=合2：3meN 所以S。=S,所以(C)正确； 因为S= 1 5 因为a+a5=2a4=0,所以a3=-a5, 623<6 即1a3I=IaI,所以(D)错误 且Sn<k对任意neN,恒成立， 故选(A)(C) 所以k≥名，即实数上的最小值为名 三、填空题 四、解答题 12a=0, 153-1:4音 l2n-1,n≥2； 15.解：(1)设{an}的公差为d. 提示： 由Sy=-a5得a5=a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2. 12.由Sn+1=n2-1+an+1得 因此an}的通项公式为am=10-2n. n≥2时，Sn=(n-1)2-1+an, (2)由(1)得a1=-4d, 两式相减得a.=n2-(n-1)2=2n-1(n≥2)， 当n=1时，S2=12-1+a2=a1+a2→a1=0, 故a.=(n-5)d,s.=n,9)4 2 故am= J0,n=1, 由a1>0知d<0, l2n-1,n≥2. 故Sn≥a.等价于n2-11n+10≤0， 13.“追梦数列a,}满足1-=0(n∈N,), 解得1≤n≤10. antl an 所以n的取值范围是{nI1≤n≤I0,neN}. 即a=3a,,则数列a,是公比为子的等比数列 16.(1)证明：由a1=1,a.=3an-1+4(n≥2) 可得am+2=3a-1+6=3(a1+2),a1+2=3., 若数列{+}为道梦数列， 即数列{a.+2}是首项和公比均为3的等比数列， 则an+2=3”,即a。=3“-2. 2)解数列c.=”=4+2 3" 则bn+1=3“,则b.=3“-1. am·a1a.·aH(3”-2)(3-2) 14.当n=1时，4=3， 2 则出= 3m+1 .(3”-2)(3"1-2) (3+1-2)(32-2) 3" 当n≥2时，由a1+3a2+9a,+…+3-a,=n+1 3 31-6<1, 3*2-2 可得a+3a,+9a,+…+32a1=3 所以c,为递诚数列，可得c,≤4=马 两式相减，可得3-a,=”+1-是 1 3-3=3 若任意正整数n,不等式cn≤2入-1恒成立， 1 则21-1≥号，即有入≥号 解得a.=3 因为当n=1时，44=子不满足上式 即A的取值范围是[号，+）小 17.解：(1)当n=1时，2a1=3a1-4,即a1=4, 2n=1, 3 所以a1+2=6, 所以an= 1 由2S.=3an-4n, ① l3r'n≥2， 当n≥2时，2S.-1=3a1-4(n-1), ② 5 高中数学人教A版选择性必修第二册 第21一24期 ①-②得2am=3am-3am-1-4,即an=3an-1+4, 所以am+2=3(a-1+2), 所以数列{日+山}是指数型致对 所以当入=2时，a.+入}是等比数列，首项为6，公比为3. (3)因为数列an}是“指数型数列”， (2)由(1)得a+2=6×3-1=2×3“, 故对任意的n,m∈N, 所以6，=n(0.+2) 有atm=an·am,则anl=an·a1, 2 =n×3", 所以an=an-1·a1=…=a= (a+3,n≥2， a+2 所以T.=1×3+2×32+3×33+…+n×3", 3T.=1×32+2×33+…+(n-1)×3"+n×3l 。=日牛号适合该式 故2T。=n×3-(3+32+…+3")=n×31- 假设数列{an}中存在三项a.,a,a.构成等差数列， 2=(-）x3+ 不妨设u<v<W, 则有2a。=a。+am, 所以7，=(2m-1)31+3 4 则2（日）=（号）°+（号） 18解：()依题意+a9+a192=14, 故2(a+3)"-(a+2)-=(a+3)"-“+(a+2)-“， l2(a19+1)=a1+a19, 当a为偶数且aeN,时，2(a+3)-(a+2)-“是偶数，而 而g>1,解得a1=2,9=2,则a.=2”, (a+3)"-“是奇数，(a+2)"-“是偶数， 等差数列{b.}中，由4b1=a2=4,得b1=1, 故2(a+3)"-"(a+2)-=(a+3)-:+(a+2)"-“不能 又4=4=8则公老1=专中=1 成立； 当a为奇数且a∈N,时，2(a+3)"-"(a+2)-“是偶数，而 bn=b1+(n-1)d=n, (a+3)"-“是偶数，(a+2)-“是奇数， 所以数列{an},{bn}的通项公式是a.=2",bn=n 故2(a+3)"-"(a+2)-=(a+3)"-“+(a+2)"-“不能 (2)由(1)知，数列{an}与数列{bn}都是递增数列， 成立； a5=32<50,a6=64>50, 所以对任意的aeN,2(a+3)-"(a+2)-“=(a+3)"-“ 因此新数列前50项中，有5项是数列a,}的前5项， +(a+2)"-“不能成立. 另45项为数列{bn}的前45项， 即数列{a.}中任意三项都不能构成等差数列. 而a1+a2+a3+a4+a=1-2=62, 第23期3,4版参考答案 6+b2+…+6s=45×()+45）=1035. 核心素养阶段测评（四） 2 所以新数列的前50项和为62+1035=1097. 一、单项选择题 19.解：(1)因为数列{an}是“指数型数列”， 1~4 CBCB 5~8 ADBA 所以对于任意的n,m∈N,都有atm=an·am 提示： 因为a=2, 1.由am=2+(-1)“×2得， 所以a=a1·a1=2×2=4, a3=32-2=7,a4=42+2=18. a3=a1·a2=2×4=8. 2.若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行， (②)数列什+}是“指数型数 则a-1=0a=l: a+1≠0 证明：由a,=2a,a1+3a1得1=3+2， 若a=1,则直线x+y-1=0与直线x+y+1=0平行， 所以直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行是a= 即+1=安小， 1的充要条件 3.因为p在基底{a,b,c}下的坐标是(1,3,2)， 所以数列{位+1}是等比数列，且+1-3 所以p=a+3b+2c, a 设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), 则站+1（日+）×3=33=3”， 则p=x(a+b)+y(a-b)+zc (x+y)a+(x-y)b+zc, (合+1(+1）=33=3 因此a+3b+2c=(x+y)a+(x-y)b+2c, 1+1=3+m 所以x+y=1,x-y=3,2=2, 即x=2,y=-1,z=2, -6 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 即向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(2，-1,2). 则点M到y=-名x(即bx+ay=0)的距离为 4.由等差数列的性质知 a1+ag=2a5,a1+am=a5+a-4, bc be 2+2 子101-号 因为S,= _9(a+a）=9a,=18,故a=2, Va +b 2 又5，=aa=na1）=240, 解得9a=5c,则双曲线的离心率e=￡=35 5 2 2 8.如图2，由题可知F(1,0), 故0(2十30=240，所以n=15. 2 5.当直线的斜率不存在时，直线x=4满足与点A(1,2)距 离为3，且与点B(3,2)距离为1， 以点A(1,2)为圆心，1=3为半径的圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=9, 以点B(3,2)为圆心，2=1为半径的圆的方程为 图2 (x-3)2+(y-2)2=1, 设A(x0,0),x0>0,0>0, 因为1AB1=2=r1-2,则两圆相内切， 则1AFI=x。+1=4,所以x=3, 故两圆的公切线有且仅有1条，即x=4, 则y0=25,A(3,23) 故在坐标平面内，与点A(1,2)距离为3，且与点B(3,2) 距离为1的直线共有1条。 放w2 6.如图1，以D为原点，以DA,DC,DF所在直线为x轴，y 所以∠AFx=60°， 轴，z轴建立空间直角坐标系。 则直线！的倾斜角 a=60°+45°， 所以直线！的斜率 k=am(60°+45)=5+号：-2-5， 1-3 图1 所以直线l的方程为y=（-2-5)(x-1), 则A(2,0,0),E(2,3,2),C1(0,3,4),G(1,3,0), 联立y=(-2-5)(x-1), 所以AC=（-2,3,4),A正=(0,3,2)， ly2 =4x, c=(1,0,2) 可得(7+43)x2-(18+83)x+7+45=0. 设C(x1y1),D(x2), 设n=(x,y,z)为平面AECF的法向量， 则·正=0， 3y+2z=0, 期+5=15+85=30-16g， 所以 7+45 n…4G=0, -2x+3y+4z=0, 所以1CD1=x1++2=32-165. 令：=1，所以n=(（山，-子1 二、多项选择题 9.ABC;10.AD;11.ABD. 所以点C到平面AEC,F的距离为 提示： d=1·nl-922 9.由题可得T2=a1a2=ag>0, I nl 22 双曲线为 -=1(a>0,b>0)渐近线方程为 则a=经>1a-头<1用a,>1>4a a y±6 所以a=4g>1a<女<1 , 由0F的垂直平分线为x=分， 所以a4>0,0<g=4<1,故(A),(B)正确： a 所以T=a1·a·a3·a4·a5=a>1, 将=分代人y=则y=会 a T6=a1·a2·a·a4·a5·a6=(a3·a4)3<1,故(C)正 确，(D)错误. 则交点坐标为M(行，2二)， 故选(A)(B)(C). 7 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 0当A>0时方程-兰-4=0北为号-云=1 设e,0.o(-29≤a≤2）0e 曲线C是焦距为2√4+4入=4√+入的双曲线，(A)正确； 设Cd=AC,A∈[0,1]，得Q(0,2-2λ，2入)， 当4<-1时办程2关4=0化为号=1， 1PQ1=√(-a)2+(2-2)2+(2)7 曲线C是焦点在y轴上，焦距为2√4(-A)-4= =√+8(A-2)+2, 4√一1-A的椭圆，(B)错误； 当x=-1时，曲线C表示圆x2+y2=4,(C)错误； 当a=0且A=子时，1PQm=E,放(B)正确： 当-1<A<0时方程2-号-4=0化为号+亡 当P,Q分别为线段BD,CA的中点时，P(0,0,0),Q(0,1, =1,曲线C是焦点在x轴上，焦距为 1.可=01)而=(290，-2 2√4-4(-入)=4√个+入的椭圆，(D)正确. 设PQ与AD所成的角为0， 故选(A)(D). 则cos0=JPd·A 2 6 11.取BD的中点0，连接OA,OC. I POIL ADI /16 4 ×N3 在菱形ABCD中，AB=45,∠BD=60 所以PQ与D所成角的余弦值为故(D)正确 所以0A=00=A8n60:=9×9=2 2 故选(A)(B)(D) 三、填空题 因为AC=22,所以0A2+0C2=AC2, 所以OA⊥OC. 12(x+1)2+(y+3)2=1;13. 14:14.4 又因为AB=AD,O为BD的中点，所以OA⊥BD, 提示： 同理可得OC⊥BD. 12.设圆心C(a,b)(a<0,b<0), 因为OA⊥OC,OA⊥BD,OC∩BD=O,OC,BDC平面 圆C:(x-a)2+(y-b)2=1, BCD,所以OA⊥平面BCD.因为OAC平面ABD, 依题意有a=-1,圆心C(a,b)到直线4x-3y=0的距离 所以平面ABD⊥平面BCD,故(A)正确； 又OA⊥BD,OA⊥OC,OC⊥BD, 为=43b1=1, 5 故以0为原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立 解得6=-3或6=宁（舍去） 如图3所示的空间直角坐标系， 所以圆C的标准方程为(x+1)2+(y+3)2=1. 13.平面α的方程为x-2y+3z+3=0, 所以平面a的法向量为m=(1,-2,3), 平面2x-y+2=0与平面x-2z+1=0的法向量分别为 m1=(2,-1,0),m2=(1,0,-2), 设直线l的方向向量为n=(x0少。，)， 图3 则m=0即26-6=0取n=24,, 则a(25.00.c0.20)40.0,2).n(-250.0 ln·m2=0,lx0-2z0=0, 设直线l与平面α所成的角为0， 当AQ=QC,4PD=DB时， 则sin9=lcos(m,n1=mn Im·nl 001,0.P(-00 3 = =14 成=(1.1=(90.0 14×2I 14联立+a:=18, 所以点D到直线PQ的距离为 a2a3=a1a4=32, 可得=之 fa1=16, la4=16la4=2. 又因为数列{an}是递增的等比数列， 年，故（©）错误： 所以4,2， la4=16, 8 高中数学人教A版选择性必修第二册第21~24期 则公比g=2,a.=2",S46-Sk=al+ak2+…+ak46 -2122=21-2, 1-2 所以S6-S=27-2=21-2,所以k=4. 四、解答题 15.解：(1)由题意得边BC上的高所在直线的斜率为1， 则直线BC的斜率为-1， 图4 所以直线BC的方程为y=-(x-1),即x+y-1=0. 期(-2号0），c0万.0).r0,0 (2)设A(,少)，因为AC边上的中线所在直线的方程为y =3,且61,0.所u”=3,则0=6 所以成=（9号，-，元=0反.-1. 因为BC边上高所在直线经过点A, 设平面PBC的法向量为m1=(x,y,z), 所以0-y0+1=0,则x0=0-1=5, 故A的坐标为(5,6). am-+5-=0, 则 16.解：设{an}的公差为d, n,·P元=2y-z=0, 由a。=q,a,=p得a。-ag=(p-q)d=g-p, 令y=1,则x=-1,z=2,得n1=(-1,1,2), 因为p<9,所以p-9≠0， 由题意得n2=(0,1,0)为平面PAD的一个法向量， 所以d=-1,a+4=a,+9qd=9-9=0, 所以p+9-3=0,P+9=3, m=是=分 所以1cos(n,n,)1=1=2x1 因为p<9,所以p=1,9=2, 则(n1,2〉=60°， 由a。=9得a1=2, 故平面PBC与平面PAD的夹角为60°. 所以an=a1+(n-1)d=2-(n-1)=-n+3. 18.(1)解：若入=0，则a=2an (2)由(1)得a.=-n+3,所以a4=-1,a5=-2, 因为a1=1,且数列{an}各项为正， 故a4,a5,a1,a2,…,a.是首项为-1，公比为2的等比数 列 所以a=2a1=2,则a2=√2， 所以a,=-1×21=-21， 所以aG=2a,=22=22,则a,=22 由am=-n+3得a6=-b.+3, (2)证明：若入=3，则a21-2an=3. 所以-b。+3=-2+1,所以bn=21+3. 因为a+-9=2(a-3), 17.(1)证明：因为AB⊥BC,2AB=2BC=2,AB∥CD, 即(a1-3)(a+1+3)=2(a.-3) 所以AB=BC=1,∠ACD=∠BAC=45°， 一方面，am1-3与am-3显然同号. AC=√AB2+BC=2. 因为a1-3<0,所以am-3<0,即a<3. 在△ACD中，CD=2.由余弦定理可知 AD2=AC+CD2-2AC·CDeos,∠ACD ,3-a1-2 另一方面，3-a am1+3 =(a)+2-2×万×2×号=2， 由a1=2an+3>3,得a+1>5>1, 故AD+AC2=CD2,所以AD1⊥AC. 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD= AC,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面PAC, 所以3-4<(3-4)×7<…<3-4，)×（合） 又因为ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAC. (2)解：因为AD⊥平面PAC,PAC平面PAC, (3）广(a≥2. 所以AD⊥PA.又因为CD⊥PA, CD∩AD=D,所以PA⊥平面ABCD. 所以,>3-(分)(n≥2)， 因为AB∥CD,所以∠PBA是异面直线PB与CD所成角， 即∠PBA=45°， 又因为4=1，所以a≥3-（分） -2 所以m∠Pa==1,所以PA=AB=l 综上可得3- ()≤a<3 以点A为坐标原点，AD,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴 19.解：(1)如图5，以FE所在的直线为x轴，FE的中点0 建立如图4所示的空间直角坐标系. 为原点建立平面直角坐标系， 9 高中数学人教A版选择性必修第二册 第21~24期 =×银g×4E =321k1(1+2) (1+42)(4+2) 音>9得2> 图5 整理得4-F-4<0,得-子<<2。 设M(x,y)为椭圆上一点，由题意可知 又2>0，所以0<2<2， I MFI+I MEI =I AEI =4 >I EFI =23, 所以-2<k<0或0<k<√2， 所以点M的轨迹是以F,E为焦点，长轴长2a=4的椭圆， 所以k的取值范围为(-2,0)U(0,2) 因为2c=25,2a=4, 所以c=5,a=2, 第24期2版参考答案 则b2=a2-c2=1, 专项小练一 所以椭圆C的方程为聋+子=1. 1.A;2.D;3.ABC (2)由(1)知D(0,-1), 4.9:5.f3)<f2<f10. 3 2 所以直线4y=-1(k≠0)，6y=-冬-1，如图6所 6.解：(1)△s=s(20+△t)-s(20) =10×(20+△t)+5(20+△t)2-10×20-5×202 示， =10△t+200△t+5A =1+20+0.05=21.05, 4s=21.05 △t-0.1 =210.5. (2)由(1)知A=10y+20+5Y-210+5a, D △t △t 图6 当△趋于0时，A趋于210， 设M(x1y),N(x22), At 所以赛车在t=20时的瞬时速度为210m/s. 2 联立年+=1整理得(1+4)2-8=0， 专项小练二 Ly =kx -1, 1.A;2.D;3.BC. 8k2 所以有=1中4纸，所以方=1十4级1， 4.3:5.y=(2+22)x-(2+22)或y=(2-22)x -(2-22) 所以IDMI=√+(1+1) 6.解：点P(1,1)处的切线的斜率 64k 64h4 = √(1+4)+(1+4) k=limf1+h）-f山-lim] n Ith-1 0 h =81处+胶 1+4h2 -1 =四+h=-1, 4+=1, 故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0, 联立 整理得(4+2)x2+8kx=0, 1 令x=0,y=2,则B(0,2), y=- x-1, 令y=0.x=2,则42.，0)，则5s=之×2×2=2 8 所以6所以为二 第24期3,4版参考答案 所以IDN1=√+(y2+1)了 导数的概念及其意义同步核心素养测评 64k2 64 =√4+)+4+了 一、单项选择题 1~4 CBBA 5~8 ABBA 8 4+原1+， = 提示： 所以SAn=之IDMI-I DNI 1.根据平均变化率的定义，在35m范围内，当水深每增加 5m时，水库储水量的平均变化率依次为： 1017.(15分)如图4，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角 18.(17分)已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,a21- 19.(17分)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品 梯形，其中AB⊥BC,AB∥CD,CD=2AB=2BC=2,平面PAC⊥ 2a。=λ. 的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容， 平面ABCD. (1)若入=0，求a2,a3的值 例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图5）， (1)证明：平面PAD⊥平面PAC; 步骤1：设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点，标记为F; (2)若CD⊥PA,且异面直线PB与CD所成角为45°，求平面 (2)若=3，证明3-（分）”≤a.<3 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F: PBC与平面PAD的夹角. 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图6）. 已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形 纸片，设定点F到圆心E的距离为2B,按上述方法折纸 (1)以点F,E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围 成的椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的下顶点为D,过点D作两条互相垂直的直线11， 12,这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M,N.设l,的斜率为 高中 s(长≠0，△DMN的面积为S,当，>5时，求k的取值范三 9 数学 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）核心素养阶段测评 图6 选择性必修第二册（人教A版）棱心素养阶段测评 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2025年12月15日·星期 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 第 23期总第1167期 人教A 0351-5271248 选择性必修第二册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-289 名人名言 例1如右图，过点 例2已知椭圆C过点A(1,),两个焦点分 关键词：坚持 0.的后+ 名师课堂 是三 积累，行动，务实 1(a>b>0)的离心率为 剖析圆锥曲线中的 别为(-1,0)，(1,0) 1.一尺之棰，日 (1)求椭圆C的标准方程； 取其半，万世不竭」 ?,椭圆与x轴交于两点 单定值前题 (2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线 4E的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线 一庄子 A(a,0),B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于 2.谁终将声震人 ○湖南杨辉平 EF的斜率为定值，并求出这个定值. 另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD 间，必长久深自缄 交于点Q. (2)证明：当直线1与x轴垂直时与题意不 (1)解：椭国的标准方程为对+亏=1（过 符，故直线与x轴不垂直，即直线的斜率存在 默；谁终将点燃闪 (1)当直线1过椭圆右焦点时，求线段CD 程略) ① 电，必长久如云漂泊 的长； 设直线1的方程为y=x+1(k≠0且k≠ (2)证明：设直线AE方程为y=k(x-1)+ 一尼采 (2)当点P异于点B时，证明：0P.00为定值 3.是以太山不 （1)解：由题意知6=1，：=5，解得a=2, 多，代入①得(3+4)F+3-2)+ 让土壤，故能成其 2 代入椭圆方程得(4k2+1)x2+8kx=0, 大；河海不择细流， 故能就其深。 所以椭图的方程为景+广 -8k 43-°-2=0 解得1=0,2=4+1 设E(xE,yE),F(xr,yr), 椭圆的右焦点为(5,0)， .1-42 一李斯《谏逐客书》 代入直线1的方程得y=1,=4+ 因为点A1,多)在椭圆上，所以 此时直线的方程为y=- 4.放弃一切东西 3x+1, 所以点D的坐标为（二8k,14桃 43-°-2 比人们想象的要容 4k2+1'4k2+1/ 3 代入椭圆方程得7x2-85x=0, XE= 3+4h2 E=kxg+-k 易些，困难在于开始 —茶川龙之介 解得x1=0,,=8 又直线AC的方程为2+)=1， 又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反 7 1+2k 数，在上式中以-飞代k,可得xp= 5.天下难事，必 代人直线1的方程得y1=1,y2=一 1 直线BD的方程为y=24x+2), 作于易；天下大事， 联立解得x=-4h,y=2k+1, 43+°-2 3 必作于细.—老子 所以点D的坐标为8,5 因此Q(-4k,2k+1). 3+4k2 :=kxr+2+h, 6.人的主罪有 又点P的坐标为-合 所以直线EF的斜率 二，其余皆由此而来： 故ICD|= 85-0+(-7-1 如-：)+2达 7 2 急躁和懒散由于急 所以0丽.00=(-)×(-4)=4. XF-XE XF -XE 16 躁，他们被逐出了天 =71 故0P.00为定值， 即直线EF的斜率为定值，其值为分 堂；由于懒散，他们 再也回不去 专题铺) 二、利用法向量求二面角 三、利用法向量证面面垂直 一卡夫卡 例2在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是 例3如图3，在棱长为1的正方体ABCD- 7.做事不可迟缓 正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面A'B'C'D'中，AP=BQ=b(0<b<1),截面 言谈不可杂乱思想不 法向量的应用例析 ABCD.求平面VAD与平面VDB的夹角的余弦PQEF∥A'D,截面PQGH∥AD'.证明：平面 可游移，灵魂不可完全 PQEF⊥平面PQGH ◎河南刘文珺 解析：取AD的中点O 倾注于自身或者过分 则VO⊥底面ABCD.建立如 焦躁不安，生活中不 一、利用法向量求线面角 图2所示的空间直角坐标系 例1在棱长为1的正方体 可始终忙碌不止」 Oxyz. ABCD-AB,C1D1中，求AB 设正方形ABCD的边长 一奥勒留《沉思录》 与平面A,C,B所成角的正弦 为1，则A20,0 修3 8.人可以走向 值 证明：以D为原点，射线DA,DC,DD'分别 解析：建立如图1所示的 图1 天堂，不可以走到天 空间直角坐标系Dxz,则A(1,0,1),B,(1,1, 31,0)D(20.oo0. 为x,y,z轴的正半轴建立如图4所示的空间直角坐 堂.一史铁生《病隙 标系Dxyz. 碎笔》 1),C(0,1,1),B(1,1,0),于是AB=(0,1, 可知AB=(0,1,0)是平面VAD的法向量. 由题意得DF=1-b, 9.天可补，海可 -1),A1C1=(-1,1,0),A1B1=(0,1,0). 设n=(1,y,2)是平面VDB的法向量，则 则有D(0,0,0),A(1,0,0),A'(1,0,1), D'(0,0,1),P(1,0,b),Q(1,1,b),E(1-b,1,0) 填，南山可移.日月 设平面4GB的法向量为1=（以，则1g=0-1y)(分1，-=0， 既往，不可复追. m·A店=0，y-z=0,)=, ln·A,C=01-x+y=01y=x n·BD=0l(1,y,）·(-1,-1,0)=0 F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1) 于是P0=(0,1,0),PF=(-b,0,-b), 一曾国藩 「y=-1, 取y=1,得n=(1,1,1). Pi=(b-1,0,1-b),4D=(-1,0,1), 10.志在顶峰的 设直线AB,与平面A,C,B所成的角为0， 人，决不会因留恋半 A'D=(-1,0,-1) 山腰的奇花异草而 则sin6=1cos(n,4,店)1=1n·A店 所以1cos(42,n)1=10-1+01 1×②7 因为AD.P0=0,AD.PF=0, I nll AB 停止攀登的步伐. 3 所以AD是平面PQEF的法向量. 10+1+01 一高尔基 = 3 ② 因为A'D.P0=0,A'D.P7=0, 3×1 71 即直线A,B,与平面A,C,B所成角的正弦值 所以平面VAD与平面VDB夹角的余弦值为 所以A'D是平面PQGH的法向量. 节③ /21 因为AD.A'D=0,所以AD1ND, 即平面PQEF⊥平面PQGH. 21 素养专练 数理极 点评：求到两定点A,B的距离分别为定长1， 有关的词 直线与圆 9 ,2的直线的条数问题，可转化为求两圆公切线的条 三、线圆方程的应用之几何意义 数问题，即转化为两圆位置关系问题 例4如果实数x,y满足x2+y2-4x+1=0, 知识点详解 二、线圆方程的应用之对称性 (1)求Y的最大值；(2)求y-x的最小值 例3在物理放射性实验中，一粒子从点 A(-3,3)发出，射到临界面x轴上，反射以后经过 解：(1)x2+y2-4x+1=0可以化为 。山西张丽丽 的路线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切进入 一 、位置关系的判定 铅制收集箱.求粒子从点A发出时经过的路线所在 (x-2)2+y=3.则表示 例1已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,直线 的直线1的方程。 圆上的点与原点连线的斜率.由图 1:x+y-10=0,则当r满足什么条件时，圆C与直 解：将圆C的方程写成标准方程为 2可知，当直线O4和圆相切时，且 线1(1)相交：(2)相切：(3)相离 (x-2)2+(y-2)2=1. 切点在第一象限时，k1即为所求 图2 A-33) 解：圆心为C(1,1), 因为路线经x轴后反射， 的最大值 圆心C到直线l的距离 所以粒子从点A发出时经 4=1+1-101=42. 由0C=2,AC=√3，∠0AC=90°， 过的路线所在的直线1一定与 √2+1 可得∠A0C=60°，所以k4=√3. 圆C关于x轴的对称圆C,相 则(1)当r>4√2时，圆与直线相交； 切.如图1. 图1 即X的最大值是. (2)当r=42时，圆与直线相切； 因为C(2,2),所以C,(2,-2),半径r=1. (2)设y-x=b,则y=x+b, (3)当r<4√2时，圆与直线相离 设1的方程为y-3=k(x+3), 所以b为直线y=x+b在y轴上的截距， 点评：直线与圆的位置关系，共有三种，可利 即kx-y+3k+3=0. 当直线与圆相切且切点在个 用圆心到直线的距离与半径的关系求解，也可联 因为直线l与圆C,相切，则点C,到的距离等 第四象限时，b最小，如图3. 立直线与圆的方程，但较为复杂. 于圆的￥径，即2k+2+3张+3】=1 例2求两圆C1:x2+y2-2x-35=0,C2:x2+ √+1 由2+1=5， √2 y2-26x-10y+145=0的公切线的条数. 图3 解：先把两圆的一般方程化为标准方程： 解得=号或及=子 解得b=-6-2或b=6-2(舍去) C1:(x-1)2+y2=36, 分别代入直线方程，整理得直线1的方程为 所以y-x的最小值为-√6-2. C2:(x-13)2+(y-5)2=49 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 点评：此类问题涉及的知识点包括斜率，相 因为1C,C21=13=1r1+r21,所以两圆外切 点评：解决与圆有关的对称问题，要注意题中切，线距，点距，最值等，比较综合，同学们重点在 所以两圆有3条公切线 隐含的信息，本例中“反射”是一个常见的与对称 于掌握其包含的基础知识， 第22期3,4版参考答案 所以T。=(2n-1)31+3 4 (+(+1=33=3 一、单项选择题 L+1=3m, 1~4 DBBC 5~8 CADO 18解：(1)依题意+a9+ag2=14, 2(a19+1)=a1+a92, 二、多项选择题 而q>1,解得a1=2,9=2,则a=2, 以数列化+}是指数数 9.ACD;10.ACD;11.AC. 等差数列1b,}中，由461=a2=4,得61=1 (3)因为数列1a.}是“指数型数列”， 三、填空题 故对任意的n,meN, 2w=8-12 n=13-14 又4=a=8,则公差4-为合-1， bn=b1+(n-1)d=n, 有atm=aa·am,则al=a·a1, 四、解答题 所以数列{an},{bn}的通顶公式是an=2“,bn=n. 所以a.=4a=…=a=(日号)n≥2. 15.(1)a,=10-2n (2)由(1)知，数列{an}与数列{bn}都是递增数列， (2)nl1≤n≤10，neN}. a5=32<50,a6=64>50 “=8号适合该式 16.(1)a,=3”-2.证明略. 因此新数列前50项中，有5项是数列{a}的前5项， 假设数列{a,}中存在三项a,a,an构成等差数列， (2)[号+m） 另45项为数列{b.}的前45项， 不妨设u<v<0, 则有2a。=a.+am, 17.解：(1)当n=1时，2a1=3a1-4,即a1=4, 而a卡+%+a+%号=@， 所以a1+2=6, 6+6,+…+b4=45x(号+45】-1035. 则2()=(+号)广+() 2 由2Sm=3an-4n, 0 故2(a+3)-"(a+2)-=(a+3)-+(a+2)"-“, 所以新数列的前50项和为62+1035=1097. 当n≥2时，25-1=3a-1-4(n-1), ② 当a为偶数且aeN,时，2(a+3)-(a+2)-“是偶 19.解：(1)因为数列1a,}是“指数型数列”，所以对于 ①-②得2a=3a.-3a-1-4,即a.=3a-1+4, 数，而(a+3)"-“是奇数，(a+2)-“是偶数， 任意的n,m∈Nt,都有anm=an·am因为a1=2, 故2(a+3)"-(a+2)"-=(a+3)w-“+(a+2)-“不 所以an+2=3(an-1+2), 所以a2=a1·a1=2×2=4, 所以当入=2时，{am+A}是等比数列，首项为6，公比 能成立； a3=a1·a2=2×4=8. 为3. 当a为奇数且aeN时，2(a+3)-(a+2)-“是偶 (2)由(1)得am+2=6×3"-1=2×3", (②)数列仕+小是指数外 数，而(a+3)"-“是偶数，(a+2)"-“是奇数， 故2(a+3)"-“(a+2)"-“=(a+3)"-“+(a+2)"-“不 所以4，=a,+2）=n×3, 证明由a.=2+得。+2 2 能成立； 所以Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3", 即+1=3（日+1， 所以对任意的a∈N,2(a+ 3Tn=1×32+2×33+…+(n-1)×3"+n×3"1 3)"-"(a+2)"-“=(a+3)-“+(a+ 故2T.=n×31-(3+32+…+3")=n×31- 所以数列位+}是等比数列.且财+1=3 2)"-“不能成立 302=(n-7）×3+2 则哈+1=(d+×3=33=3 即数列{a.}中任意三项都不能 1-3 构成等差数列 且直线l与抛物线交于C,D两点，则1CD1= 14.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=18,a2a3=32. (A)32-165(B)32-162(C)16-85(D)16-82 若{an}的前n项和为Sn,且S46-S4=21-25,则正整数k等于 核心素养阶段测评（四） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.已知等比数列{an}的公比为q(g>0),前n项积为Tn,若T 四、解答题：本题共5小题，共77分 测试范围：选择性必修1~4章 >T,>T4,则 ( 15.(13分)已知△ABC的顶点C(1,0),BC边上的高所在直线 ◎数理报社试题研究中心 (A)a1>0 (B)0<g<1(C)T>1 (D)T6>1 的方程为x-y+1=0. 第I卷选择题（共58分) 0由线c的方程为产-关-4=0，则 (1)求直线BC的一般式方程； ( (2)若AC边上的中线所在直线的方程为y=3,求顶点A的坐 (A)当入>0时，曲线C是焦距为4√T+入的双曲线 标 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 (B)当入<-1时，曲线C是焦距为4√-入的双曲线 1.已知数列{an}的通项公式是an=n2+(-1)”×2,则其第3， (C)曲线C不可能为圆 4项分别是 ( (A)9,14 (B)9,18 (C)7,18 (D)7,14 (D)当-1<入<0时，曲线C是焦距为4√个+入的椭圆 2.设a∈R,则“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平 IⅡ.如图2，在菱形ABCD中，AB=4,5 ,∠BAD=60°，沿对角线 警 行”是“a=1”的 ( (A)充分不必要条件 (B)充要条件 BD将△ABD折起，使点A,C之间的距离为2万（如图3）.若P,Q分 高中数学· (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 别为线段BD,CA上的动点，则下列说法正确的是 选择性 3.若向量p在空间的一组基底a,b,c}下的坐标是(1,3,2)，则 必 p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是 修第一二 (A)(4,-2,2) (B)(2,1,2) (C)(2,-1,2) (D)(1,3,2) 册 4.等差数列{an}中，若S,=18,Sn=240,an-4=30,则n= 选择性必修第二册（人教 图2 (A)平面ABD⊥平面BCD A (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 16.(15分)已知数列{an}是等差数列，且a,=q,a,=p(p< A 版 5.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为3，且与点B(3,2)距离为 (B)线段PQ长度的最小值为2 9）,ap+g=p+9-3 版 核 1的直线共有 ( ) (C)当40=QC,4Pm=nB时，点n到直线P0的距离为任 (I)求p,9的值及数列{an}的通项公式； 核 心 素 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 (2)若a4,a5,a1,a2,…,a.成等比数列，求数列bn}的通项公 养阶 6.如图1所示的多面体是由底面为ABCD (D)当P,Q分别为线段BD,CA的中点时，PQ与AD所成角的余 式 心素养阶 段测 的长方体被截面AEC,F所截得到的，其中AB =3,BC=2,CC,=4,BE=2,则BC中点G 滋值为9 段测评 到平面AEC,F的距离为 ( a品 (B)32 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 11 (C)322 (D)9②2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 22 22 12.若圆C的半径为1，圆心在第三象限，且与直线4x-3y=0 7.设F为双曲线号 y 和y轴都相切，则该圆的标准方程是 a2-62 =1(a>b>0)的右焦点，0为坐标原 13.已知空间直角坐标系x0y中，过点P(x,o,0)且一个法向 点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐 量为m=(a,b,c)的平面a的方程为a(x-xo)+b(y-o)+c(z 近线的距离为子1OF1,则双曲线的离心率为 ( )=0,过点P(xoyo,o）且方向向量为n=(u,u,w)(uww≠0) ) 的直线的方程为0=)二=二4，用以上知识解决下面问 (B)35 10 (A)25 5 (C)25 (D)5 题：已知平面α的方程为x-2y+3z+3=0,直线l是两个平面2x- 8.设抛物线T:y2=4x的焦点为F,A为抛物线上一点且A在第 y+2=0与x-2x+1=0的交线，则直线1与平面α所成角的正弦 象限，IAF1=4,若将直线AF绕点F逆时针旋转45°得到直线1， 值为