第19期 空间向量与立体几何 数学建模核心素养综合测评-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 发理极 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期(2025年11月) 第17期3,4版参考答案 所以Di=(0,0,a),M正=（-1,1，号） 空间中的角同步核心素养测评 因为cos(D亦，A正=5 3 一、单项选择题 a 1~4 CDCB 5~8 DBBA 所以一 DP.A正 2 5 I DPII AEI 3 提示： a× /2+ a 1.因为两个半平面的法向量所成的角为牙， 解得a=2,所以点E的坐标为(1,1,1) 6.如图1，以点A为坐标原点，AB,AD,AA的方向分别为x 所以这个二面角的平面角的大小为？或智 轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。 2.因为m·n=(1,0,1）·(-3,1,3) =-3+0+3=0. 所以m⊥n, 所以平面α与B所成的角等于90° 3.设AB=a,AD=b,AA=c, 图1 则由题意知Ia1=2,1b1=3,Ic|=3, 设正方体的棱长为2，则A(0,0,0),E(2,0,1),F(0,2,1), 三向量a,b,c两两之间的夹角都是牙 C(2,2,0). B C=BC-BB'AD-AA'=b-c, 所以C正=(0，-2,1)，C=(-2,0,1) BD=AD-A店=b+c-a, 可求得平面ECF的一个法向量为n=(1,1,2). 设平面ECF与平面ABCD的夹角为a. 故B,元.BD=(b-c)·(b+c-a) 因为m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量， =b2-a·b-c2+a·c 所以cos0=cos(m,n〉= 2 =9-2×3×c0s号-9+2×3×c0s号=0， 3 由图可知平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角为 即B亡1BD,所以B,C与BD,所成角的大小为受 锐角， 4.直线CD与平面ABC所成角的正弦值为 所以平面ECF与平面ABCD所成二面角的平面角的余弦 1emm,1=m=停 值为号 1m11CD15×5 15 7.由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC,故以点O为坐标原 5.设IPDI=a(a>0), 点，以平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为x轴，OC,OS分 则4(20.0)，B(2,2.0),P(0.0,a).E1,1,号） 别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图2， 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 设二面角M-BC-A为a, 则cosa=1cos(m,n〉1= m·n _30 = I m l l n l 10 所以二面角M-BC-A的平面角的余弦值为3而 10 B 图2 二、多项选择题 设0A=0B=1,SA=5,则0S=2, 9.ABC;10.AC;11.ABD. 提示： 则40，-10.c01.0s0.0,2,M(0,-1 9.对于(A),两条异面直线所成的角与这两直线的方向向 因为a∠B0c=子 量所成的角相等或互补，(A)错误； 对于(B),直线的方向向量与该平面法向量夹角与直线与 所议m∠B0C:V个-aZB0C-夸可得 平面所成的角相加或相减等于90°，(B)错误； (停 对于(C),二面角的大小等于该二面角两个面的法向量的 夹角或补角，(C)错误； 所以店=（子，-2，成=(0，-子，， 对于(D),若二面角两个面的法向量的夹角为120°，则该 二面角的大小等于60°或120°，(D)正确。 所以cos(SB,Ci) -1-2 故选(A)(B)(C). 10.对于(A),因为b=-2a,且41,2不重合， --665 65, 所以41∥2，(A)正确； 对于(B),因为c·m=6-4-2=0,所以c上m, 故异面直线SB与CM所成角的余弦值为5⑤ 65 所以l∥a或lCa,(B)错误； 8.如图3，过A作AE⊥CD,垂足为E,则DE=1, 对于(C),因为4·v=-6+8-2=0, 所以a⊥B,(C)正确； 对于(D),记直线l与平面a所成角为0， 则sin0=1cos(d,n〉I= 1 2×2=2 3 因为0e[0,受]，所以0=石，(D)错误 以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴 故选(A)(C). 建立如图3所示的空间直角坐标系， 11.如图4， 则80.1,0).c(251,0,M(E,-） D 成=(，-子）成=2,0.o. 设平面MBC的法向量为m=(x,y,z), 图4 m·BC=22x=0, 以A点为坐标原点，以AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y 则 m,成=万x-子y+子=0， 轴、z轴建立空间直角坐标系： 取m=(0,1,3). 则A(0,0,1),B(3,0,0),C(5,1,0),C1(5,1,1), 取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), D(0,1,0),D(0,1,1),则AC=(5,1,-1). -2 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 设P(x,y,z),则A1=(x,y,z-1) 所以P(5A,A,1-A),D,P=(5A,A-1,-A) 对于(A),当A1C=2A1P时，5=2x,1=2y,-1=2(z- 由A,C.D产=(5)×5+(-1)+(-)×(-1)= 1), 0解得A=了，所以A户=4C,即C=5A产，故(D)正确 所以P()，所以=() 故选(A)(B)(D) 平面ABCD的法向量为A1A=(0,0,-1) 三、填空题 所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 I cos(A A,BP)I= AA·B 1AAI BPI 提示： 12.建立如图5所示空间直角坐标系，设正方体的边长为 对于(B),当A1C=3A1P时，5=3x,1=3y,-1=3(z D,所以P(停号号)所以=（停，-子-号）月 设平面BDC的法向量为n=(x',y',z), CD=(-5,0,-1),CB=(0,-1,-1), mG团=0得：=0 由 B [n .CB=0 -y'-z'=0, 图5 取n=(1,6,-),所以D立.n=x1+(-子） 则C(0,2,0),E(1,0,2),F(2,1,0), C2=(1,-2,2),C=(2,-1,0) ×万+（-号）×(-万)=0，故(B)正确： 所以cos∠ECF= CE.CR 、4 ICEII CFI 3x 15 对于(C),当A1乙=4A1P时，W5=4x,1=4y,-1=4(z- 13.由题意得，直线1的方向向量为1=(2,3，-1)，平面 1),所以P5,13】 44,4 的法向量为1=(2，-7,1)， 设直线1与平面α所成角的大小为0， 平面A4,D1的法向量记为AB=(5,0,0), 则sin6=|cos(n1,m1〉|= 设平面APD1的法向量记为m=(a,b,c), 123,-)(2.-70业-14-21-是=T 币=(4)0=0,1，， 4+9+1×√4+49+1√/14×54 7 14.将该“阿基米德多面体”放人正方体中， m·A=0, 1 -b+ 平面EFG和平面GHK为有公共顶点的两个正三角形所在 由 得/4a+ 4 4=0, LmAD=0b+c=0, 平面， 建立如图6所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 取m= 2 31,-1月 显然二面角A1-AD,-P的平面角为锐角， 所以二面角A1-AD,-P的平面角的余弦值为 1cos(AB,m〉1= AB·m 1ABII mI =,故（©）结误： 图6 对于(D),若A元.DP=0,AC=(5,1,-1),AP= 则E(1,0,2),F(2,1,2),G(2,0,1),H(2,1,0),K(1,0,0), 入AC(0≤入≤1). 设平面EFG的法向量为m=(x,y,z), 因为AP=(x,y,2-1),所以5入=x,入=y,-入=z-1, E=(1,1,0),E元=(1,0，-1)， —3 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 EF.m =x+y=0, 因为点P是AC的中点，则PD⊥AC,PB⊥AC. 所以 取m=(1,-1,1) LEG.m =x-z=0, 因为PD∩PB=P,PDC平面PBD,PBC平面PBD 设平面GHK的法向量为n=(a,b,c), 所以AC⊥平面PBD,因为ACC平面ACD, Gi=(0,1,-1),G尿=(-1,0，-1)， 所以平面ACD⊥平面BDP. rGH·n=b-c=0, (2)解：如图7，作CE⊥BD,垂足为E,连接AE. 所以 取n=(1,-1,-1) G尿n=-a-c=0, 设平面EFG和平面GHK所成二面角的平面角为O, n·n 则eos0=os(m,m〉=1mm=万x5=3 图7 显然0为锐角，所以所求角的余弦值为了 因为Rt△ABD≌Rt△CBD, 四、解答题 所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平 15.解：以D为原点，D,DC,DD的方向为x,y,z轴正方向 面角. 建立空间直角坐标系D-z,则D(0,0,0),C(0,1,0),C1(0, 所以∠AEC=120° 1,2),B(2,4,0),BC=(-2,-3,2),DC=(0,1,0). 在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得AC=5AE. BC·DC 因为△ABC是等边三角形，则AC=AB, 因为cos(BCi,Dd= =-3页 I BC II DCI 17 所以AB=5AE 所以异面直线BC与DC所成角的余弦值为3T 17 在△ABD中，有分A·BD=之B·AD, 16.解：以B为原点，BA,BC,BB的方向分别为x,y,z轴正 得BD=√5AD, 方向建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0, 因为BD=6,所以AD=2. 2),B(0,0,2),C1(0,2,2).设AC的中点为M,连接BM(图 又BD2=AB2+AD2,所以AB=2. 略)， 因为BM⊥AC,BM⊥CC1·所以BM⊥平面A1C,C,即BM 则E=25D=5 =(1,1,0)是平面ACC的一个法向量 以E为坐标原点，以向量E元，ED的方向分别为x轴、y轴的 设平面AB,C的一个法向量是n=(x,y,z), 正方向，以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直 A1C=（-2,2,-2),AB=(-2,0,0), 角坐标系E-xyz,则 rn·A1B=-2x=0, o5)-o.市=（停5-小 所以 n·AC=-2x+2y-2z=0. 取平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1), 取n=(0,1,1).设法向量n与BM的夹角为p,二面角B 设直线AD与平面BCD所成的角为O, -A1C-C的平面角为0，显然0为锐角. 则n6=emm,商1-m=号 1m1AD11×,2 因为0s91c0s91=之=2，解得日二π I nllBMI 3 所以直线A0与平面BCD所成角的正弦值为号 所以二面角B-A,C-C的平面角为写 18.(1)证明：连接BD交CE于点G,连接FG, 17.(1)证明：因为△ABC是等边三角形，则AB=CB. 由DE∥BC得2%=8在△MBc中，由DE/8C 又∠BAD=∠BCD=90°，BD为公共边， 所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD 是GB=BC=3, 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 A3A4=A4A2: (2)在四面体A1-A2AA4中，不妨令0A1=OA2=OA= 又FGC平面CEF,PD平面CEF, 0A4=3,A1A2=A1A3=A1A4=A2A3=AA4=A4A2=a, 所以PD∥平面CEF 在面A2A,A4内作点0的射影0'，连接0'A2, (2)解：因为DE⊥CD,DE⊥PD,CD∩PD=D, 在等边△A2AA4中，0'为其外心， CD,PDC平面PCD, 所以DE⊥平面PCD.又PCC平面PCD, 则0%=号×只-月 则DE⊥PC 在Rt△A1O'A2中（如图8），可得 又DE∥BC, 所以PC⊥BC,直线CP,CD,CB两两垂直. 以C为坐标原点，CD,CB,CP所在直线分别为x轴y轴z 轴建立空间直角坐标系，则D(2,0,0),B(0,3,0),E(2,2,0), r00.2fo,号5） A 图8 所wd=(2,2.0).本=(0，号5) Pi=(2,0,-25). 所以(-3)+（原）=， 设Pi=tPi(0<t<1), 则Ci=C+Pi=(2t,0,25-25t), 解得a-26,所以04=气=号×25=4 设平面CFE的法向量m=(x,y,z), 又因为A01面A2AA4,且垂足为0'， g0 故以0'为原点，以A,0',O'A1所在直线分别为x轴、z轴， 则 建立如图9所示的空间直角坐标系，则0'(0,0,0)，A1(0,0, m·C2=2x+2y=0, 4),A2(2,-6,0),4(2,6,0),44(-22,0,0),0(0,0, 取m=(3,-5,1). 1). 设平面HCF的法向量n=(a,b,c), n·c㎡=b+6 则 5 5c=0, n·ci=2ta+25(1-t)c=0, 取n=(5(t-1),-5t,t) 设二面角H-CF-E的平面角为O, 图9 则co0=1a(m,m1= 因为0=子0A,即0成=子0风。 17t-31 1 万×√7-6t+3 则4(-4号0写） 解得：=分或=音所以说=方或瑞=各 所以=0,26,0)4=(-79，-5，） 19.解：(1)点0为四面体A1-AA3A4外接球的球心，即 设平面A2AA4的一个法向量为n=(x,y,z), 0A1=0A2=0A3=0A4,且A10⊥面A2A3A4,A20⊥面 rAA⊥n, r26y=0, A1A3A4,A,0上面A1AA4,A0上面A1AA,则空间四面体A,- 则 即 1 A2AA4的每一条棱都相等，即A1A2=A1A3=A1A4=A2A3= 41m,-72 3x-6y+3=0, -5 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 取n=(1,0,72). 5.因为AC=BC,O为AB的中点，则OC⊥AB, 又0A1=(0,0,3), 由圆锥的几何性质可知SO上平面ABC, 04·n=212=722 以点0为坐标原点，0元，0A,0尽的方向分别为x,y,2,轴正 所以cos(OA1,n〉= I0A11n13×3T 33 方向建立空间直角坐标系， 故04与面44，化所成角的正弦值为 则S(0,0,4),B(0,-2,0),C(2,0,0),A(0,2,0),D(0,0, 2),N(0,1,1), BC=(2,2,0),B=(0,2,4),B=(0,3,1), 第18期3,4版参考答案 设平面SBC的法向量为n=(x,y,z), 空间中的距离问题同步核心素养测评 n·BC=2x+2y=0, 则 一、单项选择题 n·B=2y+4z=0, 1~4 DCAB 5~8 BACD 取n=(2,-2,1),所以点N到平面SBC的距离为d= 提示： 1.由题意，M0=(1,-1,2),n=(1,-2,2), 3 则7=（兮，-子子） 6.由题可知AB=(-1,1,0),AC=（-1,0,1), c⑦=(1,1,0) 所以点M到平面B的距离为 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), d=肠开=子 rm·AB=-x+y=0, 则 取m=(1,1,1). 2P=(c+22,-4),而d=1P.nL-0 m·AC=-x+z=0, 3 则点D到平面ABC的距离为 即-2(x+2)-4-41-10 /4+4+1 d= 解得x=-1或x=-11. 又因为1AB1=1AC1=1BC1=2, 3.由已知得AB=(1,1,1),C⑦=(-2,2,1)，AC=(1,0, 0),设向量n=(x,y,z)与向量4B,C元都垂直，则 所以sac=空×厄×反×9-县 2 rn·AB=x+y+z=0, 所以四面体ABCD的体积为 取n=(1,3,-4). n.Ci=-2x+2y+z=0, 又平面α∥平面B,则平面a与平面B间的距离为 7.如图1，取AC的中点0，连接OB,OP. I nl =1×1+3×0+(-4)×0L=26 √+32+(-4) 26 4.BC=(1,1,1)-(1,0,2)=(0,1,-1), 图1 则与式同方向的单位向量为e=(0,号，-受) 因为∠ABC=90°，所以AC=AB2+BC=10. 又B4=(0,0,-2), 因为PA=PC,O为AC的中点， 则点A到直线BC的距离为 所以0P1AC,0P=√(42)2-52=万. d=1B2-(B.e)2 又0B=2AC=0A,PA=PB, =V4-[(-2)×(-)]=2 所以△POA≌△POB,所以OP⊥OB. -6 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 因为AC∩OB=O,所以OP⊥平面ABC. 提示： 以B为坐标原点，BC,BA所在直线分别为x,y轴，建立如图 9.对于(A),AB=(3,1,1),CD=(-1,1,2), 1所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,6,0),C(8,0,0), 因为AB.C⑦=-3+1+2=0， P(4,3,√7). 所以AB⊥CD,故(A)正确； 所以BC=(8,0,0),Bp=(4,3,万)，BA=(0,6,0) 对于(B),AD=√(0+1)2+(2-1)2+(3-0)= 设m=(x,y,2)为平面PBC的法向量，则有 √T,故(B)正确； rm·BC=8x=0, 对于(C),B元=(-1，-1,0)， m·B㎡=4x+3y+万：=0， 取a=BA=(-3,-1,-1), 取m=(0,7,-3). BC u= I BCI =10=(9 2 所以点A到平面PBC的距离为 d=1:mL:6万=3 所以a2=11,a·u=2√2，所以点A到直线BC的距离为 = I ml √7+92 √a2-(a·u)=√1-8=√5，故(C)错误； 8.如图2,0是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC,AO 对于(D),A店=(3,1,1)，AC=(2,0,1),4币=(1,1,3). C平面6c,期10上40,4B=26,则4A0=号× 2 Lx2万 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), r·AB=3x+y+z=0, =2,又A41=7,A10=A4-A0=3, 则 取n=(1,-1,-2), n·AC=2x+z=0, 所以点D到平面ABC的距离为d= 1m·A1=1-1-6=6,故(D)正确。 1n1 1+1+4 D 图2 故选(A)(B)(D). C0⊥AB,直线CO交AB于点D,OD=1, 10.AB=(-1,1,-1),D=(2,2,-4). 以直线C0为x轴、OA1为z轴、过O平行于AB的直线为y 对于(A),当C(2,3,-1)时，A元=(1,2，-2)， 轴建立空间直角坐标系，如图2， 设n1=(x1,少1，a1)为平面ABC的一个法向量， 则A1(0,0,w3),A(1,-5,0),B(1,W5,0),C(-2,0,0), AB·n1=0,「-x1+y-名1=0， 所以 得 AA=(-1,w5,w3),A元=(-3,5,0)， l4元m1=0,x+2y1-2a=0, AB=(1,5,-5), 取n1=(0,1,1),则点D到平面ABC的距离为 AC=AA+AC=(-4,25,5), 4=DmL=L24山=万<瓜，放(A)不符合： 设n=(x,y,z)与A1B和AC都垂直， 对于(B),当C(2,-3,1)时，AC=(1,-4,0), n·AC=-4x+25y+5z=0, 则 设n2=(x22,2)为平面ABC的一个法向量， n·AB=x+5y-5z=0, rAB·2=0, -x2+2-2=0, 所以 得 取n=(5,1,2). A元m,=0,x2-4=0, P,Q两点间距离的最小值即为异面直线AC,与AB间的 取2=(4,1，-3)， 离，即m·--万+5+21- I n l √3+1+4 2 则点D到平面ABC的距离为4，=1.L I n 二、多项选择题 18+2+121=126>√4，故(B)符合： 9.ABC:10.BD;11.ABC. 26 13 一7 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 对于(C),当C(-2,3,1)时，AC=(-3,2,0). (B)正确； 设n3=(x,y3,a)为平面ABC的一个法向量， 设平面AED1的法向量为n=(x,y,z), rAB·n=0,「-3+y-3=0, AD·n=-x+z=0, 所以 得 A元.m=0, -3x3+2y3=0, 所以 取n=(1,2,1) A正n=-x+2y=0, 1 取n3=(2,3,1), 1Di·n31 则点D到平面ABC的距离为d= 点F平面以的距离为--后=学放 I nl (C)正确： 14+6-41-3年<m,故(C)不符合： √14 7 由正方体的性质可知平面BFC1∥平面AED, 对于(D),当C(2,3,1)时，AC=(1,2,0), 所以平面BFC,到平面AED,的距离即为点F到平面AED 设n4=(x4,y4,4)为平面ABC的一个法向量， 的距离，即为5放(D)错误 死儿=0得F4+4名=0g 所以 故选(A)(B)(C). Cm=0,Lx,+2.=0, 三、填空题 取n4=(-2,1,3), 29:132,4号 则点D到平面ABC的距离为d=DnL I nl 提示： 1-4+2-12L=4,故(D)符合 12.由题可得平面ABC过点Q(0,0,1),且其法向量为n= 4 (1,2,-1),Pd=(-1,-2,-2),点P(1,2,3)到平面的距 故选(B)(D) 离为 11.以D为原点，DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、z轴 的正方向建立如图3所示的空间直角坐标系 P0nL=1-1-4+2L= I nl 6 2 D 13.连接A01,建立如图4所示的空间直角坐标系，则A(2, 0,0),0(0,0,2),C(0,3,0), 0 B 图3 0 由题意知，41,0.0)，B11,0),E(0,7,0）,G(0,1 图4 ),D(0,01),P(1,2,1 所以A0=(-2,0,2),A元=(-2,3,0)， 则应=(-1,0，-0.D=(0,-1 所以A0·AC=(-2,0,2)·(-2,3,0)=4, 所以O·dC 4 AD=(-1,0,1),A2=（-1,2,0 I ACI13 所以点O,到直线AC的距离为 点F到点E的距离为1F尼1=√(-1)2+（-1)了=2， 故(A)正确； d= 01)-()-2 13 点F到直线ED,的距离为 14.由题得AB=(3,-1,2),BC=(-2,2,-1), FE·ED 30 故 AC=(1,1,1),BD=(2,5,-4),则1AB12=14, 5 I BC12 =9,1 AC12=3, 一8 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 osB=LAB1+BC2AC_5▣ 两异面直线，且两直线间的距离越来越近 21 ABII BCI 21 当三棱锥A-BCD的体积最大时， 所以sinB=V√个-cosB=9I 21 此时AD⊥平面BCD, 即此时M,N两点之间的距离最小，即为两异面直线AB, Sc=分1AB11BC1simB=2④ 2 CD之间的距离. 设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z), 以点B为坐标原点，分别以BC,BD为x轴、y轴，以过点B m·AB=3x-y+2z=0, 且与AD平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则有 m·BC=-2x+2y-z=0, 则B(0,0,0),A(0,5,1),C(1,0,0),D(0,5,0), 取m=(3,1,-4). 即B=(0,5,1),C⑦=(-1,5,0)， B配在m方向的投影向量的模即为点D到平面ABC的距离 设与BA,C元垂直的一个向量为n=(x,y,z), h=m·BD=27/2西 「n·B=5y+z=0, 26 取n=(5,1,-5) Ln.CB=-x+/3y=0. 所以四面体D-ABC的体积V=专S6c×h= 2 不妨取AD=(0,0,-1), 四、解答题 由两异面直线间的距离公式可得 15.解：建立如图5所示的空间直角坐标系，则 d的最小值为-牙 I nI D 17.解：连接BD,与AC相交于点O,连接PO,则AC⊥BD. 因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥， 所以OP⊥底面ABCD. 以0为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x轴y轴z 图5 轴，建立空间直角坐标系，如图6所示. E10,）F0B1,10).D0.0,0 则床=(0,7，）m=(-山，-1，). 设EF,BD1公垂线的方向向量为m=（x,y,z), Q B 图6 n=之-=0 则 因为正方形ABCD的边长为1， BD·n=-x-y+z=0, 所以A0=B0=号 取m=(01,).又房=(0,1，-） 因为PA=1,所以0P=号 「故EF与BD,的距离为EB,m1三子÷② I ml 4 则A(0.0,B(0,.c(-0.0P(0. 16.解：由题得BD2=AB2+AD2-2AB·ADeos60°， 解得BD=5,所以满足AD2+BD2=AB, 即AD⊥BD,则CB⊥BD. 令点R的竖华标为m,则R(m-号0，m小， 又M,N分别为直线AB,CD上的动点，记M,N两点之间的 最小距离为d,则d表示两直线AB,CD之间的距离， 令点Q的横坐标为m,则Q(a,号-n,0) 在△ABD沿BD折叠过程中，直线AB,CD由两平行线变成 当RQ为直线PC,AB的公垂线时，RQ取得最小值， -9 高中数学北师大版选择性必修第一册第17~20期 Rd·A正=0， rn·P7=2y-2z=0, 即 rd.P元=0， 所以 n·元= 3 2x+y=0, 「-m+竖号-，-小(-经号）=0 取n=（-√5,1,1)： 故 连接04，则0-(-9.-子0小， m-=0, 所以所求距离为4=0，nL-25 I nl 5 所以 2m-2,n1 解得m=号= 61 19.(1)解：平面PMW中，P=(1,-2,1),P示=(2，-1,0). 2n-2 =0 设平面PMW的法向量为n=(x,y,z), 2 2、 3 PM.n x-2y+z==0, 所以 取n=(1,2,3) 2 三棱锥R-ACQ的高即为m=号 PN.n=2x-y=0, 设平面PMN任意一点Q=(x,y,z), 27 当Q不同于P,有P01n: 18.如图7，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直 当Q与P重合，则有P0=0,所以P0.n=0. 线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直 所以(x-1,y-3,2+1)·(1,2,3)=0, 角坐标系 化简得x+2y+3z-4=0. 所以平面PMW的方程为x+2y+3z-4=0. (2)设P(x1,1,),P2(3,2,2)为平面Ax+By+C2+ D=0的任意两个点， Ax By +Cz +D =0,Ax2 +By2 +Cz2 +D=0. 图7 两式相减得A(2-x1)+B(y2-y1)+C(a2-)=0,即 因为AP=2,AB=BC=AC=4,且E,F分别是BC,AC的 m·PE=0,即m1PE, 中点， 所以平面Ax+By+Cz+D=0的法向量可取m=(A,B, 所以A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0), C). E53.0.0(9子.P0.02) 记H(,o,),因为A,B,C不同时为0， 所以不妨令C≠0， (证明：因为成=（多，0），正=(53,0， 平面4x+B+G+D=0上可取点c(00,-是)， 所以A正=2F元 所以励=(6+名) 因为AE与FQ无交点，所以AE∥FQ. 又FQC平面PFQ,AE￠平面PFQ, 则点H到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 所以AE∥平面PFQ. 4=li:mL-14,+B+G+D1 √A+B2+C (2)解：由(1)知，AE∥平面PFQ, 所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距 第19期参考答案 离 空间向量与立体几何，数学建模核心素养综合测评 m=02-2,风=（停是0， 一、单项选择题 设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z), 1~4 BDDB 5~8 AADC 10空间向量与立体几何，数学建模 核心素养综合测评 ◆数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 郑 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1.在空间直角坐标系0-xyz中，A(-1,0,-2),B(0,1,2),则c0s(0,0=( (N青 (B)-5 2.图1所示的明矾晶体可近似看作一个正八面体P-ABCD-Q(图2)，其中P-ABCD,Q -ABCD均为所有棱长都相等的正四棱锥，若AB=a,AD=b,AP=c,则PQ= P2-T6.中名 图1 图2 (A)a+b+2c (B)2a+2b+2c (C)-a-b+2c (D)a+b-2c 3.空间有四点A,B,C,D,其中AB=(2m,m,2),CD=(m,m+1,-5),且AB+CD=（5, 1 3, -3 ,则直线AB与CD (A)平行 (B)重合 (C)必定相交 (D)必定垂直 4.已知空间四边形ABCD,点E,F分别是AB与AD边上的点，M,N分别是BC与CD边上的 点，若A正=入A正，A正=AD,C=uCB,C示=uCD,则向量E下与MN满足的关系为( (A)EF=MN (B)EF∥MN (C)I EFI=1 MNI (D)IEF1≠1MN 5.如图3所示空间直角坐标系A-yz中，P(x,y,z)是正三棱柱ABC-AB,C1的底面 A,B,C,内一动点，A,A=AB=3,直线PA和底面ABC所成角为写，则P点坐标满足 ( (A)x2+y2=3 (B)x2+y2+2=3 (C)x2+y2=27 (D)x2+y2+2=27 M F D 6 图3 图4 图5 6.如图4，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P:(i=1,2,…,8)是 上底面上其余的八个点，则4B·AP(i=1,2,…,8)的不同值的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 7.已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为2，F是棱AD的中点，若点P在线段CD上运动， 则点P到直线BF的距离的最小值为 () ()9 (B) 3 G单 D 8.在如图5所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD是边长为2的正方形，两等腰三 角形框架ADE,BCF的腰长均为√3，EF平行于框架ABCD所在的平面，EF=1,活动弹子M,N分 别在EF,AC上移动，M,N之间用有弹性的细线连接，且3MF=√2AN始终成立，则当MN的长度 取得最小值时，MF= (a)号 (B) 11 17 (c) (D) 17 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知空间三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3),则下列结论正确的是 (A)IABI=IACI (B)点P(8,2,0)在平面ABC内 (C)AB⊥AC (D)若店=2而，则D的坐标为1，-5，-3) 10.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图6所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示 意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接从立体几何的 角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这 4个碳原子距离都相等的位置，如图7所示.这就是说，图7中有AE=BE=CE=DE,若正四面体 ABCD的棱长为2，则下列结论正确的是 E:D 图6 图7 (A)A正.CD=0 (B)EA+EB+EC+ED=0 (C)1A正1=6 (D)花.花=方 11.如图8，正方体ABCD-AB,C1D1的棱长为a,线段BD1上有两个 C 动点EF,且BF=牙。则下列结论正确的是 ( D (A)当E与D,重合时，异面直线AE与BF所成的角为 (B)三棱锥B-AEF的体积为定值 图8 (C)EF在平面ABB,A,内的射影长为2a (D)当E向D,运动时，二面角A-EF-B的平面角保持不变 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点PA⊥平面ABCD,且M,N分别为PC,PD上的 点，且PM=MC,P=2N⑦，Ni=xAB+yAD+:AP,则x+y+8= 13.若给定一向量组A={41,42,…,4n}和向量c,若存在一组实数k1,k2,…,kn,使得c= ka1+k2a2+…+kn4n,则称向量c能由向量组A线性表示，或称向量c是向量组A的线性组合. 若A={e1+e2,e2-e},c=e1+me3,e1,e2,e3为三个不共面的空间向 D 量，且向量c是向量组A的线性组合，则m= 14.如图9，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1 和2，AB=4,则异面直线AQ与BP所成角的余弦值为 0 四、解答题：本题共5小题，共77分 图9 15.(13分)在正四棱柱ABCD-AB,C,D1中（如图10），AM1=2AB=4,点E在线段CC上， 且CC=4CE,点F为BD中点. (1)求点D,到直线EF的距离； D (2)证明：AC⊥平面BDE. B D 图10 16.(15分)如图11，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E在AD,上，且A,E=2ED,F在对角 线A,C上，且=子F元.若花=a,币=b,杯=c D (1)用a,b,c表示EB; B (2)证明：E,F,B三点共线 D 图11 17.(15分)如图12，在正四棱锥P-ABCD中，E,F分别为PA,PC的中点，DC=2GP. (1)证明：B,E,G,F四点共面； (2)记四楼锥P-BEGF的体积为K,四棱锥P-ABCD的体积为，求的值 E D 图12 18.(17分)如图13，在梯形ABCD中，AB∥CD,E是线段AB上的一点，BE=CD=CE= √2，BC=2,将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置 (1)如图14，若平面PED与平面EDB的二面角的平面角为直角，M,N分别是BC,PE的中 点，若直线MN与平面PBC所成角为0，in6>5,求二面角B-PC-E的平面角的余弦值的 6 取值范围； (2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点K为线段 CE的中点，G,H分别在线段PK,CD上（不包含端点），且GH为PK,CD的公垂线，如图15所示， 记四面体CKCH的内切球半径为r,证明：>2(c+a) E B B H C M 图13 图14 图15 19.（17分)类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平 面)S的方程，若曲面S和三元方程F(x,y,z)=0之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三 元方程F(x,y,z)的解；②以三元方程F(x,y,z)=0的任意解(xo,o,)为坐标的点均在曲面 S上，则称曲面S的方程为F(x,y,)=0,方程F(x,y,z)=0的曲面为S.已知曲面C的方程为 +片- 14=1. (1)已知直线1过曲面C上一点Q(1,1,2),以d=（-2,0,-4)为方向向量，证明：直线1 在曲面C上（即1上任意一，点均在曲面C上）； (2)已知曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时，过 曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线'在曲面C上，且过点 T(√2,0,2)，求异面直线1与1'所成角的余弦值 图16 些 笨 参考答案见下期