5.2.1 三角函数的概念（1）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数概念，涵盖单位圆与任意点定义、各象限符号及诱导公式一。通过回忆初中锐角三角函数，以问题链引导思考定义扩展，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析培养数学眼光与思维，如借单位圆抽象定义、例2证明任意点公式，结合练1求函数值、例4定符号强化应用。助力学生深化概念理解，教师可依托结构化内容提升教学效率。

5.2 三角函数的概念 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念（1） 一 二 三 学习目标 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号 掌握公式—— 并会应用 学习目标 问题1 你能回忆初中所学的直角三角形中锐角的三角函数值吗？ 角 实数 弧度制 在弧度制下，我们已经把角的范围扩展到全体实数. 思考1 初中锐角三角函数值的定义还适用于任意角吗？ 问题2 把任意角α放到平面直角坐标系内， 以原点为圆心作单位圆， 角α的终边与单位圆交点是唯一的吗？ 给定一个角α，其终边与单位圆的交点P(x,y)是α的函数吗？ 思考2 谁可以看作是α的函数？ 问题3 4 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα, 即 y=sinα; (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα, 即 x=cosα (3)把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做α的正切函数,记作tanα, 即 =tanα     (x≠0). 1.三角函数第一定义（单位圆定义） 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 按照函数的定义与常用的符号，我们通常将它们记为: 正弦函数：y=sinx, 余弦函数：y=cosx, 正切函数：y=tanx, x∈R x∈R 2.三角函数的概念 注意：(1)三角函数是以角为自变量的函数，函数值是一个实数； (2)三角函数值的大小只与角的大小有关. 思考3 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢? 任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的， 锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的， 在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数. 锐角三角函数的自变量是锐角，可以理解为 8 练1　求下表常见角的三角函数值 α 例2 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为. 求证： 只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变. 思考4 由例2可得什么结论？ 11 ① 叫做α的正弦，即 ② 叫做α的余弦，即 ③ 叫做α的正切，即 3.三角函数第二定义（任意点定义） 设角α是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点，点P与原点的距离为 例3 (1)已知角α的终边经过点(－4, 3)，求sinα，cosα，tanα (2)角α的终边上一点P(5m, 12m)(m≠0)，求sinα，cosα，tanα (3)若角α的终边经过点P(x, -3)且 ，则x=__. 练2 角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x-y=0上，求角α的余弦值 探究：三角函数的值在各个象限的符号. + + - - + + + + - - - - -1 O x y O x y O x y 0 0 1 0 1 -1 0 0 不存在 0 不存在 终边在坐标轴上的三角函数值呢？ 15 例4 确定下列三角函数值的符号 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (2) 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 大本126页例3 (3) 式子 sin 2·cos 3·tan 5 的符号为 A.正 B.负 C.零 D.不能确定 (4)已知α是第一象限角，则判断下列角的三角函数值的正负 问题4 回忆下终边与相同的角的如何表示？ 问题5 利用三角函数的定义，你能发现终边相同的角的同一三角函数值有什么关系？ 终边相同的角的同一三角函数值相等. sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα tan(α+2kπ)=tanα 其中 诱导公式一 ①三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现。 ②公式一的作用:把求任意角的三角函数值，转化为0~2π角的三角函数值 . 例5　计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (3)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； 大本126页例4 (4)sin+tan. (2)sin+costan 4π. 例1　求的正弦、余弦和正切值. 练3 (1)若sinα tan α<0，且<0，则角α是 $