2026年九年级数学中考一轮复习（练习） 第02讲 整式与因式分解（3大考点、9种题型，分类训练、综合提升）

九年级数学中考一轮总复习（知识梳理、题型归纳、分类摸底、过关检测） 第02讲 整式与因式分解 知识网络 分类训练 【题型1】整式的概念 1．（25-26·陕西咸阳·模考）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查单项式的判断，判断每个式子是否为单项式，单项式是数字或字母的积的形式，不能包含加减法运算．据此解答即可． 【详解】解：①是常数，属于单项式； ②包含加法运算，是多项式，不是单项式； ③包含加法运算，是多项式，不是单项式； ④分子为多项式，不是单项式； ⑤是数字与字母的积，为单项式； ⑥是数字与字母的积，为单项式． ∴单项式有①、⑤、⑥， 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 3．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及整式的定义，根据单项式次数和系数的定义，多项式的定义和单项式的定义逐一判断即可．表示数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数；整式是单项式和多项式的统称． 【详解】解：A．单项式的次数为次，故A错误； B．含有两个单项式，是二项式，故B正确； C．当时，关于x的代数式是二项式，故C错误； D．是分式，不是单项式，故D错误； 故选：B． 4．（2025·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． 5．（25·上海普陀·期中）将整式按字母y降幂排列得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排序，熟知降幂排序的定义是解题的关键． 按字母y降幂排列，即按照y的指数从高到低排序即可． 【详解】解：在整式中，各项含y的指数分别为：中y的指数为3， 中y的指数为2，中y的指数为1，中y的指数为0．按y的指数降幂排列为． 故答案为：． 【题型2】整式的加减 6．（2025·贵州遵义·二模）下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号，合并同类项，根据去括号法则，合并同类项法则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A． ，本选项的计算错误； B． 与b不是同类项，不能合并，本选项的计算错误； C． ，本选项的计算正确； D． ，本选项的计算错误． 故选：C． 8．（2024·江西南昌·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 9．（2022·四川眉山·模拟预测）已知与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 【题型3】幂的运算 11．（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 12．（2025·广东江门·一模）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 13．（2025·广东江门·一模）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了逆用积的乘方，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 14.（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 15．（2025·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 16．（2025·山东烟台·一模）若，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用．根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 17．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算化简，然后指数对应相等求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 18．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 19．（2025·河南郑州·模拟预测）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 20．（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型4】整式的乘除 21.（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式、单项式乘单项式等知识点，掌握相关运算法则即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； 不是同类项，不能合并，故C错误； ，故D正确； 故选：D 22.（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 23．（2025·湖南株洲·一模）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先展开，再结合，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：A 24.（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：化简：． (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 25.（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：化简：． (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型5】乘法公式 26．（2025·甘肃酒泉·一模）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 27．（2025·陕西西安·模拟预测）将转化为平方差的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征变形即可． 【详解】解：， 故选：B． 28．（2025·北京·二模）计算： （1） （2） 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式化简，然后再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． 29． （2025·山西·一模）（1）化简：． （2）化简：． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30.（2025·四川内江·中考复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【题型6】因式分解 31．（2025·江苏南京·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法与因式分解，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式．逐一检查各选项：A是整式乘法，B不是乘积形式，D分解后不等于左边，只有C正确，即可解答． 【详解】解：A∶ 是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B∶ 右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C∶ ，是正确因式分解，符合题意； D∶ ，分解错误，不符合题意． 故选C． 32．（2025·江苏苏州·模拟预测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解； （1）提取公因式，即可求解； （2）将转化为，再提取公因式后继续分解，即可求解； （3）应用平方差公式，分解后化简，即可求解； （4）将视为整体，应用完全平方公式，再进一步分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 = ； （4）解：原式 ． 33．（2025·山西吕梁·模拟预测）（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握公式法（完全平方和（差）和平方差公式）和提公因式法结合使用即可得出结果． （1）将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； （2）利用平方差和完全平方公式分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 34．（2025·山西长治·二模）在实数范围内进行因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 35．（2025·上海·二模）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【详解】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 【题型7】乘法公式与因式分解的应用 36．（2024·广东·中考预测）利用因式分解计算： ． 【答案】4051 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式进行因式分解后计算． 【详解】解：． 故答案为 4051． 37.（25江西九江·中考预测）简便运算： ． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 38.（25·全国·中考预测）已知，，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将变为，然后将，，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：24． 39.（2025·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型8】整式的化简求值 40．（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据 除以单项式运算法则，平方差公式，合并同类项法则进行化简，然后代入数据计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 41．（2025·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及完全平方公式、多项式乘多项式等知识，熟练掌握其运算法则是解题关键．先利用完全平方公式、多项式乘多项式的法则展开括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式 ． 42．（2025·全国·一模）已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 43．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． （1）根据，代入已知条件，进行计算即可求解； （2）根据，代入已知条件，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9】规律探究 44．（2026九年级·广西·专题练习）按一定规律排列的一列单项式如下：，则第11个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察分母的规律：分母依次为，可分解为连续两个整数的乘积，即．确定变量指数：每个单项式的指数与项数对应，即第n项的指数为n.将分母和指数的规律结合，得到通项公式． 【详解】解：观察前四项的分母：第项： 第项： 第项： 第项： 通项公式：分母为 因此第n项的系数为 . 指数规律分析每个单项式的指数依次为与项数n一致，即第n项的指数为n. 通项公式综合上述规律，第n个单项式为：， 将代入通项公式：分母： 指数：， 单项式：. 故选：A． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化规律，单项式，解题的关键是找到规律． 45．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律探究，找出次数变化的规律是解答本题的关键． 根据所给多项式次数总结出每个多项式前后两项次数变化的规律即可解答． 【详解】解：∵多项式的x项的系数依次为1、、、、，……，多项式的x项的次数依次为2、3、4、5、6，……， y项的次数依次为1、2、3、4、5，……， ∴第n个多项式的x项的系数为，x项的次数为，y项次数， ∴第个多项式是． 故选：D． 46.（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．观察对应的模型中，可知，碳原子的个数多1个， 氢原子的个数多2个，从而找到规律． 【详解】解：在甲烷的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为4个，， 在乙烷的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为6个，， 在丙烷的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为8个，， 在丁烷的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为10个，， ∴碳原子个数为，氢原子的个数为个， 故选：B． 47.（2025·甘肃武威·二模）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，由题干中所给图案得出第个图案中白色纸片的个数为，令，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为， 第2个图案中白色纸片的个数为， 第3个图案中白色纸片的个数为， …， 第个图案中白色纸片的个数为， 令， 解得：， 故答案为：． 48.（25·甘肃·期末）观察下列等式： (1)请写出第个等式： ； (2)请用含正整数的等式表示你发现的规律，并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（）根据题目中等式的特点，写出第个等式即可； （）根据题目中等式的特点，写出第个等式并加以证明即可； 本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式，根据已知等式找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ， ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：第个等式：． 证明：∵左边，右边， ∴左边右边． ∴等式成立． 49．（25·江西赣州·月考）【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 【答案】 （1）① ；② ； （2）； （3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究与应用，解题的关键是发现与多项式相乘的结果规律． （1） 依据已知式子的规律，直接写出结果； （2） 逆用规律将分解为与对应多项式的乘积； （3） 把底数看作，逆用规律计算式子的值． 【详解】（1）①解：由规律得， 故答案为：． ②解：由规律得， 故答案为：． （2）解：逆用规律得， 故答案为：． （3） 解：令， 原式 50．（25·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)二 (3)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 则； （2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 过关检测 一、选择题 1.（2025·贵州铜仁·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，包括去括号法则和合并同类项，根据同类项的定义及运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．和不是同类项，无法合并，故，故A错误； B．去括号时，括号前负号使括号内各项符号改变：，故B正确； C．分配律应用错误：，但选项结果为，故C错误； D．合并同类项时系数计算错误：，故D错误． 故选：B． 2.（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． 根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解． 【详解】解：多项式：，，，，，， ∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数）， ∴当时，的系数是，的指数为， ∴第10个多项式是， 故选：B ． 3.（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键． 根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值． 【详解】解：∵多项式的次数为2， ∴ 解得，， 验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件， ∴， 故选：B． 4.（2025·吉林长春·一模）多项式按字母的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按字母x的指数从高到低排列即可． 【详解】解：项式按字母的降幂排列是： ． 故选C． 【点睛】本题考查了多项式的应用，能理解降幂排列的意义是解此题的关键，注意：排列时带着前面的符号． 5.（2025·吉林长春·二模）计算等于（　　） A．1 B．-1 C．4 D．-4 【答案】D 【分析】利用积的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解： = = = = 故选：D． 【点睛】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则地掌握并灵活运用． 6.（2025·浙江杭州·一模）若，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法等知识点，灵活运用幂的乘方的逆用法则是解题的关键． 由可得，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 7．（2025·广东·二模）已知，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将a、b、c化为同指数形式为，，，即可比较大小． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，根据数的特点，将数变为同指数幂的形式是解题的关键． 8．（2025·浙江宁波·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确的计算是解题的关键． 9.（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 【答案】C 【分析】将原式因式分解，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断各因子的正负，从而得出表达式的符号． 本题考查了因式分解，三角形三边关系定理，有理数的乘法，熟练掌握因式分解，三边关系定理是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是的三边长，   ∴ ，，，， ∴， ∴， 故， 故选：C． 二、填空题 11.（25·上海松江·二模）单项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键．这类问题中需注意的是，是常数，不是字母． 根据单项式的次数的定义“所有字母的指数和叫做这个单项式的次数”即可得． 【详解】解：由单项式的次数的定义得：的次数是． 故答案为：5． 12.（2025·吉林长春·模拟预测）将多项式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式按字母降幂排列的方法，明确各项中x的指数后，按从高到低排列，保留原系数符号是解题的关键． 【详解】　解：， 故答案为：． 13.（2024·广东·模拟预测）若与是同类项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据同类项，求参数的值，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：1． 14.（25·全国·模拟预测）已知无意义，则的值为 ． 【答案】34 【分析】本题考查代数式求值，涉及零指数幂的定义、乘法公式等知识，熟练掌握零指数幂的定义、乘法公式是解决问题的关键． 先由零指数幂的定义求出，再由完全平方和公式、平方差公式化简，最后将代入化简结果即可得到答案． 【详解】解：由零指数幂的定义，当无意义时，， 解得， ， 把代入，原式． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，将原式化简为，即可利用完全平方公式求解． 【详解】解： 故答案为： ． 16.（25·北京·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，先把左式变形为，再根据完全平方公式进行计算即可求解，正确进行变形是解题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25·上海宝山·月考）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18.（2025·山西临汾·二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是 ． 【答案】61 【分析】此题考查了图形类规律的探究．根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了， 第个图案用了， 当时，解得， ∴第11个图案用的木棍根数是根， 故答案为：61． 三、解答题 19.（2025·陕西咸阳·二模）计算： 【答案】 【分析】先去括号，后合并同类项解答即可. 本题考查了整式的加减，去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键. 【详解】解：                                          20．（2025·河北邯郸·二模）已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查整式的加减运算、合并同类项以及代数式求值．整式加减运算中合并同类项是关键步骤，而对于不含某一项即该项系数为这一概念的运用是解题的重要依据．在准确对进行整式运算并合并同类项，然后根据不含一次项得出一次项系数为的方程求解及正确将值代入并化简，再代入的值进行准确计算是解题的关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为，据此建立方程求解的值． （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【详解】（1）解： ． 无论取何值时都不含的一次项， ． ． （2）解：当时，． 当时，． 21.（2025·陕西榆林·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握多项式乘除法运算法则是关键． 根据多项式乘与多项，多项式除以单项式的计算方法求解即可． 【详解】解：    ． 22.（2025·陕西·二模）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解等知识，首先根据完全平方公式和整式加法运算法则将原式整理为，再提公因式4，然后利用十字相乘法进一步因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 23．（2025·吉林白城·二模）计算：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行括号内化简，再进行整式加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 24.（25·山东临沂·模考预测）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于正确掌握因式分解的方法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）提取公因式即可； （3）先去括号，合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用完全平方公式将式子整理为，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25.（25·江苏南通·复习预测）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了与多项式乘法有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据前4个算式的特征写出的展开式即可； （2）令，利用，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，每一行的第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，……， 以此类推可知， ∴“★”表示的数是6； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学中考一轮总复习（知识梳理、题型归纳、分类摸底、过关检测） 第02讲 整式与因式分解 知识网络 分类训练 【题型1】整式的概念 1．（25-26·陕西咸阳·模考）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．单项式有（　　） A．②③④⑥ B．①③④ C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 2．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）下列说法中正确的是（    ） A．单项式的次数为4次 B．是二项式 C．关于x的代数式是三项式 D．是单项式 4．（2025·四川乐山·期中）代数式，，，，，，中，整式共有 个． 5．（25·上海普陀·期中）将整式按字母y降幂排列得到 ． 【题型2】整式的加减 6．（2025·贵州遵义·二模）下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 7．（2025·贵州遵义·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·江西南昌·模拟预测）化简： ． 9．（2022·四川眉山·模拟预测）已知与是同类项，则 ． 10．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【题型3】幂的运算 11．（2025·湖北·二模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·广东江门·一模）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 13．（2025·广东江门·一模）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D． 14.（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山东烟台·一模）若，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．5 17．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 19．（2025·河南郑州·模拟预测）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·河南焦作·二模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型4】整式的乘除 21.（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 22.（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 23．（2025·湖南株洲·一模）若，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．5 24.（2025·山西长治·模拟预测）（1）计算：化简：． (2)． 25.（2025·山西长治·模拟预测）计算： （1）． （2）． 【题型5】乘法公式 26．（2025·甘肃酒泉·一模）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 27．（2025·陕西西安·模拟预测）将转化为平方差的形式是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·北京·二模）计算： （1） （2） 29． （2025·山西·一模） （1）化简：． （2）化简：． 30.（2025·四川内江·中考复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6】因式分解 31．（2025·江苏南京·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·江苏苏州·模拟预测）因式分解 (1) (2) (3) (4) 33．（2025·山西吕梁·模拟预测）（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)． 34．（2025·山西长治·二模）在实数范围内进行因式分解 ． 35．（2025·上海·二模）在实数范围内因式分解： ． 【题型7】乘法公式与因式分解的应用 36．（2024·广东·中考预测）利用因式分解计算： ． 37.（25江西九江·中考预测）简便运算： ． 38.（25·全国·中考预测）已知，，则的值为 ． 39.（2025·全国·专题练习）计算： ． 【题型8】整式的化简求值 40．（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值：，其中，． 41．（25-26八年级上·天津·月考）先化简，再求值：，其中． 42．（2025·全国·一模）已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 43．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【题型9】规律探究 44．（2025九年级·广西·专题练习）按一定规律排列的一列单项式如下：，则第11个单项式是（    ） A． B． C． D． 45．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，…，第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 46.（2024·山西吕梁·模拟预测）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，烷烃的通式中的指的是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 47.（2025·甘肃武威·二模）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 48.（25·甘肃·期末）观察下列等式： (1)请写出第个等式： ； (2)请用含正整数的等式表示你发现的规律，并证明其正确性． 49．（25·江西赣州·月考）【观察思考】 观察下列各式． ； ； ； … 【规律发现】 请根据你发现的规律解答下列各题： （1）①________； ②________；（其中为正整数） 【规律应用】 （2）分解因式：________； （3）计算：． 50．（25·江西赣州·月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 过关检测 一、选择题 1.（2025·贵州铜仁·三模）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4.（2025·吉林长春·一模）多项式按字母的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·吉林长春·二模）计算等于（　　） A．1 B．-1 C．4 D．-4 6.（2025·浙江杭州·一模）若，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（2025·广东·二模）已知，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江宁波·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9.（2025·四川乐山·二模）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 10．（25-26·全国·课后作业）已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 二、填空题 11.（25·上海松江·二模）单项式的次数是 ． 12.（2025·吉林长春·模拟预测）将多项式按的降幂排列为 ． 13.（2024·广东·模拟预测）若与是同类项，则 ． 14.（25·全国·模拟预测）已知无意义，则的值为 ． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用因式分解计算： ． 16.（25·北京·月考）已知，则的值为 ． 17．（25·上海宝山·月考）在实数范围内分解因式： ． 18.（2025·山西临汾·二模）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍……按此规律拼下去，第11个图案用的木棍根数是 ． 三、解答题 19.（2025·陕西咸阳·二模）计算： 20．（2025·河北邯郸·二模）已知，． (1)若无论取何值时都不含的一次项，求的值； (2)当时，求（1）中的值． 21.（2025·陕西榆林·二模）化简：． 22.（2025·陕西·二模）因式分解：． 23．（2025·吉林白城·二模）计算：． 24.（25·山东临沂·模考预测）因式分解： (1) (2) (3) (4) 25.（25·江苏南通·复习预测）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下图所示． 观察上图中的规律， (1)填空：“★”表示的数是________，________； (2)计算：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $