章节测评卷(二)测试范围：一元二次函数、方程和不等式-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版）

14 二、多项选择题 9.AD:10.BD: 11.AD. 提示： 9.由a>b>0可以推出a2>b2,而由a2>b2可以 推出1a1>|b1,则“a>b>0”是“a2>b2”成立的充 分不必要条件，故(A)正确； 命题的否定应为“x>0,使得x≤0”，故(B)错误： 满足条件的集合M有{1}，2}，3}，4}，{1,3}， {1,4},{2,3},2,4},3,4},{1,3,4},{2,3,4}和☑， 故(C)错误； 若A∩B≠O,则集合A和集合B有公共的元素，即 3x∈A,使得x∈B,故(D)正确， 故选(A)(D). 10.若A={x∈Q1x≥0}，B={x∈QIx<0}, 则CA和CB均含遍布(-o,+∞)的全体无理数，从而 均没有最大元素和最小元素，故(A)不可能成立；若A= {x∈Q1x≤0}，B={x∈QIx>0},A有一个最大元 素，B没有最小元素，故(B)可能成立；A有一个最大元 素，B有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数 不存在A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理 数矛盾，故(C)不可能成立；若A={x∈QIx<2},B ={x∈QIx≥√2}，则A没有最大元素，B也没有最小 元素，故(D)可能成立.故选(B)(D). 11.①当a=b时，由数域的定义可知，若a,b∈G, 则有a-b∈G,即0∈G,故①是真命题； ②当a=b≠0时，由数域的定义可知，若a,b∈G, 则有分eG,即1∈G,若1∈G,则1+1=2∈G,则2 +1=3∈G,…,则1+2023=2024∈G,故②是真命题； ③当0=26=4时，号=子G故③是假命题； ④若a,b∈Q,则a+b,a-b,ab∈Q,且b≠0时， 名∈Q,故④是真命题； ⑤因为0∈G,当b∈G且b≠0时，则-b∈G,因 此只要这个数不为0就一定成对出现，所以有限数域的 元素个数必为奇数，所以⑤是真命题， 故选(A)(D). 三、填空题 12.(-2,1)；13.(-0,6)U(9,+0); 14.2047. 提示： 12.因为“Vx∈R,x2+3ax+9>0”为真命题， 则得4=9a2-36<0,解得-2<a<2. 又“3x∈R,x2+2x+a<0”为真命题， 则得4=4-4a>0,解得a<1. 综上，-2<a<1. 13.若AC(A∩B),则ACB, 当2a+1>3a-5,即a<6时，A=☑满足条件； 当2a+1≤3a-5,即a≥6时， 若A二B,则3a-5<0或2a+1>19, 解得a<子（舍）或a>9, 综上，实数a的取值范围是(-0,6)U(9,+∞). 14.当x,y同为奇数或者同为偶数时，x©y=10, (x,y)可取(1,9)，（2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)， (6,4),(7,3),(8,2),(9,1), 当x为偶数，y为奇数时，x@y=10, (x,y)可取(2,5)，(10,1)， 所以(x,y)可取的情况共有11种， 即集合A中有11个元素， 所以集合A的真子集个数为21-1=2047. 四、解答题 15.解：(1)由题得C,N=xl-5≤x<-2或4≤ x≤10，x∈Z},所以(CN)nM=xl4≤x≤7，x∈ Z}={4,5,6,7}. (2)由题得B={2,4,6,8}, 所以B={0,1,3,5,7,9,10}. (3)当a=0时，P=☑，不符合题意， 当a≠0时，因集合P只有一个元素，则方程ax2+ 2ax+1=0有等根，△=4a2-4a=0, 参考答案 此时a=1,集合P中的元素为-1， 所以a=1,这个元素是-1. 16.解：若命题p为真，则对于任意x∈[1,2]，都有a ≤(x2)in=1,即a≤1； 若命题q为真，则方程x2+2ax+2-a=0有解. 则有4=4a2-4(2-a)≥0，即a2+a-2≥0， 解得a≥1或a≤-2， 若p与q都是真命题，则a≤-2或a=1, 所以若p与g中至少有一个是假命题，实数a的取值 范围是(-2,1)U(1,+∞) 17.证明：(1)k∈Z时，2k+1表示奇数，由2k+1= (k+1)2-2,所以所有奇数均属于集合A. (2)假设10是集合A的元素，则存在m∈Z,n∈Z, 使得10=m2-n2=(m-n)(m+n), 成m-n=1或 设m>n则有」+n10 m'或m-n=” m+n=5 四个方程组均无整数解， 所以假设不成立，10不是集合A的元素， 18.解：(1)记集合P={x1x2+2x-3<0}={xl -3<x<1},Q=xlx2+(m-1)x-m<0}. 当m=4时，Q={x1x2+3x-4<0}={x1-4 <x<1},由于P军Q,所以p是q的充分条件. (2)选①，若p是q的充分不必要条件，等价于q 是p的充分不必要条件，则QP 因为P={x1-3<x<1}, 当m<-1时，Q={x|1<x<-m},不成立； 当m>-1时，Q={x1-m<x<1}, 由QP,得{m|-1<m<3}. 综上，m的取值集合为(-1,3) 选②，若p是q的必要不充分条件，等价于p是9 的充分不必要条件，则P军Q 当m<-1时，Q={xl1<x<-m},P手Q不可能； 当m>-1时，Q={x1-m<x<1}, 由PQ,得{mlm>3}. 综上，m的取值集合为(3，+∞). 19.解：(1)结合集合新定义可知，A={-1,1,2,4 不具有性质P,B={0,1,2,4}具有性质P (2)已知1∈A,因此要么存在b1=-2或b1=2; 进一步存在b2=-5或b2=-4或b2=-1或b2=4; 进一步计算可得b3=-8或b3=-10或b3=-7或 b3=-8或b3=-4或b3=-2或b3=1或b3=-8. 因此可得取A={1,2,4}是使得1∈A时，元素个数 最少的集合A. (3)AUB具有性质P,A∩B不具有性质P. 因为对任意的a∈AUB,则a∈A或a∈B, 不妨设a∈A,故总存在b∈A,使得a=b+3或a =0,因此AUB具有性质P 构造A={1,2,4},B=2,4,8,…,2,…}都具有 性质P,但是A∩B不具有性质P. 故AUB具有性质P,A∩B不具有性质P 高中数学必修第一册章节测评卷（二） 一、单项选择题 1.C;2.A;3.B;4.D:5.A;6.B;7.D;8.B. 提示： 1.若m=0,n=1,则1m|<n, 但m >,<(因为无意义）小m<-n均 不成立，故(A)(B)(D)错误； 由n>1mI≥m易得(C)正确. 2.不等式2x2-8x+6-a≥0在1≤x≤4时有解， 等价于当1≤x≤4时，a≤（2x2-8x+6)mm y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2, 当x=4时，ym=6,所以a≤6. 数理极 3.由0<<号，则0<3x<1,0<1-3x<, 故f(x)=+，16 12 42 (1+4)2 31 1-3x =3x+1-3x 乡3x+1-3 525,当且仅当3x30 元即x方时，等号成立 4.为简便起见，复用A,B,C,D表示A,B,C,D四个同 学的年龄，则A>0,B>0,C>0,D>0. 则A+C=B+D①，C+D>A+B②，B>A+D③ ①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C> 2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A,因为C>B,所以C-B> 0,所以D-A>0,所以D>A,综上，C>B>D>A. 5.原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0. 当a<1时，不等式的解集为[a,1],此时只要a≥ -4即可，即-4≤a<1; 当a=1时，不等式的解为x=1,此时符合要求； 当a>1时，不等式的解集为[1，a],此时只要a≤3 即可，即1<a≤3. 综上a的取值范围是[-4,3]. 6.若ab=0,则keR; 若b>0,则k≤a-b)2= b ab -2, 因为号+合-2≥2√合日-2=0，航以k≤0： 若b<0,则k≥a=-(÷-合）-2 ab 因为-（名-总）2≤-2√名)（合） -2=-4,所以k≥-4，所以-4≤k≤0. 7.由题可知1和-4是方程ax2+bx+c=0的两个 实数根，且α<0，由根与系数的关系可得 「-4+1=-6 即b=3a,c=-4a, -4×1 = 所以9 =-4a+9=16a+9-4a+ +9 9 a 3a Aa =-(-4a+-9a)≤-2√4a×(9a =-6. 当且仅当-4a=9物即a=子时等号成立， 则8e(-,-6 8.由x2-2x-3≤0曰-1≤x≤3， 若不等式组 x2-2x-3≤0， 41x2+4x-I+a)≤0 的解集是空集， 所以x2+4x-(1+a)>0在[-1,3]上恒成立， 令fx)=x2+4x-(1+a),则二次函数f(x)开口 向上，且对称轴为直线x=-2, 所以f(x)在[-1,3]上单调递增， 所以要使f(x)>0在[-1,3]上恒成立， 则f八-1)=-4-a>0,解得a<-4. 故实数a的取值范围是[-4，+0). 二、多项选择题 9.ABC;10.AD;11.BCD. 提示： 9.当ab<0时，后<合不成立，故(A)不正确：当 c<0时，a<b,故(B)不正确当a=1,b=-2,k=2 时，命题不成立，故(C)不正确；a>b>0台-a<-b< 0→c-a<c-b,又c>a,所以0<c-a<c-b,同乘 c-0e-而得0<6<a又a>6>0,所以 >。6故(D)正确故选(A)(B)(C. 3、6 10.由题得6a=a+2a+3a<a+2b+3c=0, 所以a<0,又0=a+2b+3c<c+2c+3c=6c, 所以c>0,(A)正确； 由题得a+2c+3c>0,所以a+5c>0,得c>- 数理极 >0,所以e>芬得d-25e<0,(B)错误： 由题得3a+3c<a+2b+3c=0, 所以a+c<0,(C)错误； 由题得a+c=-2(b+c),所以+2c=6+c+c a c a+c b+c+ a+c a+c =-7+a+c因为a+c<0,c>0,所以 =- t-c a。<0,所以22 +c <-,(D)正确 故选(A)(D). 1.①当k>0时，不等式可化为(x“）(: 4)>0,又5=k+≥26>4，所以x<4或x> ,即解集为(-，4)U(6,+） 此时集合M有无穷个整数，不合题意； ②当k=0时，不等式为-6(x-4)>0,解得x< 4,此时集合M有无穷个整数，不合题意； ③<0时，原不等式化为(：-“)(x-4)< 0.所以<<4， °=(-)+(-）≥26， 2<-4, 而4<26<5，所以-5<十6 因此集合M至少有-4，-3，-2，-1,0,1,2,3共8 个数只要≥-5，即-3≤k≤-2，否会绌-5 这个数，所以当k∈[-3，-2]时，M中元素个数最少，且M ={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}.故选(B)(C)(D). 三、填空题 22:B(,-专)u1,+: 14.4. 提示： 12.原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1， 即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意实数x恒成立 --1=(x-方)-子≥-各 所以-子≥-a-2,解得-子≤a≤多， 所以a最大为子 1经+，+=6(2+，+)x+2+] =石×[4+D+,+≥右×[4 2 仅当7=本即x=3w=时等号成立 要使不等式m2+ +，有解，只需m 3m>2 3m>专→3m+m-4=(3m+4)(m-1）>0, 所以me（-0,-号)U(1,+) 14.因为函数y=2+ax+b(a,beR)的最小值为0， 所以6：-0，所以6= 所以函数)=子+a+6=2+am+年 之)，其图象的对称轴为x=-乞 因为不等式x2+ax+b<c的解集为{xlm<x< a m+4,所以方程2+ax+年-c=0的根为m,m+4, 所以m+m+4=-a,解得m=二a-4 2 所以m+号=-2，又因为㎡+m+ 4-c=0 …参考答案 所以c=2+am+号=(a+受）=4 四、解答题 15.解：(1)因为9x-y=m(x-y)+n(4x-y）= (m+4n)x-(m+n)y, 5 「m=- 3 =1, 8 n (2)由()知9x-y=- -(x-y） 且-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5， 可知号≤-号(x-)≤9.-号≤号(4-)≤ -8 9所以-1≤9x-y≤20， 即9x-y的取值范围是[-1,20] 16.解：(1)由题意得 r4=4(m+2)2-4(m2-1)≥0， 2(m+2)>0, m2-1>0, 解得-子≤m<-1或m>1, 即m的取值范围是[-子，-1）U(1,+女)， (2)由题意得 「4=4(m+2)2-4(m2-1)>0, lm2-1<0, 解得-1<m<1. 所以m的取值范围是(-1,1) 1n解：①设)=2+(1+名)x+9 -(1+2)-36>0 则 1)=11+2<0, 解得 11 <a<0, 即a的取值范围为(-子，0） (2)设fx)=x2-mx+1, 4=m2-4≥0， 0<m 则 <2, 解得2≤m< f0)=1>0, f2)=-2m+5>0, 即实数m的取值范围是[2，子）： (3)设f(x)=x2+(m-2)x+5-m, f2)>0,4+2(m-2)+5-m>0, 则f3)<0,即9+3(m-2)+5-m<0, f4)>0,16+4(m-2)+5-m>0, 得-号<m<-4即m的取值范为(-号，-4） 18.解：(1)x=2表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得f4(2)=√4×2+√3×2=22+6， ②=4-√i652+47-4-m+25, 又f(2)-5(2)=6+T-4>2+2-4=0, 所以f4(2)>f(2). (2)两次投资在2027年产生的利润之和为f(x), 设2024年初投资x百万元，则2025年初投资(4-x) 百万元，2024年初投资的x百万元在2027年产生的利润 为√4x=2(百万元)，2025年初投资的(4-x)百万元 在2027年产生的利润为3(4-x)(百万元)， 所以f4(x)=2E+2-3x, 即[f1(x)]2=x+45·x(4-x)+12=x+√6x .32-8x+12≤x+6x+32-8x+12=16+12=28, 2 当且仅当6x=32-8x,即x=9 时取等号， 所以f4(x)≤2√7，所以两次投资在2027年产生的 15 利润之和的最大值为27百万元 19.解：(1)点(3,11)是点(2,7)的“下位点”. 理由如下： 根据定义，易知3×7<11×2， 所以点(3,11)是点(2,7)的“下位点” (2)由题可知ad<bc,a,b,c,d均为正数， 越号台，品>0明后>片： 同理可得行台：+品<0，听行<台 综上，<8+行<行 (3)由已知得mn<2024k, l(m+1)n>2025k, 因为m,n,k为正整数，故mn+1≤2024k, l(m+1)n-1≥2025k, 所以2024(mn+n-1)≥2024×2025k≥ 4049 2025(mn+1),解得n≥2024-m 又该式对集合m|0<m<2024,m∈N}内的每 4049 个正整数m都成立，所以n≥2024-2023 =4049. 所以正整数n的最小值为4049. 高中数学必修第一册章节测评卷（三）】 一、单项选择题 1.A;2.D:3.B;4.B;5.B;6.D;7.D;8.A. 提示： 1.fx)=2x-1在[-1,2]上单调递增， 所以f代x)的值域为[-3,3]. r2x-1≥0， 2.由题意可知 2:-1分解得e[分号) 3.令+2=t,则t≥2， 所以ft)=(t-2)2+4(t-2)+5=t2+1(t≥2)， 即fx)=x2+1(x≥2). 4.因为函数y=f(x)的图象关于x=1对称， 则a=f(-2)=(3), 因为函数y=f代x)在(1，+∞)上单调递增， 且1<2<<3， 所以f2)<f3）<f3),即b<a<c 5.函数y=1x1(x-)=厂(x-a),x≥0， 1-x(x-a),x<0, 因为a>0, 当x≥0时，函数y=x(x-a)的图象为开口向上的 抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0,0)，(a,0); 当x<0时，函数y=-x(x-a)的图象为开口向下 的抛物线的一部分.故选(B). 6.设初始状态为(x1,y1),则x2=16x1,y2=8y1, 又y=kx,2=a,即8y1=k(16x)“=k·16x, 则8-：16，即16°=8，即4a=3,则a=3 kx 7.由题意可得F(x)-2=af(x)+bg(x), 函数f代x),g(x)都是奇函数， 所以F(-x)-2=af(-x)+bg(-x)=-[af(x) +bg(x)]=-[F(x)-2], 所以F(x)-2=af代x)+bg(x)是奇函数， 又由F(x)在(0，+∞)上有最大值8， 即F(x)≤8，所以F(x)-2≤6， 当xe(-0,0)时，-x∈(0，+0)， 则F(-x)-2≤6，即-[F(x)-2]≤6， 所以F(x)-2≥-6，即F(x)≥-4， 所以当xe（-∞，0)时，F(x)有最小值-4. 8.由f(x+2)-2为奇函数，所以f(-x+2)-2= -f(x+2)+2,即f-x+2)+fx+2)=4, 所以函数f(x)关于点(2,2)中心对称，高中数学必修第一册 章节测评卷（二） 测试范围：一元二次函数、方程和不等式 ⊙数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.若m,n∈R,且Iml<n,则下列结论一定成立的是() 高 (A)m2>n2 (B)1<1 m 数 (C)m n (D)m <-n 2.若关于x的不等式2x2-8x+6-a≥0在1≤x≤4时有解， 第 则实数a的取值范围是 册 (A)(-0,6] (B)[-2,+0) (C)[6,+∞) (D)(-∞，-2] A 3.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最 版 值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a,b,x,y,满足4+公 测 (a+b) 1 x+Y ,当且仅当兰=乡时，等号成立.则函数)= 2. 3x 卷 16 1-3x 0<< 的最小值为 (A)16 (B)25 (C)36 (D)49 4.A,B,C,D四名学生的年龄关系如下.A,C的年龄之和与B,D 的年龄之和相同，C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和，B的年龄大 于A,D的年龄之和，则A,B,C,D的年龄关系是 (A)B C>A>D (BB>C>D>A (C)C B A D (DC>B>D>A 5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集，则 a的取值范围是 (A)[-4,3] (B)[-4,2] (C)[-1,3] (D)[-2,2] 6.对于任意实数a,b,(a-b)2≥ab均成立，则实数k的取值范 围是 (A){-4,0 (B)[-4,0] (C)(-∞，0] (D)(-∞，-1]U[0,+∞) 7.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,ceR)的解集为 （-4,1),则+9 a+b 的取值范围为 (A)[-6,+0) (B)(-∞，6) (C)(-6,+∞) (D)(-0,-6] x2-2x-3≤0， 8.若不等式组 的解集不是空集，则实数 x2+4x-(1+a)≤0 a的取值范围是 (A)[-5,+0) (B)[-4,+∞) (C)(-∞，-4] (D)(-∞，-5] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.下列说法中不正确的是 (A)若a<b,e<0,则片<分 (B)若ac3>bc3,则a>b (C)若a>b且k∈N,则a>b (D)若e>a>b>0,则，。>6 10.已知a<b<c(a,b,c∈R),且a+2b+3c=0,则 (A)a<0<c (B)3a,c使得2-25c2=0 (C)a+c可能大于0 1 （D)b+2c4一2 a+c 11.已知关于x的不等式(kx-k-6)(x-4)>0,k∈R.设该 不等式的解集为C,记M=C∩Z(其中Z为整数集).若集合M为有 限集，则使得集合M中元素个数最少的实数k的值可以是() (A)-1.5 (B)-2 (C)-2.5 (D)-3 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 b 12.在R上定义运算： ad -bc,若不等式 x-1a-2 ≥1对任意实数x恒成立，则a最大为 a+1 13若正实数，y满足x+2=4,不等式m+兮m>2+,十 x y+I 有解，则m的取值范围是 14.已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，若关于x 高 的不等式x2+ax+b<c的解集为xlm<x<m+4,则实数c= 数 必 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y ≤5. (1)若9x-y=m(x-y)+n(4x-y),求实数m,n的值； 册（人教 (2)求9x-y的取值范围. 版)章节测评卷() 16.(15分)已知关于x的方程x2-2(m+2)x+m2-1=0. (1)m为何实数时，方程有两个正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？ 高中数学·必修第 17.(15分)(1)关于x的方程+(1+名)+9=0有两个不 (人教 相等的实数根x1,x2且x1<1<x2,求a的取值范围； A (2)已知一元二次方程x2-mx+1=0的两根都在(0,2)内，求 版 实数m的取值范围 章 (3)方程x2+(m-2)x+5-m=0的一根在区间(2,3)内，另 测评卷一 根在区间(3,4)内，求m的取值范围！ 18.(17分)冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段， 使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定 的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安 全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步 扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初 两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的x百万元在第m(1≤m ≤8，且m∈N)年产生的利润（单位：百万元）G(m)= ·mx, 1≤m≤4， 记这4百万元投资从2024年开始的第n 4- ,5≤ms8, 16、mx 年产生的利润之和为∫(x). (1)比较∫(2)与f(2)的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值， 19.(17分)对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如 下定义：若ad<bc,那么称点(a,b)是点(c,d)的“下位点”. (1)点(3,11)是点(2,7)的“下位点”吗？请简单说明理由； (2)若点(a,6)是点(c,d小的“下位点"，试判分导公+后之 间的大小关系； (3)设正整数n满足条件：对集合{m|0<m<2024,m∈N 内的每个m,总存在正整数k,使得(m,2024)是(k,n)的“下位点”， 且(k,n)是(m+1,2025)的“下位点”，求正整数n的最小值 高中数学·必修第一册（人教A版）章节测评卷（一） (参考答案见14~15版)