2026 年九年级数学中考一轮复习 第02讲 整式与因式分解 试卷

整式与因式分解过关检测试卷 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考模拟）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 2．（2025·四川绵阳·中考模拟）整式的系数是（    ） A．-3 B．3 C． D． 3．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 二、填空题 11．（2022·四川成都·中考真题）计算： ． 12．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 13．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 14．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 15．（2025·江苏扬州·中考模拟）计算：的结果是 . 16．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 17．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 18．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 三、解答题 19．（2024·河南漯河·二模）计算： (1)； (2)． 20．（25·河南南阳·模拟）先化简，再求值：，其中． 21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 23．（2025·福建·中考真题）（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 24．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 25．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 26．（2023·河北秦皇岛·一模）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）． (1)填写下表： 每条边上摆放的盆数（n） 2 3 4 5 6 … 需要的鲜花总盆数（y） 3 6 9 _____ _____ … (2)写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________ (3)能否用盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式与因式分解过关检测试卷 一、单选题 1．（2025·四川攀枝花·中考模拟）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】C 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意； B、a是单项式，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项符合题意； D、是单项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 2．（2025·四川绵阳·中考模拟）整式的系数是（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式的系数的定义求解即可． 【详解】解：的系数为-3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了单项式的系数，解题的关键在于能够熟练掌握单项式的系数的定义． 3．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 5．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 6．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 7．（2024·云南·中考真题）分解因式：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式和公式法进行因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 将先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故选：A． 8．（2025·四川广元·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.，故运算正确． B.与，不是同类项，不能合并，不符合题意； C.，运算错误，不符合题意； D.，运算错误，不符合题意． 故选：A． 9．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【详解】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 10．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 11．（2022·四川成都·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的、积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握． 根据幂的、积的乘方计算公式直接求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2023·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 【详解】解： 故答案为：． 15．（2025·江苏扬州·中考模拟）计算：的结果是 . 【答案】 【分析】逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案. 【详解】 = = =(5-4)2018× =+2， 故答案为+2. 【点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键. 16．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 17．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ． 【答案】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 18．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 三、解答题 19．（2024·河南漯河·二模）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及整式的四则运算： （1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可得到答案； （2）原式根据完全平方公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25·河南南阳·模拟）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】本题考查了整式的混合运算及乘法公式，可利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算． 先算乘方和乘法，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：原式 当时， 原式． 21．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键． 22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 23．（2025·福建·中考真题）（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，不等式的性质． （1）分和两种情况讨论，当时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围； （2）根据“远离”的定义，分别计算两个表达式与的差的绝对值，比较大小即可证明结论． 【详解】解：（1）当时，显然成立， ∴； 当时，不等式对一切实数x都成立， ∴， 解得， 综上，k的取值范围为； （2）证明：， ， ∵， ∴， ∴比远离． 24．（2023·浙江·中考真题）观察下面的等式：，，，，…． (1)尝试：___________． (2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，， 故答案为：6； （2）由题意得：， 故答案为：n； （3） ． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键． 25．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． …． (1)请写出第5个等式：______； (2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律即可求解； （3）先将乘法化为加法，再加减即可求解； 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， 故答案为：； （3）解：原式． ． 26．（2023·河北秦皇岛·一模）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）． (1)填写下表： 每条边上摆放的盆数（n） 2 3 4 5 6 … 需要的鲜花总盆数（y） 3 6 9 _____ _____ … (2)写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________ (3)能否用盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)12，15； (2)； (3)不能，见详解． 【分析】（1）结合图形，发现：每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，依此可得出答案． （2）结合（1）中的规律即可求出每条边上摆n盆小菊花时需要小菊花的总盆数y； （3）根据题意把代入中，求出n的值后，即可作出判断． 【详解】（1）解：由图知，每条边上每增加一盆鲜花，总数就增加3盆，，， 故答案为：12，15； （2）解：每条边摆两个，则， 每条边摆3个，则， 每条边摆4个，则， … 每条边摆n个，则， 故答案为：． （3）解：把代入，则，，， ∵不是整数， ∴不能用盆鲜花作出符合要求的摆放． 【点睛】本题主要考查的是图形规律等内容，注意培养由一般总结特殊规律的能力，认真对比前后图形，研究图形变化特性，准确总结规律是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $