2.3 简谐运动的回复力和能量 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选修性必修第一册

本讲义聚焦简谐运动的回复力、能量及各物理量变化规律，系统梳理回复力的定义、方向与表达式F=-kx，能量转化中动能与势能的相互关系，以及位移、加速度等物理量的变化特点，构建从基础概念到深化应用的学习支架。 该资料以科学思维为核心，通过弹簧振子、竖直振动等多样化例题培养模型建构与科学推理能力，如“弹簧与小球组成的振动系统”分析。题型分层设计，课中辅助教师系统教学，课后精练助力学生巩固知识，弥补薄弱环节。

2.3 简谐运动的回复力和能量 题型1 简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。 (2)方向：总是指向平衡位置。 (3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。 2．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 3．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。 4． 简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。例如丙图中，木块做简谐运动的回复力F＝－x＝－kx，其中比例系数k和弹簧的劲度系数k0不同。 5． 简谐运动的加速度 由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 【例题精讲】 1．如图所示，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，小球b通过劲度系数为k的轻质弹簧与a连接，初始时均处于静止状态。现将小球b竖直向下拉动l后由静止释放，此后小球b始终做简谐运动。已知两小球的质量均为m，重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内，忽略空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．小球a一定静止不动 B．一定满足l C．小球b的振幅为2l D．小球b受到重力、弹力和回复力的乍用 【答案】A 【解答】解：C、小球b初始位于平衡位置，被下拉距离l后释放，其振幅A＝l，故C错误； D、小球b运动时受重力与弹力，其合力提供回复力，回复力并非独立存在的力，故D错误； A、小球b持续做简谐运动，细线在某一时刻没有拉力，a始终静止，弹簧的弹力最大值可以等于A的重力。细线绷紧时，小球a受重力mg、拉力T及弹力F弹三力平衡，故a保持静止，故A正确； B、当b运动至最高点时，位移x＝﹣l，加速度向下达最大值。对b有：mg﹣F弹＝ma；此时弹簧对a的作用力F弹'＝F弹。对a需满足T＝mg﹣F弹'≥0。临界条件是弹簧最大压缩量时F弹'＝mg，由此可得振幅限制。B选项仅对应弹簧原长状态，非简谐运动必要条件，故B错误。 故选：A。 2．如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示，已知弹簧的劲度系数为4N/cm，则t＝6.5s时，振子的回复力大小为（　　） A．10N B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由振动图像可知，振幅A＝5cm 周期T＝4s 则 振动方程 则t＝6.5s时，振子的位移大小为 弹簧的劲度系数为4N/cm，振子的回复力大小为，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．将一轻弹簧与小球组成弹簧振子竖直悬挂，上端装有记录弹力的拉力传感器，当振子在竖直方向上下振动时，弹力随时间的变化规律如图所示。已知重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg，振动的周期为4s B．0∼2s内，小球受弹力的冲量大小为20N•s C．0∼2s内和2～4s内，小球受弹力的冲量方向相反 D．0∼4s内，小球受回复力的冲量大小为40N•s 【答案】B 【解答】解：A．根据F﹣t图像可知，弹簧弹力的最大值为20N，最小值为0。当小球在最高点时，弹簧弹力最小，在最低点时弹力最大。由对称性可知，在平衡位置时，弹力为10N，可得F＝mg，解得小球的质量为1kg，振动的周期为4s，故A错误。 BC．0∼2s内，小球初末速度均为零，根据动量定理可得IF﹣mgt＝0﹣0，解得IF＝20N•s，即小球受弹力的冲量大小为20N•s，方向竖直向上；同理可知，2～4s内，小球受弹力的冲量大小为20N•s，方向竖直向上，故0∼2s内和2～4s内，小球受弹力的冲量方向相同，故B正确，C错误。 D．小球受到的合力作为回复力，0∼4s的初末状态速度均为零，即动量变化为零，可知小球受回复力的冲量大小为0，故D错误。 故选：B。 4．如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为2.0cm B．t＝0.2s时，回复力为零 C．t＝0.3s时，速度最大且方向向上 D．位移—时间关系式为y＝sin（5t）cm 【答案】C 【解答】解：A、根据题图（b）可知，振幅为A＝1.0cm，故A错误； B、根据题图（b）可知，0.2s时试管处于负向最大位移处，则此时回复力最大，故B错误； C、根据题图（b）可知，0.3s时试管处于平衡位置，此时速度最大且方向向上，故C正确； D、根据题图（b）可知，周期为T＝0.4s，位移一时间关系式为：，故D错误。 故选：C。 5．如图弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球在B点速度最大 B．小球在O点动能最大 C．小球在O点回复力最大 D．小球在C点弹性势能最小 【答案】B 【解答】解：A、由图示可知，B为位移最大处，小球在B点速度最小为零，故A错误； B、小球在平衡位置O点速度最大，动能最大，故B正确； C、小球在平衡位置O点的回复力最小为零，故C错误； D、小球在最大位移C处弹簧的形变量最大，弹性势能最大，故D错误。 故选：B。 6．（多选）如图所示，一木杆竖直漂浮在水中，当木杆静止时O点恰好过水面，现用手将木杆下压至A点后放手，木杆沿竖直方向做简谐运动。若木杆所受浮力的最大值为F1、最小值为F2，水的密度为ρ，木杆横截面积为S，重力加速度为g，B是A关于O的对称点，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．木杆回复力与位移之比为﹣ρgS B．木杆回复力与位移之比为 C．木杆的振幅为 D．木杆的振幅为 【答案】AC 【解答】解：设OA＝OB＝x，设杆O点以下长度为L，杆的质量为M，回复力系数为k，则在平衡位置有 ρgSL＝Mg 在浮力最大处 F1﹣Mg＝ρgS（L+x）﹣Mg＝kx 在浮力最小处 Mg﹣F2＝Mg﹣ρgS（L﹣x）＝kx 可解得k＝ρgS 故AC正确，BD错误。 故选：AC。 7．（多选）如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为4s B．0﹣2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s﹣4s和4s﹣5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s﹣3s内，小球受弹力的冲量大小为16N•s，方向向上 【答案】AD 【解答】解：A.根据F﹣t图像可知，t＝1s时，弹簧弹力最大，为16N，小球位于最低点；t＝3s时，弹簧弹力最小，为零，小球位于最高点。由对称性可知，小球振动的周期为4s，小球位于平衡位置时，弹力为，解得m＝0.8kg，故A正确。 B.小球受到的合外力提供回复力，0～2s内，小球初末速度不为零且大小相等，而方向相反，则速度变化量不为零，根据动量定理可知回复力的冲量大小不为0，故B错误。 C.3s～4s和4s～5s内，平均弹力大小不同，小球受弹力的冲量不同，故C错误。 D.1～3s内，以竖直向上为正方向，由动量定理得I弹﹣mgt＝0﹣0，解得I弹＝16N•s，方向向上，故D正确。 故选：AD。 题型2 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。 (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 【例题精讲】 1．如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力为0 B．t＝0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0 C．从t＝0至t＝0.2s，手机的动能增大 D．从t＝0.2s至t＝0.4s，手机的机械能守恒 【答案】B 【解答】解：A.由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，根据牛顿第二定律可知，此时手机受力的合力为0，所以弹簧弹力大小为F＝mg，故A错误。 B.由题图乙知，t＝0.2s时，手机的加速度为正，此时手机位于平衡位置下方，此时手机加速度最大，偏离平衡位置位移也最大得，速度为0，故B正确。 C.结合图甲、图乙知，当t＝0时，加速度为零时速度最大，物体在平衡位置时，此时t＝0.2s，手机加速度最大时速度为0，手机在偏离平衡位置最大处，从t＝0至t＝0.2s，手机速度减小，动能减小，故C错误。 D.整个过程手机与弹簧组成的系统机械能守恒。从t＝0.2s至t＝0.4s的过程中，手机从最低点向上运动到平衡位置，弹簧伸长量逐渐减小，弹簧弹性势能减小，故手机的机械能增大，故D错误。 故选：B。 2．如图所示，为竖直方向的弹簧振子，振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则振子在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．从C→O→B振子完成一次全振动 B．振子在O点时弹簧的弹性势能等于零 C．振子的回复力由重力和弹力的合力提供 D．从O→C弹簧振子的能量增加 【答案】C 【解答】解：A、振子从C→O→B，再从B→O→C完成一次全振动，故A错误； B、振子在O点时弹簧弹力F＝mg，此时弹簧形变量x≠0，弹性势能Ep≠0，故B错误； C、振子回复力由重力与弹力的合力提供，故C正确； D、振子动能Ek、重力势能Eg与弹簧弹性势能Ep之和守恒，故D错误。 故选：C。 3．某鱼漂的示意图如图甲所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。鱼漂振动足够长时间后，其做阻尼振动的振动图像如图乙所示，设A、B两点表示的相应位置对应的动能分别为EkA、EkB。则下列说法正确的是（　　） A．鱼漂向上运动的过程中，速度先均匀增大，再均匀减小 B．鱼漂的最大振幅等于M、N间的距离 C．鱼漂做阻尼振动的过程中，随着振幅的减小，振动频率会变小 D．比较鱼漂在A、B两点的动能，EkA＞EkB 【答案】D 【解答】解：A、鱼漂在竖直方向运动时，受重力、浮力及水的阻力作用。浮力与排开水体积（浸入深度）呈线性关系，回复力随位移呈非线性（含阻力）或线性（忽略阻力）变化，加速度非恒定。因此鱼漂不做匀变速直线运动，速度不可能均匀变化，故A错误； B、振幅定义为振动物体偏离平衡位置的最大距离。鱼漂初始被压至M点，O为平衡位置，故初始振幅为OM长度。M、N间距为鱼漂最低点与随后最高点间距离，数值约为2倍振幅，故B错误； C、鱼漂做阻尼振动时，其频率（或周期）由系统固有性质（如质量、横截面积、水密度等）决定，与振幅无关。振幅虽减小，频率保持不变，故C错误； D、水阻力使鱼漂振动时机械能持续转化为内能，总机械能随时间递减，即E机A＞E机B。图乙中A、B两点位移y相同，系统势能相等。由E机＝Ek+Ep可知，因E机A＞E机B且EpA＝EpB，必有EkA＞EkB，故D正确。 故选：D。 4．如图甲所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑绝缘圆轨道，轨道上A点与圆心O水平高度相同。空间中存在匀强电场，场强方向在轨道平面内。设圆上的某点和O点的连线与OA连线的夹角为θ（沿逆时针方向为正），其电势φ与θ的关系图像如图乙所示，一个电量为+q、质量为m、可视为质点的小球，从轨道上A点以竖直向下的初速度v开始运动，到达θ的位置时速度达到最大，且能够做完整的圆周运动。重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动至θ的位置时，机械能最大 B．小球运动至θπ的位置时，动能最小 C．v取任意值小球都能做完整的圆周运动 D．必须满足v2gR，小球才能做完整的圆周运动 【答案】B 【解答】解：根据图甲，设A点为圆心左侧水平位置，取OA方向为θ＝0，逆时针方向为正。重力mg方向竖直向下，对应方向。 由图乙可知，电势φ在处取得极大值。根据正电荷在电势高处电势能大的特性，电场力qE方向指向电势降低最快的（即）方向。 题目给出小球在处速度最大，说明该位置为等效势能最低点，即合力F合沿半径指向方向。 B、由为等效最低点，动能最大；根据对称性，为等效最高点，动能最小，故B正确； A、机械能变化由电场力做功决定，表达式为E机＝E总﹣qφ。当φ在处最小时机械能最大，在处φ最大时机械能最小，故A错误； CD、完整圆周运动需通过等效最高点。由几何关系得，等效重力加速度g'＝0.5g。临界速度满足。从A点到等效最高点，根据动能定理得，故C、D错误。 故选：B。 5．如图所示，一轻质弹簧左端与墙壁连接，右端连接在物块上，物块放在粗糙的水平地面上。现把物块拉到A点由静止释放，运动到B点时速度刚好为零，O点是AB的中点。已知物块在A点时弹簧的伸长量是在B点时的三倍，弹簧始终处在弹性限度内。则物块（　　） A．运动到O点两侧对称位置时动能不相等 B．运动到O点时动能最大 C．在A、B之间作阻尼振动 D．在A、B之间不停地做简谐运动 【答案】B 【解答】解：设弹簧原长处为坐标原点，向右为正方向。设 B 点处弹簧压缩量为 x （即坐标为﹣x ），则 A 点处弹簧伸长量为 3x （即坐标为 3x ）。 AB、物块从 A 运动到 B 的过程中，根据动能定理：W弹+Wf＝0。 即：，化简得 4kx2＝4fx，解得滑动摩擦力 f＝kx。 当物块速度最大时，加速度为零，即合力为零。此时弹簧弹力与摩擦力平衡，设此时弹簧伸长量为 x0，则有 kx0＝f。 将 f＝kx 代入，得 x0＝x。 即平衡位置（动能最大的位置）在弹簧伸长量为 x 处。 而 A、B 的中点 O 的坐标为 。 可见，平衡位置恰好就是 A、B 的中点 O。 所以物块运动到 O 点时动能最大。由于从 A 到 B 的运动等效于以 O 为平衡位置的简谐运动的半个周期，根据对称性，在 O 点两侧对称位置物块的动能相等，故A错误，B正确； CD、由于物块在 B 点速度为零，且此时弹簧弹力 FB＝kx，摩擦力 f＝kx，弹力与摩擦力大小相等，方向相反，物块受力平衡，将静止在 B 点，不会发生往复振动，故CD错误。 故选：B。 6．（多选）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，已知手机的质量为m，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力大小为mg B．t＝0.2s时，手机位于平衡位置上方 C．从t＝0至t＝0.2s，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2 【答案】AD 【解答】解：A、由题图乙可知，t＝0时手机加速度为0，根据平衡条件可得弹簧弹力F＝mg，故A正确； B、由题图乙可知，t＝0.2s时手机加速度方向竖直向上，此时手机位于平衡位置下方，故B错误； C、由题图乙可知，t＝0至t＝0.2s过程中手机加速度增大，表明手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小导致动能减小，故C错误； D、由题图乙可得周期T＝0.8s，解得角频率，代入得ω＝2.5πrad/s，由此建立加速度随时间变化关系式a＝4sin（2.5πt）m/s2，故D正确。 故选：AD。 7．（多选）如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（　　） A．0时刻弹簧弹力大小为2mg B．弹簧劲度系数为 C．时间段，回复力冲量为0 D．时间段，小球动能与重力势能之和不变 【答案】AC 【解答】解：B、小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，时刻弹簧弹力为0，位移大小为A，回复力大小等于mg，则有kA＝mg，解得弹簧劲度系数为，故B错误； A、0时刻小球位于正向最大位移处，弹簧的压缩量为2A，则弹簧弹力大小为F＝k•2A•2A＝2mg，故A正确； C、时间段，小球从从最高点振动到达最低点，回复力在前时间沿正方向，在后时间沿负方向，两段时间的回复力平均值大小相等，则T时间内，回复力冲量为I•（•）＝0，故C正确； D、时间段，小球从最高点振动到达最低点，根据小球和弹簧组成的系统机械能恒可知，弹簧的弹性势能和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球动能与重力势能之和一直减小，故D错误。 故选：AC。 题型3 简谐运动中各物理量的变化 1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。 (1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。 2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性。 (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 3．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 4．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 【例题精讲】 1．如图所示，甲、乙为并列悬挂的两个相同弹簧振子，O、O′分别为两振子的平衡位置。将两球分别拉至A、B位置后同时释放，其中AO＞BO′，下列说法正确的是（　　） A．到达平衡位置时甲球的速度小于乙球 B．到达平衡位置时甲球的速度等于乙球 C．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间小于乙球 D．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间等于乙球 【答案】D 【解答】解：AB．相同的弹簧振子，由于甲的振幅大于乙的振幅，振幅越大能量越大，则到达平衡位置时甲球的速度大于乙球的速度大小，故AB错误； CD．由题意可知两弹簧振子的振动周期相等，故第一次到达平衡位置过程甲球所用时间等于乙球等于T，故C错误，D正确。 故选：D。 2．如图所示，一轻质弹簧一端固定，另一端与物块相连，物块在光滑水平面上做简谐运动。取平衡位置为坐标原点，水平向右为正方向。物块经过平衡位置时（　　） A．速度最大，加速度最大 B．速度最大，加速度为零 C．速度为零，加速度最大 D．速度为零，加速度为零 【答案】B 【解答】解：一轻质弹簧一端固定，另一端与物块相连，物块在光滑水平面上做简谐运动，取平衡位置为坐标原点，水平向右为正方向，物块经过平衡位置时，位移为零，根据公式a，加速度为零，速度最大，故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力为0 B．t＝0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0 C．从t＝0至t＝0.2s，手机的动能增大 D．从t＝0.2s至t＝0.6s，手机的机械能守恒 【答案】B 【解答】解：A.由题图乙知，t＝0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律可知，此时受力的合力为0，弹簧弹力大小为F＝mg，故A错误。 B.由题图乙知，t＝0.2s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，此时手机加速度最大，所以偏离平衡位置位移也最大，速度为0，故B正确。 C.结合图甲、图乙知，t＝0时，加速度为0，速度最大，物体在平衡位置处。t＝0.2s时，加速度最大，速度为0，物体在偏离平衡位置最大处。所以从t＝0 至t＝0.2s，手机速度减小，动能减小，故C错误。 D.整个过程手机与弹簧组成的系统机械能守恒。从t＝0.2s 至t＝0.4s，手机从最低点向上运动到平衡位置，弹簧伸长量逐渐减小，弹簧弹性势能减小，故手机的机械能增大，故D错误。 故选：B。 4．某钓鱼爱好者用粗细均匀的塑料直管制成如图所示的浮漂，浮漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐，A、B两点到O点的距离相等，将浮漂向下按至A点与水面平齐后由静止释放，若不计阻力，浮漂做简谐振动，下列对于浮漂释放后的运动过程说法正确的是（　　） A．浮漂速度为零时，位移也为零 B．浮漂加速度增大时，速度一定减小 C．A从最高点运动到水面的过程中，加速度增大 D．浮漂位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 【答案】B 【解答】解：A、根据题意可知，浮漂做简谐振动，根据简谐振动可知，浮漂速度为零时，位移为最大，故A错误； B、根据题意，由简谐振动可知，浮漂加速度增大时，说明回复力增大，则位移增大，远离平衡位置，所以速度一定减小，故B正确； C、根据题意可知，A从最高点运动到水面的过程中，位移先减小后增大，回复力先减小后增大，所以加速度先减小后增大，故C错误； D、根据回复力公式有，F回＝﹣kx＝ma，浮漂位移方向总是与加速度方向相反，但与速度方向可能相同也可能相反，故D错误。 故选：B。 5．如图所示，物块M与m叠放在一起，以O为平衡位置，在ab之间做简谐振动，两者始终保持相对静止，取向右为正方向，其振动的位移x随时间t的变化图像如图，则下列说法正确的是（　　） A．在某段时间内，两物块速度增大时，加速度可能增大，也可能减小 B．两物块运动到最大位移处时，若轻轻取走m，则M的振幅不变 C．在时间内，物块m的速度和所受摩擦力都沿负方向，且都在增大 D．从t1时刻开始计时，接下来内，两物块通过的路程为A 【答案】B 【解答】解：A．物块速度增大时，物块向平衡位置运动，则物块的位移减小，据简谐振动的受力特点F＝﹣kx，加速度减小，故A错误； B．简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是动能和势能间的转化，总机械能守恒。其能量只有振幅决定，即振幅不变，振动系统能量不变。当将m在最大位移处轻轻取走，说明m取走时动能为零，m取走前后M振幅没有改变，振动系统机械能总量不变，故B正确。 C．由物体振动的位移x随时间t的变化图像可知在时间内，由图像的斜率为负且增大可知，物块m的速度沿负方向在增大，受摩擦力方向沿负方向，据F＝﹣kx可知，位移x在减小，回复力减小，加速度在减小，所以摩擦力在减小，故C错误； D．由振动的位移x随时间t的变化图像知，两物块在平衡位置速度最大，因此两物块从b→O的平均速率要小于从t1开始经时间内的平均速率，所以从t1开始经通过的路程大于A，故D错误。 故选：B。 6．（多选）如图所示，小球通过两根轻绳悬挂在木箱内，AO水平，BO与竖直方向的夹角为30°，木箱静止时，弹簧的伸长量为l，现将木箱从该位置缓慢下拉0.5l后释放，弹簧始终在弹性限度内。已知小球和木箱的质量均为m且二者始终保持相对静止，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．木箱静止时，AO弹力的大小为mg B．木箱静止时，BO弹力的大小为mg C．木箱运动过程中，AO的弹力的最小值为mg D．木箱运动过程中，BO的弹力的最大值为mg 【答案】BD 【解答】解：AB、木箱静止时，对小球受力分析，如下图： 根据其受力平衡，可得：TA＝TBsin30°，TBcos30°＝mg，解得：，，故A错误，B正确； CD、木箱运动过程，对木箱受力分析，可得：F合＝kΔx﹣2mg， 以平衡位置为初始位置，从释放位置到初始平衡位置的过程，以向下为正方向，合力满足：F合＝﹣kx，根据其受力特点，可知其运动满足简谐运动； 在释放位置处，对木箱和小球整体受力分析，可得：k×（l+0.5l）﹣2mg＝2ma，其加速度为：a＝0.5g，方向竖直向上； 根据简谐运动特点，可知在上升过程，加速度先减小后增大，绳的拉力始终减小，在最高点时，其加速度大小为：a＝0.5g，方向竖直向下； 在释放位置，对小球受力分析，如下图： 可得：TB1sin30°＝TA1，TB1cos30°﹣mg＝ma，解得：，； 在最高点时，对小球受力分析，如下图： 可得：TB2sin30°＝TA2，mg﹣TB2cos30°＝ma，解得：，，故C错误，D正确。 故选：BD。 7．（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上，竖直放置时另一端位于O点，现将绝缘不带电物块a和带正电的物块b叠放在弹簧上，系统稳定时弹簧上端位于P点。a、b的质量均为m，b的电荷量为q，在空间中加上竖直向上的匀强电场，场强大小为，弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．加上电场瞬间，b的加速度大小为 B．b运动到最高点时弹簧的压缩量为 C．a、b物体会分离，且分离时b的加速度大小为 D．a、b物体不会分离，两物体将一起做简谐振动，振幅为 【答案】BD 【解答】解：A．a、b两物体叠放在轻弹簧上，并处于静止时，此时弹簧弹力等于a、b的重力，可得 加电场后，电场力为a、b整体受到的合力，故，故A错误； BC．假设a、b不会分离，由对称性知当a、b运动到最高点时，加速度向下，大小与最低点加速度相等，为 对b分析 得a、b间弹力，假设成立，故a、b不会分离。上升到最高点，对a、b整体分析可得，故B正确，C错误； D．根据以上分析可知，ab一起做简谐运动，故振幅，故D正确。 故选：BD。 课时精练 1．如图所示，把一个小球套在光滑水平细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子。小球以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球在M、N两点的位移相同 B．小球在M、N两点的加速度相同 C．从M到N，小球的动能先增大后减小 D．从M到N，小球先做匀加速运动后做匀减速运动 【答案】C 【解答】解：A、小球在M、N两点的位移大小相等，方向相反，故A错误； B、小球在M、N两点的加速度大小相等，方向相反，故B错误； C、小球经过平衡位置O的速度最大，从M到N，小球的速度先增大后减小，小球的动能先增大后减小，故C正确； D、小球经过平衡位置O的加速度为0，所以从M到N，小球先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，故D错误。 故选：C。 2．如图所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（　　） A．振动周期为5s，振幅为8cm B．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值 C．从第1s末到2s末振子的位移增加，振子在做加速度增大的加速运动 D．第3s末振子的速度为最大 【答案】D 【解答】解：A.由振动图像可知，振动周期为4s，偏离平衡位置的最大距离即振幅为8cm，故A错误； B.第2s末振子负向位移最大，加速度为正向的最大值，速度为零，故B错误； C.从第1s末到2s末振子的位移增加，加速度增大，速度减小，振子在做加速度增大的减速运动，故C错误； D.第3s末振子在平衡位置，速度最大，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为5cm，由B运动到C的时间为2s，则（　　） A．振子从B到O运动过程中，弹簧振子机械能不变 B．振子从B到O运动过程中，速度和加速度均在增加 C．振子从O点再次回到O点为一次全振动 D．振子经过的路程为5cm时所用的时间一定为1s 【答案】A 【解答】解：A.振子从B到O运动过程中，弹簧的弹性势能减小转变成小球的动能，弹簧振子机械能守恒，保持不变，故A正确； B.振子从B到O运动过程中，弹性势能减小，速度增大，加速度减小，故B错误； C.振子从O点再次回到O点，由于运动具有往复性，所以振子有可能只振动了半个周期，也可能振动一个周期，故C错误； D由题知，由B运动到C的时间为2s，故周期为4s；只有当振子从最大位移处到平衡位置处或从平衡位置到最大位移处经过的路程为5cm时所用的时间一定为1 s，除此之外振子经过的路程为5cm时所用的时间不一定为1s，故D错误。 故选：A。 4．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为m的物体A，A下面用细线悬挂一质量为M的物体B，此时系统处于静止状态。现剪断细线使B自由下落，当物体A向上运动第一次到达最高点时，弹簧对A的拉力大小恰好等于Mg，此时B尚未落地且速度为v，则（　　） A．物体A的质量m＝2M B．A与弹簧组成的系统振动周期为 C．A运动到最高点时加速度为1.5g D．A从最低点运动到最高点的过程中弹簧弹性势能的减少量为 【答案】A 【解答】解：AC.系统处于静止状态时，弹力为kΔx＝（M+m）g 剪断细线后，A做简谐振动，最低点加速度为 当A达到最高点时，有，a＝a′ 代入数据得m＝2M，a′＝a＝0.5g，故A正确，C错误； B.B做自由落体运动，有 则A从最低点到最高点所用时间为 代入数据得振动周期为，故B错误； D.由功能关系可得ΔEp＝mgΔh， 代入数据得，故D错误。 故选：A。 5．如图甲所示，质量M＝2m的物体P拴接在轻弹簧上，质量为m的物体Q叠放在物体P上，系统静止时物体P处在O点，现将两物体拉至B点后释放，此后两物体一起在A、B两点间做简谐运动，规定向右的方向为正，从某一时刻开始计时，物体P的振动图像如图乙所示，物块与地面间的摩擦忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．t＝0.2s时，物体P正处在O点向右运动 B．t＝0.3s时，物体P所受的摩擦力最大，方向向左 C．0.2s～0.3s的时间内，弹簧的弹性势能正在减小 D．0.5s时，物体P的加速度最大，方向向右 【答案】B 【解答】解：A．由图乙可知，t＝0.2s时，物体P正处在O点向负方向运动，即向左运动，故A错误； B．由图乙可知，t＝0.3s时，P、Q处于A点位置，此时加速度最大，方向向右， 对物体Q，摩擦力提供回复力，所以此时受到的摩擦力最大，方向向右，所以物体P所受的摩擦力最大，方向向左，故B正确； C．图乙可知，0.2s～0.3s的时间内，物体P从O点向A点运动，弹簧的弹性势能正在增大，故C错误； D．由图乙可知，0.5s时，物体P、Q处于B点位置，此时物体P的加速度最大，方向向左，故D错误。 故选：B。 6．如图所示，在倾角为θ的光滑固定斜面上将弹簧一端固定，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在斜面上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，弹簧在弹性限度内，重力加速度大小为g，则物体在振动过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大弹性势能等于2mgA B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变 C．物体在最低点时的加速度大小应为gsinθ D．物体在最低点时的弹力大小应为mgsinθ 【答案】C 【解答】解：A．因物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，此时有mgsinθ＝F回＝kA 当物体在最低点时，弹簧形变量最大且为2A，弹簧的弹性势能最大，即 联立以上解得Epmax＝2mgAsinθ 故A错误； B．由能量守恒定律知，弹簧的弹性势能和物体的动能、重力势能三者的总和不变，故B错误； C．当物体在最低点时，由简谐运动特点和牛顿第二定律可得F回＝mgsinθ＝ma 解得加速度大小a＝gsinθ 故C正确； D．在最低点时，由牛顿第二定律可知 F弹﹣mgsina＝ma 解得F弹＝2mgsina 故D错误。 故选：C。 7．如图甲所示，某同学用手机和轻弹簧制成一个弹簧振子。先用手托住手机，然后将手机由静止释放，则手机在竖直面内做简谐运动，同时用手机上的加速度传感器记录下手机本身的振动情况，以竖直向上方向为正，某段时间内其加速度a随时间t变化的曲线为图乙所示的正弦曲线。已知手机的质量m＝0.15kg，弹簧的劲度系数为k＝20N/m，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.2s、t＝0.4s、t＝0.6s时，弹簧的弹力均为0 B．t＝0.3s时，手机运动的速度最大 C．手机在振动过程中，手机的机械能保持不变 D．手机偏离平衡位置的位移y随时间t变化的关系式为：y＝﹣6sin（5πt）cm 【答案】D 【解答】解：AB．由加速度a随时间t变化的曲线图可知，t＝0.2s、t＝0.4s、t＝0.6s时，加速度为零，手机处于平衡位置，故弹力等于手机的重力，此时手机的速度最大，而t＝0.3s时，手机有向下的加速度，手机的速度不是最大，故AB错误； C．手机振动过程中，弹簧和手机组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，但手机的机械能不守恒，故C错误； D．由乙图可知，手机的振动周期 T＝0.4s 所以 在平衡位置时，弹簧的伸长量 手机的加速度最大时，对手机受力分析，根据牛顿第二定律可知 Fm﹣mg＝mam Fm＝kxm 解得 xm＝13.5cm 手机振动时的振幅 A＝xm﹣x1，解得A＝6cm 手机偏离平衡位置的位移y随时间t变化的关系式为 y＝﹣6sin5πt（cm） 故D正确。 故选：D。 8．如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t＝0时刻，一质量为m的物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（x﹣t）如图乙所示，其中t＝0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（　　） A．当物块开始简谐运动后，振动周期为0.5s B．t＝0.4s时弹簧的弹力小于mg C．从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大 D．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后简谐运动的周期增大 【答案】C 【解答】解：A.根据图乙可知，振动周期为T＝2×（0.7﹣0.4）s＝0.6s，故A错误； B.t＝ 0.4s时，物块在简谐运动的最大位移处（最高点），此时加速度向上，根据牛顿第二定律有F﹣mg＝ma，可知弹簧弹力F大于mg，故B错误； C.根据图乙可知，x＝30cm时物块处于平衡位置，此时物块的加速度为零，故从从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大，故C正确； D.根据周期可知，物块做简谐运动的周期与振幅无关，若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后简谐运动的周期不变，故D错误。 故选：C。 9．（多选）图甲所示为水平弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k，振子做简谐运动，弹簧的弹性势能随时间变化的规律如图乙所示，图中E0、t0均为已知量，弹簧的弹性势能（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），弹簧始终在弹性限度内，则下列判断正确的是（　　） A．弹簧振子振动的周期为2t0 B．振子振动的振幅为 C．振子振动的最大速度为 D．t＝2.5t0时刻，振子的加速度与速度方向相反 【答案】BC 【解答】解：A、弹簧振子周期定义为完成一次全振动所需时间。全振动指振子从某位置出发，再次回到该位置且运动状态（速度、加速度等）完全恢复的过程，因此该弹簧振子周期为4t0，故A错误； B、弹簧弹性势能最大时形变量最大，此时形变量等于振幅A。由最大弹性势能，解得：，故B正确； C、弹簧振子机械能守恒，当弹性势能为零时动能最大，由，解得：，故C正确； D、t＝2.5t0时刻，弹簧弹性势能减小，振子向平衡位置运动，速度与加速度同向，故D错误。 故选：BC。 10．（多选）如图所示，质量为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为µ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力的瞬间，Q恰好能保持静止。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，在随后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．P、Q将离墙越来越远 B．任意一段时间内Q的动量变化均为0 C．弹簧的最大形变量为 D．P的最大动能为 【答案】BCD 【解答】解：AB．由于Q始终处于静止状态，剪断细线前后，任意时间段动量变化量为0，离墙的位置保持不变；P与弹簧组成的系统机械能守恒，故P在弹簧弹力的作用下做简谐振动，故A错误，B正确； C．细线未剪断时，设弹簧的伸长量为x（也是弹簧的最大压缩量），由于Q处于静止状，则有 kx＝μ•2mg 解得：，故C正确； D．弹簧的弹性势能全部转化为P的动能时，P的动能最大，则有 故D正确。 故选：BCD。 11．（多选）劲度系数为k的轻弹簧一端固定在倾角30°的足够长光滑斜面底端，另一端与质量为m的物块A相连，跨过定滑轮O的轻绳一端系住A，另一端与质量为m的球B相连，轻绳OA平行于斜面（如图所示），用手托住球B，使轻绳刚好伸直。现松手使球B从静止开始下落，物块A将在斜面上做简谐运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．物块A获得的最大速度为 B．物块A获得的最大速度为 C．物块A在斜面上做简谐运动的振幅为 D．球B下落的最大高度为 【答案】ACD 【解答】解：C．用手托住球B时，使轻绳刚好伸直时，弹簧处于压缩状态，根据胡克定律有kx1＝mgsin30° 得弹簧的压缩量 使球B缓慢下落，平衡时弹簧处于伸长状态，据平衡条件可得mg﹣mgsin30°＝kx2 可解得伸长量 故松手使球B从静止开始下落，物块A在斜面上做简谐运动的振幅为 故C正确； AB．到达平衡位置时，物体A获得最大速度，对A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒定律得 解得 故A正确，B错误； D．球B下落的最大高度为，故D正确。 故选：ACD。 12．如图所示，光滑水平地面上，水平轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端连接着物块乙，初始时乙静止。足够长的木板左端放置着物块甲，两者一起以大小v0＝8m/s、方向水平向右的速度从乙的左侧开始运动。木板与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短）后乙做简谐运动，一段时间（该时间内木板未与乙再次碰撞）后木板与甲一起以大小v1＝1m/s的速度向左做匀速直线运动。已知物块甲、木板的质量分别为m1＝0.1kg，m2＝0.3kg，弹簧的劲度系数k＝360N/m且弹簧的弹性势能E与形变量x的关系式为，弹簧始终在弹性限度内。求： （1）木板与乙碰撞后瞬间木板的速度大小v2； （2）乙的质量m3； （3）乙做简谐运动的振幅A和最大加速度a。 【答案】（1）木板与乙碰撞后瞬间木板的速度大小为4m/s。 （2）乙的质量为0.9kg。 （3）乙做简谐运动的振幅为0.2m，最大加速度为80m/s2。 【解答】解：（1）以水平向右为正方向，木板与乙碰撞后，甲与木板组成的系统动量守恒，有m1v0+m2v2＝﹣（m1+m2）v1，解得：v2＝﹣4m/s。 即木板与乙碰撞后木板的速度大小为4m/s。 （2）取水平向右为正方向，木板与乙发生弹性碰撞，根据动量守恒有m2v0＝m2v2+m3v3，根据能量守恒有，解得：v3＝4m/s，m3＝0.9kg。 （3）设乙做简谐运动的振幅为A，根据能量守恒有，解得：A＝0.2m。 乙在最大位移处有最大加速度，根据牛顿第二定律有kA＝m3a，解得：a＝80m/s2。 答：（1）木板与乙碰撞后瞬间木板的速度大小为4m/s。 （2）乙的质量为0.9kg。 （3）乙做简谐运动的振幅为0.2m，最大加速度为80m/s2。 13．如图所示，竖直轻弹簧的一端固定于水平地面，另一端连着物块A而保持静止，弹簧的劲度系数为200N/m。物块B从A的正上方距离A的高度为h处自由释放，与A发生完全非弹性碰撞后一起运动，碰后A、B并不黏连。已知A、B的质量均为2kg，简谐运动的周期，其中m为振子的质量，k为回复力与位移之比，重力加速度取g＝10m/s2。 （1）若h＝0.2m，求A、B碰撞过程中损失的机械能； （2）要保证A、B碰后一起运动不会分离，h应满足的条件； （3）若h＝0.525m，求A、B碰后B第一次从最低点运动到最高点的时间。 【答案】（1）A、B碰撞过程中损失的机械能为2J。 （2）h应满足的条件为h≤0.3m。 （3）A、B碰后B第一次从最低点运动到最高点的时间为。 【解答】解：取水平向下为正方向。 （1）物块B自由下落h＝0.2m，由，解得碰前速度v0＝2m/s。 A、B完全非弹性碰撞，由动量守恒mBv0＝（mA+mB）v1，解得共同速度v1＝1m/s。碰撞损失机械能，解得ΔE＝2J。 （2）碰后系统质量M＝4kg。碰撞前弹簧压缩量，解得：x1＝0.1m；碰后平衡位置压缩量，解得：x2＝0.2m，故碰撞位置在平衡位置上方x0＝x2﹣x1，解得：x0＝0.1m处。 不分离条件为振幅A≤x2。由能量关系，代入得100A2＝1+10h。当A≤0.2m时，代入得100×（0.2）2≤1+10h，解得：h≤0.3m。 （3）当h＝0.525m时，由100A2＝6.25得A＝0.25m＞0.2m，故在平衡位置上方0.2m处分离。 第一段简谐运动：，由0.2＝﹣0.25cos（ωt1）得。 第二段竖直上抛：分离速度，上升时间。总时间。 答：（1）A、B碰撞过程中损失的机械能为2J。 （2）h应满足的条件为h≤0.3m。 （3）A、B碰后B第一次从最低点运动到最高点的时间为。 14．如图所示，在倾角为θ＝30°的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，他们的质量均为m＝4kg，弹簧的劲度系数为k＝100N/m，C为一固定挡板，现让一质量为M＝8kg的物体D在A上方某处由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，此后做简谐运动，运动过程中，物体B恰好不能离开物体C，（弹簧始终在弹性范围内，重力加速度g取10m/s2）。求： （1）物体B对物体C的最大压力； （2）物体D与物体A刚碰后的瞬时速度大小； （3）已知弹簧振子的周期为，m为振子质量，k为弹簧劲度系数，求物体D从释放到第一次到达最低点的时间。（可用π和根号表示） 【答案】（1）物体B对物体C的最大压力为160N； （2）物体D与物体A刚碰后的瞬时速度大小为2m/s； （3）物体D从释放到第一次到达最低点的时间为。 【解答】解：（1）当弹力等于AD的重力的分力时，AD处于平衡状态，有kx0＝（M+m）gsinθ 可知，平衡位置时弹簧的形变量为 解得x0＝0.6m，此时弹簧处于压缩状态。 运动过程中，物体B恰好不能离开物体C，对B分析，则有mgsinθ＝kx 故弹簧应伸长到最大位移处，此时形变量 解得x＝0.2m，此时弹簧处于伸长状态，故简谐运动的振幅为A＝x+x0＝0.6m+0.2m＝0.8m 当AD运动到最低点时，B对C的弹力最大，由对称性可知，此时弹簧的形变量为 Δx＝A+x0＝0.8m+0.6m＝1.4m 此时弹簧的弹力为F＝k（A+x0）＝140N B对C的弹力为F+mgsinθ＝160N （2）开始时，对A分析，则有mgsinθ＝kx1 解得x1＝0.2m 此时弹簧处于压缩状态。则从物体D与物体A刚碰后到物体B恰好不能离开物体C的过程根据能量守恒有 解得v＝2m/s （3）物体D与物体A碰撞过程根据动量守恒有（M+m）v＝Mv0 解得v0＝3m/s 物体D下落的过程有v0＝at＝（gsinθ）×t1 解得 由前面分析可知简谐运动的振幅为A＝0.8m，则弹簧阵子的振动方程为y＝Asinωt＝0.8sinωt 平衡位置时弹簧的形变量为x0＝0.6m，开始时x1＝0.2m，均为压缩状态，设物体D与物体A刚碰后的瞬时到平衡位置的时间为t2，则有 y＝0.4m＝0.8sinωt2 解得 又 所以 由题知弹簧振子的周期为 解得 则物体D从释放到第一次到达最低点的时间 答：（1）物体B对物体C的最大压力为160N； （2）物体D与物体A刚碰后的瞬时速度大小为2m/s； （3）物体D从释放到第一次到达最低点的时间为。 15．粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向。 （1）证明木筷做简谐运动； （2）已知简谐运动的周期T＝2，其中m是做简谐运动物体的质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。 【答案】（1）证明过程见解答； （2）放手后木筷位移x随时间t变化的关系式为。 【解答】解：（1）木筷静止时，浮力与重力平衡，设此时木筷在水中部分的长度为x0，则有： mg＝ρgSx0 以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向建立x轴，当其下端位移为x时，木筷在水中部分的长度为（x0﹣x），此时木筷所受合力为： F＝ρgS（x0﹣x）﹣mg＝﹣ρgSx 可得木筷所受合力方向与位移方向相反，两者大小成正比，可知其合力充当回复力，木筷做简谐运动； （2）由（1）的解答可知：k＝ρgS，可得简谐运动的周期T＝2 简谐运动的圆频率为：ω 把木筷往上提起一段距离A后放手，则振幅为A，从放手后开始计时可得木筷位移x随时间t变化的关系式为： x＝Acosωt 答：（1）证明过程见解答； （2）放手后木筷位移x随时间t变化的关系式为。 16．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A栓接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧恢复原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂，已知弹簧振子的振动周期，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。 （1）求细线能承受的最大拉力的大小； （2）从细线断裂开始计时，以水平向右为正方向； ①写出小球A的位移随时间变化的关系式； ②求小球A第一次返回O点所用的时间t。 【答案】（1）细线能承受的最大拉力的大小为； （2）从细线断裂开始计时，以水平向右为正方向； ①小球A的位移随时间变化的关系式为； ②小球A第一次返回O点所用的时间t为。 【解答】解：（1）小球A静止于O点平衡时，有 kx0＝mg 由能量守恒可知A、B组成的系统做简谐运动时，振幅 由对称性，小球A向右运动至最远点时，对A有 k•2x0﹣FT＝ma 对B有 FT﹣mg＝ma 联立解得 （2）①细线断裂后A球单独做简谐运动时，以弹簧原长处作为平衡位置，其振幅 则小球A的位移随时间变化的关系式为 由于 则 ②当小球A第一次返回O点时，有 可得 答：（1）细线能承受的最大拉力的大小为； （2）从细线断裂开始计时，以水平向右为正方向； ①小球A的位移随时间变化的关系式为； ②小球A第一次返回O点所用的时间t为。 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 简谐运动的回复力和能量 题型1 简谐运动的回复力 1．回复力 (1)定义：使振动物体回到 的力。 (2)方向：总是指向 。 (3)表达式：F＝ 。式中“－”号表示F与x方向相反。 2．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有 的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ，并且总是指 向 ，物体的运动就是简谐运动。 3．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。 4． 简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。例如丙图中，木块做简谐运动的回复力F＝－x＝－kx，其中比例系数k和弹簧的劲度系数k0不同。 5． 简谐运动的加速度 由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。 【例题精讲】 1．如图所示，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，小球b通过劲度系数为k的轻质弹簧与a连接，初始时均处于静止状态。现将小球b竖直向下拉动l后由静止释放，此后小球b始终做简谐运动。已知两小球的质量均为m，重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内，忽略空气阻力。下列判断正确的是（　　） A．小球a一定静止不动 B．一定满足l C．小球b的振幅为2l D．小球b受到重力、弹力和回复力的乍用 2．如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示，已知弹簧的劲度系数为4N/cm，则t＝6.5s时，振子的回复力大小为（　　） A．10N B． C． D． 3．将一轻弹簧与小球组成弹簧振子竖直悬挂，上端装有记录弹力的拉力传感器，当振子在竖直方向上下振动时，弹力随时间的变化规律如图所示。已知重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg，振动的周期为4s B．0∼2s内，小球受弹力的冲量大小为20N•s C．0∼2s内和2～4s内，小球受弹力的冲量方向相反 D．0∼4s内，小球受回复力的冲量大小为40N•s 4．如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为2.0cm B．t＝0.2s时，回复力为零 C．t＝0.3s时，速度最大且方向向上 D．位移—时间关系式为y＝sin（5t）cm 5．如图弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球在B点速度最大 B．小球在O点动能最大 C．小球在O点回复力最大 D．小球在C点弹性势能最小 6．（多选）如图所示，一木杆竖直漂浮在水中，当木杆静止时O点恰好过水面，现用手将木杆下压至A点后放手，木杆沿竖直方向做简谐运动。若木杆所受浮力的最大值为F1、最小值为F2，水的密度为ρ，木杆横截面积为S，重力加速度为g，B是A关于O的对称点，不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．木杆回复力与位移之比为﹣ρgS B．木杆回复力与位移之比为 C．木杆的振幅为 D．木杆的振幅为 7．（多选）如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐振动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为4s B．0﹣2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s﹣4s和4s﹣5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s﹣3s内，小球受弹力的冲量大小为16N•s，方向向上 题型2 简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处， 最大， 为零。 (2)在平衡位置处， 最大， 最小。 2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。 3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统， 越大，机械能越大。 4．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。 5．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能。 【例题精讲】 1．如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力为0 B．t＝0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0 C．从t＝0至t＝0.2s，手机的动能增大 D．从t＝0.2s至t＝0.4s，手机的机械能守恒 2．如图所示，为竖直方向的弹簧振子，振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则振子在运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．从C→O→B振子完成一次全振动 B．振子在O点时弹簧的弹性势能等于零 C．振子的回复力由重力和弹力的合力提供 D．从O→C弹簧振子的能量增加 3．某鱼漂的示意图如图甲所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。鱼漂振动足够长时间后，其做阻尼振动的振动图像如图乙所示，设A、B两点表示的相应位置对应的动能分别为EkA、EkB。则下列说法正确的是（　　） A．鱼漂向上运动的过程中，速度先均匀增大，再均匀减小 B．鱼漂的最大振幅等于M、N间的距离 C．鱼漂做阻尼振动的过程中，随着振幅的减小，振动频率会变小 D．比较鱼漂在A、B两点的动能，EkA＞EkB 4．如图甲所示，竖直平面内固定一半径为R的光滑绝缘圆轨道，轨道上A点与圆心O水平高度相同。空间中存在匀强电场，场强方向在轨道平面内。设圆上的某点和O点的连线与OA连线的夹角为θ（沿逆时针方向为正），其电势φ与θ的关系图像如图乙所示，一个电量为+q、质量为m、可视为质点的小球，从轨道上A点以竖直向下的初速度v开始运动，到达θ的位置时速度达到最大，且能够做完整的圆周运动。重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动至θ的位置时，机械能最大 B．小球运动至θπ的位置时，动能最小 C．v取任意值小球都能做完整的圆周运动 D．必须满足v2gR，小球才能做完整的圆周运动 5．如图所示，一轻质弹簧左端与墙壁连接，右端连接在物块上，物块放在粗糙的水平地面上。现把物块拉到A点由静止释放，运动到B点时速度刚好为零，O点是AB的中点。已知物块在A点时弹簧的伸长量是在B点时的三倍，弹簧始终处在弹性限度内。则物块（　　） A．运动到O点两侧对称位置时动能不相等 B．运动到O点时动能最大 C．在A、B之间作阻尼振动 D．在A、B之间不停地做简谐运动 6．（多选）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，已知手机的质量为m，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力大小为mg B．t＝0.2s时，手机位于平衡位置上方 C．从t＝0至t＝0.2s，手机的动能增大 D．a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2 7．（多选）如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（　　） A．0时刻弹簧弹力大小为2mg B．弹簧劲度系数为 C．时间段，回复力冲量为0 D．时间段，小球动能与重力势能之和不变 题型3 简谐运动中各物理量的变化 1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。 (1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球靠近平衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。 (2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。 2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性。 (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。 3．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。 4．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 【例题精讲】 1．如图所示，甲、乙为并列悬挂的两个相同弹簧振子，O、O′分别为两振子的平衡位置。将两球分别拉至A、B位置后同时释放，其中AO＞BO′，下列说法正确的是（　　） A．到达平衡位置时甲球的速度小于乙球 B．到达平衡位置时甲球的速度等于乙球 C．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间小于乙球 D．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间等于乙球 2．如图所示，一轻质弹簧一端固定，另一端与物块相连，物块在光滑水平面上做简谐运动。取平衡位置为坐标原点，水平向右为正方向。物块经过平衡位置时（　　） A．速度最大，加速度最大 B．速度最大，加速度为零 C．速度为零，加速度最大 D．速度为零，加速度为零 3．如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，弹簧弹力为0 B．t＝0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0 C．从t＝0至t＝0.2s，手机的动能增大 D．从t＝0.2s至t＝0.6s，手机的机械能守恒 4．某钓鱼爱好者用粗细均匀的塑料直管制成如图所示的浮漂，浮漂在水中平衡时，O点恰好与水面平齐，A、B两点到O点的距离相等，将浮漂向下按至A点与水面平齐后由静止释放，若不计阻力，浮漂做简谐振动，下列对于浮漂释放后的运动过程说法正确的是（　　） A．浮漂速度为零时，位移也为零 B．浮漂加速度增大时，速度一定减小 C．A从最高点运动到水面的过程中，加速度增大 D．浮漂位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 5．如图所示，物块M与m叠放在一起，以O为平衡位置，在ab之间做简谐振动，两者始终保持相对静止，取向右为正方向，其振动的位移x随时间t的变化图像如图，则下列说法正确的是（　　） A．在某段时间内，两物块速度增大时，加速度可能增大，也可能减小 B．两物块运动到最大位移处时，若轻轻取走m，则M的振幅不变 C．在时间内，物块m的速度和所受摩擦力都沿负方向，且都在增大 D．从t1时刻开始计时，接下来内，两物块通过的路程为A 6．（多选）如图所示，小球通过两根轻绳悬挂在木箱内，AO水平，BO与竖直方向的夹角为30°，木箱静止时，弹簧的伸长量为l，现将木箱从该位置缓慢下拉0.5l后释放，弹簧始终在弹性限度内。已知小球和木箱的质量均为m且二者始终保持相对静止，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．木箱静止时，AO弹力的大小为mg B．木箱静止时，BO弹力的大小为mg C．木箱运动过程中，AO的弹力的最小值为mg D．木箱运动过程中，BO的弹力的最大值为mg 7．（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上，竖直放置时另一端位于O点，现将绝缘不带电物块a和带正电的物块b叠放在弹簧上，系统稳定时弹簧上端位于P点。a、b的质量均为m，b的电荷量为q，在空间中加上竖直向上的匀强电场，场强大小为，弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．加上电场瞬间，b的加速度大小为 B．b运动到最高点时弹簧的压缩量为 C．a、b物体会分离，且分离时b的加速度大小为 D．a、b物体不会分离，两物体将一起做简谐振动，振幅为 课时精练 1．如图所示，把一个小球套在光滑水平细杆上，小球与轻弹簧相连组成弹簧振子。小球以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球在M、N两点的位移相同 B．小球在M、N两点的加速度相同 C．从M到N，小球的动能先增大后减小 D．从M到N，小球先做匀加速运动后做匀减速运动 2．如图所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（　　） A．振动周期为5s，振幅为8cm B．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值 C．从第1s末到2s末振子的位移增加，振子在做加速度增大的加速运动 D．第3s末振子的速度为最大 3．如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为5cm，由B运动到C的时间为2s，则（　　） A．振子从B到O运动过程中，弹簧振子机械能不变 B．振子从B到O运动过程中，速度和加速度均在增加 C．振子从O点再次回到O点为一次全振动 D．振子经过的路程为5cm时所用的时间一定为1s 4．如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为m的物体A，A下面用细线悬挂一质量为M的物体B，此时系统处于静止状态。现剪断细线使B自由下落，当物体A向上运动第一次到达最高点时，弹簧对A的拉力大小恰好等于Mg，此时B尚未落地且速度为v，则（　　） A．物体A的质量m＝2M B．A与弹簧组成的系统振动周期为 C．A运动到最高点时加速度为1.5g D．A从最低点运动到最高点的过程中弹簧弹性势能的减少量为 5．如图甲所示，质量M＝2m的物体P拴接在轻弹簧上，质量为m的物体Q叠放在物体P上，系统静止时物体P处在O点，现将两物体拉至B点后释放，此后两物体一起在A、B两点间做简谐运动，规定向右的方向为正，从某一时刻开始计时，物体P的振动图像如图乙所示，物块与地面间的摩擦忽略不计。则下列说法正确的是（　　） A．t＝0.2s时，物体P正处在O点向右运动 B．t＝0.3s时，物体P所受的摩擦力最大，方向向左 C．0.2s～0.3s的时间内，弹簧的弹性势能正在减小 D．0.5s时，物体P的加速度最大，方向向右 6．如图所示，在倾角为θ的光滑固定斜面上将弹簧一端固定，弹簧下面挂一质量为m的物体，物体在斜面上做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长，弹簧在弹性限度内，重力加速度大小为g，则物体在振动过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大弹性势能等于2mgA B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变 C．物体在最低点时的加速度大小应为gsinθ D．物体在最低点时的弹力大小应为mgsinθ 7．如图甲所示，某同学用手机和轻弹簧制成一个弹簧振子。先用手托住手机，然后将手机由静止释放，则手机在竖直面内做简谐运动，同时用手机上的加速度传感器记录下手机本身的振动情况，以竖直向上方向为正，某段时间内其加速度a随时间t变化的曲线为图乙所示的正弦曲线。已知手机的质量m＝0.15kg，弹簧的劲度系数为k＝20N/m，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．t＝0.2s、t＝0.4s、t＝0.6s时，弹簧的弹力均为0 B．t＝0.3s时，手机运动的速度最大 C．手机在振动过程中，手机的机械能保持不变 D．手机偏离平衡位置的位移y随时间t变化的关系式为：y＝﹣6sin（5πt）cm 8．如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端连接一轻质薄板。t＝0时刻，一质量为m的物块从其正上方某处由静止下落，落至薄板上后和薄板始终粘连，其位置随时间变化的图像（x﹣t）如图乙所示，其中t＝0.2s时物块刚接触薄板。弹簧形变始终在弹性限度内，空气阻力不计，则（　　） A．当物块开始简谐运动后，振动周期为0.5s B．t＝0.4s时弹簧的弹力小于mg C．从0.2s到0.4s的过程中物块加速度先变小再变大 D．若增大物块自由下落的高度，则物块与薄板粘连后简谐运动的周期增大 9．（多选）图甲所示为水平弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k，振子做简谐运动，弹簧的弹性势能随时间变化的规律如图乙所示，图中E0、t0均为已知量，弹簧的弹性势能（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），弹簧始终在弹性限度内，则下列判断正确的是（　　） A．弹簧振子振动的周期为2t0 B．振子振动的振幅为 C．振子振动的最大速度为 D．t＝2.5t0时刻，振子的加速度与速度方向相反 10．（多选）如图所示，质量为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为µ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力的瞬间，Q恰好能保持静止。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，在随后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．P、Q将离墙越来越远 B．任意一段时间内Q的动量变化均为0 C．弹簧的最大形变量为 D．P的最大动能为 11．（多选）劲度系数为k的轻弹簧一端固定在倾角30°的足够长光滑斜面底端，另一端与质量为m的物块A相连，跨过定滑轮O的轻绳一端系住A，另一端与质量为m的球B相连，轻绳OA平行于斜面（如图所示），用手托住球B，使轻绳刚好伸直。现松手使球B从静止开始下落，物块A将在斜面上做简谐运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．物块A获得的最大速度为 B．物块A获得的最大速度为 C．物块A在斜面上做简谐运动的振幅为 D．球B下落的最大高度为 12．如图所示，光滑水平地面上，水平轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端连接着物块乙，初始时乙静止。足够长的木板左端放置着物块甲，两者一起以大小v0＝8m/s、方向水平向右的速度从乙的左侧开始运动。木板与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短）后乙做简谐运动，一段时间（该时间内木板未与乙再次碰撞）后木板与甲一起以大小v1＝1m/s的速度向左做匀速直线运动。已知物块甲、木板的质量分别为m1＝0.1kg，m2＝0.3kg，弹簧的劲度系数k＝360N/m且弹簧的弹性势能E与形变量x的关系式为，弹簧始终在弹性限度内。求： （1）木板与乙碰撞后瞬间木板的速度大小v2； （2）乙的质量m3； （3）乙做简谐运动的振幅A和最大加速度a。 13．如图所示，竖直轻弹簧的一端固定于水平地面，另一端连着物块A而保持静止，弹簧的劲度系数为200N/m。物块B从A的正上方距离A的高度为h处自由释放，与A发生完全非弹性碰撞后一起运动，碰后A、B并不黏连。已知A、B的质量均为2kg，简谐运动的周期，其中m为振子的质量，k为回复力与位移之比，重力加速度取g＝10m/s2。 （1）若h＝0.2m，求A、B碰撞过程中损失的机械能； （2）要保证A、B碰后一起运动不会分离，h应满足的条件； （3）若h＝0.525m，求A、B碰后B第一次从最低点运动到最高点的时间。 14．如图所示，在倾角为θ＝30°的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物体A和B，他们的质量均为m＝4kg，弹簧的劲度系数为k＝100N/m，C为一固定挡板，现让一质量为M＝8kg的物体D在A上方某处由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，此后做简谐运动，运动过程中，物体B恰好不能离开物体C，（弹簧始终在弹性范围内，重力加速度g取10m/s2）。求： （1）物体B对物体C的最大压力； （2）物体D与物体A刚碰后的瞬时速度大小； （3）已知弹簧振子的周期为，m为振子质量，k为弹簧劲度系数，求物体D从释放到第一次到达最低点的时间。（可用π和根号表示） 15．粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向。 （1）证明木筷做简谐运动； （2）已知简谐运动的周期T＝2，其中m是做简谐运动物体的质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。 16．如图所示，足够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与小球A栓接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O，A、B两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球A至弹簧恢复原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂，已知弹簧振子的振动周期，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。 （1）求细线能承受的最大拉力的大小； （2）从细线断裂开始计时，以水平向右为正方向； ①写出小球A的位移随时间变化的关系式； ②求小球A第一次返回O点所用的时间t。 第10页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $