5.1.1 任意角 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，涵盖角的旋转定义、正/负/零角分类、角的运算、象限角及终边相同角的集合表示等知识点。课堂导入从章前导读的周期性现象切入，关联初中角的定义，通过问题链引导学生发现旧知局限，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境（如体操旋转、齿轮转动）培养数学眼光，通过问题驱动（如角的旋转方向与量）发展数学思维，用集合符号表示角的集合体现数学语言。实例丰富如钟表角度计算、象限角判断，小结梳理知识脉络。助力学生抽象能力与推理意识提升，为教师提供结构化探究式教学资源。

第五章 三 角 函 数 章前导读 现实世界的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的变化规律称为周期性。 例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化。 月亮圆缺，潮汐变化，物体的简谐运动等变化。这些现象都可以用三角函数刻画。 章前导读 前面，我们学习了函数的一些概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何利用某类函数刻画相应的现实问题的变化规律（数学建模） 本章，我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化的三角函数。 (1) 三角函数是怎样的函数？（解析式） (2) 它具有怎样的性质？ (2) 我们该如何利用三角函数模型刻画各种周期变化现象？（应用） 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 一 二 三 学习目标 理解任意角的概念 学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角 掌握终边相同角的集合，以及它们书写 学习目标 问题1 圆周运动是一种常见的周期性变化现象。圆上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？ 旋转的角度 问题2 在初中，角的定义是什么？范围是多大？有哪些种类？ 1.定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角. 顶点 边 边 2.角的范围：0°～360° 3.角的种类： 锐角 直角 钝角 平角 周角 问题3 在现实生活中随处可见超出范围内的角，因此，我们得重新定义角。下列实例中的角有哪些不同，体现在哪几个方面？ 实例1 体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”. 实例2 齿轮旋转时主动轮与被动轮旋转方向相反 旋转量 旋转方向 和 通过以上研究发现角是由“旋转”而来！ 1.角的概念 始边　 终边 顶点 B o A 点O 叫做角α的顶点， 射线OA叫做角α的始边， 射线OB叫做角α的终边. α (1)定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 通过以上研究发现角是由“旋转”而来！ (2)记法：记作角α或 ∠α，可简记为α (3)记法： 1.任意角的概念 正角： 负角： 一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角. 如：α=﹣540º，α=﹣120º. 一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角. 如：α=60º，α=425º. 零角： 一条射线没作任何旋转. (零角的始边与终边重合) 任意角 已知一条射线的起始位置OA： o A(B) [注]①在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简写成“ ”; ②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，… 顶点 始边　 终边 例1 (1)经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　) A.60°,720° B.-60°,-720° C.-30°,-360° D.-60°,720° (2)右图中的角α的度数是　　　　　.  B -3300 角 你能分别作出210°、-150°、750°、-660°的图吗？ 旋转量 旋转方向 2.角的表示与作图 类似于实数a的相反数是 -a，我们引入任意角α的相反角的概念. (1) 你认为相等的两个角应该怎样规定？ (3) 怎样的两个角互为相反角？两角怎样相减？ (2) 两角相加又是怎样规定的？ 类比实数，思考下列问题 3.角的运算 3.角的运算 (1) 相等角 旋转方向相同，旋转量相同； 就称. B A O B’ A’ O’ (2) 角的加法 设,是任意两个角,我们规定,把角的终边再旋转角,这时终边所对应的角是 (3) 相反角 (4) 角的减法 旋转方向不同，旋转量相同的两个角叫做互为相反角； 角的相反角记为. 减去一个角等于加上这个角的相反角.即： 角的减法转化为角的加法 角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺” 3.角的运算 α+（-β） α -β 3.角的运算 练1 你能用图形表达下列角的运算吗？ (1) 30°+90° (2) 30°-90° (3) -60°+180° (4) 60°+270° (5) -60°-270° (6) 60°-360° x y o (1) 使角的顶点与原点重合 终边落在第几象限就说这个角是第几象限角 (2) 始边与x轴的非负半轴重合 始边　 终边 A B o（顶点） 5.轴线角: 终边落在坐标轴上(x轴或y轴)的角. 4.象限角 该角不属于任何一个象限. -50° x y o x y o 210° -450° x y o 405° x y o -200° x y o 第四象限角 第一象限角 第三象限角 第二象限角 轴线角 例2 已知角的顶点与原点重合, 角的始边与x轴的非负半轴重合, 判断-50°、405°、210°、-200°、-450°分别是第几象限角 练2 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)大于90°的角都是钝角.(　 ) (2)90°角是第一或第二象限角.(　 ) (3)小于90°的角都是锐角.(　 ) (4)第一象限角一定不是负角. (　 ) (5)第二象限角大于第一象限角. (　 ) (6)“α是锐角”是“α是第一象限角”的充要条件 (　 ) (7)若角α的终边在直线y=x上,则α是第一象限角. ( ) 问题4 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。 反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？ 思考1 所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ 所有与角终边相同的角,连同角在内,可以构成一个集合 即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和. 如果角与角的终边相同,则. 6.终边相同的角 例3 在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： –60°; (2)820°. 练3 判断正误： 终边相同的角一定相等（ ） 相等的角，终边一定相同（ ） 角α的终边位置 集合表示 x轴的非负半轴 　　　　 　　  x轴的非正半轴 　　　　 　　  y轴的非负半轴 　　　　 　　  y轴的非正半轴 　　　　 　　  x轴 　　　　 　　  y轴 　　　 　　　  坐标轴 　 　　　　　  6. 轴线角的集合表示 {α|α=k·360°,k∈Z} {α|α=k·360°+180°,k∈Z} {α|α=k·360°+90°,k∈Z} {α|α=k·360°-90°,k∈Z} {α|α=k·180°,k∈Z} {α|α=k·180°+90°,k∈Z} {α|α=k·90°,k∈Z} 角α的终边所在象限 集合表示 第一象限 　　　   第二象限 　　　   第三象限 　　　   第四象限 　　 　　　　  7.象限角的集合表示 {α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z} {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z} {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z} {α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z} 练4 写出终边在直线y=x上的角的集合S， 并把S中适合不等式–360°≤α＜720°的元素β写出来. 练5 写出终边落在如图阴影部分的角的集合： (1) (2) (3) 8.区域角 思考下列问题 二等分 逆时针标1-4 三等分 终边在直线y=±x上的角的集合 28 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.角的定义是什么? 2.角相关的概念有哪些？ 3.如何进行角的运算？ 4.如何表示终边相同的角？ 5.象限角的范围该如何表示？ 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 －360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}， 其中β－α＜360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 表示区域角的三个步骤 $