28.2.1 解直角三角形（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心知识点，通过梯子安全攀爬的情境引入，从锐角三角函数定义过渡到实际应用，以问题链构建学习支架，引导学生从现实情境抽象出直角三角形问题。 其亮点在于以情境化问题驱动，结合数学眼光（从梯子问题抽象数学模型）、数学思维（推理与运算）和数学语言（符号表达与公式应用），典例涵盖不同类型且总结清晰。助力学生提升应用意识，教师可直接用于教学，提高效率。

第28章 锐角三角函数 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 28.2.1 解直角三角形 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． （1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得 sin75°≈0.97 解：（1）由 得 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数. 由于 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时， 梯子与地面所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 能 75° A B C 6 ∠A+∠B=90°∠B=90°-∠A=90°-75° BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 能 2.4 A B C 6 ∠A66° ∠A+∠B=90°∠B=90°-∠A=90°-66° BY YUSHEN BY YUSHEN 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边.2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做 解直角三角形. BY YUSHEN BY YUSHEN 存在主要问题 （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 （1）三边之间的关系 （勾股定理） A B a b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 解：∵ 求出其余未知元素的过程， 叫做解直角三角形. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解：∵ BY YUSHEN BY YUSHEN 解：(1)∵ 典例精析 例3 如图， = BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，结果保留小数点后一位）． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知OA=OB=5,夹角∠AOB=2α，求圆规画出的圆的半径AB的长(用含有的代数式表示). 解：过点O作OC⊥AB于点C,于是有AC=BC=AB, BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 解：∵ , 如图， BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 图① 在△ABC中，AB= ，AC=13，cosB=，求BC的长. 解：∵cosB = ，∴∠B=45°. 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5. ∴BC=BD-CD=12-5=7； 图② 当△ABC为锐角三角形时，如图②， BC=BD+CD=12+5=17. ∴ BC的长为7或17. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 如图是一块四边形空地，求该空地的面积. 解： . BY YUSHEN BY YUSHEN 解直角三角形 归纳总结 依据 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 解法 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是(　　) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　) A. B．4 C．8 D．4 D C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.如图，在△ABC中，cosB=， AB=2，BC=6,则AC的长是( ) 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是( ) A. b=a·tanA B. b=c·sinA C. b=c·cosA D. a=c·cosA C B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.已知等腰三角形三边长分别为1,1，，则它的一个底角为 （ ） A.150° B.60° C.30° D.45° 6.在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB的长为（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 B D D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB于点.已知cos ∠ACD＝ ，BC＝5，则AC的长 为 . 9.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E， EC=4， sinB＝ ，则菱形的周长是 . 40 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a = 30，b = 20，根据条件解直角三角形. 解：根据勾股定理 A B C b=20 a=30 c BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线， ，解这个直角三角形. 解： ∵ AD平分∠BAC， D A B C 6 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 13. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长． 在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°， D 解：如图，作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°， ∴BD=CD=2. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 14.如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，sin B＝ ，求BC的长． 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝1，sin B＝ ∴AD＝AB·sin B＝ ∴BD＝ ∴CD＝ ∴BC＝CD＋BD＝ BY YUSHEN BY YUSHEN $