章节测评卷(一)测试范围：集合与常用逻辑用语-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

数理极 第18期3,4版 一、单项选择题 1~4ACAB5~8 DBCC 二、多项选择题 9.CD: 10.ABD:11.AD 三、填空题 12.年（答案不唯-）；13.； 14.(-0,0] 四、解答题 15.解：(1)F(x)=fx)-g(x)=log(3-x) e《3+.由6>0特-3<<3， 所以数F(x)的定义域为(-3,3). (2)由(1)知函数F(x)的定义域为(-3,3)， F()log.(3-x)-log.(3+x)=log.3+ 3-x 则F(-x)=log3-x 3+x 3+l0gn3+x 即F(-x)+F(x)=log3-x 3-x =g(得·）0， 所以F(x)为奇函数， 16,解：(1)由题得f(无）=asim号-5cos号=0， 3 解得a=1. (2)由(1)可得fx)=sin2x-√5cos2.x -2分n2x-复w2）=2m(2a-号） 因为e[0.,所以2x-号e【-号，]， 令-号≤2x-号≤受，解得0≤x≤ π 2 所以x)在[0，】上单调递增， 令号≤2x-号≤，解得 ≤x≤12， 11π 所以)在[侣，告]上单调递减， 令浮≤2x-号≤号解得 ≤x≤T, 所以)在[5，]上单调递增 17.解：1)由图可知，A=2,7=沿+号， 所以T=T,w=2红=2 将点(0）代入x)=2cos(2x+)得 爱+9=2m+受kez 又1p1<受，所以9=-号， 所以0=2cos(2x-号）片 (2)将f代x)的图象向左平移牙个单位长度得 y=2[(+号）-哥]=2as(2x+号) 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，，纵坐标不变 得y=2os(4x+号) 所以8(w=2eo(4+号)， 因为[若]所以+号e[号小 所以+号）=1引， 即2c(4x+号）e[-2.小. 故g(x)在[0，石]上的值域为[-2,1. 参考答案 18.解：(1)对于Q3(x)=300log.x+b(a>0,且a ≠1)， 当x=0时，它无意义，故不符合题意 对于0()=1-（号）广， 当x=10时，0(10)=1-（号）， 又0<（号）<（号）°=1 所以0，(10)=1-（号）<1，故不符合题意 故选Q(x)=0-2+6, 由题表中的数据可得，0×10-2×102+c×10= 1420,解得c=160, 所以Q(x)=02-2+160r(x≥0). 经检验，(40,4480)，(60,6720)均符合上式 (2)设该车在高速上的耗电量为f(x)Wh, 则x)=300.N(x)）=30.(2x2-10x+200)= 600(+0）-300,xe[80,1201. 由对勾函数的性质可知，代x)在[80,120]上单调递增， 所以当x∈[80,120]时，fx)mm=f80)=600× （80+5）-30=4570. 设该车在国道上的耗电量为g(x)Wh, 则g)=0()=0·(02-2x2+160） =x2-100x+8000=(x-50)2+5500,x∈[0,60]， 所以当x=50时，g(x)m=g(50)=5500. 所以当该车在高速上的行驶速度为80k/h,在国 道上的行驶速度为50k/h时，该车的总耗电量最少，最 少为45750+5500=51250(Wh). 19.解：(1)由题意得p(x)=lo岛x(x>0). (2)函数y=p(h(x)=log2(x2-4x+5m)在区 间(3m-2,m+2)内有最小值， 则h(x)=x2-4x+5m在(3m-2,m+2)内先减后 增，且h(x)mn>0, 所以 3m-2<2<m+2解得 0<m<4 h(2)=5m-4>0, m 所以专<m<手 故m的取值范国为（号，号） (3)因为>0，所以=4e(04, 所以g(x)<2,g(x)=1og2 4 在x>0时单调递增，且 y=k y=lg(x 8（分）=0，y=1g(x)1的图象如 0 右图所示 设Ig(x)I=t,由y=|g(x)1的图象可得，当t= 0或t≥2时，对于一个确定的t值，有唯一一个x值与之 对应，当0<t<2时，对于一个确定的t值，有两个不同 的x值与之对应， 所以[g(x)]2+alg(x)1+a+3=0有三个不同的 实数解即t2+at+a+3=0有三个不同的实数解，且对 应以下两种情况： 一根在(0,2)上，一根为0；一根在(0,2)上，一根在 [2,+∞)上，按这两种情况分类讨论求解 ①2+at+a+3=0有两个根，且一个根在(0,2) 上，另一个根为0，把t=0代入方程，得a=-3,则2+at +a+3=t2-3t=0,另一个根为3，又3(0,2)，故舍去； ②t2+at+a+3=0有两个根，且一个根在(0,2) 上，另一个根在[2，+∞)上，令k(t)=t2+at+a+3, (i)当一个根在(0,2)上，另一个根在(2，+∞)上 13 ra>-3, 时88 a<- 3 7 所以-3<a<- 3 (ⅱ)当一个根在(0,2)上，另一个根为2时，则 k(2)=0, 解得a子 此时：-子+子=0的两根分别为分2，满足题意 综上，a的取值范围为(-3，-子]· 高中数学必修第一册章节测评卷（一） 一、单项选择题 1.B;2.B;3.B;4.A;5.C;6.C;7.B:8.D 提示： 1.命题“3x∈(0，+∞)，lnx=8x+5”的否定是 “Hxe(0,+o),lnx≠8x+5”. 2.因为A=B,所以-2∈A. 当x=-2时，2y=1 -y,得y=子； 当2y=-2时，则x=2. 故实数x的取值集合为{-2,2. 3.由题可知A=B∩C,则a∈B,不一定a∈A, 但aeA,一定得到aeB, 则“a∈B”是“a∈A”的必要不充分条件 4根据题意由xeN号eN可得x=1,23,6. 即A=1,2,3,6}. 由(x2+5x)2=36可得x2+5x=6或x2+5x=-6, 解得x=1或x=-6或x=-2或x=-3, 即B=1,-2,-3,-6} 因此集合A,B有交集，但没有包含关系.故选(A). 5架合4满足V:e4,兰e4,3e4,数 =-2e4,号-e 1 =3eA,故A={-2,-3 则集合A所有元素之和为-2-兮 7 6.因为此数为小于5的正整数， 所以A=10<4<2={0<<子} 因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，x∈C是 x∈A的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 所以子≤5且子>子，解得号≤4<3， 所以“4”表示的数字是1或2. 7.因为4=4，所以4是自恋数， 因为22+62=40≠26，所以26不是自恋数； 因为82+12=65≠81，所以81不是自恋数： 因为13+53+33=153，所以153是自恋数： 因为3+73+03=370，所以370是自恋数； 所以B={4,153,370},则子集个数为23=8. 8.根据题意1<x2<x3,由1x-x11+川x一2|+ 1x-x31=2,不能推出(x-x1)(x-x2)(x-x)=0, 例如=0，=方=子考=各满足1x-1 |x-x21+|x-x31=2,但(x-x1)(x-x2)(x-x3)= -是0，故充分性不成立： 由(x-x1)(x-x2)(x-x3）=0得x=x1或x=x2 或x=x3,不能推出1x-1|+x-x21+x-x3|=2, 例如x=x1=1,x2=2,x3=3,满足(x-x1)(x- x2)(x-）=0,但1x-x11+x-x21+x-x31=3 ≠2，故必要性不成立 所以“1x-x1I+x-x21+|x-x3=2”是“(x- x1)(x-x2)(x-x3)=0”的既不充分也不必要条件. 14 二、多项选择题 9.AD:10.BD: 11.AD. 提示： 9.由a>b>0可以推出a2>b2,而由a2>b2可以 推出1a1>|b1,则“a>b>0”是“a2>b2”成立的充 分不必要条件，故(A)正确； 命题的否定应为“x>0,使得x≤0”，故(B)错误： 满足条件的集合M有{1}，2}，3}，4}，{1,3}， {1,4},{2,3},2,4},3,4},{1,3,4},{2,3,4}和☑， 故(C)错误； 若A∩B≠O,则集合A和集合B有公共的元素，即 3x∈A,使得x∈B,故(D)正确， 故选(A)(D). 10.若A={x∈Q1x≥0}，B={x∈QIx<0}, 则CA和CB均含遍布(-o,+∞)的全体无理数，从而 均没有最大元素和最小元素，故(A)不可能成立；若A= {x∈Q1x≤0}，B={x∈QIx>0},A有一个最大元 素，B没有最小元素，故(B)可能成立；A有一个最大元 素，B有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数 不存在A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理 数矛盾，故(C)不可能成立；若A={x∈QIx<2},B ={x∈QIx≥√2}，则A没有最大元素，B也没有最小 元素，故(D)可能成立.故选(B)(D). 11.①当a=b时，由数域的定义可知，若a,b∈G, 则有a-b∈G,即0∈G,故①是真命题； ②当a=b≠0时，由数域的定义可知，若a,b∈G, 则有分eG,即1∈G,若1∈G,则1+1=2∈G,则2 +1=3∈G,…,则1+2023=2024∈G,故②是真命题； ③当0=26=4时，号=子G故③是假命题； ④若a,b∈Q,则a+b,a-b,ab∈Q,且b≠0时， 名∈Q,故④是真命题； ⑤因为0∈G,当b∈G且b≠0时，则-b∈G,因 此只要这个数不为0就一定成对出现，所以有限数域的 元素个数必为奇数，所以⑤是真命题， 故选(A)(D). 三、填空题 12.(-2,1)；13.(-0,6)U(9,+0); 14.2047. 提示： 12.因为“Vx∈R,x2+3ax+9>0”为真命题， 则得4=9a2-36<0,解得-2<a<2. 又“3x∈R,x2+2x+a<0”为真命题， 则得4=4-4a>0,解得a<1. 综上，-2<a<1. 13.若AC(A∩B),则ACB, 当2a+1>3a-5,即a<6时，A=☑满足条件； 当2a+1≤3a-5,即a≥6时， 若A二B,则3a-5<0或2a+1>19, 解得a<子（舍）或a>9, 综上，实数a的取值范围是(-0,6)U(9,+∞). 14.当x,y同为奇数或者同为偶数时，x©y=10, (x,y)可取(1,9)，（2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)， (6,4),(7,3),(8,2),(9,1), 当x为偶数，y为奇数时，x@y=10, (x,y)可取(2,5)，(10,1)， 所以(x,y)可取的情况共有11种， 即集合A中有11个元素， 所以集合A的真子集个数为21-1=2047. 四、解答题 15.解：(1)由题得C,N=xl-5≤x<-2或4≤ x≤10，x∈Z},所以(CN)nM=xl4≤x≤7，x∈ Z}={4,5,6,7}. (2)由题得B={2,4,6,8}, 所以B={0,1,3,5,7,9,10}. (3)当a=0时，P=☑，不符合题意， 当a≠0时，因集合P只有一个元素，则方程ax2+ 2ax+1=0有等根，△=4a2-4a=0, 参考答案 此时a=1,集合P中的元素为-1， 所以a=1,这个元素是-1. 16.解：若命题p为真，则对于任意x∈[1,2]，都有a ≤(x2)in=1,即a≤1； 若命题q为真，则方程x2+2ax+2-a=0有解. 则有4=4a2-4(2-a)≥0，即a2+a-2≥0， 解得a≥1或a≤-2， 若p与q都是真命题，则a≤-2或a=1, 所以若p与g中至少有一个是假命题，实数a的取值 范围是(-2,1)U(1,+∞) 17.证明：(1)k∈Z时，2k+1表示奇数，由2k+1= (k+1)2-2,所以所有奇数均属于集合A. (2)假设10是集合A的元素，则存在m∈Z,n∈Z, 使得10=m2-n2=(m-n)(m+n), 成m-n=1或 设m>n则有」+n10 m'或m-n=” m+n=5 四个方程组均无整数解， 所以假设不成立，10不是集合A的元素， 18.解：(1)记集合P={x1x2+2x-3<0}={xl -3<x<1},Q=xlx2+(m-1)x-m<0}. 当m=4时，Q={x1x2+3x-4<0}={x1-4 <x<1},由于P军Q,所以p是q的充分条件. (2)选①，若p是q的充分不必要条件，等价于q 是p的充分不必要条件，则QP 因为P={x1-3<x<1}, 当m<-1时，Q={x|1<x<-m},不成立； 当m>-1时，Q={x1-m<x<1}, 由QP,得{m|-1<m<3}. 综上，m的取值集合为(-1,3) 选②，若p是q的必要不充分条件，等价于p是9 的充分不必要条件，则P军Q 当m<-1时，Q={xl1<x<-m},P手Q不可能； 当m>-1时，Q={x1-m<x<1}, 由PQ,得{mlm>3}. 综上，m的取值集合为(3，+∞). 19.解：(1)结合集合新定义可知，A={-1,1,2,4 不具有性质P,B={0,1,2,4}具有性质P (2)已知1∈A,因此要么存在b1=-2或b1=2; 进一步存在b2=-5或b2=-4或b2=-1或b2=4; 进一步计算可得b3=-8或b3=-10或b3=-7或 b3=-8或b3=-4或b3=-2或b3=1或b3=-8. 因此可得取A={1,2,4}是使得1∈A时，元素个数 最少的集合A. (3)AUB具有性质P,A∩B不具有性质P. 因为对任意的a∈AUB,则a∈A或a∈B, 不妨设a∈A,故总存在b∈A,使得a=b+3或a =0,因此AUB具有性质P 构造A={1,2,4},B=2,4,8,…,2,…}都具有 性质P,但是A∩B不具有性质P. 故AUB具有性质P,A∩B不具有性质P 高中数学必修第一册章节测评卷（二） 一、单项选择题 1.C;2.A;3.B;4.D:5.A;6.B;7.D;8.B. 提示： 1.若m=0,n=1,则1m|<n, 但m >,<(因为无意义）小m<-n均 不成立，故(A)(B)(D)错误； 由n>1mI≥m易得(C)正确. 2.不等式2x2-8x+6-a≥0在1≤x≤4时有解， 等价于当1≤x≤4时，a≤（2x2-8x+6)mm y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2, 当x=4时，ym=6,所以a≤6. 数理极 3.由0<<号，则0<3x<1,0<1-3x<, 故f(x)=+，16 12 42 (1+4)2 31 1-3x =3x+1-3x 乡3x+1-3 525,当且仅当3x30 元即x方时，等号成立 4.为简便起见，复用A,B,C,D表示A,B,C,D四个同 学的年龄，则A>0,B>0,C>0,D>0. 则A+C=B+D①，C+D>A+B②，B>A+D③ ①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C> 2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A,因为C>B,所以C-B> 0,所以D-A>0,所以D>A,综上，C>B>D>A. 5.原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0. 当a<1时，不等式的解集为[a,1],此时只要a≥ -4即可，即-4≤a<1; 当a=1时，不等式的解为x=1,此时符合要求； 当a>1时，不等式的解集为[1，a],此时只要a≤3 即可，即1<a≤3. 综上a的取值范围是[-4,3]. 6.若ab=0,则keR; 若b>0,则k≤a-b)2= b ab -2, 因为号+合-2≥2√合日-2=0，航以k≤0： 若b<0,则k≥a=-(÷-合）-2 ab 因为-（名-总）2≤-2√名)（合） -2=-4,所以k≥-4，所以-4≤k≤0. 7.由题可知1和-4是方程ax2+bx+c=0的两个 实数根，且α<0，由根与系数的关系可得 「-4+1=-6 即b=3a,c=-4a, -4×1 = 所以9 =-4a+9=16a+9-4a+ +9 9 a 3a Aa =-(-4a+-9a)≤-2√4a×(9a =-6. 当且仅当-4a=9物即a=子时等号成立， 则8e(-,-6 8.由x2-2x-3≤0曰-1≤x≤3， 若不等式组 x2-2x-3≤0， 41x2+4x-I+a)≤0 的解集是空集， 所以x2+4x-(1+a)>0在[-1,3]上恒成立， 令fx)=x2+4x-(1+a),则二次函数f(x)开口 向上，且对称轴为直线x=-2, 所以f(x)在[-1,3]上单调递增， 所以要使f(x)>0在[-1,3]上恒成立， 则f八-1)=-4-a>0,解得a<-4. 故实数a的取值范围是[-4，+0). 二、多项选择题 9.ABC;10.AD;11.BCD. 提示： 9.当ab<0时，后<合不成立，故(A)不正确：当 c<0时，a<b,故(B)不正确当a=1,b=-2,k=2 时，命题不成立，故(C)不正确；a>b>0台-a<-b< 0→c-a<c-b,又c>a,所以0<c-a<c-b,同乘 c-0e-而得0<6<a又a>6>0,所以 >。6故(D)正确故选(A)(B)(C. 3、6 10.由题得6a=a+2a+3a<a+2b+3c=0, 所以a<0,又0=a+2b+3c<c+2c+3c=6c, 所以c>0,(A)正确； 由题得a+2c+3c>0,所以a+5c>0,得c>-高中数学必修第一册 章节测评卷（一） 测试范围：集合与常用逻辑用语 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.命题“x∈(0，+∞)，nx=8x+5”的否定是 ( (A)3x(0,+),Inx8x+5 高 (B)Hx∈(0，+o),lnx≠8x+5 整 (C)3x主(0，+o),lnx=8x+5 (D)Hx使(0，+o),lnx=8x+5 必 2.已知集合A={4,x,2y,B={-2,x2,1-y,若A=B,则实 第 数x的取值集合为 ( 册 (A){-1,0,2} (B){-2,2} (C){-1,0,-2} (D){-2,1,2 人教 3.设有非空集合A,B,C,若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a A eC”,则“aeB”是“a∈A”的 ( 版 (A)充分不必要条件 章节 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 署 (D)既不充分也不必要条件 4下列表示集合A={xeN,∈N,}和B=x1(x+ 5x)2=36}关系的Venn图中正确的是 A(B) (A (B) (C) (D) 5已知柴合A满足VxeA,}获eA,若3eA,则集合A所有 元素之和为 ( (A)0 (B)1 6.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同 写出三个集合：A={x10<△x<2},B={x1-3≤x≤5}，C= {x0<x<子}，然后他们三人各用一句话来正确描述“4”表示的 数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述， 甲：此数为小于5的正整数；乙：x∈B是x∈A的必要不充分条件； 丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“△”表示的数字是 (A)3或4 (B)2或3 (C)1或2 (D)1或3 7.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于 这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合A=4,26,81,153, 370},B={x∈A1x是自恋数，则B的子集个数为 () (A)16 (B)8 (C)4 (D)2 8.设x1<x2<x3,“1x-x11+x-x2|+x-x31=2”是“(x -x)(x-x2)(x-x3）=0”的 () (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.下列说法中正确的有 (A)“a>b>0”是“d>b2”成立的充分不必要条件 (B)命题P:Hx>0,均有x2>0,则命题p的否定：x≤0，使得x ≤0 (C)已知集合M满足{1,2}不包含于M且M二{1,2,3,4}，则 所有满足条件的集合M有4个 (D)设A,B是两个数集，若A∩B≠☑，则月x∈A,使得x∈B 10.已知集合A,B满足A∩B=☑，AUB=Q,全集U=R,则 下列说法中可能正确的有 (A)CA没有最大元素，CB有一个最小元素 (B)A有一个最大元素，B没有最小元素 (C)A有一个最大元素，B有一个最小元素 (D)A没有最大元素，B也没有最小元素 11.当一个非空数集G满足“如果a,beG,则a+b,a-b,ab∈ G且b≠0时，6∈G”时，我们称G就是一个数域，以下关于数域的 说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则2024∈G; ③集合P={xIx=2k,k∈Z}是一个数域；④有理数集是一个数 域：⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有 ( (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)④⑤ 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若“Vx∈R,x2+3ax+9>0”,“]x∈R,x2+2x+a<0” 均为真命题，则α的取值范围为一 13.已知集合A={x12a+1≤x≤3a-5},B={x1x<0或 x>19}.若A二(A∩B),则实数a的取值范围是 14.对于任意两个数x,y(x,y∈N+),定义某种运算“O”如下： ①当=2mmeN或=2m-l1,meN时0y=+; y 2m,neN.ly 2n-1,neN. ②当1心时©则柴含4=川高 =10}的真子集个数是 四、解答题：本题共5小题，共77分 高中数学 15.(13分)(1)已知全集U={x1-5≤x≤10，x∈Z,集合 必 M={x|0≤x≤7，xeZ},N={x|-2≤x<4,x∈Z},求 (CN)∩M(分别用描述法和列举法表示结果)； (2)已知全集0=AUB=10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,若集 合A∩CB={2,4,6,8},求集合B; 册（人教 (3)已知集合P={x|ax2+2ax+1=0,a∈R,xeR},当集 A 合P只有一个元素时，求实数a的值，并求出这个元素 版)章节测评卷 16.(15分)已知命题p:对于任意x∈[1,2]，都有x2-a≥0： 命题q:存在x∈R,使得x2+2ax+2-a=0.若p与g中至少有一 个是假命题，求实数a的取值范围. 高中数学 ·必修第 17.(15分)设集合A={x1x=m2-n2,m∈Z,n∈Z. (1)证明：所有奇数均属于集合A; (2)用反证法证明：10不是集合A的元素 册（人教A版）章节测评卷（一） 18.(17分)设命题p:{x|x2+2x-3<0},g:x|x2+(m-1)x -m<0,m≠-1}. (1)若m=4,判断p是g的充分条件还是必要条件； (2)若p是q的 ,求m的取值集合 从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选 一个，补充在第(2)问中的横线上，并给予解答 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19.(17分)若集合A是整数集的子集，且满足对任意的a∈A, 总存在6∈A,使得a=b+3,或者a=2b,则称集合A具有性质P. (1)若A={-1,1,2,4},B={0,1,2,4},判断A,B中哪个集合 具有性质P; (2)已知集合A具有性质P且1∈A,求元素个数最少的集合A; (3)已知集合A,B具有性质P,判断A∩B和AUB是否具有性 质P,并说明理由. ------------------- 高中数学·必修第一册（人教A版）章节测评卷（一） ------------------------------------------------- (参考答案见13~14版)