9.1用坐标描述平面内点的问题（题型专练，4基础&4提升题型+培优）数学新教材人教版七年级下册

9.1 用坐标描述平面内点的问题 题型一、根据坐标判断所在象限 1．点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若是最大的负整数，的平方根等于它本身，则点在第 象限． 题型二、在平面直角坐标系中描点 6．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 7．在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 8．请在坐标系中描出下列各点：，，，，，，连接，，请判断这两条线与坐标轴的关系． 请归纳：有，，若，则 轴；若，则 轴． 9．在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上． (1)请写出三点的坐标； (2)描出点，； (3)的面积为___________． 10．（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标； （2）描出下列各点：； （3）顺次连接A，B，C，D各点，再顺次连接E，F，G，H，点A，B，C，D围成的封闭图形是什么图形？ 题型三、写出平面直角坐标系中的点坐标 11．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 12．已知，长方形在坐标平面内的位置如图所示，边和分别在x轴和y轴上，则点A的坐标为（   ） A．4 B．6 C． D． 13．五子棋深受广大小朋友的喜爱．如图所示的是小明和小亮的部分对弈图．若棋子A的坐标为，棋子B的坐标为，则棋子C的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．已知点P的坐标为，若点在y轴上，则 ． 15．线段平行于轴，点的坐标为，且，点的坐标为 ． 题型四、由点到坐标轴的距离求坐标 16．点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且点在第四象限，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则 ． 19．平面直角坐标系中有一点，若点到两坐标轴的距离相等，则x的值为 ． 20．已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 题型一、由点所在的象限求参数 21．已知点在第二象限，则 a 的取值范围是 ． 22．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 23．已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时， ． 24．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点，且轴，求点的坐标． 25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 题型二、平面直角坐标系中的几何图形 26．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 27．如图，在四边形中，轴，下列说法正确的是（   ） A．与的横坐标相同 B．与的横坐标相同 C．与的纵坐标相同 D．与的纵坐标相同 28．如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为16，点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 30．已知长方形的三个顶点坐标为，，，则顶点D的坐标为 ． 31．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，则______； (2)已知点，且轴，求出点的坐标； 32．如图1，将直角三角形放入平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且满足． (1) ， ，三角形的面积 ； (2)如图交轴于点，点的坐标为，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过作交轴于点分别平分，如图2，请直接写出的度数． 题型三、平面直角坐标系中的图形面积问题 33．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 34．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 35．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求点的坐标； (3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 题型四、平面直角坐标系中的动点问题 37．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶坐标分别为，，，，若且满足． (1)求点B的坐标； (2)P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，连接，，当时，求出点P的坐标． 38．在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点B在第一象限内，过点B作轴，轴，垂足分别为点A、点C，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，第一次回到点O时停止移动． (1)______，______； (2)当点P移动时，请写出点P的坐标______； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 39．如图，在平面直角坐标系中，长方形内，是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿着运动，设运动时间为． (1)点坐标是_____，点坐标是_____； (2)当点在上（包含端点）运动时，求的取值范围； (3)当三角形的面积为时，直接写出此时点的坐标． 40．如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接． (1)点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标． 41．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， 其中， 点A在第一象限， 且满足，． (1)请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为 A ， B ， C ． (2)动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点P的运动时间为t秒，三角形的面积为，请用含t的式子表示S (写出相应的t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线的方向运动．分别过点O，Q作直线的垂线，垂足分别为点 G，H．当时，求t的值． 42．在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中为常数，则称点与点互为“阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． (1)下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有_________（填序号）； ①   ② ③ ④ (2)点和点互为“0阶和谐点”，则____________ (3)若点与点互为“阶和谐点”，点到坐标轴的距离相等，求的值； 43．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 44．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 45．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 46．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)①已知点的坐标为，在点中，为点的“等距点”的是___________； ②若点B的坐标为，，且两点为“等距点”，则点的坐标为___________； (2) ，两点为“等距点”，求的值． 47．在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 试卷第2页，共45页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.1 用坐标描述平面内点的问题 题型一、根据坐标判断所在象限 1．点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是点的坐标，解题的关键是熟悉各象限内点的坐标符号特征．根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第二象限． 故选：B． 2．如图，一只小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限；根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由图可知点位于第四象限， 在第一象限， 在第三象限， 在第二象限， 在第四象限， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查由点的坐标判断其所在象限，熟记象限中点的坐标符号特征是解决问题的关键． 点的横坐标为负，纵坐标恒为正，根据象限符号特点判断即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标， ∴ 点在第二象限， 故选：B． 4．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 点P的纵坐标恒为正，横坐标恒为负，故点P在第二象限． 【详解】解：点P的坐标为，其中纵坐标， ∵， ∴， ∴， 即横坐标， ∴点P在第二象限． 故选：B． 5．若是最大的负整数，的平方根等于它本身，则点在第 象限． 【答案】 二 【分析】本题考查了判断点所在的象限，平方根的定义．先通过题意得到的值，然后再判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵是最大的负整数，的平方根等于它本身， ∴，， ∴， ∴点为， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 题型二、在平面直角坐标系中描点 6．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 7．在如图所示的网格中有四个点，鹏鹏在该网格中建立了一个平面直角坐标系，然后得到点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了坐标确定位置，建立正确的平面直角坐标系是解本题的关键． 根据与的坐标建立平面直角坐标系，确定出与的坐标即可． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 则点和点的坐标分别为， 故选：D． 8．请在坐标系中描出下列各点：，，，，，，连接，，请判断这两条线与坐标轴的关系． 请归纳：有，，若，则 轴；若，则 轴． 【答案】画图见解析，， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的点，以及直线的位置关系，采用数形结合的方法是解题的关键．根据坐标进行描点，连接，，从坐标系中即可得出结果． 【详解】解：如图， 由图形知：轴，轴； 归纳：有，，若，则轴；若，则轴， 故答案为：，． 9．在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点都在格点上． (1)请写出三点的坐标； (2)描出点，； (3)的面积为___________． 【答案】(1)，，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，三角形面积公式，掌握知识点并应用是解题的关键． （）根据平面直角坐标系即可求解； （）在平面直角坐标系中描点即可； （）连接，，，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，，，； （2）解：如图， （3）解：如图，连接，，， ∴的面积为， 故答案为：． 10．（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标； （2）描出下列各点：； （3）顺次连接A，B，C，D各点，再顺次连接E，F，G，H，点A，B，C，D围成的封闭图形是什么图形？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）正方形 【分析】本题考查平面直角坐标系，掌握在平面直角坐标系中写出点的坐标与根据坐标描点是解题的关键． （1）由图直接写出各点的坐标即可； （2）根据各点的坐标的坐标直接描点； （3）根据图形即可解答． 【详解】解：（1）各点坐标分别为； （2）所求各点如图所示； （3）如图所示，围成的封闭图形是是正方形． 题型三、写出平面直角坐标系中的点坐标 11．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据第三象限中点的符号的特点可知目标的坐标可能是． 【详解】解：因为目标在第三象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有D符合题意， 故选：D． 12．已知，长方形在坐标平面内的位置如图所示，边和分别在x轴和y轴上，则点A的坐标为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平面直角坐标系，点的坐标等知识． 根据图形得出，，即可求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴点A的坐标为， 故选C． 13．五子棋深受广大小朋友的喜爱．如图所示的是小明和小亮的部分对弈图．若棋子A的坐标为，棋子B的坐标为，则棋子C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标． 【详解】解：如图，根据已知可建立平面直角坐标系， 所以点C的坐标是（-1，4）， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标确定位置，解题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系． 14．已知点P的坐标为，若点在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标特征，熟练掌握点在轴上的坐标特征是解题的关键． 根据点在轴上的坐标特征，横坐标为0，建立方程求解即可． 【详解】解：点在轴上， 则横坐标， 解得， 故答案为：． 15．线段平行于轴，点的坐标为，且，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征． 由于线段平行于轴，点和点的横坐标相同；，分点在点上方和下方两种情况，根据两点间距离公式，纵坐标差的绝对值为，从而点的纵坐标为或． 【详解】点的坐标为，线段平行于轴，因此点的横坐标与点相同，为；设点N的纵坐标为，则，解得或，故点N的坐标为或． 故答案为或． 题型四、由点到坐标轴的距离求坐标 16．点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且点在第四象限，则点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题关键．根据点到坐标轴的距离，得到横纵坐标的绝对值，再根据第四象限内横坐标大于0，纵坐标小于0，即可求解． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为2， ∴； ∵点P到y轴的距离为3， ∴． 又∵点P在第四象限， ∴， ∴． ∴点P坐标为． 故选：C． 17．在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解． 【详解】解：设点坐标为， ∵点到轴的距离为3， ∴； ∵点到轴的距离为1， ∴； 又∵点P在第二象限， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故选：C． 18．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握平行于y轴的直线的特点，两点之间距离的计算是关键． 由与y轴平行可得点P和点Q横坐标相等，即；再根据，利用两点间距离公式求出n的值，进而计算． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴； 又∵， ∴，即， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； 故答案为：或． 19．平面直角坐标系中有一点，若点到两坐标轴的距离相等，则x的值为 ． 【答案】或0 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得或； 故答案为：或0． 20．已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标特点等知识． （1）根据点在x轴上得到，即可求出； （2）根据点在第三象限，即可求出点到x轴距离为，到y轴距离为，根据点到两坐标轴的距离和为9得到，求出，即可得到点A的坐标为． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得； （2）∵点在第三象限， ∴点到x轴距离为，点到y轴距离为， ∵点到两坐标轴的距离和为9， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 题型一、由点所在的象限求参数 21．已知点在第二象限，则 a 的取值范围是 ． 【答案】a < / 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，由点P的纵坐标已满足大于零，只需横坐标小于零，列出不等式求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标， 解得， 故答案为：． 22．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征．根据轴上点的纵坐标为零的特征，令点的纵坐标等于，求解的值． 【详解】解：点在轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 23．已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时， ． 【答案】4 【分析】题目主要考查了二、四象限角平分线上点的特点，掌握象限角平分线上点的特点是解题的关键． 根据第二、四象限的角平分线上点的特点即可得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：， 故答案为：4． 24．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是运用平面直角坐标系中点的坐标特征来解决问题． （1）根据“轴上的点纵坐标为0”列式计算即可求解； （2）根据“轴时，横坐标相等” 列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 25．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 题型二、平面直角坐标系中的几何图形 26．如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 27．如图，在四边形中，轴，下列说法正确的是（   ） A．与的横坐标相同 B．与的横坐标相同 C．与的纵坐标相同 D．与的纵坐标相同 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与平面，熟练掌握平行于轴的直线上点的纵坐标相同是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相同得到的纵坐标相同，点的纵坐标相同，据此即可求解． 【详解】解：∵轴， ∴的纵坐标相同，点的纵坐标相同， 故符合题意的只有C， 故选：C． 28．如图，在长方形中，，，，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了“长方形的性质”“平行于坐标轴的点坐标特征”，通过图形特征，找到点之间的坐标关系是解题关键． 由长方形的条件可知，，，再根据A，B，C三点的坐标特征，找到点D的坐标即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵，，， ∴轴，轴， ∴轴，轴， ∴点D的横坐标等于点A的横坐标，点D的纵坐标等于点C的纵坐标， ∴． 故选： B． 29．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为16，点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查平面直角坐标系点的坐标特征，根据正方形的面积得出正方形的边长是解题的关键． 根据正方形的面积得出正方形的边长，进而利用坐标特点解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵点的坐标为， ∴的坐标为，即， 故答案为：． 30．已知长方形的三个顶点坐标为，，，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握坐标与图形性质．根据长方形对边平行且相等的性质，通过点的坐标变化确定点D的位置即可． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相同， ∴轴， ∵点和点的横坐标相同， ∴轴， ∵四边形为长方形， ∴点D的横坐标应与点A的横坐标相同，为2；点D的纵坐标应与点C的纵坐标相同，为，即点D的坐标为． 故答案为：． 31．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，则______； (2)已知点，且轴，求出点的坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． （1）根据点在轴上，纵坐标为得出，计算得出，即可得解； （2）根据轴得出，计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点，且轴，且 ∴， ∴， 则， ∴． 32．如图1，将直角三角形放入平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且满足． (1) ， ，三角形的面积 ； (2)如图交轴于点，点的坐标为，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若过作交轴于点分别平分，如图2，请直接写出的度数． 【答案】(1)，2，6 (2)存在，点的坐标为或 (3)45° 【分析】（1）由，可得，可求，再根据，计算求解即可； （2）设，则，，由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，过点E作，则，，，，由分别平分，可得，由，可得，根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴三角形的面积为， 故答案为：-2，2，6． （2）解：存在， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴P点坐标为或． （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，绝对值方程，平行线的判定与性质，角平分线定义等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，坐标与图形，绝对值方程，平行线的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 题型三、平面直角坐标系中的图形面积问题 33．如图，的三个顶点位置分别是，，，线段与y轴交于． (1)求的面积； (2)若点A、B的位置不变，当点P在坐标轴上什么位置时，使？ 【答案】(1)6 (2)或或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的特征及三角形的面积，掌握三角形的面积公式及点在平面直角坐标系中的位置是解题的关键． （1）根据点A，B，C三个点的坐标，求出的长、点B到的距离，利用三角形面积公式列式计算即可得解； （2）根据得到，然后分两种情况，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴，点B到的距离为3， ∴的面积是； （2）解：由题意得，， 当P点在x轴上， ∴ 解得， ∵ ∴点P坐标为或； 当点在轴上时，记线段与y轴交于， ∵ ∴ ∴， ∴点P坐标为或， 综上：点P坐标为或或或． 34．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 【答案】(1)，， (2)平行 (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 35．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 36．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求点的坐标； (3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解答的关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求得a、b的值即可求解； （2）连接，设，由，结合坐标与图形性质列方程求解即可； （3）先求得，设，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图，连接，设， ∵，，且， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴． 设， ∵三角形的面积和三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴此时点P的坐标为或． 题型四、平面直角坐标系中的动点问题 37．在平面直角坐标系中，四边形的四个顶坐标分别为，，，，若且满足． (1)求点B的坐标； (2)P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负性的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据非负性的性质求出a、c的值，可得点A和点C的坐标，再根据可求出b的值，即可求出点B的坐标； （2）分点P在上，点Q在上和点P在x轴正半轴，点Q在点C下方，两种情况，先设出运动时间，然后分别表示出两个三角形的面积，根据两个三角形的面积关系建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即平行轴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，当点P在上，点Q在上时，， 设运动时间为t，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴正半轴，点Q在点C下方时，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得； ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 38．在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点B在第一象限内，过点B作轴，轴，垂足分别为点A、点C，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，第一次回到点O时停止移动． (1)______，______； (2)当点P移动时，请写出点P的坐标______； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)4；6 (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负性的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据非负性的性质即可求出m、n的值； （2）根据（1）所求可得，求出点P运动4秒的路程可确定点P在上，且与点C的距离为2，据此可得答案； （3）分两种情况，点P在上，且与x轴的距离为5时， 点P在上，且与x轴的距离为5时，分别计算出点P的运动路程，再除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解；由（1）可得，， ∴， ∵轴，轴， ∴， 当点P移动时，点P运动的路程为， ∵， ∴此时点P在上，且与点C的距离为， ∴点P的坐标为； （3）解：当点P在上，且与x轴的距离为5时，则运动时间为秒； 当点P在上，且与x轴的距离为5时，则运动时间为秒； 综上所述，点P移动的时间为秒或秒． 39．如图，在平面直角坐标系中，长方形内，是的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿着运动，设运动时间为． (1)点坐标是_____，点坐标是_____； (2)当点在上（包含端点）运动时，求的取值范围； (3)当三角形的面积为时，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据长方形的性质解答即可求解； （）分别求出点从点到点用时和从到用时即可求解； （）求出长方形的面积，再分情况解答即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，轴，轴， ∴点坐标为， ∵点是的中点， ∴， ∴点坐标为； 故答案为：，； （2）解：点从点到点用时秒，从到用时秒， ， 即； （3）∵， ∴当点和点重合时，， 此时点的坐标为； 当点在上时， 设点坐标为， 则， ， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在上时， ∵， ∴点在上时，三角形的面积不可能为； 综上，点的坐标为． 40．如图①，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，，点是边的中点，连接． (1)点的坐标为 ； (2)求三角形的面积； (3)如图②，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线运动到点停止，设点的运动时间为，连接，当为何值时，三角形的面积是三角形面积的一半？ 并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)或 【分析】此题考查动点问题，解题关键是将速度乘时间表示动点运动的距离，然后根据数量关系列方程进行求解． （1）求出，，即可求解； （2）直接根据三角形的面积公式解答，即可求解； （3）先求出三角形的面积，然后分三种情况讨论：当点P在边上时，当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）解：由（1）得：，， ∴三角形的面积为； （3）解：∵三角形的面积是三角形面积的一半， ∴三角形的面积为， 当点P在边上时，，此时， ∴三角形的面积为， ∴，解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在边上时，此时， ∴， ∴， ∴三角形的面积为 ∴， 此时（不符合题意）； 当点P在边上时，此时， 此时， 三角形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 41．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， 其中， 点A在第一象限， 且满足，． (1)请在图1的平面直角坐标系中标出点B 和点C的大致位置，并写出点A，B， C的坐标分别为 A ， B ， C ． (2)动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点P的运动时间为t秒，三角形的面积为，请用含t的式子表示S (写出相应的t的取值范围)； (3)在（2）的条件下，在动点P从点B出发的同时，动点Q 从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线的方向运动．分别过点O，Q作直线的垂线，垂足分别为点 G，H．当时，求t的值． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形，两点间得距离，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）由题意，易得：轴，进而标出点B 和点C的大致位置，得到，根据，，求出的值，进而写出三个点的坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵，，，点A在第一象限， ∴轴，标出点B 和点C的大致位置如图： ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线的方向运动， ∴当点运动到点时，， ∴当时，， ； 当时，， ∴； 综上： （3）①当时，则：，由（1）知：， ∴， 由（2）知：， ∵，，，轴， ∴相当于把扩大倍得到的， ∴， ∴，解得：； 当时， 同理：，解得：； 综上：或． 42．在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中为常数，则称点与点互为“阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． (1)下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有_________（填序号）； ①   ② ③ ④ (2)点和点互为“0阶和谐点”，则____________ (3)若点与点互为“阶和谐点”，点到坐标轴的距离相等，求的值； 【答案】(1)①③ (2) (3)或33 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标，一元一次方程的其他应用，新定义，熟练掌握直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键； （1）根据“8阶和谐点”可依次进行排除； （2）结合“0阶和谐点”进行列式计算，即可作答． （3）根据题意易得，然后得出m的值，进而根据“a阶和谐点”可进行求解； 【详解】（1）解：①∵，， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故不符合题意； ③∵，， ∴，故符合题意； ④∵，， ∴，故不符合题意； 故答案为①③； （2）解：∵点和点互为“0阶和谐点”， ∴， 解得； （3）解：∵，且点P到坐标轴的距离相等， ∴， 解得：或， ∴或， 当，时，则有； 当，时，则有； ∴综上所述：a的值为33或； 43．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键. ()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解； ()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）解：． （2）设，由题意可知，． 点在第二象限， ，， ， 即， 点在直线上． 令直线与轴，轴分别交于点，则有，， ，． ． 44．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）求出点到两个坐标轴的距离，根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，结合第三象限内点的符号特征，求出的值，进而确定点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∵， ∴点的“长距”为5； （2）是，理由如下： ∵点的长距为4， ，解得或， 点C在第三象限内， 当时，点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 45．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)3 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里的定义． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出 的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （3）解：点的“长距”为7，且点在第二象限内，， ∴，且， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是3， 是“完美点”． 46．在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)①已知点的坐标为，在点中，为点的“等距点”的是___________； ②若点B的坐标为，，且两点为“等距点”，则点的坐标为___________； (2) ，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①E；② (2)1或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）①找到、轴距离最大为的点即可； ②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）①点到x、y轴的距离中最大值为3， 点到x、y轴的距离中最大值为3， 点到x、y轴的距离中最大值为4， 点到x、y轴的距离中最大值为5， 与A点是“等距点”的点是E． ②点B的坐标为，，且两点为“等距点”， 当时，，点B的坐标为，不合题意， 当时，，点B的坐标为， 当时，即，点B的坐标为，不符合题意， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E；②； （2）两点为“等距点”， ①若时，则或 解得（舍去）或． ②若时，则 解得或（舍去）． 根据“等距点”的定义知，或符合题意． 即k的值是1或2． 47．在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 试卷第2页，共45页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $