7.1.1 两条直线相交（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学课件聚焦相交线中邻补角和对顶角的定义、性质及应用。通过大桥吊索、十字路口等生活实例导入，引导学生观察抽象相交线模型，联系补角等旧知作为学习支架，构建新旧知识脉络。 其特色是采用“观察—画图—猜想—证明—应用”探究流程，结合几何直观与推理意识。用剪刀开合等实例培养抽象能力，通过度量和几何画板验证猜想发展推理能力，真题感知与规范推理助力数学语言表达。学生能提升几何直观和推理能力，教师可直接使用丰富素材提高教学效率。

7.1 相交线 第七章 相交线与平行线 人教版2024·七年级下册 第1课时　两条直线相交 学 习 目 标 1 2 3 （1）能从生活实例中抽象出相交线模型，准确理解邻补角和对顶角的定义，能在图形中快速识别这两类角。 （2）经历观察、度量、猜想、验证和推理的过程，掌握邻补角互补、对顶角相等的性质，初步发展几何直观和逻辑推理能力。 （3） 能运用所学性质解决简单的角度计算问题，体会数学与生活的联系，增强应用意识和运算能力。 知识回顾 1、如果两个角的和等于______，就说这两个角互为余角； 2、如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角. 3、角α的余角是 ，它的补角是 . 90° 180° 180°- α 90°- α 5、等角的余角 、等角的补角 ； 4、同角的余角 、同角的补角 ； 相等 相等 相等 相等 还记得这些知识吗？ ►对于相交，要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关系; ►对于平行，要借助一条直线与另外两条直线相交所成的角，研究平行线的判定和性质. ►在此基础上，还要学习图形的平移等. 在上一章中，我们认识了几何图形，并学习了一些基本的平面图形--直线、射线、线段和角.本章我们将学习平面内不重合的两条直线的位置关系:相交与平行 在本章中获得的知识，是后面学习三角形、四边形等平面图形的基础.在本章中，我们还将学习通过简单的推理得出数学结论的方法，逐步养成言之有据的思考习惯. 章前引言 章前引言 你对两条直线相交、平行一定不陌生吧! 大桥的吊索、钢梁上的钢条 章前引言 你对两条直线相交、平行一定不陌生吧! 十字路口的道路 章前引言 你对两条直线相交、平行一定不陌生吧! 窗户的边框 章前引言 你对两条直线相交、平行一定不陌生吧! 剪刀开合的过程 导入新课 你能再举出一些相交线和平行线的实例吗? 这些图形中两条直线的位置关系有什么共同点？ 导入新课 直线与直线相交于一点并形成了四个角. 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系 新知探究 探究点1 探究相交线 做一做 a b 用两根木条钉在一起，转动木条模拟相交线，观察转动过程中角的变化 相交线的定义： 平面内有一个公共点的两条直线叫做相交线， 注意：公共点为交点 ——相交线所成角的关系 （1）观察木条转动时，所成的角之间有哪些不变的关系？ 新知探究 探究点2 探究对顶角定义 议一议 （1）“木条转动时，所成的角之间有哪些不变的关系？”能否画图说明? B A C D O 1 2 3 4 学生活动： 画两条相交直线AB和CD，交于点O，标注交角形成的四个角∠1、∠2、∠3、∠4。 （2）画图观察，将这些角两两相配能得到几对角？ ∠1和∠2 ∠2和∠3 ∠3和∠4 ∠4和∠1 ∠2和∠4 ∠1和∠3 新知探究 探究点2 探究对顶角定义 议一议 ∠1和∠2有什么位置关系？它们的边有什么特点？∠1和∠3呢？ 1 2 3 4 A B C D 形如∠1 与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角. O 邻补角定义： 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角 邻补角两个条件 两角有一条边为公共边 两个角的另外一条边互为反向延长线 新知探究 探究点2 探究对顶角定义 议一议 ∠1和∠2有什么位置关系？它们的边有什么特点？∠1和∠3呢？ 1 2 3 4 A B C D O 形如∠1 与∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 对顶角定义： 有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角 1、有公共顶点 2、没有公共边 3、两边互为反向延长线 对顶角特点： 角的名称 位置关系 图例 邻补角 对顶角 2、有一条公共边 3、另一边互为反向延长线 1、有公共顶点 1、有公共顶点 2、没有公共边 3、两边互为反向延长线 B A C D O 1 2 3 4 新知探究 探究点2 探究对顶角定义 ∠1和∠2 ∠2和∠3 ∠3和∠4 ∠4和∠1 ∠2和∠4 ∠1和∠3 议一议 图中邻补角与对顶角有什么区别，找一找邻补角和对顶角 新知探究 探究点2 探究对顶角定义 议一议 判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 新知探究 做一做 探究点3 探究对顶角的性质，规范推理 用量角器测量所画图形中四个角的度数，记录∠1与∠2、∠1与∠3的度数关系，猜想四个角的关系。 B A C D O 1 2 3 4 ∠1+∠2=180° ∠1=∠3 （1）邻补角的度数和是多少 （2）对顶角的度数有什么关系？ 猜想 验证推广：用几何画板动态演示两条直线相交的过程，改变夹角大小，观察角的度数变化，验证猜想是否始终成立。 如图，直线AB与CD相较于O点， ∠3是∠2的 . ∴∠3+ ∠2= . 新知探究 议一议 探究点3 探究对顶角的性质，规范推理 B A C D O 1 2 3 4 如图，直线AB与CD相较于O点， ∠2是∠1的 . ∴∠1+ ∠2= . （3）你能得到什么结论？为什么？ 180° 180° 对顶角相等 （1）∠1和∠2位置是什么关系？大小有什么关系？ 邻补角 （2）∠3和∠2位置是什么关系？大小什么关系？ 邻补角 ∠1=∠3，理由：根据同角的补角相等 新知探究 归一归 探究点3 探究对顶角的性质，规范推理 已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3、 ∠2=∠4. 解：∵直线AB与CD相交于O点, ∴∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3. 同理可得：∠2=∠4. ∵直线AB与CD相交于O点 ∴∠1=∠3 对顶角性质定理: 对顶角相等 应用格式： B A C D O 1 2 3 4 典例分析 例1　直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数 解:∵∠1 和∠2互为邻补角， ∴ ∠1 +∠2 =180° ∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°. ∴∠3=∠1=40°（对顶角相等）， ∠4=∠2=140° （对顶角相等），. B A C D O 1 2 3 4 典例分析 例2.直线AB、CD相交于点O，∠AOC:∠BOC=2:7，求∠BOD和∠AOD的度数. 解:设， ∠AOC:∠BOC=2:7， ∴， ∵∠AOC与∠BOC互为邻补角， 得方程：， 解方程，得 ∴∠AOC=40°，∠BOC=140°. ∴∠BOD=∠AOC=40°（对顶角相等）， ∠AOD＝∠BOC=140°（对顶角相等）. A B C D O 新知巩固 1.在下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角? 解：(1) (2)(3)中的∠1和∠2不是对顶角; (4)中的∠1 和∠2 是对顶角. （1） （2） （3） （4） 教材P3“练习” 新知巩固 2.如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α=35°，其他三个角分别等于多少度?如果∠α等于90°，115°，m°呢? 解：如果∠α=35°， 其他三个角分别是145°，35°，145°; 如果∠α=90°，其他三个角都是 90°; 如果∠α=115°， 其他三个角分别是65°，115°，65°; 如果∠α=m°， 其他三个角分别是(180-m)°，m°(180-m)°. 教材P3“练习” 180-∠α ∠α 180-∠α 新知巩固 3.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC:∠BOC=2:7.， 则∠BOC=_____°、∠AOD=_____°. A B C D O 解：∵∠AOC:∠BOC=2:7 ∴ ∠AOC=∠BOC ∵∠AOC+∠BOC=180° ∴∠BOC+∠BOC=180° ∴∠BOC=140° ∴ ∠AOD=∠BOC=140°（对顶角相等） 140 140 拓展提升 1.若两条相交直线中有一个角为m°，求其他三个角的度数. 解：与这个角相邻的两个角分别是（180－m）°、（180－m）°， 与这个角是对顶角的角是m°. 180-m° m° 180-m° A B C D O m° 拓展提升 2．如图，与是对项角，，则 ． 解： ∵与是对项角， ∴ ，（对顶角相等） ， 解得：； 真题感知 1．（2025肥西摸底测试）如图，直线，相交于点， 则图中的对顶角有 ． 解：根据对顶角的定义可知，图中的对顶角有： 与，与． 与，与 真题感知 2．（2025聊城期终测试）【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角的度数，王明设计了如下方案：作，的延长线，，量出的度数，就得到了的度数，王明这样做的依据是 ． 解：根据对顶角的定义和性质可知， 与为对顶角， ∴． 对顶角相等 真题感知 3．（2025镇江期中测试）如图是一把剪刀，若，则 ． 解：∵， ， ∴， ∴ 课堂小结 1. 知识总结： 本节课学到了哪些概念和性质？如何区分邻补角和对顶角 邻补角互补 对顶角相等 2. 方法总结： 邻补角 2、有一条公共边 3、另一边互为反向延长线 1、有公共顶点 对顶角 1、有公共顶点 2、没有公共边 3、两边互为反向延长线 我们是通过什么步骤研究相交线的？ 观察—画图—猜想—证明—应用 3. 易错提醒： 邻补角和对顶角这两中类型的角例都有边互为反向延长线，避免概念辨析错误。 课后练习 教材P8 1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O. （1）写出∠AOC，∠BOE 的邻补角； （2）写出∠DOA，∠EOC 的对顶角； （3）如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB的度数. 解：（1）∠AOC 的邻补角是 ∠AOD、∠COB； ∠BOE 的邻补角是 ∠AOE、∠BOF； （2）∠DOA 的对顶角是 ∠BOC； ∠EOC 的对顶角是 ∠DOF； （3）因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角， 所以∠BOD =∠AOC = 50°. 因为∠COB 与∠AOC 互为邻补角， 所以∠COB +∠AOC = 180°. 则∠COB = 180°-∠AOC = 180°-50°= 130°. 习题7.1 课后练习 教材习题7.1第5题. 5. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC. （1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数； （2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度数. 教材P8 习题7.1 （2）∵∠EOC∶∠EOD = 2∶3， 又∵∠EOC +∠EOD = 180°， ∴∠EOC = 180°× = 72°， ∵OA 平分∠EOC， ∴∠AOC = ∠EOC =36°， ∴∠BOD =∠AOC = 36°. 课后练习 教材习题7.1第5题. 5. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC. （1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数； （2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度数. 解：（1）∵ OA 平分∠EOC 且∠EOC = 70°， ∴∠AOC = ∠EOC = ×70°= 35°. ∵直线 AB、CD 相交于点 O， ∴∠BOD 与∠AOC 是对顶角. ∴∠BOD = ∠AOC = 35°. 教材P8 习题7.1 感谢聆听! $