精品解析：浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3.在答题纸相应的位置规范作答． 4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 第I卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式直接求解比例关系即可． 【详解】解：由得，， 故选：D． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 蜡烛在真空中燃烧 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的三名同学，他们的生日是同一天 D. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、蜡烛燃烧需要氧气，真空中没有氧气，则A蜡烛在真空中燃烧是不可能事件； 选项B、射击运动员射击一次可能命中靶心，则B随机事件； 选项C、三名同学生日相同可能发生，则C随机事件； 选项D、经过红绿灯路口可能遇到绿灯，则D是随机事件； 故选：A． 3. 下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质． 根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题． 【详解】解：A、的对称轴是直线，不符合题意； B、的对称轴是直线，不符合题意； C、， 的对称轴是直线，符合题意； D、， 的对称轴是直线，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，为半径，点为上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解：本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理，可得，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，理解黄金分割的概念和熟记黄金分割比是解题的关键； 根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，即可知，又因为是米，即可求解． 【详解】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比， ∴， ∴， 解得，（米）， ∴大约是米， 故选：B． 6. 如图，已知点D，E分别在的边，上，．若，，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键．证明出，得到，然后代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故选：C． 7. Rt中，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．设，则，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴， ，故结论①错误； ，故结论②正确； ，故结论③正确； ，故结论④错误． 综上所述：正确的结论是②③． 故选：A． 8. 如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂径定理得，可得，再根据勾股定理求出，即可求出，进而求出，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴，． 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴． 根据弧长公式，得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求弧长，含直角三角形的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 9. 如图，在矩形中，，点在边上，于点，且平分，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得到，，则，解直角三角形得到，根据勾股定理得到，证明，即可得到． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（ ） A ①② B. ③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由抛物线开口方向，顶点坐标，与y轴的交点位置可判断①；根据二次函数图象的平移，得出的顶点在x轴下方，可判断②；根据抛物线与轴的另一个交点在点和之间，将代入，可判断③；分在对称轴左侧或右侧两种情况，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 顶点为， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴， ， ，故①错误； 向下平移m个单位长度时，新图象的解析式为， 顶点为， 时，新图象的顶点在x轴下方，新图象与x轴没有交点， 没有实数根，故②正确； 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 时，， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，和，且，对称轴为直线， 在对称轴左侧，在对称轴左侧或右侧， 当在对称轴左侧时， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，， ； 当在对称轴右侧时， 关于对称轴的对称点为， ， ，故④错误， 综上可知，正确的是②③， 故选：D． 第II卷 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的正方体骰子共有6种等可能结果，其中向上一面的点数是6的只有1种结果， 所以向上一面的点数是6的概率为． 故答案为：． 12. 如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为_____． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1：4， ∴它们的相似比为1：2． 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键． 13. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 14. 抛物线向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式是______． 【答案】+3 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律解答． 【详解】解：抛物线向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式是+3， 故答案为：+3． 【点睛】此题考查抛物线平移的规律：左右平移时，x的值左加右减；上下平移时，h值上加下减；熟记规律是解题的关键． 15. 如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理求得是解题的关键． 根据圆周角定理可得，进而根据切线的性质可得与互余，即可求得的度数． 【详解】解：， ， 为的切线， ， ． 故答案为：． 16. 在中，，斜边上一点满足，连结，点是射线上的点，连结的一个内角与相等，则的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 过点C作于点D，先求出，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理得，则，然后在中，再由勾股定理可求出的长．根根据可知有以下两种情况：①当时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，，先由△的面积公式求出，证明△和△相似，利用相似三角形的性质求出，进而得由勾股定理可求出，再证明△和△相似，利用相似三角形的性质可求出，然据此可得的长；②当时，过点作于点，则，进而可证明，则，，由①可知，由此可得的长；③当时，过点作于点于点，过点作于点，由①可知：，，，，，在△中，由勾股定理得，证明△和△相似，再由相似三角形的性质得，进而得，综上所述即可得出答案． 【详解】是△的一个外角， ， 当点在射线上，△的一个内角与相等时，有以下两种情况： ①当时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图2所示： ， 由（1）可知：，，，，， ， 由△的面积公式得：， ， ， ， △△， ， ， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 在△和△中， ，， △△， ， ， ， ， ； ②当时，过点作于点，如图3所示： ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即， 由①可知：， ， ③当时，过点作于点于点，过点作于点，如图4所示： 由①可知：，，，，， 在△中，由勾股定理得：， ，， △△， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键．先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： 18. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率及用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用红球数除以总球数即可得解； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 两次摸到红球的概率为． 19. 如图，是的直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角；运用圆周角定理寻求等角是解题的关键． （1）由直径所对圆周角是直角，得，进而可得，从而得到，即可证明； （2）由直径可得，根据题意得，可以求得，即可求解的半径； 【小问1详解】 证明：是的直径， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 又，， ， 的半径长度为； 20. 如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出水柱的最高点的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得，，抛物线的对称轴为直线，因此设抛物线的解析式为，将点A，B坐标代入，求解即可； （2）由（1）的抛物线解析式得到顶点坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴，． ∵喷出水柱在距离O点处达到最高， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）有抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水柱最高点的高度为． 21. 某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． （1）求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】（1） （2）每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【解析】 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【小问1详解】 解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 22. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． （1）求台灯光线最佳时的度数； （2）求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，） 【答案】（1） （2）点到桌面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）过点C作，由题意得，再结合，，利用平行线的性质即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴（cm）， 答：点到桌面的距离约为． 23. 已知二次函数的图象经过点和. （1）求，满足的关系式； （2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系； （2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围； （3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解． 【小问1详解】 把和分别代入函数式， 得方程组. 由这个方程组得. 所以，满足的关系式为. 【小问2详解】 ∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且， ∴. ∵， ∴，解得. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）得，， 又∵函数图象与轴无交点， ∴，解得. ∵， ∴当时，的最小值为，当时，. ∴的取值范围是 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的对称轴公式，顶点公式，会根据抛物线和x轴交点的情况求解． 24. 如图1，在中，为直径，C为圆上一动点（不与重合），于点G，E为上的一动点，延长交的延长线于点F，连结，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得，再利用同角的余角相等得到； （2）根据圆内接四边形对角互补得，再利用等角补角相等得到，可证明，再利用相似的性质即可求得； （3）易知，可得，由（2）易得，连结，，可得，知，设，，，即，根据得到，再根据即可求解． 【小问1详解】 为直径， ， ． ， ， ． 【小问2详解】 为圆的内接四边形， ． ，且由（1）得． ． 又， ． ，， ． 【小问3详解】 ，， ． ． ， ， ， 即． 连结，． ， ． ， ， 设，，． ， ， 即． ， ， ， 即． ， ， 解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省浙派联盟2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3.在答题纸相应的位置规范作答． 4.本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 第I卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 蜡烛在真空中燃烧 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的三名同学，他们的生日是同一天 D. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 3. 下列二次函数中，对称轴是直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，为半径，点为上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，已知点D，E分别在的边，上，．若，，，则的长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. Rt中，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①④ 8. 如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点在边上，于点，且平分，若，则长为（ ） A. B. C. D. 5 10. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②③ 第II卷 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是6的概率是 __________________． 12. 如果两个相似多边形面积的比为1：4，则它们的相似比为_____． 13. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 14. 抛物线向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式是______． 15. 如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接，，，若，则的大小是______． 16. 在中，，斜边上一点满足，连结，点是射线上的点，连结的一个内角与相等，则的长为_____． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 19. 如图，是直径，点，在上，． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出水柱的最高点的高度． 21. 某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． （1）求关于函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； （2）物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 22. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． （1）求台灯光线最佳时的度数； （2）求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，） 23. 已知二次函数的图象经过点和. （1）求，满足的关系式； （2）当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）若函数图象与轴无交点，求的取值范围. 24. 如图1，在中，为直径，C为圆上一动点（不与重合），于点G，E为上的一动点，延长交的延长线于点F，连结，，． （1）求证：． （2）若，，求长． （3）如图2，若，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $