精品解析：河北省唐山市第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

唐山市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中常数项是，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 5. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为，，且，则的最小值为（ ） A. B. 14 C. 9 D. 8 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 10. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且与平行，则______. 13. 的展开式中的系数是240，则实数的值为__________. 14. 甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表： 一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 4 6 6 4 3 2 25 女生人数 1 1 3 5 9 6 25 合计 5 7 9 9 12 8 50 （1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系； 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 女生 合计 （2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 记 为数列 的前 项和. 已知 . （1）证明: 是等差数列； （2）若 为 和 的等比中项，求 的最大值. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点，. ①求实数的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知先求集合，利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由已知有，所以， 故选：D. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，然后结合共轭复数的概念和复数的几何意义可得. 【详解】因为，所以， 所以，故， 因此在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 3. 的展开式中常数项是，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理的有关知识点列式求解. 【详解】因为的展开式中常数项是：， 由. 故选：C 4. 函数的图象的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 5. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线的性质可得：，因为为直角三角形，且，利用勾股定理得到，点N为垂足，且N为OF的中点，所以，即，再结合离心率的公式，即可得离心率的值. 【详解】 如图所示：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得， 又，在，，所以， 又且N为OF中点，所以， 即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率； 故选：B 6. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将区域还原到圆柱中求得其面积，由区域和全等可求得总面积. 【详解】由题意知区域和全等，且都是底面半径为10 m，高为40 m的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中，可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D. 7. 设数列的前项和为，，且，则的最小值为（ ） A. B. 14 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用累乘法求得，进而，则.设，利用导数研究函数的性质即可求解. 【详解】由，得， 则， 各式相乘得， 得，又，所以，则为等差数列， 得. 所以， 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以当或时，取到最小值8. 故选：D 8. 已知函数，若当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的周期及最值求得，进而逐项判断即可. 【详解】因为的最小正周期为，所以，A不正确. 由，得，则. 因为，所以，B正确. 所以，由，得， 由， 可得和， 得和， 则在上恰有2个零点，C不正确. 由，得，是偶函数，D正确. 故选：BD 10. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】BD 【解析】 【分析】借助赋值法可得A、B；结合函数奇偶性定义与单调性定义计算可得C、D. 【详解】对A：令，则，即， 又，故，故A错误； 对B：令，则，即， 又，故，故B正确； 对C：令，则，即， 又的定义域为，则的定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：由，则，故函数是减函数，故D正确. 故选：BD. 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A；取中点O，由，易知，线段经过点，因为的面积为定值，且平面ACO，可求三棱锥A-EFC的体积，判断B；易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，由此可判断C；分析点P的轨迹，并求得其长度可判断D. 【详解】对于A，因为∥，所以.因为，所以，A正确； 对于B，如图取中点O，连接，因为，所以，即，且； 同理可得，，且；所以是等腰三角形. 记，则为和的中点，所以， 所以. 因为平面，所以平面ACO. 因为，所以过点. 所以，为定值，所以B正确； 对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等， 所以过点A的体对角线及过分别平行于的直线均满足要求，所以C错误； 对于D，因为，所以点P在以的中点为球心，半径为的球面上， 所以动点P的轨迹为平面与球的球面的交线. 因为平面，所以平面，所以到平面的距离为. 所以球心到平面的距离为，且球心在平面的投影为的中点. 设平面截球所得截面圆的半径为r，则. 所以点P在平面内的轨迹是圆，因此动点P的轨迹长度为圆的周长，等于，所以D正确. 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且与平行，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的坐标关系可得结果. 【详解】由与平行，可得，所以. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数是240，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求得. 【详解】由展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 14. 甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】按甲拿冠军时的得分情况分类求解可得. 【详解】由题意知，甲乙丙丁四人共进行场比赛，且每人共参加场比赛， 故甲拿到冠军至少拿分，至多拿分，分类情况如下： 第一类：甲共得分拿到冠军，即甲与乙丙丁三人的比赛均获胜拿到冠军， 故事件“甲共得分拿到冠军”的概率为； 第二类：甲共得分拿到冠军，即甲恰与乙丙丁三人比赛中场获胜场败，且其余三人得分均小于等于分. 记事件“甲共得分”， “甲拿到冠军”， 则事件“甲共得分拿到冠军”即为， 则“甲共得分未拿到冠军”，即甲恰与乙丙丁三人比赛中场获胜场败，且乙丙丁中有人得分”， 由“甲共得分”，即甲恰输给乙丙丁中一人， 则； 若乙丙丁中有人得分，因为每人参加场比赛，至多得分， 则得分的人必然是乙丙丁中赢得甲的人，且另外两人人得分，另人得分. 故 故“甲共得分拿到冠军”的概率为； 故甲拿到冠军的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表： 一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 4 6 6 4 3 2 25 女生人数 1 1 3 5 9 6 25 合计 5 7 9 9 12 8 50 （1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系； 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 女生 合计 （2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系 （2） Y 0 1 2 P 期望为 【解析】 【分析】（1）由题意可直接完成列联表，再由公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得概率，进而可求解. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 零假设为：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关， 根据列联表的数据计算可得， 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系． 【小问2详解】 由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，所以Y的所有可能取值为0，1，2， 且服从超几何分布，则，，， Y的分布列为： Y 0 1 2 P 可得． 16. 记 为数列 的前 项和. 已知 . （1）证明: 是等差数列； （2）若 为 和 的等比中项，求 的最大值. 【答案】（1）， ， ， 化简得: ， ，， 是以公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系，可证明数列为等差数列； （2）分析等差数列项的符号的变化，可得出所有非负项和最大. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得 ， 同理， 由题意，即， 解得 ， ， 当时， ，当 时，， . 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 设，则. 所以， 又∵，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算得到证明. （2）确定分别是棱的中点时，体积取得最大值， 法一：建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为.又平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案. 法二：平面，过作垂线交于点，连接，根据定义可知即为二面角的平面角，再计算的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值. 又∵， ∴当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值. 故，从而. 法一：设平面的法向量为，则且， 所以，即，令，可得. 又平面的一个法向量为， 记二面角的大小为，则有， 即二面角的余弦值为. 法二：∵平面，过作垂线交于点，连接，如图所示. 平面，平面， ∴平面，即为二面角的平面角. 在中，，根据等面积法可得， 在中，，可得边上的高为， 根据等面积法可得， 在中，.即二面角的余弦值为. 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 【答案】（1）； （2）①斜率之积为1或 ，证明如下； 与斜率存在且不为零，不妨设的方程为， 联立，消去y，可得， 设 ， ，分别为的斜率，则， ， 所以， 在的表达式中用“”代换“”可得， 所以，则， 所以，得， 所以或． ②由①，M是AB中点，则， ，即， 将代换为，则， 法1：直线MN为， 即，则直线MN恒过定点得证． 法2：记定点为点T，则，MN过定点得证. 【解析】 【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程； （2）①设的方程为， ， ，联立椭圆，并应用韦达定理、弦长公式及已知得到关于直线，斜率的方程，即可证； ②根据①中的韦达公式求弦中点的坐标，法1：写出直线 的方程，进而确定定点，即可证，法2：记定点为点T，判断是否成立，即可证. 【小问1详解】 由题意得，短轴长为，所以，解得， ，所以，则， 所以椭圆Γ的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②略 19. 已知函数（）. （1）讨论的单调性； （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点，. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）若，在为增函数；若，在上为增函数；在上为减函数． （2）①； ②证明：易知， 不妨设，由①知． 要证，即证． 因为在上为减函数， 所以只要证． 又，即证． 设函数． 所以，所以在为增函数. 所以，所以成立． 从而成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可； ②问题转化为证，即证，设函数，根据函数的单调性证明即可． 【小问1详解】 的定义域为，且． 若，成立，所以在为增函数； 若，当时，，所以在上为增函数； 当时，，所以在上为减函数． 【小问2详解】 ①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意； 当时，的最小值为， 依题意知，解得． 一方面，由于，，在为增函数，且函数的图象在上不间断． 所以在上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为，所以． 令，令， 当时，， 所以 又，在为减函数，且函数的图象在上不间断． 所以在有唯一的一个零点． 综上，实数的取值范围是． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $