精品解析：吉林省长春市绿园区2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年吉林省长春市绿园区 七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 2. 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 5. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（ ） A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 南美洲 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了负数的大小比较，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题关键．比较各负数的绝对值，绝对值最大的，海拔就最低，故可得出答案． 【详解】，，， ∵， ∴， ∴海拔最低的是亚洲． 故选：A． 6. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点． 7. 如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出． 【详解】解：由题可知， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键． 8. 如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 详解】解：如图， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的绝对值是：_______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 10. 有理数精确到千分位的结果为________. 【答案】 【解析】 【分析】把万分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：有理数精确到千分位的结果为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式． 11. 南朝宋·范晔在《后汉书·联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是__________． 【答案】竟 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，解题的关键是掌握正方体表面展开图的特征．据此解答即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知，“志”字所在面相对的面上的汉字是“竟”， 故答案为：竟． 12 如图，已知∠AOC＝90°，直线BD过点O，∠COD＝115°，则∠AOB＝________． 【答案】25° 【解析】 【详解】分析：根据平角等于180°和∠COD=115°，求出∠BOC，再根据直角为90°，求出∠AOB的度数． 详解：∵∠COD=115°， ∴∠BOC=180°-115°=65°， ∵∠AOC=90°， ∴∠AOB=90°-65°=25°． 故答案为25°． 点睛：本题考查了直角及平角的定义，需细心计算，比较简单． 13. 如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； 14. 如图，，射线平分，且，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有：______． 【答案】①②④ 【解析】 【详解】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线的定义，结合角与角之间的和差关系，进行逐一判断即可． 【解答】解：，， ， 故①正确； 射线平分， ， 故②④正确； 故③错误， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 16. 先化简再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据整式的加减运算顺序进行化简，再代入值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，解题的关键是先进行整式的加减，再代入值进行计算． 17. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． （1）过点P画的垂线，垂足为H． （2）过点P画的垂线，交于点C． （3）线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）；；垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义，熟练掌握其定义是解题的关键 （1）根据垂线的定义画出图形； （2）根据垂线的定义画出图形； （3）利用点到直线的距离的定义，利用垂线段最短判断即可． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问3详解】 解：由（1）和（2）的图像可得，线段的长度是点P到的距离， 根据垂线段最短可得：， 故答案为：；；垂线段最短． 18. 完成下面的证明： 如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数? 解：∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠2=_________（ ） 又∵∠1=∠2 （已知） ∴∠1=_________（ ） ∴AD//BC（ ） ∴∠C+________=180°（ ） 又∵∠C=110°（已知） ∴∠D=__________． 【答案】；角平分线的性质；；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；70° 【解析】 【分析】根据角平分线性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数． 详解】解：∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ） 又∵∠1=∠2 （已知） ∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ） ∴AD//BC（内错角相等，两直线平行） ∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠C=110°（已知） ∴∠D=70° 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键． 19. 如图，平分，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了与角平分线有关的计算，掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：平分，， ， 平分， ， ． 20. 如图，已知线段． （1）尺规作图：在线段的延长线上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，若点D是AB的中点，试判断线段与线段的数量关系并给出证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段的作法，中点的性质，线段的和差计算，作出图形是解答关键． （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）由题意得，，进而得到即可求解． 【小问1详解】 解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点， 则点即为所求． 【小问2详解】 解：∵点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 某直播平台计划每天销售一种农副产品200千克．上周的实际销售记录如表（超过200的差额记为正数，不足200的差额记为负数，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量 （1）销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克？ （2）上周实际销售总量是多少千克？ 【答案】（1）销售最多的一天比销售最少的一天多销售23千克 （2）上周实际销售总量是1422千克 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据可知星期六的销量最多，星期三的销量最少，据此列式求解即可； （2）求出计划7天的销售量，再加上表格中这七天的销量即可得到答案． 【小问1详解】 解：（千克）， 答：销售最多的一天比销售最少的一天多销售23千克； 【小问2详解】 解： （千克）， 答：上周实际销售总量是1422千克． 22. 某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题．（结果用含m的代数式表示，并化简） 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆货车运载量（吨） 5 4 （1）装运水泥的货车为______辆． （2）50辆货车共装运了多少吨原材料？ （3）装运这批原材料的总费用为多少元？ 【答案】（1）； （2）50辆货车共装运了吨原材料； （3）装运这批原材料的总费用为元． 【解析】 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，整式的加减运算，根据题意列代数式是解题的关键． （1）根据50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，即可列出代数式； （2）根据“每辆货车沙子的运载量装运沙子货车的数量每辆货车水泥的运载量装运水泥货车的数量”列式计算即可； （3）根据“每吨沙子所需运费每辆货车沙子的运载量装运沙子货车的数量每吨水泥所需运费每辆货车水泥的运载量装运水泥货车的数量”列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，装运水泥的货车为辆， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（吨． 所以50辆货车共装运了吨原材料； 小问3详解】 解：（元． 所以装运这批原材料的总费用为元． 23. 【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 24. 综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【答案】（1）3；（2）；（3），4.5；（4）①2；②13 【解析】 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，,点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3 （2）因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：0 （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （4）①根据题意，, 点P对应的数为， ， 解得：， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为， ， 解得：， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林省长春市绿园区 七年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（ ） A. 元 B. 5元 C. 元 D. 10元 2. 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（ ） A. 亚洲 B. 欧洲 C. 非洲 D. 南美洲 6. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 7. 如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 8. 如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的绝对值是：_______． 10. 有理数精确到千分位的结果为________. 11. 南朝宋·范晔在《后汉书·联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是__________． 12. 如图，已知∠AOC＝90°，直线BD过点O，∠COD＝115°，则∠AOB＝________． 13. 如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示______． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 14. 如图，，射线平分，且，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有：______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算：． 16. 先化简再求值：，其中，． 17. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、O、B、P均在格点上，点P在的边上． （1）过点P画垂线，垂足为H． （2）过点P画的垂线，交于点C． （3）线段的长度是点P到______的距离．线段、、这三条线段大小关系是______（用“”号连接），依据是______． 18. 完成下面的证明： 如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数? 解：∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠2=_________（ ） 又∵∠1=∠2 （已知） ∴∠1=_________（ ） ∴AD//BC（ ） ∴∠C+________=180°（ ） 又∵∠C=110°（已知） ∴∠D=__________． 19. 如图，平分，平分，，求的度数． 20 如图，已知线段． （1）尺规作图：在线段的延长线上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）在（1）的条件下，若点D是AB的中点，试判断线段与线段的数量关系并给出证明． 21. 某直播平台计划每天销售一种农副产品200千克．上周的实际销售记录如表（超过200的差额记为正数，不足200的差额记为负数，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 销量 （1）销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克？ （2）上周实际销售总量是多少千克？ 22. 某车队组织50辆货车装运沙子和水泥两种原材料，每辆货车只能装运一种原材料，且必须装满，设装运沙子的货车为m辆，根据表中提供的信息，解答下列问题．（结果用含m的代数式表示，并化简） 原材料种类 沙子 水泥 每吨所需运费（元） 150 100 每辆货车运载量（吨） 5 4 （1）装运水泥货车为______辆． （2）50辆货车共装运了多少吨原材料？ （3）装运这批原材料的总费用为多少元？ 23. 【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P射线上时， ______． 24. 综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $