2026年中考数学一轮复习核心讲义(核心考点+模拟真题突破)专题16几何图形初步 全国通用版

该初中数学中考复习讲义聚焦“几何图形初步”专题，覆盖立体图形、展开图、点线面体等7大核心知识模块，针对中考3-6分选择填空，设计“考点梳理-典例精析-易错警示-真题训练”教学流程，系统构建知识网络，精准突破正方体展开图、角的计算等高频考点。 亮点在于“命题暗码”解析与分层实战，通过“送分信号”锁定4大必考点，“避雷指南”破解射线表示等3类陷阱，结合77题模拟真题培养空间观念与几何直观。1小时核心点突破策略提升复习效率，助力学生规避18%易错点，教师可依此精准把控复习节奏，实现高效备考。

专题16几何图形初步中考一轮复习核心讲义 【10大经典模拟真题题型共计77题】 一、这板块是啥？—— 中考 “零门槛得分区” 分值 & 题型：3-6 分纯选择 / 填空，占数学总分 2%-4%，是中考里少数 “不用算，记准就能拿分” 的板块。 考生现状：每年 15%-18% 的人在这丢分 —— 不是不会，是被 “隐蔽小雷” 绊了脚（比如把射线 AB 写成 BA）。 复习爽点：花 1 小时吃透核心点，直接超过这 18% 的考生，相当于 “白捡 3-6 分”，性价比在中考所有板块里排第一！ 二、命题暗码：出题人藏的 “送分信号”+“扣分陷阱” 信号 1：80% 的题就考这 4 个点，年年撞题！ 近 3 年全国中考，80% 的题目锁死这 4 个 “必拿分靶心”： 正方体展开图：超 60% 省市必考！考 “相对面”“识别无效展开图”（“田”“凹” 型、一线排超 4 个正方形的，直接判错）。 角的计算：角平分线、余补角、度分秒换算（必考！别把 60 进制当 10 进制算）。 线段中点：已知 AB 长度，求中点分线段的长度 —— 套公式就对。 几何体截面：“截正方体最多出几边形”（答案：六边形，对应 6 个面），经典送分题。 陷阱 1：3 个高频扣分雷区，看完直接避雷！ 射线表示雷：射线 AB（端点是 A）≠射线 BA（端点是 B）—— 每年 18% 的考生写错丢分。 正方体展开图雷：“田”“凹” 型、一线排 5 个正方形的，都是无效展开图 —— 直接排除。 度分秒换算雷：1°=60′、1′=60″（不是 10 进制）—— 比如 56°23′12″，先把 12″转成 0.2′，再转成度。 核心知识 模块梳理 1.立体图形 2.几何体的展开图 3.点.线.面.体 4.截一个几何体 5.平面图形的认识. 6.直线.射线.线段 7.角 中考模拟 题型实战 1.立体图形认识与展开折叠 2.视图与截面 3.图形变换 4.线段计算 5.角的计算 6.三角形基础与全等 7.四边形相关(含七巧板) 8.几何与跨学科结合 9.立体图形表面积与体积(含折叠/拼接) 10,几何实际应用 【模块01.立体图形】 1.考点梳理 常见立体图形分类： 柱体：棱柱（有棱、平面围成）、圆柱（曲面 + 平面围成） 锥体：棱锥（有棱、平面围成）、圆锥（曲面 + 平面围成） 球体：曲面围成（如球） 核心：根据 “棱、曲面 / 平面” 特征区分类型。 2.典例精析 （中考题）下列图形中，属于锥体的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 长方体 B. 答案：C 易错警示混淆 “棱柱” 与 “圆柱”：棱柱有明显的棱（线段），圆柱是光滑曲面，无棱。 【模块02.几何体的展开图】 1.考点梳理 正方体展开图（共 11 种）： 类型：1-4-1 型、2-3-1 型、2-2-2 型、3-3 型（“田”“凹” 型、一线超过 4 个正方形的不是展开图） 其他几何体展开图： 圆柱→长方形 + 2 个圆；圆锥→扇形 + 1 个圆；棱柱→n 边形 + 多个长方形 正方体相对面：展开图中 “间隔一个正方形” 的面为相对面（相对面不相邻）。 2.典例精析 （中考题）正方体的展开图中，面 “考” 的相对面是（ ） （展开图：第一行 “中”，第二行 “考、试、顺”，第三行 “利”） 答案：“利”（1-4-1 型中，“考” 在第二行第 1 位，相对面是第三行的 “利”） 3.方法总结 正方体相对面快速判断：排除相邻面，优先找 “间隔 1 个面” 的区域。 【模块03.点.线.面.体】 1.考点梳理 动态关系：点动成线（如笔尖滑动成直线）、线动成面（如直尺绕端点旋转成扇形）、面动成体（如直角三角形旋转成圆锥）。 2.典例精析 （中考题）下列现象能说明 “线动成面” 的是（ ） A. 笔尖划过纸面 B. 旋转一扇门 C. 抛出一个石子 D. 转动自行车轮 答案：B（门的边是线，旋转后门扫过的区域是面） 【模块04.截一个几何体】 1.考点梳理 常见几何体的截面（平面截几何体得到的形状）： 正方体：最多截出六边形（对应 6 个面），可截出正方形、长方形、三角形、五边形 圆柱：可截出圆、长方形、椭圆 圆锥：可截出圆、三角形、椭圆 2. 典例精析 （中考题）用一个平面去截正方体，不可能得到的截面是（ ） A. 三角形 B. 五边形 C. 七边形 D. 六边形 答案：C（正方体只有 6 个面，最多截出六边形） 【模块05.平面图形的认识】 1.考点梳理 分类： 多边形：由线段首尾顺次连接围成（如三角形、四边形） 曲线图形：由曲线围成（如圆） 核心：区分 “线段围成” 和 “曲线围成” 的图形。 【模块06.直线.射线.线段】 1.考点梳理 表示方法： 直线：直线 AB（或直线 l）；射线：射线 AB（端点为 A）；线段：线段 AB（或线段 l） 直线性质：两点确定一条直线 线段中点：若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=AB 线段计算：和差倍分（如 AB=AC+CB） 2.典例精析 （中考题）已知线段 AB=8，C 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，则 AD 的长度为（ ） 解：ACAB=4 BC=4 CDBC=2 AD=AC+CD=4+2=6.​ 答案：6 易错警示:射线的表示错误：射线 AB（端点 A）和射线 BA（端点 B）是不同的射线。 【模块07.角】 考点梳理 表示方法：∠AOB（顶点 O 在中间）、∠O（顶点唯一时）、∠1 度分秒换算：1∘=60′，1′=60′′（60 进制） 角平分线：若 OC 平分∠AOB，则 ∠AOC=∠COB=∠AOB 余角 / 补角： 互余：∠α+∠β=90∘；互补：∠α+∠β=180∘ 性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 【模拟01.立体图形认识与展开折叠】 1．（2025·河南南阳·二模）分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 3．（2025·河南·模拟预测）如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的正方体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（2025·河南驻马店·三模）下列命题是假命题的是（   ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 8．（2025·广东广州·中考真题）如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． B． C． D． 9．（2025·江苏苏州·二模）若一个棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 ． 【模拟02.视图与截图】 10．（2025·广东韶关·二模）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河南郑州·三模）用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 12．（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东淄博·二模）如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体． (1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形； (2)求这个几何体的表面积（含底面）； (3)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块． 14．（2025·吉林长春·三模）某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 15．（2025·广东东莞·二模）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【模拟03.图形变换】 16．（2025·重庆·二模）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ． 17.．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河北·模拟预测）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 19．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．（2021·宁夏银川·一模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 21．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 22．（2025·河南安阳·二模）如图1，在中，，，，D，E分别为，上靠近点C的三等分点． 【观察猜想】 （1）如图1，与的数量关系为________，与的位置关系为________． 【类比探究】 （2）如图2，将绕点C旋转至如图所示位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）将绕点C旋转，在旋转过程中，当点A，E，D在同一条直线上时，请直接写出的长． 【模拟04.线段计算】 23．（2024·河北石家庄·二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是（  ） A．点C在直线上 B．点C在线段上 C．点B在射线上 D．点B在线段上 24．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 25．（2025·河南平顶山·二模）墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 26．（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 27．（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 28．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 29．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．（2025·河北唐山·三模）如图，点是直线外一点，点在直线上移动，连接，下列说法正确的是（ ） A．线段的长度存在最小值 B．线段的长度存在最大值 C．的度数存在最大值 D．的度数存在最大值 31．（2025·安徽蚌埠·二模）定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ． 32．（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 33．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【模拟05.角的计算】 34．（2025·河南驻马店·三模）已知，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 35．（2025·陕西榆林·二模.）已知，则的余角的度数为 ． 36．（2025·河南安阳·二模）如图，将一副三角板按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是（   ） A． B． C． D． 37．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 38．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 39．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，直线与直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．（2025·安徽·二模）时钟分针长6厘米，从早上9点整到9点分，分针针尖所走过的路程是（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 41．（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 42．（2025·重庆·三模）如图，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 43．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【模拟06.三角形基础与全等】 44．（2025·湖南长沙·模拟预测）直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ． 45．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 46．（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 47．（2021·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平行四边形中，点在分别边上，于点于点． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角． 48．（2025·河南省直辖县级单位·二模）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 49．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【模拟07.四边形相关(含七巧板)】 50．（2025·江苏泰州·一模）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．    (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)长方体共有______条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开______条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 51．（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 52．（2025·浙江宁波·三模）如图为七巧板拼成的一个正方形，其边长为，若由其中的六块拼成一个矩形，其周长为整数，则矩形的面积为 ． 53．（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 54．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 55．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则 56．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【模拟08.几何与跨学科结合】 57．（2025·河北·模拟预测）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形随机放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是 ． 58．（2025·河北唐山·三模）一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 59．（2025·山东淄博·二模）已知，且． (1)求多项式； (2)一个正方体的表面展开图如图所示，相对面上所写的两个整数之和都相等，试求（1）中的值． 60．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 61．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．（2025·江苏南京·二模）从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． (1)若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． (2)点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 63．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【模拟09.立体图形表面积与体积(含折叠/拼接)】 64．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 65．（2025·山东青岛·二模）将一个边长为20的正方形纸片的四周分别剪去一个边长为整数的小正方形，剩下的部分折叠成一个无盖的长方形，则长方体的最大容积为 ． 66．（2025·广东惠州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 67．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 68．（2025·福建三明·二模）【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：    【探究结论】 (1)请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是_______所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”） (2)现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为_______． (3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计）    长 宽 高 表面积 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 69．（2025·山西晋中·二模）如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 70．（2025·广东·模拟预测）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是______（填序号）． 任务二 由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为_____cm（用含，的代数式表示）． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 71．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【模拟10.几何实际应用】 72．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于处的救生船报警，用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置是（   ） A．遇险船在救生船的南偏东，处 B．遇险船在救生船的南偏东，处 C．救生船在遇险船的北偏东，处 D．遇险船在救生船的南偏西，处 73．（2025·河北唐山·二模）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点在观测台的南偏东的方向上，点A表示另一处观测台，若，那么观测台A在起火点的 ． 74．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 75．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 76．（2025·山东淄博·二模）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 77．（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16几何图形初步中考一轮复习核心讲义 【10大经典模拟真题题型共计77题】 一、这板块是啥？—— 中考 “零门槛得分区” 分值 & 题型：3-6 分纯选择 / 填空，占数学总分 2%-4%，是中考里少数 “不用算，记准就能拿分” 的板块。 考生现状：每年 15%-18% 的人在这丢分 —— 不是不会，是被 “隐蔽小雷” 绊了脚（比如把射线 AB 写成 BA）。 复习爽点：花 1 小时吃透核心点，直接超过这 18% 的考生，相当于 “白捡 3-6 分”，性价比在中考所有板块里排第一！ 二、命题暗码：出题人藏的 “送分信号”+“扣分陷阱” 信号 1：80% 的题就考这 4 个点，年年撞题！ 近 3 年全国中考，80% 的题目锁死这 4 个 “必拿分靶心”： 正方体展开图：超 60% 省市必考！考 “相对面”“识别无效展开图”（“田”“凹” 型、一线排超 4 个正方形的，直接判错）。 角的计算：角平分线、余补角、度分秒换算（必考！别把 60 进制当 10 进制算）。 线段中点：已知 AB 长度，求中点分线段的长度 —— 套公式就对。 几何体截面：“截正方体最多出几边形”（答案：六边形，对应 6 个面），经典送分题。 陷阱 1：3 个高频扣分雷区，看完直接避雷！ 射线表示雷：射线 AB（端点是 A）≠射线 BA（端点是 B）—— 每年 18% 的考生写错丢分。 正方体展开图雷：“田”“凹” 型、一线排 5 个正方形的，都是无效展开图 —— 直接排除。 度分秒换算雷：1°=60′、1′=60″（不是 10 进制）—— 比如 56°23′12″，先把 12″转成 0.2′，再转成度。 核心知识 模块梳理 1.立体图形 2.几何体的展开图 3.点.线.面.体 4.截一个几何体 5.平面图形的认识. 6.直线.射线.线段 7.角 中考模拟 题型实战 1.立体图形认识与展开折叠 2.视图与截面 3.图形变换 4.线段计算 5.角的计算 6.三角形基础与全等 7.四边形相关(含七巧板) 8.几何与跨学科结合 9.立体图形表面积与体积(含折叠/拼接) 10,几何实际应用 【模块01.立体图形】 1.考点梳理 常见立体图形分类： 柱体：棱柱（有棱、平面围成）、圆柱（曲面 + 平面围成） 锥体：棱锥（有棱、平面围成）、圆锥（曲面 + 平面围成） 球体：曲面围成（如球） 核心：根据 “棱、曲面 / 平面” 特征区分类型。 2.典例精析 （中考题）下列图形中，属于锥体的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 长方体 B. 答案：C 易错警示混淆 “棱柱” 与 “圆柱”：棱柱有明显的棱（线段），圆柱是光滑曲面，无棱。 【模块02.几何体的展开图】 1.考点梳理 正方体展开图（共 11 种）： 类型：1-4-1 型、2-3-1 型、2-2-2 型、3-3 型（“田”“凹” 型、一线超过 4 个正方形的不是展开图） 其他几何体展开图： 圆柱→长方形 + 2 个圆；圆锥→扇形 + 1 个圆；棱柱→n 边形 + 多个长方形 正方体相对面：展开图中 “间隔一个正方形” 的面为相对面（相对面不相邻）。 2.典例精析 （中考题）正方体的展开图中，面 “考” 的相对面是（ ） （展开图：第一行 “中”，第二行 “考、试、顺”，第三行 “利”） 答案：“利”（1-4-1 型中，“考” 在第二行第 1 位，相对面是第三行的 “利”） 3.方法总结 正方体相对面快速判断：排除相邻面，优先找 “间隔 1 个面” 的区域。 【模块03.点.线.面.体】 1.考点梳理 动态关系：点动成线（如笔尖滑动成直线）、线动成面（如直尺绕端点旋转成扇形）、面动成体（如直角三角形旋转成圆锥）。 2.典例精析 （中考题）下列现象能说明 “线动成面” 的是（ ） A. 笔尖划过纸面 B. 旋转一扇门 C. 抛出一个石子 D. 转动自行车轮 答案：B（门的边是线，旋转后门扫过的区域是面） 【模块04.截一个几何体】 1.考点梳理 常见几何体的截面（平面截几何体得到的形状）： 正方体：最多截出六边形（对应 6 个面），可截出正方形、长方形、三角形、五边形 圆柱：可截出圆、长方形、椭圆 圆锥：可截出圆、三角形、椭圆 2. 典例精析 （中考题）用一个平面去截正方体，不可能得到的截面是（ ） A. 三角形 B. 五边形 C. 七边形 D. 六边形 答案：C（正方体只有 6 个面，最多截出六边形） 【模块05.平面图形的认识】 1.考点梳理 分类： 多边形：由线段首尾顺次连接围成（如三角形、四边形） 曲线图形：由曲线围成（如圆） 核心：区分 “线段围成” 和 “曲线围成” 的图形。 【模块06.直线.射线.线段】 1.考点梳理 表示方法： 直线：直线 AB（或直线 l）；射线：射线 AB（端点为 A）；线段：线段 AB（或线段 l） 直线性质：两点确定一条直线 线段中点：若 M 是 AB 中点，则 AM=MB=AB 线段计算：和差倍分（如 AB=AC+CB） 2.典例精析 （中考题）已知线段 AB=8，C 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，则 AD 的长度为（ ） 解：ACAB=4 BC=4 CDBC=2 AD=AC+CD=4+2=6.​ 答案：6 易错警示:射线的表示错误：射线 AB（端点 A）和射线 BA（端点 B）是不同的射线。 【模块07.角】 考点梳理 表示方法：∠AOB（顶点 O 在中间）、∠O（顶点唯一时）、∠1 度分秒换算：1∘=60′，1′=60′′（60 进制） 角平分线：若 OC 平分∠AOB，则 ∠AOC=∠COB=∠AOB 余角 / 补角： 互余：∠α+∠β=90∘；互补：∠α+∠β=180∘ 性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等 【模拟01.立体图形认识与展开折叠】 1．（2025·河南南阳·二模）分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，可以以之为面数构成正多面体的是（   ） A．3 B．7 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查对正多面体概念的理解，熟练掌握对正多面体概念的理解是解题的关键．根据正多面体只有个即可得到答案． 【详解】解：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体， 故可以以之为面数构成正多面体的是12． 故选C． 3．（2025·河南·模拟预测）如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐一减掉验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，去掉小正方形①，如图： ∴可折成一个小正方体，故①不符合题意； 去掉小正方形②，如图： ∴可折成一个小正方体，故②不符合题意； 去掉小正方形③，如图： ∴可折成一个小正方体，故③不符合题意； 去掉小正方形④，如图： ∴不能折成一个小正方体，故④符合题意； 故选：D． 4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的正方体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，熟知正方体展开图的各种情形是解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图求解即可． 【详解】解：根据正方体的平面展开图的特征，B选项折叠后“菱形”和“圆”是相对面且在上面和下面；C选项折叠后“五角星”在正前面时，“圆”在下面，D选项折叠后，当“菱形”和“圆”在左侧和右侧且相对．在正面时，“正方形”在上面，“圆”在右侧面，故选项B、C、D均不合题意， ∴是该正方体的展开图的是A选项． 故选：A． 5．（2025·福建厦门·三模）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 6．（2025·河南焦作·二模）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 7．（2025·河南驻马店·三模）下列命题是假命题的是（   ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 【答案】C 【分析】本题考查几何基本概念和命题真假的判断，需逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：点动成线，线动成面，面动成体是几何基本事实，正确． 选项B：正六边形各边长度固定但角度可变，具有不稳定性（如蜂窝结构可压缩），正确． 选项C：密铺要求图形内角能整除．正五边形内角为，，非整数，无法单独密铺，故为假命题． 选项D：等边三角形的内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）重合于重心，正确． 故选：C． 8．（2025·广东广州·中考真题）如图，将绕直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点，线，面，体之间的关系，圆锥的认识，根据面动成体结合圆锥的特点可得答案． 【详解】解：绕直角边所在的直线旋转一周后所得到的几何体是一个圆锥． 故B选项正确． 故选B 9．（2025·江苏苏州·二模）若一个棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为，则每条侧棱长为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据直棱柱有8个顶点，得这个直棱柱是四棱柱，再根据四棱柱的性质得四棱柱有4条侧棱，且每条侧棱都相等，然后再根据所有侧棱长的和为，即可求出每条侧棱长． 【详解】解：∵棱柱有8个顶点， ∴这个棱柱是四棱柱， ∵四棱柱有4条侧棱，且每条侧棱都相等， 又∵这个四棱柱所有侧棱长的和为， ∴每条侧棱长为：． 故答案为：5． 【模拟02.视图与截图】 10．（2025·广东韶关·二模）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 11．（2025·河南郑州·三模）用刀截一个正方体豆腐块，截面不可能是（   ） A．三角形 B．矩形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据截面经过几个面得到的截面就是几边形判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用刀截一个正方体豆腐块，截面可能是三角形、矩形、六边形，不可能是七边形， 故选：D． 12．（2025·广西钦州·二模）下列图形是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，如果一个图形是由几个不同的面围成的，那么这个图形是立体图形；如果一个图形可以放在一个平面内，那么这个图形是平面图形，据此判断即可求解，掌握平面图形和立体图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是立体图形，不合题意； 、是平面图形，符合题意； 故选：． 13．（2025·山东淄博·二模）如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体． (1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形； (2)求这个几何体的表面积（含底面）； (3)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)块 【分析】（）根据几何体画图即可； （）分别数出每个面正方形的个数，再乘以正方形的面积即可； （）由图可得，要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加个块正方体，据此即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：几何体的表面积为； （3）解：要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加个块正方体， ∴最多可以添加块小立方块． 14．（2025·吉林长春·三模）某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（   ） A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，根据侧面是长方形，可知该几何体是柱体，根据上下底面是三角形可知该几何体是三棱柱． 【详解】解：这个几何体的上下底面是三角形，侧面是三个长方形，故该几何体是三棱柱， 故选：D． 15．（2025·广东东莞·二模）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点 处，（填图中的字母） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P的位置应选在点C处． 故答案为：C． 【模拟03.图形变换】 16．（2025·重庆·二模）如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平移的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平移中连接各组对应点的线段平行且相等． 根据平移的性质可得，然后利用线段的和差关系即可得出答案， 【详解】 解：由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17.．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质可知，箕面绕点旋转的度数是，再利用平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，箕面绕点旋转的度数是， 箕面与水平地面的夹角为， ， 故选：C． 18．（2025·河北·模拟预测）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小 乙：能够比较与的长短 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形三边关系，根据折叠的性质可得，即可得出，根据折叠可得，可得，即可判定，即可求解． 【详解】解：根据折叠可得， ， 根据折叠可得， ， 在中，，即， ∴甲、乙的说法都正确， 故选：A． 19．（2025·四川资阳·二模）如图，在中，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接．若平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D， ∴直线垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 20．（2021·宁夏银川·一模）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 由作图可知，平分， ∵，，即，且， ∴， ∴线段长度的最小值是1， 故答案为：1． 21．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上，且点、分别为边、上的动点，将沿直线翻折得到，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识点，学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，再根据矩形的性质以及勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图：作点关于的对称点，连接，． ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，且为 ，，点在边上，且． ，， ， ∴最小值， 的最小值为． 故选：C． 22．（2025·河南安阳·二模）如图1，在中，，，，D，E分别为，上靠近点C的三等分点． 【观察猜想】 （1）如图1，与的数量关系为________，与的位置关系为________． 【类比探究】 （2）如图2，将绕点C旋转至如图所示位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）将绕点C旋转，在旋转过程中，当点A，E，D在同一条直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，见解析（3）或 【分析】（1）因为D，E分别为，上靠近点的三等分点，已知三角形的边的关系，可通过计算得出，根据，从而得到； （2）类比探究：延长，交于点．由已知条件可证，得到且，进而推出，所以结论仍然成立； （3）分两种情况讨论．①当A，D，E三点共线，在上方，过点C作，交于点G ，在中利用勾股定理求出，，，的长度，再根据（2）中结论和勾股定理求出的长度；②A，D，E三点共线，在下方，过点C作，交于点G，同理求出的长度． 【详解】解：（1）解：D，E分别为，上靠近点C的三等分点，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长，交于点F． ，，，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ． ， ， ， ； （3）解：分2种情况讨论： 如图，当A，D，E三点共线，在上方，过点C作，交于点G． 在中，，， ， ， ，， ， 由（2），得， ； ②如图，A，D，E三点共线，在下方，过点C作，交于点G． 同理，可得， 由（2），得， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查了三角形中线段的数量关系与位置关系，以及图形旋转，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质等．解题的关键是通过相似三角形的判定与性质来证明线段关系，并利用勾股定理求解线段长度，同时要注意分情况讨论． 【模拟04.线段计算】 23．（2024·河北石家庄·二模）关于图中的点和线，下列说法错误的是（  ） A．点C在直线上 B．点C在线段上 C．点B在射线上 D．点B在线段上 【答案】D 【分析】此题主要考查了点与直线，线段的相关概念，准确识图，熟练掌握点与直线，线段的相关概念是解决问题的关键． 【详解】解：根据图形可知：点C在直线上正确，故选项A正确，不符合题意； 点C在线段上，故选项B正确，不符合题意； 点B在射线上， 故选项C正确，不符合题意； 点B不在线段上，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 24．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 25．（2025·河南平顶山·二模）墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，木工师傅这样做的道理是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，即可解答． 【详解】解：墨斗是中国传统木工行业画直线的常用工具．如图，木工师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．木工师傅这样做的道理是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 26．（2025·山西长治·二模）下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 27．（2025·北京·模拟预测）如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 28．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 29．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 30．（2025·河北唐山·三模）如图，点是直线外一点，点在直线上移动，连接，下列说法正确的是（ ） A．线段的长度存在最小值 B．线段的长度存在最大值 C．的度数存在最大值 D．的度数存在最大值 【答案】A 【分析】此题重点考查线段的长度、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点，再结合垂线段的性质，角的含义，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， ， 线段的长度的最小值为线段的长度，但线段的长度不存在最大值， 故A符合题意，B不符合题意； 点在直线上移动， 的度数不存在最大值，的度数不存在最大值， 故C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 31．（2025·安徽蚌埠·二模）定义：若点把线段分成两部分，且满足较长线段是较短线段的倍，则称点为线段的青铜分割点．已知点是线段的青铜分割点，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，二次根式的计算，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．由已知条件不能确定点在线段上的位置，故要分情况讨论：当时，及当时，然后进行求解即可． 【详解】解：分两种情况考虑， ①当时， 根据题意设，则， ∵， ∴， 解得， 即； ②当时， 同理可得， 故答案为：或． 32．（2025·湖北武汉·模拟预测）直线平行于直线．直线上有10个点．分别是，直线上有11个点．分别是将上的每个点与上的每个点相连．可以得到许多线段．已知没有三条线段相交于、外的一点．这些线段一共有（    ）个交点 ．不包括 A．110 B．2475 C．9900 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题．直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形即可求解． 【详解】解：如图， 直线上分别取点和，连接，得到四边形，而这个四边形的对角线的交点恰好是我们要求的点，故想要求出这些线段一共有多少个交点，只需要求出在直线上能找到多少个满足条件的四边形就可以了． 确定线段，有（种）， 确定线段，有（种）， 共可以产生个四边形， 所以这些线段一共有2475个交点． 故选：B． 33．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点． 连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 【模拟05.角的计算】 34．（2025·河南驻马店·三模）已知，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的计算，解题的关键是掌握相加等于的两个角互补，以及．根据补角的定义：相加等于的两个角互补，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：C． 35．（2025·陕西榆林·二模.）已知，则的余角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的概念及计算，掌握余角的概念和计算，角的计算方法是解题的关键． 根据两个角的和为，则两个角互余，结合角度的计算方法即可求解． 【详解】解：的余角的度数为， 故答案为： ． 36．（2025·河南安阳·二模）如图，将一副三角板按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角，熟练掌握余角性质是关键． 根据余角的定义逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，互余，符合题意； B、根据同角的余角相等，，不符合题意； C、根据等角的补角相等，，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 37．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 38．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 39．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，直线与直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等的性质以及余角的和等于的性质，需要熟练掌握． 首先由余角的定义求得；然后根据对顶角的定义来求的度数． 【详解】∵于O， ∴． 又∵ ， ∴， ∴． 故选：A． 40．（2025·安徽·二模）时钟分针长6厘米，从早上9点整到9点分，分针针尖所走过的路程是（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，解题的关键是理解题意，记住弧长公式，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：从早上9点整到9点分，分针转过的圆心角， 从早上9点整到9点分，分针尖所走过的路程(厘米) 故选∶C． 41．（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 42．（2025·重庆·三模）如图，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的性质，由可得，求出，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 直线， ， 故选A． 43．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 【模拟06.三角形基础与全等】 44．（2025·湖南长沙·模拟预测）直角三角形的两直角边长分别为，以其中长直角边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积等知识点，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为， ∴由勾股定理得斜边长为， 以边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周， ∴侧面积为． 故答案为：． 45．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质及角平分线的概念，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．在上截取，通过证明，得到，，再利用邻补角的定义证得，根据四边形内角和为即可得答案． 【详解】解：如图，在上截取， 平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，四边形内角和为， ∴． 故答案为： 46．（2025·广东广州·三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义，先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 47．（2021·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平行四边形中，点在分别边上，于点于点． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形性质与判定，余角的求法，解题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）先证四边形是平行四边形，证，再证四边形为矩形，即可得答案； （2）先求出互余的角是，再证，即可得答案． 【详解】（1）解：证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ； （2）， ， 互余的角是， ， ， ， ， ， 互余的角有： ． 48．（2025·河南省直辖县级单位·二模）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）先得出，结合，，故，再整理得的度数， （2）延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．结合，得证是的中位线，平分．由角平分线的性质得，，运用三角形内角和得出，再根据等角对等边，则，然后证明，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴，． ∴是的中位线，平分． ∴，． ∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【模拟07.四边形相关(含七巧板)】 50．（2025·江苏泰州·一模）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．    (1)请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； (2)长方体共有______条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开______条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【答案】(1)存在问题，多余块涂黑见详解 (2)12，7 (3) 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体的展开图的性质分析，即可获得答案； （2）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （3）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：存在问题，有多余块，多余块涂黑如下图所示；    （2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （3）根据题意，该长方体的宽和高为：， 则该长方体的长为， 所以，长方体的体积为：． 51．（2025·福建宁德·二模）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 52．（2025·浙江宁波·三模）如图为七巧板拼成的一个正方形，其边长为，若由其中的六块拼成一个矩形，其周长为整数，则矩形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法，七巧板的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的边长为，得正方形的面积为8，运用七巧板的性质得各图形的面积由大到小分别为2，2，1，1，1，，，因为由其中的六块拼成一个矩形，其周长为整数，故面积为6，即可作答． 【详解】∵一个正方形的边长为， ∴正方形的面积为， 结合七巧板，各图形的面积由大到小分别为2，2，1，1，1，，， ∴或或 则六块拼成的矩形的面积为或7或6， ∵其周长为整数， ∴面积为6， 如图所示： 53．（2025·河北沧州·模拟预测）七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)见解析 (3)见解析，正方形的面积为8． 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：， 图形块3的面积为：， 图形块4的面积为：， 图形块5的面积为：， 图形块6的面积为：， 图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， 正方形的面积为8． 54．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，方向角，关键是由圆的内接四边形的性质求出和的度数． 由平行线的性质推出，求出，故可判断A选项；连接，由圆的内接四边形的性质推出，求出，得到点D在点A的南偏东的方向上，故可判断B选项；求出，得到，因此点E在点A的南偏东方向上，故可判断C选项；由圆的内接四边形的性质求出，得到，故可判断D选项． 【详解】解：如图，    由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴， ∴点E在点A的南偏东方向上，故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：D 55．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则 【答案】10 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及等分点的性质，解题的关键是相似三角形的性质，根据平行四边形得，则，结合等分点可得和，过点G和点A作交于点N和点M，则，结合得，进一步求得，再证明，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点，是边的三等分点， ∴， ∴， 过点G和点A作交于点N和点M，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：10． 56．（2025·福建龙岩·一模）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 【模拟08.几何与跨学科结合】 57．（2025·河北·模拟预测）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形随机放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，概率计算，解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”“凹”“一”的展开图都不是正方体的表面展开图．由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题，然后再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现图1正方形与图2最右边正方形重叠，所以不能围成正方体， 将图1的正方形放在图2中的②④的位置是展开图的形，可以围成正方体； 将图1的正方形放在图2中的③的位置是展开图的形，可以围成正方体， ∴所组成的图形能围成正方体的概率为， 故答案为：． 58．（2025·河北唐山·三模）一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法等知识． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据一个正方体相对两面的整式之积均相等得到，即可求解． 【详解】解： 根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∵一个正方体相对两面的整式之积均相等， ∴ 解得， 故选：D 59．（2025·山东淄博·二模）已知，且． (1)求多项式； (2)一个正方体的表面展开图如图所示，相对面上所写的两个整数之和都相等，试求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，正方体的平面展开图相对面上的字，根据正方体的平面展开图的特点求出的值是解题的关键． （1）把代入计算即可得到答案； （2）根据正方体平面展开图得到与相对，与相对，与相对，求出的值，将的值代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：根据正方体平面展开图得到与相对，与相对，与相对， 相对面上所写的两个整数之和都相等， ， ， ， 的值为． 60．（2025·安徽滁州·三模）如图，在内部有两条射线，定点P在的内部，从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的认识及表示，简单事件概率的计算，根据题意可得共有共6个角，其中定点P在角内部的有共4个，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：图中以点O为端点的射线共有4条，分别是和， 可以构成6个不同的角：，其中定点P在角内部的有4个：， 则从图中任选一个角，则定点P在所选角内部的概率是． 故选：D． 61．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两点间的距离公式，求出旋转后点交点，然后利用两点间的距离公式建立不等式进行求解即可． 【详解】解：过点且垂直于轴的直线， 将代入， 解得：，故， 将直线绕点逆时针旋转后， 直线， 联立， 解得：或， ， ， ，由图可知：， ， 解得：， 故选：C． 62．（2025·江苏南京·二模）从“凸透镜成像”（图（1））中抽象出数学图形，如图（2）所示，将蜡烛火焰、凸透镜分别记为点、线段，凸透镜的主光轴、光心、焦点分别记作直线、点、点和．已知垂直平分，垂足为．由凸透镜成像原理知，平行于主光轴的入射光线，其折射光线经过点；经过光心的入射光线，其传播方向不变（即与在同一条直线上）．与的交点即为点的像． (1)若点到直线的距离为，到的距离为，求其像到的距离． (2)点在的延长线上，，点在半径为的上移动（与在同一平面内，点不与点重合）． ①如图（3），光屏，用直尺和圆规作一个点，使其像恰在上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点的像到直线、的距离分别为，，直接写出与之间的函数表达式． 【答案】(1)像到的距离为 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）过点Q作，垂足为N，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，求解即可； （2）①结合（1）的知识点，运用尺规作角等于已知角即可； ②根据题意得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，，得出，再由勾股定理及得出相应关系式． 【详解】（1）解：过点Q作，垂足为N，如图所示： 根据题意得：， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴像到的距离为； （2）解：①根据（1）中可知，，过点的直线交于点，点即为的像， ∴以点为圆形，任意长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，在点处尺规作角等于得到垂直于的直线，且交射线于点，连接得到与平行直线m，则直线m与的一个交点为点P； ②根据题意得，如图所示，过点作于点，设与交于点，直线与交于点，则，四边形是矩形，， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得：． 63．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式； （2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 【模拟09.立体图形表面积与体积(含折叠/拼接)】 64．（2025·江苏南京·一模）玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 65．（2025·山东青岛·二模）将一个边长为20的正方形纸片的四周分别剪去一个边长为整数的小正方形，剩下的部分折叠成一个无盖的长方形，则长方体的最大容积为 ． 【答案】588 【分析】本题考查展开图折叠成几何体．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为x， 根据题意得长方体的容积为， 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； 当时，长方体的容积为； ...， ∴长方体的容积随x的增大先增大后减小， 当时，容积最大，最大值是588． 故答案为：588． 66．（2025·广东惠州·一模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等； (2) (3)够长，见详解 【分析】本题考查了圆锥和圆锥侧面展开图的关系，圆锥侧面展开图圆心角的度数，解直角三角形以及勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出和之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）过点作于点，构造和，解两个直角三角形，求出和11比较大小即可． 【详解】（1）解：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长相等， 解得， 故答案为：相等，9； （2）解：底面周长，扇形的弧长， ， ； （3）解：够长，如图所示，过点作于点， ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ， ，是中点， ， 在中，，，    在中，       的彩带够长． 67．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体表面积，圆的面积公式，根据弧长公式求出弧长，然后利用求出表面面积即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：塑料膜的面积 ， 故答案为：． 68．（2025·福建三明·二模）【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：    【探究结论】 (1)请计算图1，图2，图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是_______所示的长方体．（填“图1”，“图2”，“图3”） (2)现在有4个小长方体盒纸盒，每个的长、宽、高分别是，若用这4个长方体盒子搭成一个大长方体，搭成的大长方体的表面积最小为_______． (3)元旦将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，如图是这些长方体礼盒搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，商家准备将这若干个长方体礼盒打成一个包裹寄给小张．请你帮忙商家计算打包用的包装纸最少要用多少平方厘米？（接头处忽略不计）    【答案】(1)补充表格见详解，表面积最小的是图1 (2)236 (3)18450平方厘米 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即． （2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论． （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米），根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． 【详解】（1）解：图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． 补充表格如下： 长 宽 高 表面积 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 ∴图1的表面积最小． （2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：， ， ．    第二类有三种情况，表面积分别为：， ， ，    ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为．. （3）解：根据三视图可得共有四个礼盒，每个礼盒的长宽高分别为，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是75厘米，宽为35厘米，高为（厘米）， 依题意，（平方厘米）， 答：最少需要平方厘米包装纸． 69．（2025·山西晋中·二模）如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用， 根据剪裁方法和长方形纸板的边长可得无盖长方体纸盒的边长，从而由其体积为列方程即可求解． 【详解】解：由图可知：中间的一个正方形的边长为， ∴无盖长方体纸盒的底面一边长为：， 另一边长为， ∴ 解得：， 故答案为． 70．（2025·广东·模拟预测）综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材 一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为、、进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是______（填序号）． 任务二 由材料二可知，图1长方体纸盒的底面周长为_____cm（用含，的代数式表示）． 图2的设计中，如果，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】任务一：；任务二：，；任务三：图见解析， 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图求解即可； 任务二：①根据正方形周长公式即可得解；根据长方体的体积公式即可得解； 任务三：根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边画图，再据此求解即可． 【详解】解：任务一：不是无盖正方体盒子的表面展开图的是， 故答案为：； 任务二：图长方体纸盒的底面周长为：， 图的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当，时，该长方体纸盒的体积为：， 故答案为：； 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为：． 71．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 【模拟10.几何实际应用】 72．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于处的救生船报警，用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置是（   ） A．遇险船在救生船的南偏东，处 B．遇险船在救生船的南偏东，处 C．救生船在遇险船的北偏东，处 D．遇险船在救生船的南偏西，处 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，解题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量一个是方向角，一个是距离． 【详解】解：由题意可得，遇险船在救生船的南偏西，处． 故选：． 73．（2025·河北唐山·二模）为防止森林火灾的发生，会在森林中设置多个观测点，如图，若起火点在观测台的南偏东的方向上，点A表示另一处观测台，若，那么观测台A在起火点的 ． 【答案】北偏东 【分析】本题主要考查了方向角、平行线的性质等知识点，方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角成为解题的关键．如图：由垂直的定义可得，再根据平行线的性质进而得，即，最后根据方位角的定义即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵南北方向的直线平行， ∴， ∴， ∴观测台A在起火点的北偏东． 故答案为：北偏东． 74．（24-25九年级下·河南信阳·月考）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 75．（2025·河北·一模）如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为______． (2)求图2中直线的函数解析式． (3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值． 【答案】(1)24，120，10； (2) (3) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可； （3）根据中点的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：24，120，10； （2）解：直线的函数解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得 ， ∵小球恰好位于这两个挡板中点， ∴， 解得， ∴t的值为． 76．（2025·山东淄博·二模）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以18海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． (1)求B处到灯塔C的距离； (2)已知在以灯塔C为中心，周围17海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)36海里 (2)没有危险 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角．   （1）根据已知条件得到 ，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；   （2）过C作交的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得  , ，（海里），   ∴ ， ∴ ，   ∴（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为36海里；   （2）解：没有触礁的危险，理由如下：   过C作交的延长线于点D，   ∵（海里），   ∴（海里），   ∵，   ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 77．（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $