期末常考点题型分类专题（基础题+中档题+拨高题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义通过考点分类构建知识体系，按基础、中档、拔高分层梳理浙教版八上核心内容，以目录形式呈现轴对称、三角形、坐标系、不等式、一次函数等模块，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如折叠问题（几何直观）、行程问题（模型意识）等，培养推理能力与应用意识，基础题巩固知识，中档题提升综合能力，拔高题拓展思维，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学。

期末常考点题型分类专题（基础题+中档题+拨高题） 浙教版八上 目录 一．选择题 2 【★考点1】轴对称图形的识别 2 【★考点2】构成三角形的条件 4 【★考点3】判断点所在的象限、平行于数轴上两点之间的距离、求点到坐标轴的距离 5 【★考点4】不等式的基本性质 6 【★考点5】尺规作图 8 【★考点6】命题与命题的真假 11 【★考点7】平面直角坐标系中点的平移与点的对称 12 【★考点8】三角形内角和与外角性质 13 【★考点9】含 30° 角的直角三角形的性质应用 15 【★考点10】用勾股定理解三角形 17 【★考点11】坐标与图形综合 19 【★考点12】根据一次函数解析式判断其经过的象限 22 【★考点13】求一次函数解析式 24 【★考点14】等腰三角形的定义（分类讨论） 26 【★★考点15】行程问题（一次函数的实际应用） 28 【★★考点16】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 30 【★★考点17】折叠问题 32 【★★考点18】全等三角形综合问题 35 【★★考点19】坐标与旋转规律问题 39 二． 填空题 41 【★考点20】已知点所在的象限求参数 41 【★考点21】 根据三角形中线求面积 42 【★考点22】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 44 【★考点23】用一元一次不等式解决实际问题 45 【★考点24】等边三角形的性质 47 【★考点25】垂直平分线与角平分线的性质定理与判定定理 49 【★考点26】求一元一次不等式（组）整数解 51 【★考点27】已知求一元一次不等式（组）的解求参数 53 【★考点28】根据一次函数增减性求参数 54 【★★考点29】全等三角形综合问题 56 【★★考点30】一次函数的规律探究问题 59 【★★考点31】一次函数图象与坐标轴的交点问题 62 【★★考点32】一次函数与几何综合 65 【★★考点33】勾股定理与折叠问题 69 三． 解答题 73 【★考点34】求一元一次不等式（组）的解集 73 【★考点35】坐标与图形变化 — 轴对称 76 【★考点36】 等腰三角形的性质和判定 80 【★考点37】 全等三角形的性质与判定综合 85 【★考点38】一次函数图象平移问题 89 【★★考点39】一次函数图象与坐标轴的交点问题 92 【★★考点40】 一次函数与几何综合 97 【★★考点41】 根据两条直线的交点求不等式的解集 110 【★★考点42】行程问题与营销问题（一次函数的实际应用） 118 【考点】前带“★”表示基础题，带“★★”表示中档题，带“★★★”表示拨高题 一．选择题 【★考点1】轴对称图形的识别 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】、该图形是轴对称图形，符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在的正方形网格中，4个涂黑的小正方形能组成轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不能组成轴对称图形，不合题意； B．不能组成轴对称图形，不合题意； C．能组成轴对称图形，符合题意； D．不能组成轴对称图形，不合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 【★考点2】构成三角形的条件 1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：A、，能围成三角形，故本选项符合题意； B、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能围成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域内种植一片防护林．已知其中两边，，那么第三边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 利用三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定的取值范围，据此逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， 由得：，即， 由得：，即， 则的取值范围为， 选项A、B、C均满足，而D不满足， 因此的长度不可能是， 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 【★考点3】判断点所在的象限、平行于数轴上两点之间的距离、求点到坐标轴的距离 1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在象限，由得，即横坐标为正；由得，即纵坐标为负，故点在第四象限，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在第四象限， 故选：D． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到两坐标轴距离相等的性质，可知点的横、纵坐标的绝对值相等，由此分两种情况（横纵坐标相等、横纵坐标互为相反数）列方程求解的值，进而得到点的坐标．本题主要考查点的坐标性质，熟练掌握“点到两坐标轴距离相等时，横、纵坐标的绝对值相等，分相等和互为相反数两种情况讨论”是解题的关键． 【详解】解：情况一：横、纵坐标相等 横、纵坐标相等时， 移项可得，即 解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 情况二：横、纵坐标互为相反数 横、纵坐标互为相反数时， 去括号得，合并同类项得 移项得，解得． 把代入点坐标，，，此时点坐标为． 综上，点的坐标是或． 故选：C ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点和点，则A，B两点间的距离为（   ） A．4 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了直角坐标系中点的特点，根据直角坐标系的性质求解即可． 【详解】解：点A和点B的横坐标相等，则两点的纵坐标差的绝对值就是两点之间的距离， 即， 故选 ：A． 【★考点4】不等式的基本性质 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号方向改变．依据不等式的基本性质，即可得出结论． 【详解】解：、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 、若，则，故本选项符合题意； 、若，则，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故该选项不正确，不符合题意； B、 若，则，故该选项不正确，不符合题意； C、若，则，故该选项不正确，不符合题意； D、若，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如果，那么b与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，利用不等式的传递性是解题的关键． 首先根据不等式的传递性，利用已知条件即可直接推导出b与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， 故选：A． 【★考点5】尺规作图 1．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．由作法可知，，，再加上公共边，即可利用“”判定三角形全等． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， 平分 故选：A 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高，准确判断是解题的关键． 对每一项进行分析即可得解． 【详解】选项作的是边上的高，此选项符合题意； 选项三角板未过点，故作的不是高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和作图－复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，，即， ∴点为的垂直平分线与的交点． A中，是的角平分线，故该选项不符合题意； B中，点为的垂直平分线与的交点，故该选项符合题意； C中，，故该选项不符合题意； D中，，故，故该选项不符合题意； 故选：B． 【★考点6】命题与命题的真假 1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.“延长线段”是作法，而非陈述事实，无法判断真假，不是命题； B.“两点之间，线段最短”是陈述句，符合几何公理，为真命题； C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于命题； D.“如果，那么”是条件陈述句，结论虽假（x可为），但仍可判断真假，属于命题， 故选：A． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理．根据对顶角的性质、平方运算，实数的运算法则和无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，该选项符合题意； B、若，则，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，如和，它们的和就不是无理数，原命题是假命题，该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． ， D． ， 【答案】C 【分析】本题考查了举反例． 反例需满足命题条件（两角互补）但不满足结论（两角相等），即两角之和为但两角不相等． 【详解】解：反例需与互补，且． 选项A：且，满足结论，不是反例； 选项B：，不满足条件，不是反例； 选项C：，但，满足条件但不满足结论，是反例； 选项D：，不满足条件，不是反例； 故选：C． 【★考点7】平面直角坐标系中点的平移与点的对称 1．（25-26八年级上·云南怒江·月考）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为（   ） A． B．9 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标性质：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求代数式的值；根据关于y轴对称的性质可求得a与b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点是， ∴由对称性质，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴且， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查点的平移规律，根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，由此列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 点向右平移2个单位长度后，新点为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且 ， 解得：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 【★考点8】三角形内角和与外角性质 1．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条角平分线相交于点O，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，由，求得，由，，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 【★考点9】含 30° 角的直角三角形的性质应用 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，是边的中点，则的长是（    ） A．4.8 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边的中点， ∴． 故选：B． 2．（2023九年级·山东泰安·学业考试）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，中，是斜边上的一点，过点作，垂足为，过点作，交于点．设，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，平行四边形的判定和性质，函数关系式的计算，根据题意得到四边形是平行四边形，由含角的直角三角形性质得到的关系，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得，， 故选：B ． 【★考点10】用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，则斜边上的高的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ∴， 即． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）小明画了一个如图所示的四边形，若，，连结，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理：利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，， ． 故选：B． 【★考点11】坐标与图形综合 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是3，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， ∵平分，于点，轴于， ∴， ∵点到轴的距离是3， ∴点的坐标为， 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一是解题的关键． 过点A作轴于点E，交于点D，先求出点D的坐标，根据三线合一，得到，进而求出点C坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，交于点D， ∵轴， ∴， ∵，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D 3．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 【★考点12】根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．（24-25八年级下·河南信阳·月考）正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，正确判断k的大小是解决本题的关键． 根据正比例函数的函数值随的增大而减小，可以判断；再根据判断出的图象的大致位置即可． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）若，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 分析一次函数的增减性，与y轴交点的位置，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：， ， 随x的增大而减小， 当时，， 即函数的图象与y轴交于正半轴， 综上所述，一次函数的图象经过一、二、四象限． 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，一致，故A符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，矛盾，故B不符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，矛盾，故C不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，矛盾，故D不合题意； 故选：A． 【★考点13】求一次函数解析式 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解解析式是解题的关键． 设这条直线表达式为，代入点，，得到，即可求解，再对比选项求解即可． 【详解】解：设这条直线表达式为， 则 两式相减得， ∴只有D符合题意， 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）一次函数（）的图象经过点和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，利用点的坐标列出方程是解题的关键．将两个点的坐标代入一次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可求出的值． 【详解】解：∵函数图象经过点和， 故将和代入，得：， 解得：， 故选：B． 【★考点14】等腰三角形的定义（分类讨论） 1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据等腰三角形的性质，分为腰和为底两种情况，求出三角形的边长，再根据全等三角形的性质，可能等于三角形的任意一边． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，， 当为腰时，另一腰长为8，底边长为； 当为底时，两腰长均为； ∴三角形的边长可能为8，8，2或5，5，8； ∵， ∴可能等于三角形的任意一边，即或5或8． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）等腰三角形的一个内角是，则另外两个内角的度数分别是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分为顶角、底角两种情况，分别运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出另外两个角即可． 【详解】解：当为顶角时，设底角为x， 则，解得：， ∴另外两个角为． 当为底角时，另一个底角也为， 则顶角为， ∴ 另外两个角为． 综上，另外两个内角的度数分别为或． 故选：D． 【★★考点15】行程问题（一次函数的实际应用） 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知甲、乙两地相距，小明从甲地去乙地，小丽从乙地去甲地，图中分别表示小明、小丽两人离乙地的距离与时间的函数关系图象．设两人相遇在处，则处到甲地的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，求得交点坐标是解题的关键． 根据题意分别求得的解析式，联立求得交点的坐标，进而求解即可． 【详解】解：设的解析式为，的解析式为 将点代入，点代入 则， 解得， ， 根据题意， 解得 则交点坐标为 ∴处到甲地的距离为． 故选A． 3．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）机器人送餐作为餐饮服务领域的技术革新，其影响已超越工具属性，成为现代生活方式的缩影．某餐厅的机器人乐乐和明明从取餐口出发，准备给相距的客人送餐，乐乐比明明先出发，且速度保持不变，明明出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若乐乐行进的时间为x（单位：s），乐乐和明明行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．乐乐比明明早出发 B． C．乐乐的速度为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数的图象获取信息，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键． 根据图象信息求出运动速度逐项判断即可求解． 【详解】解：结合图象可知，乐乐的图象从开始，明明的图象从开始， ∴乐乐比明明先出发， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵当时，，当时，， ∴明明提速前的速度是， ∵明明出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴明明提速后速度为， 故提速后明明行走所用时间为：， ∴， 故B选项说法正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴乐乐的速度为， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∴； 故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【★★考点16】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 1．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图， 在和中， 、， 添加下列条件中（    ） ， 可利用“”的办法判定 与 全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定定理“”，理解“”的证明方法是解题的关键． 通过已知条件，得到，，而“”定理中的角为两组对应边的夹角，故可判断出正确选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴，结合， 若需要通过“”证明全等， 则需要添加的等量关系为两组对应边的夹角相等， 即， 故选B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了全等三角形的判定，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键． 首先求出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断选项正误即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 对于A：根据，，，不能推出，∴符合题意； 对于B：∵，，，∴，符合AAS定理，∴不符合题意； 对于C：∵，，，∴，符合SAS定理，∴不符合题意； 对于D：∵，，，∴，符合ASA定理，∴不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，，添加下列条件后，其中仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：由题可知，，再添加以下条件， A．，属于边边角，不能证明，故本选项符合题意； B．，利用证明，故本选项不符合题意； C．，利用证明，故本选项不符合题意； D．，利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 【★★考点17】折叠问题 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片中，点，分别在，上，将沿着折叠，点刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，角的计算是解决问题的关键． 据长方形的性质及，则，由折叠的性质得即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠性质可得： ∴ ∴ ∵将沿着折叠，点C刚好落在上的点处， ∴ ∴ 故选：B． 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 3．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 由解析式求出点和点的坐标，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得，，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，， ． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：， ． 故选：B． 【★★考点18】全等三角形综合问题 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如下图， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为24，则与的面积之差是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形外角性质、全等三角形的判定（）与性质、三角形面积的比例关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质和角的和差关系推出、，结合，通过证明，得到两者面积相等；再根据及的面积，求出和，进而得出与的面积之差． 【详解】，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 与的面积之差， ，的面积为， ， ． ， 故选：B． 【★★考点19】坐标与旋转规律问题 1．（25-26八年级上·河南·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可得横坐标为n的点有n个，它们的纵坐标分别为，根据即可确定第55个点的坐标． 【详解】解：∵这些点的坐标分别为，，，，，，… ∴横坐标为n的点有n个，它们的纵坐标分别为， ∵， ∴第55个点的横坐标为10， ∵偶数列的点是由下往上排列， ∴第55个点的纵坐标为9， ∴第55个点的坐标为， 故选：D． 2．（2025八年级上·海南三亚·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称变换的坐标规律以及循环变换的周期规律．掌握轴对称的坐标规律：关于轴对称，横坐标取相反数、纵坐标不变；关于轴对称，纵坐标取相反数、横坐标不变；找出变换周期并计算周期余数，是解题的关键． 观察图形可知每次为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定变换后的点所在的象限，进而得到变换后对应点的坐标． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第次变换后所得的点与第三次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故选：． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，通过图形正确的抽象概括出数字规律是解题的关键．根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为，进而可得滚动2025次后，点B的横坐标． 【详解】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，即每滚动3次，点的横坐标的值就增加1个的周长， ∴， ∵， ∴， ∴三角形三边长的和为：， 则滚动2025次后，点B的横坐标为：． 故选：D． 2． 填空题 【★考点20】已知点所在的象限求参数 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若直线垂直于y轴，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标是解题的关键； 由直线轴可知点P、Q的纵坐标相等，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵直线轴，点，点， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时， ． 【答案】4 【分析】题目主要考查了二、四象限角平分线上点的特点，掌握象限角平分线上点的特点是解题的关键． 根据第二、四象限的角平分线上点的特点即可得到关于m的方程，进行求解即可． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：， 故答案为：4． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程，进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点在第四象限内，且到轴距离为2， ∴， 解得， 当时，，符合题意，故的值为2 故答案为：2 【★考点21】 根据三角形中线求面积 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 根据为的中点，可得，，先求出，再根据为的中点，即可求出． 【详解】解：为的中点， ，， ， ， 为的中点， ． 故答案为：2． 2．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线，的面积是3， ∴ ， 故答案为：6． 3．（25-26八年级上·广西河池·期中）如图，点是边上任意一点，点是的中点，连接、，若的面积为8，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积及三角形中线性质．根据三角形中线平分三角形面积可得，，即可推出，进而求解即可． 【详解】解：点是的中点， 是的中线，是的中线， ，， ． 故答案为：4． 【★考点22】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）中，，点D为的中点，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵中，，点D为的中点， ∴． 故答案为：5． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁的中点．若，则的长为 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可计算． 【详解】解：， ， 是的中点， ， 故答案为： 3．（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是 ．（变大、变小、不变） 【答案】不变 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，连接，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，点为梯子的中点，， ∴ ∴滑动过程中的变化规律是不变 故答案为：不变． 【★考点23】用一元一次不等式解决实际问题 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为 m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 【答案】240 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用（行程问题），掌握根据实际问题中的不等关系列不等式求解是解题的关键． 设骑车的平均速度为，先计算公交车速度及堵塞前行驶的路程，得到剩余骑行路程；再确定骑车的最长可用时间，根据骑行路程≥剩余路程列不等式，求解不等式得到最小骑行速度． 【详解】解：设骑车的平均速度为 ∵公交车全程，计划20分钟到达， ∴公交车速度为；   ∵8：00 到 8：14 共行驶 14 分钟， ∴已行驶路程为，剩余路程为； ∵8：22到8：30共 8分钟，骑车时间≤8分钟， ∴骑行路程为； ∵要在8：30前到达，需满足骑行路程≥剩余路程， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 50 100 150 200 剩余电量 50 46 42 38 34 若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开 公里就必须去充电． 【答案】525 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．先求出该汽车正常行驶时每千米耗电量，再根据电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】解：由表格可知，该汽车正常行驶时每千米耗电量为， 由题意得：， 解得， 所以小滨家的汽车至多开，即525公里就必须去充电． 故答案为：525． 【★考点24】等边三角形的性质 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为 秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 3．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，是等边三角形的高，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三线合一，等边对等角，根据等边三角形的性质，得到，等腰直角三角形的性质，得到，角的和差关系即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形的高， ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 【★考点25】垂直平分线与角平分线的性质定理与判定定理 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质．先根据线段的和差求出，再由角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质．先分别作于F、于G，并连接，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【★考点26】求一元一次不等式（组）整数解 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是 ． 【答案】21或22 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及三角形的三边关系，根据三角形三边关系得到，解不等式得到，则，x为正整数，故或10，代入求周长． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是2，x，10， ∴，即 解不等式， 去分母得， 整理得． 所以． ∵x为正整数， ∴或10． 当时，周长为； 当时，周长为． 故答案为：21或22． 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组的整数解是 ． 【答案】6、7、8、9 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求解两个不等式，得到 x 的取值范围，再找出范围内的整数解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为 6、7、8、9． 故答案为：6、7、8、9． 3．（2020·广东揭阳·一模）不等式组的最小整数解是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的最小整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而可得不等式组的最小整数解． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的最小整数解为3， 故答案为：3． 【★考点27】已知求一元一次不等式（组）的解求参数 1．（25-26七年级上·吉林·期中）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 2．（25-26八年级上·浙江·期中）若不等式组的解为且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的性质，理解不等式的性质是关键． 根据不等式组的解集和整数解的个数，确定k的范围． 【详解】解：解集为 ，整数解为 ，共三个， 为确保只有三个整数解，需满足 （使 包含在解集中）且 （使 不包含在解集中）， ∴ 的取值范围是 ， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组的无解问题，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据不等式组无解得到，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴ 解得． 故答案为：． 【★考点28】根据一次函数增减性求参数 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先比较点、的横坐标大小，再结合的条件，利用一次函数的增减性确定系数的符号，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴． 已知、在直线上，且，说明当增大时，减小． ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是通过横坐标与函数值的变化关系，确定一次函数斜率的符号，进而求解参数的范围． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的单调性，分、两种情况讨论，最大值出现在区间端点，代入求值并验证条件是否满足即可． 【详解】解：一次函数 中 当 时，即 时，在时，随着的增大而增大， 最大值在处，代入得 ， 令 ， 解得 ，满足 ，符合题意； 当 时，即，在时，随着的增大而减小， 最大值在处，代入得 ， 令，解得， 但，不满足 ，故舍去； 综上所述，实数的值为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知、两点在一次函数的图象上，且当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的增减性求解即可，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵、两点在一次函数的图象上，且当时，， ∴随的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 【★★考点29】全等三角形综合问题 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为 秒； （2）当t的值为 秒时，与全等． 【答案】 7 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）根据长方形的性质得出，，根据得出，，说明此时点P在点C处，即可得出点P移动的距离为，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴此时点P在点C处， ∴此时点P移动的距离为， ∴； 故答案为：7； （2）在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用三角形全等的判定方法，当，，而为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为，当，，为公共边，则，从而得到此时点C的坐标为或． 【详解】解：如图， ∵点，， ∴，， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为， 当，，， ∴， 此时点C的坐标为或， 综上所述，C点坐标为或或． 故答案为：或或． 3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点G，使得，证明，得到，，进而得出，再证明得到，即可解答． 【详解】解：延长至点G，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【★★考点30】一次函数的规律探究问题 1．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，数字规律探寻，解决本题的关键是根据规律得到与． 根据，，可得，再根据点在直线上，可得，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴，即点， ∵过点作轴的垂线分别与直线交于点， ∴点，，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 2．（2021·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．以点O为圆心，以长为半径画弧，交直线于点B1，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心．以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；…按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律，由，，设，可求得为，同理可得，，找出规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为， 的坐标为，的坐标为， … 的坐标为，的坐标为， 故答案为：． 3．（22-23九年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数、等腰直角三角形的性质以及平面直角坐标系，利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为点 且是等腰直角三角形 设，则 将的坐标代入 得： 解得 同理求得 ． 【★★考点31】一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 当时，，根据三角形面积公式即可得，化简即可求解． 【详解】解：当时，， 根据题意可得：， ∴， ∴或， 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·安徽·月考）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是 ． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，一次函数的性质，理解经过两点求得的临界值是解题的关键． （1）根据，当时，y与k的值无关，即可得出定点的坐标； （2）要使直线与线段没有交点，则直线在点B上方或直线在点C下方，分别将代入，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴直线恒过点， 故答案为：； （2）∵直线与线段没有交点， ∴直线在点B上方或直线在点C下方， 当直线过B点时， 则，解得， 当直线过C点时， 则，解得， ∴或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【★★考点32】一次函数与几何综合 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过B，C两点直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标；作轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】解：∵一次函数中， 令得：； 令，则，解得， ∴B的坐标是，A的坐标是， 如图，作轴于点D， ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，，， 则C的坐标是． 设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：， ∴直线的解析式是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限． （1）的面积为 ； （2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为 ． 【答案】 /1.5 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数表达式的求解，直角坐标系下三角形面积的表示，解决本题的关键是设出点的坐标并表示出． （1）先由直线的函数表达式求解出点的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （2）先求解出直线的函数表达式，可得到点的坐标，设出点的坐标，再求解出的长度，根据三角形面积建立等式求解即可． 【详解】解：（1）∵直线交轴于点， 令，可得， ∴点， ∴，， ∴的面积为； 故答案为：； （2）∵直线交轴于点， ∴，解得， ∴直线， ∵点是直线上一动点， ∴点的横坐标为2， 则有， ∴点， 设点， ∴， ∴， 若的面积与的面积相等， 即， 则， 即，解得， ∴点的坐标为． 故答案为： ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段，上的点，且，，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理；先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质和判定，可得，，再根据勾股定理求出，由，可求出，最后根据点P的所在象限，即可得到点P的坐标． 【详解】解：过点P作，如图所示： ∵一次函数与坐标轴分别交于A，B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为． 【★★考点33】勾股定理与折叠问题 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得：， 令时，则有， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，折叠的性质，先求出两点的坐标，进而利用勾股定理求出的长，根据折叠，得到，再分为①当点在轴的负半轴上时，和②当点在轴的正半轴上时，分别求解即可． 【详解】解：在中， 令，则； 令，则， 所以， 所以． 在中，因为， 所以． 由折叠的性质，得． 由题可知，分两种情况： ①当点在轴的负半轴上时，如图①， 所以． 在中，因为， 所以， 即， 所以，所以点的坐标为； ②当点在轴的正半轴上时，如图②， 所以． 在中，因为， 所以， 即， 所以，所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】该题考查了一次函数几何综合，折叠的性质，勾股定理等知识点，如图，当时，过点D作轴，勾股定理得，设，则，根据折叠可得，进而得出，，在中，勾股定理求出，，则，待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【详解】解：如图，当时，过点D作轴， 则，， ∵，， ∴， 设，则， 根据折叠可得， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为， 则，解得：， 则直线的函数关系式为， 故答案为：． 3． 解答题 【★考点34】求一元一次不等式（组）的解集 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解下列不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式（组）的一般步骤； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1即可得解． （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）解下列不等式（组）． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 移项可得：， 合并同类项可得：， ∴原一元一次不等式的解为； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为． 4．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： （2）解：， 解得： 解得：， ∴， 在数轴上表示为： 【★考点35】坐标与图形变化 — 轴对称 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的应用，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）写出点的坐标即可； （3）作点B关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，为所求作图形． （2）解：根据图形可知，点． （3）解：如图，点P即为所求． 根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小． 2．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）如图所示，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴的轴对称图形： (2)写出中点的坐标． (3)在轴上作出点，使最小． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， (3)画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，写出点的坐标，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解． （3）如图，连接交轴于，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图形可得： ，，． （3）解：如图，连接交轴于，连接，则即为所求． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)，； (2)先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键． （1）根据坐标与图形的特点即可求解； （2）根据图形平移的特点即可求解； （3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得：，； （2）根据图可知：先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到； （3）∵先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到， 则先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴内部的对应点的坐标是． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形． (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，在图中画出点D，直接写出点D的坐标________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变化． （1）根据平移作出点，依次连接即可得到三角形； （2）根据平移作出点D，再根据坐标系中点的平移的坐标变化即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求． （2）解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，如图所示，则点D的坐标为． 故答案为：． 【★考点36】 等腰三角形的性质和判定 1．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用． (1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形； (2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形． 【详解】（1）解：在和中， ，    ． （2）解：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 2．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，等腰中，，，是的角平分线，于点E，且与交于点H． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点，（1）根据等边对等角求出，再结合直角三角形两锐角互余即可得出，进而可得， （2）根据，可得，由此即可利用证明结论． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴． ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴． （2）由（1）得：， ∴． 又∵，， ∴． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质到，再根据全等三角形的判定可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到，再根据全等三角形的性质得到，，证明，推导出，进而利用等角对等边得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，平分， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【★考点37】 全等三角形的性质与判定综合 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， （2）解：由（）得：， ∴， ∵，， ∴． 3．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据角的和差得出相等的角，证明，得出对应边相等即可； （2）根据（1）的结论，通过全等三角形得出对应角相等，再根据三角形内角和定理以及对顶角相等，即可得出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论依然成立，说明见解析 【分析】本题考查了互余，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，，进而证明出，得到即可； （2）同（1）理可证，得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论依然成立，说明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知． 在和中， ， ∴， ∴． 【★考点38】一次函数图象平移问题 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）将一次函数（m为常数，）的图象向上平移2个单位，平移后的图象经过点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象平移与函数解析式的求解，正确表示出一次函数平移后的函数解析式是解决本题的关键． 根据一次函数的平移规则，即“上加下减”，表示出平移后的一次函数解析式，再将点代入函数解析式中即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向上平移2个单位后得到，     把代入，得， ∴． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质、点与函数图象的关系以及两直线平行的性质． （1）根据已知点在函数图象上，将点的坐标代入函数解析式，即可求出的值． （2）根据两直线平行，斜率相等，即一次项系数相等，由此可求出的值，进而得到一次函数解析式． 【详解】（1）解：点在函数的图象上， ， 解得． （2）解：在函数的图象平行于直线， ， 解得， ， 一次函数解析式为． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、函数图象的平移以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质与图象平移规律是解题的关键． （1）将已知的、值代入一次函数解析式，解方程求出、的值，进而得到函数表达式． （2）先根据函数图象平移规律得到平移后的函数解析式，再分别求出平移后图象与轴、轴的交点坐标，最后利用勾股定理计算线段的长． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 将，，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：函数向左平移个单位长度，得平移后的解析式为 ， 令，得， 解得， ∴． 令，， ∴． ∴． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知一次函数，当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式以及一次函数图象和坐标轴围城的图形面积： （1）根据一次函数的平移的性质以及待定系数法解答即可； （2）求出该一次函数的图象与x轴，y轴的交点，即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，，当时，， ∴该一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积为． 【★★考点39】一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若方程组的解满足 (1)求关于x的函数的解析式； (2)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，求的值是解题的关键，如果分别求、、的值就显得麻烦，注意解题的简便思路． （1）让方程组中的三个方程相加得，再由，可得的值，从而求出解析式； （2）根据（1）中求出的函数解析式得到、两点的坐标，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：将方程组中的三个方程相加得：， ， ， ， 把代入得：； （2）解：， 时，则，时，则， ，， ． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设的解析式为：，将，代入求出，进而求出，，将代入即可求出； （2）求出，分别求出的面积和的面积，相减即可． 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点． (1)求线段的长度； (2)若点在直线上，且使得的面积为20，求点的坐标； (3)求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形的面积； （1）先根据直线求得的坐标，进而根据勾股定理，即可求解； （2）分点在轴的上方和轴下方，根据三角形的面积公式求得点的纵坐标，代入直线的解析式，即可求解． （3）根据垂直平分线的性质可得，，设，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴和轴分别交于点和点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， （2）解：∵，的面积为20， 设的纵坐标为， ∴， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴的坐标为或， （3）∵线段的垂直平分线交轴于点，则， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． 设直线的表达式为代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式为 4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积． (3)若是轴上的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，勾股定理求两点距离． （1）把代入，得到和值，即可得到结论； （2）令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标； （3）设，根据建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得：，； （2）该一次函数为， 令，则，解得， 该一次函数图象与轴的交点坐标为，； ∴ （3）设， ∵ ∴ 解得： ∴ 【★★考点40】 一次函数与几何综合 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线平行，且经过点． (1)求点、的坐标及直线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，其横坐标为，且点到轴的距离为9，求的值； (3)设点为直线上的动点，且点的纵坐标为3，在轴上是否存在点，使的面积为12．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为， (2)或 (3)存在，D的坐标为或． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等知识，解题的关键是正确求出直线的解析式． （1）首先分别令和求出点坐标为，点坐标为，然后根据直线与直线平行，设直线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点P的纵坐标为9或，然后分别将和代入求解即可； （3）首先求出点的坐标为，然后根据题意得到，求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时， ∴点坐标为， 当时， ∴ ∴点坐标为， ∵直线与直线平行， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴设直线的表达式为； （2）解：∵点到轴的距离为9， ∴点P的纵坐标为9或 ∴当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵点为直线上的动点，且点的纵坐标为3， ∴ 解得 ∴点的坐标为 ∵点D在x轴上，的面积为12， ∴ ∴ ∴点D的横坐标为或 ∴点D的坐标为或． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，点，点，且，将沿直线AB翻折得到，点O的对应点为点C． (1)如图1，连接，猜想为______三角形，证明你的猜想； (2)如图2，在（1）的基础上，过点C作垂直于x轴于点D，求点C的坐标； (3)在x轴上存在点E，使，则点E的坐标为______； (4)在x轴上有两个动点M、N（点M在点N的左侧）且满足，当的值最小时，点M的坐标为______． 【答案】(1)等边 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由折叠得到，，然后求出，即可证明出为等边三角形； （2）首先得到，，然后求出，然后得到，利用勾股定理求出即可求解； （3）首先根据求出，然后得到，然后求出，然后分两种情况求解即可； （4）如图所示，作点A关于x轴的对称点，将点向右平移个单位，连接， ，， ， ，首先得到当点，，N三点在一条直线上时，有最小值，然后求出所在直线表达式为，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得，， ∴ ∴为等边三角形； （2）解：∵， ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴点C的坐标为； （3）解：∵，， ∴，，，， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∵在x轴上存在点E， ∴点E的横坐标为或 ∴点E的坐标为或； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，将点向右平移个单位，连接， ，， ， ， ∴ ∴ ∴当点，，N三点在一条直线上时，有最小值， ∵ ∴由折叠得， ∴由平移得， 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， 解得 ∴此时 ∴此时点M的横坐标为 ∴此时点M的坐标为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的综合、一次函数与几何综合和等腰直角三角形的判定和性质，学会分类讨论是解决本题的关键． （1）过点E作于F，过点C作于点G，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）根据题意分为三种情况：当点没有过y轴时；当点过y轴时没有过y轴时；当点过直线时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点E作于F，过点C作于点G，如图， ∵和均为等腰直角三角形，且，， ∴，， 由题意得，点，，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵是边上的中线， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵是向右平移个单位得到的， ∴顶点为、、， 当点没有过y轴时，如图，此时， ∴，且， 由平移得，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ； 当点过y轴时没有过y轴时，如图，此时， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ； 设直线的解析式为， 将点B和点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 设该点为K，则其坐标为， ∴， ∴当时，点和点K重合，点和点O重合， ∴当点过直线时，如图，此时， ∴， ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 综上所述，． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴垂线，垂足为点，并且交直线于点，根据直线与轴的夹角可得为等腰直角三角形，进而得到，再利用在直线上，列方程即可解答； （3）的位置有两种情况，一种情况是在上方，另一种情况是在下方，在上方时可以利用点的坐标求出点坐标，然后再求出直线的表达式，然后直线和直线联立就可以求出上方坐标，下方 坐标可以构造全等，利用上方坐标和的坐标求出即可． 【详解】（1）解：由直线的表达式为：得， 当时，；当时，， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 直线的表达式为：； （2）解：如图1，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 又，， ， 设，则，， 则有， ， ， ； （3）解：如图2，当在点上方时，不妨设为，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点作直线，交轴于点，交直线于，再作垂直轴，垂足为， 由（2）知，点坐标为， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 设直线表达式为：， 把和，代入得，， 直线表达式为， 联立直线和直线的方程， ， 解得， 点坐标为； 如图3，当在直线下方时，不妨设为，连接，过点作直线垂直于轴，垂足为，交直线于点，过点，作直线的垂线，垂足分别为和， 由题意知，， 又，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即的纵坐标为， 在直线上， 把纵坐标代入中，得， ； 综上所述：坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【★★考点41】 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 【答案】(1)1， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确计算是解题关键． （1）将代入即可得出的值，再求出一次函数与轴交点为，最后数形结合求解即可； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． （3）先求得．设点在直线上，其坐标为，再由三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：直线与直线交于点， 解得， 一次函数解析式为， 令得，解得， 一次函数与轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． （3）解：存在， 直线，令得， ． 设点在直线上，其坐标为， 其面积等于6，则有：， 即或． 解得或， 所以坐标为或． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数与不等式、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点代入可确定点B的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）根据交点坐标的意义，结合函数图象确定不等式的解集即可； （3）先求得、、，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：将点代入可得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得：， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． （3）解：根据题意，得， ∴，即， 同理可得，； ∴； 如图：当时，得到，此时； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 综上所述：或或或． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值且小于，求出的取值范围． 【答案】(1)一次函数解析式为：，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时的值不变得出，再将代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式，然后把代入解析式即可求得点的坐标； （2）求得函数分别过点和点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， 一次函数经过点， ， ． 一次函数解析式为：， 把代入得，，解得， 点的坐标为． （2）解： 把代入得，， 把代入得，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值且小于， ． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法，解方程组解答即可； （2）联立两条直线解析式构成方程组，解方程组得解即为交点坐标； （3）连接，得，计算，确定，设，得到，解答即可． （4）当时，，把代入得，，当与平行时，二线没有，交点，此时，根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意；故；当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值，故答案为． 本题考查了待定系数法，解方程组，图形的面积，函数的性质，熟练掌握待定系数法，函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把点，代入，得， 解得： ∴直线的表达式为． （2）解：根据题意，联立得方程组， 解得： ∴点的坐标为． （3）解：连接，如图所示．    由直线的表达式为，得， 故， ∵点的坐标为． ∴， 直线的表达式为，令，则． ∴直线与轴交于点 ∴， 设， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标是或． （4）解：当时，， 把代入得，，， 当与平行时，二线没有交点，此时，此时的值恒大于的值，满足条件； 根据直线不平行，则相交，当时，二线在第一象限相交，此时函数小于的值，不符合题意； 故； 当直线的右侧直线可以满足，当时，对于x得每一个值，函数的值大于一次函数的值， 故答案为． 【★★考点42】行程问题与营销问题（一次函数的实际应用） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)a的值为________，甲车的速度为________千米/时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； (3)当时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 【答案】(1) (2)90千米/小时； (3) 【分析】题目主要考查一次函数的应用及根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象及一次函数的性质进行分类求解是解题关键． （1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，然后利用速度公式计算甲的速度； （2）设乙开始的速度为千米／小时，利用乙两段时间内的路程和为460列方程求解即可得出乙的速度，可得到，然后利用待定系数法求出线段所表示的与的函数关系式即可； （3）求出直线的解析式为，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 40分钟小时， 设甲车的速度为千米／小时， 则 ∴甲车的速度（千米／小时）； 故答案为：； （2）解：设乙开始的速度为千米／小时， 则， 解得（千米／小时）， ， 则， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得． ∴线段所表示的与的函数关系式为； （3）解：由（1）知，，故． 甲车前40分钟的路程为千米，则， 设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设甲乙两车中途相遇点为，由，解得小时，即乙车出发小时后，甲乙两车相遇， ∵， 故乙车在段时，由，解得，介于之间，符合题意． ∴当时，乙车出发小时乙与甲车相距15千米． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 (2)第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出与的一次函数． （1）设，两款帆布袋的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解得即可； （2）设购买款帆布袋件，则购买款帆布袋 件，根据题意列不等式，求得的取值范围，设总费用为元，写出与的一次函数，再根据一次函数的性质即可作答． 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 【答案】(1)甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； (2)共3种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）先求得第一批和第二批利润，再设第三次进货甲为a袋，乙为袋，根据题意列不等式组求解即可； （3）调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋，求得总利润函数为，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种食品的批发单价为x元/袋，乙种为y元/袋， 根据题意列出方程组：， 解得， 答：甲种食品单价为15元/袋，乙种为10元/袋； （2）解：甲每袋利润：元， 乙每袋利润：元， 第一批利润：元， 第二批利润：元， 总利润：元， 设第三次进货甲为a袋，乙为袋， 根据题意得， 解得， 根据题意，两种食品都以20袋/箱整箱批发，即为20的倍数， ∴可取800，820，840 ∴共3种进货方案， 答：共3种进货方案； （3）解：调整后甲利润为元/袋，乙利润仍为7元/袋， 总利润函数为：， 当时，P随a增大而增大，； 当时，P随a增大而减小，； 当时，利润与a无关， 答：若，购甲840袋，乙1160袋； 若，购甲800袋，乙1200袋； 若，利润相同． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末常考点题型分类专题（基础题+中档题+拨高题） 浙教版八上 目录 一．选择题 2 【★考点1】轴对称图形的识别 2 【★考点2】构成三角形的条件 3 【★考点3】判断点所在的象限、平行于数轴上两点之间的距离、求点到坐标轴的距离 3 【★考点4】不等式的基本性质 4 【★考点5】尺规作图 4 【★考点6】命题与命题的真假 5 【★考点7】平面直角坐标系中点的平移与点的对称 5 【★考点8】三角形内角和与外角性质 6 【★考点9】含 30° 角的直角三角形的性质应用 7 【★考点10】用勾股定理解三角形 7 【★考点11】坐标与图形综合 8 【★考点12】根据一次函数解析式判断其经过的象限 9 【★考点13】求一次函数解析式 10 【★考点14】等腰三角形的定义（分类讨论） 11 【★★考点15】行程问题（一次函数的实际应用） 11 【★★考点16】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 12 【★★考点17】折叠问题 13 【★★考点18】全等三角形综合问题 14 【★★考点19】坐标与旋转规律问题 15 二． 填空题 16 【★考点20】已知点所在的象限求参数 16 【★考点21】 根据三角形中线求面积 16 【★考点22】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 17 【★考点23】用一元一次不等式解决实际问题 17 【★考点24】等边三角形的性质 18 【★考点25】垂直平分线与角平分线的性质定理与判定定理 19 【★考点26】求一元一次不等式（组）整数解 19 【★考点27】已知求一元一次不等式（组）的解求参数 20 【★考点28】根据一次函数增减性求参数 20 【★★考点29】全等三角形综合问题 20 【★★考点30】一次函数的规律探究问题 21 【★★考点31】一次函数图象与坐标轴的交点问题 22 【★★考点32】一次函数与几何综合 23 【★★考点33】勾股定理与折叠问题 24 三． 解答题 25 【★考点34】求一元一次不等式（组）的解集 25 【★考点35】坐标与图形变化 — 轴对称 25 【★考点36】 等腰三角形的性质和判定 27 【★考点37】 全等三角形的性质与判定综合 28 【★考点38】一次函数图象平移问题 30 【★★考点39】一次函数图象与坐标轴的交点问题 30 【★★考点40】 一次函数与几何综合 32 【★★考点41】 根据两条直线的交点求不等式的解集 34 【★★考点42】行程问题与营销问题（一次函数的实际应用） 35 【考点】前带“★”表示基础题，带“★★”表示中档题，带“★★★”表示拨高题 一．选择题 【★考点1】轴对称图形的识别 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在的正方形网格中，4个涂黑的小正方形能组成轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 【★考点2】构成三角形的条件 1．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域内种植一片防护林．已知其中两边，，那么第三边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【★考点3】判断点所在的象限、平行于数轴上两点之间的距离、求点到坐标轴的距离 1．（25-26八年级上·浙江温州·月考）若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）已知点P坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点和点，则A，B两点间的距离为（   ） A．4 B．12 C．10 D．8 【★考点4】不等式的基本性质 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏常州·月考）如果，那么b与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【★考点5】尺规作图 1．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 【★考点6】命题与命题的真假 1．（24-25七年级下·江苏南通·期中）下列语句中，不是命题的是（   ） A．延长线段 B．两点之间，线段最短 C．同位角相等 D．如果，那么 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．无限小数是无理数 D．两个无理数的和一定是无理数 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． ， D． ， 【★考点7】平面直角坐标系中点的平移与点的对称 1．（25-26八年级上·云南怒江·月考）在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为（   ） A． B．9 C． D．1 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若点向右平移2个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【★考点8】三角形内角和与外角性质 1．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，的两条角平分线相交于点O，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【★考点9】含 30° 角的直角三角形的性质应用 1．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，是边的中点，则的长是（    ） A．4.8 B．5 C．6 D． 2．（2023九年级·山东泰安·学业考试）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，中，是斜边上的一点，过点作，垂足为，过点作，交于点．设，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【★考点10】用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·山东·期末）如图，在中，，则斜边上的高的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）小明画了一个如图所示的四边形，若，，连结，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【★考点11】坐标与图形综合 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【★考点12】根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．（24-25八年级下·河南信阳·月考）正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）若，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【★考点13】求一次函数解析式 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）一次函数（）的图象经过点和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【★考点14】等腰三角形的定义（分类讨论） 1．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 3．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）等腰三角形的一个内角是，则另外两个内角的度数分别是（   ） A． B． C． D．或 【★★考点15】行程问题（一次函数的实际应用） 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知甲、乙两地相距，小明从甲地去乙地，小丽从乙地去甲地，图中分别表示小明、小丽两人离乙地的距离与时间的函数关系图象．设两人相遇在处，则处到甲地的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）机器人送餐作为餐饮服务领域的技术革新，其影响已超越工具属性，成为现代生活方式的缩影．某餐厅的机器人乐乐和明明从取餐口出发，准备给相距的客人送餐，乐乐比明明先出发，且速度保持不变，明明出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若乐乐行进的时间为x（单位：s），乐乐和明明行进的路程，（单位：）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．乐乐比明明早出发 B． C．乐乐的速度为 D． 【★★考点16】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 1．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图， 在和中， 、， 添加下列条件中（    ） ， 可利用“”的办法判定 与 全等． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，，添加下列条件后，其中仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【★★考点17】折叠问题 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片中，点，分别在，上，将沿着折叠，点刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏扬州·三模）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（  ） A． B． C． D． 【★★考点18】全等三角形综合问题 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为24，则与的面积之差是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【★★考点19】坐标与旋转规律问题 1．（25-26八年级上·河南·月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·海南三亚·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2． 填空题 【★考点20】已知点所在的象限求参数 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，点，点，若直线垂直于y轴，则点P的坐标为 ． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时， ． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为 ． 【★考点21】 根据三角形中线求面积 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 2．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）如图，是边上的中线，的面积是3，则的面积是 ． 3．（25-26八年级上·广西河池·期中）如图，点是边上任意一点，点是的中点，连接、，若的面积为8，则阴影部分的面积为 ． 【★考点22】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）中，，点D为的中点，若，则 ． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁的中点．若，则的长为 3．（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是 ．（变大、变小、不变） 【★考点23】用一元一次不等式解决实际问题 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了 道题； 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为 m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）十一假期小滨一家自驾车从西安到离家约的重庆游玩，出发前将新能源汽车充满电．下表记录了新能源汽车行驶的路程与剩余电量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 50 100 150 200 剩余电量 50 46 42 38 34 若该新能源汽车充满电为，假设该汽车正常行驶时每千米耗电量相同，电池至少要有及以上电量才能保证汽车正常行驶，则小滨家的汽车至多开 公里就必须去充电． 【★考点24】等边三角形的性质 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为 秒，是等边三角形． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 3．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，是等边三角形的高，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 【★考点25】垂直平分线与角平分线的性质定理与判定定理 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若的周长为，则 ． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是 ． 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 【★考点26】求一元一次不等式（组）整数解 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）若三角形的三边长分别是2，x，10，且x是不等式的正整数解，该三角形的周长是 ． 2．（24-25七年级上·吉林白城·月考）不等式组的整数解是 ． 3．（2020·广东揭阳·一模）不等式组的最小整数解是 ． 【★考点27】已知求一元一次不等式（组）的解求参数 1．（25-26七年级上·吉林·期中）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围 ． 2．（25-26八年级上·浙江·期中）若不等式组的解为且只有3个整数解，则的取值范围是 ． 3．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【★考点28】根据一次函数增减性求参数 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为 ． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知、两点在一次函数的图象上，且当时，，则的取值范围是 ． 【★★考点29】全等三角形综合问题 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为 秒； （2）当t的值为 秒时，与全等． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，作，使与全等，则点C（不与点A重合）的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，若，，则的面积是 ． 【★★考点30】一次函数的规律探究问题 1．（25-26九年级上·广东惠州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，，，按此规律，过点作轴的垂线分别与直线交于点记，，，，…的面积分别为，则 ． 2．（2021·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．以点O为圆心，以长为半径画弧，交直线于点B1，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心．以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；…按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 3．（22-23九年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…，依据图形所反映的规律， ． 【★★考点31】一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积，则的值是 ． 2．（25-26八年级上·安徽·月考）直线恒过一定点． （1）则该定点的坐标是 ． （2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【★★考点32】一次函数与几何综合 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段为边在第一象限内作等腰，．则过B，C两点直线的函数表达式为 ． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在第一象限． （1）的面积为 ； （2）当的面积与的面积相等时，点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段，上的点，且，，则点P的坐标为 ． 【★★考点33】勾股定理与折叠问题 1．（25-26八年级上·山东青岛·期中）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是 ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是轴上的一个动点，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为 ． 3． 解答题 【★考点34】求一元一次不等式（组）的解集 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解下列不等式（组）： (1)； (2) 2．（2025八年级上·全国·专题练习）解下列不等式（组）． (1) (2) 3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解下列不等式（组）： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【★考点35】坐标与图形变化 — 轴对称 1．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 2．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）如图所示，在直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴的轴对称图形： (2)写出中点的坐标． (3)在轴上作出点，使最小． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）三角形和三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)分别写出下列各点的坐标：_____，_____． (2)三角形是由三角形经过怎样的平移得到？ (3)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标是_____． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形的顶点坐标分别为． (1)把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点，请你在平面直角坐标系中画出三角形． (2)将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，在图中画出点D，直接写出点D的坐标________． 【★考点36】 等腰三角形的性质和判定 1．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 2．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，等腰中，，，是的角平分线，于点E，且与交于点H． (1)求的度数； (2)求证：． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，平分，点E是边上一点，连接，交于点F，，延长至一点M，使，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【★考点37】 全等三角形的性质与判定综合 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【★考点38】一次函数图象平移问题 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）将一次函数（m为常数，）的图象向上平移2个单位，平移后的图象经过点，求m的值． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象与轴、轴的交点分别为点，求线段的长． 4．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知一次函数，当时，，且其函数图象平行于正比例函数的图象． (1)求一次函数的表达式； (2)求一次函数图象与坐标轴交点所围成的面积． 【★★考点39】一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）若方程组的解满足 (1)求关于x的函数的解析式； (2)设函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的长度． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点． (1)求线段的长度； (2)若点在直线上，且使得的面积为20，求点的坐标； (3)求直线的表达式． 4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积． (3)若是轴上的一点，且，求点的坐标． 【★★考点40】 一次函数与几何综合 1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线平行，且经过点． (1)求点、的坐标及直线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，其横坐标为，且点到轴的距离为9，求的值； (3)设点为直线上的动点，且点的纵坐标为3，在轴上是否存在点，使的面积为12．如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，点，点，且，将沿直线AB翻折得到，点O的对应点为点C． (1)如图1，连接，猜想为______三角形，证明你的猜想； (2)如图2，在（1）的基础上，过点C作垂直于x轴于点D，求点C的坐标； (3)在x轴上存在点E，使，则点E的坐标为______； (4)在x轴上有两个动点M、N（点M在点N的左侧）且满足，当的值最小时，点M的坐标为______． 3．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． (1)填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． (2)将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点在轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点是线段上一动点，过作于，当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【★★考点41】 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1) ；不等式的解集为 ， (2)若点在线段上，点在直线上，则的最小值 ． (3)直线上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值且小于，求出的取值范围． 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．    (1)求直线的表达式； (2)求点的坐标； (3)若直线上存在一点，使得的面积是的面积的4倍，求出点的坐标． (4)当时，对于的每一个值，函数（）的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【★★考点42】行程问题与营销问题（一次函数的实际应用） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程（单位：千米），（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息解答下列问题： (1)a的值为________，甲车的速度为________千米/时； (2)求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的y与x的函数关系式； (3)当时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）为落实乡村振兴，加快绿色生态产业发展，南部县绿色产业园区深加工甲、乙两种绿色袋装食品，两种食品都以20袋/箱整箱批发给直播带货平台，首批发给平台甲种食品400袋，乙种食品600袋共12000元，次批发给平台甲种食品1200袋，乙种食品800袋共26000元．指导平台线上销售价格甲种食品25元/袋，乙种食品18元/袋，直播成本1元/袋． (1)产业园区批发给直播平台的甲乙两种食品的单价是多少？ (2)直播带货平台拟用不超过前两批的利润总和的资金进行第三次批入2000袋，其利润不低于第一批所获利润的两倍，平台有几种进货方案？ (3)直播带货平台第三次进货时，发现产业园区为了促销，下调甲种食品批发价m元/袋，同时下调线上指导销售价格5元/袋，在（2）的进货方案中怎样进货利润最大？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $