精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

初三年级综合练习数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 比较实数0，，，2的大小，其中最小的实数为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较实数的大小，“比较实数大小，正数大于0,0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，据此即可求解． 【详解】解：因为， 所以最小的实数为． 故选：C 2. 2025年12月3日至7日是吉林省的“冰雪假期”，全省2379所义务教育学校163万名学生全部放假．没有作业，只有建议：鼓励孩子们走向雪场冰场，走进博物馆图书馆，去体验“脚下有力、眼里有光、脸上有笑”的成长．其中，数据1630000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的形式为，其中，n为整数；将1630000转换为标准形式即可判断正确选项． 【详解】解：数据1630000用科学记数法可表示为； 故选：D． 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握“不等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向要改变”是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】解：选项A：，，不符合题意； 选项B：，，不符合题意； 选项C：，，不符合题意； 选项D：，，符合题意； 故选：D． 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移规律是关键；根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行平移． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，得 再向下平移2个单位，得 故选C． 5. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：B． 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】竿长x尺，绳索长y尺，根据“绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．”列出方程组，即可求解． 【详解】解：竿长x尺，绳索长y尺，根据题意得： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据一次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； B、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）符合题意； C、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； D、由一次函数的图象可知：，即，由二次函数的图象可知：，（左同右异）不符合题意； 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 多项式的次数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的次数，熟练掌握多项式的次数是解题的关键；多项式的次数由最高次项的次数决定，因此需比较各项次数即可． 【详解】解：多项式中，项的次数为4，项的次数为2，常数项1的次数为0，最高次数为4，故该多项式的次数是4； 故答案为4． 11. 若抛物线（c是常数）与x轴没有公共点，则c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，抛物线与x轴没有公共点，等价于二次方程无实数根，通过判别式小于零求解． 【详解】∵抛物线 与x轴没有公共点， ∴方程 无实数根． ∴判别式 ， 解得 ． 故答案为 12. 如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正五边形的性质，正五边形内角的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆， ∴，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 13. 如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质． 先根据抛物线的对称性得出，两点关于轴对称，，进而得到直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出点坐标，将坐标代入即可求出． 【详解】解：如图， 抛物线的对称轴为轴，且轴， , 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 关于轴对称， 点和点到的距离相等， ， ， 点的横坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标为，即， 将代入得，． 故答案为：． 14. 如图，已知为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长至点D，使，连接，过点C作半圆O的切线，交于点E，连接交半圆O于点F，连接并延长交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角，得出，再结合，得出垂直平分，从而可得，由此可判断①； 先根据直径的意义得出为的中点，再得出为的中点，从而可得为的中位线，于是就有，再根据切线的性质得出，从而可得，由此可判断②； 利用举反例可说明③错误； 先根据切线的性质得出，从而可得，再得出，然后根据等边对等角得出，从而可得，于是有，根据等边对等角得出，从而可得，进而得出，从而根据，可证明，由此可判断④； 先根据相似三角形的性质得出，再根据，，求得，从而可求得，由此可判断⑤． 【详解】解：如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵延长至点D，使， ∴垂直平分， ∴， 故①正确； ∵为半圆O的直径， ∴为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，为半径， ∴， ∴， 故②正确； 点C为半圆O上一点， 当点C靠近B，则很小， 接近半圆，显然不满足2倍关系， 故③错误； ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故④正确． ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，半圆（直径）所对的圆周角是直角，切线的性质定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简结果，再将，代入化简后的结果，由二次根式性质化简后，由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及完全平方公式、单项式乘以多项式、合并同类项、二次根式性质、有理数减法运算等知识，熟练掌握整式乘法及加减等运算法则是解决问题的关键． 16. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．赛前小明和小华同学计划在三项赛事中随机抽取一项进行现场观赛，三项赛事分别为：A．游泳；B．花样游泳；C．跳水．请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，涉及简单概率公式，熟记简单概率公式及列举法求概率的方法是解决问题的关键． 采用列表法，得到总的等可能结果及满足题意的可能结果，代入简单概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：列表如下： 小华 小明 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 由表格可知，小明和小华现场观赛的情况共有种，其中小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的情况有种， 小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率是． 17. 在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 【答案】 小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是找相等关系，本题中的相等关系是小王跳的时间＝小李跳的时间．通过设未知数，利用时间相等的条件建立分式方程求解即可 【详解】解：设小李平均每分钟跳次，则小王平均每分钟跳次 根据题意，得方程： 解得 检验：当时，，所以是原方程的解 ∴小王平均每分钟跳次 答：小王平均每分钟跳160次，小李平均每分钟跳180次 18. 某校为了解九年级600名学生周末在家课外阅读的情况，在该校九年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末用于课外阅读的时长进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟） 【收集整理数据】 男生：25，32，32，40，45，56，60，66，68，69，70，70，70，80，88，90，95，97，102，105． 女生：29，35，35，48，55，56，60，60，65，70，72，75，80，88，88，88，90，98，99，109． 【分析数据】数学兴趣小组统计了两组数据的平均数、中位数和众数，并按A，B，C，D四个等级对女生课外阅读情况绘制了不完整的扇形统计图（说明：A级：不高于49分钟，B级：50分钟分钟，C级：70分钟分钟，D级：不低于90分钟），如下： 组别 平均数（单位：分钟） 中位数（单位：分钟） 众数（单位；分钟） 男生 68 a 女生 70 b 88 根据以上信息解答下列问题： （1）______，______． （2）在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是______度． （3）如果该校九年级共有男生320人，请估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数． 【答案】（1）70，71 （2）72 （3）56人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解； （2）用360度乘以D级女生所占的比例即可； （3）用该校女生的人数乘以D级女生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：20位男生周末用于课外阅读的时长中70分钟出现3次，出现次数最多，所以众数为分钟， 20位女生周末用于课外阅读的时长的中位数为第10，11两个的平均数，即分钟， 故答案为：70，71； 【小问2详解】 解：20位女生周末用于课外阅读的时长中D级有4人， 所以在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：该校九年级共有男生320人，该校有九年级600名学生， 所以估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数为人． 【点睛】本题考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的圆心角，由样本所占百分比估计总体的数量等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，标出的外接圆圆心O． （2）在图1中，作与互补，且点D为格点． （3）在图2中，在上找一点M，连接，使． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用网格特点，中垂线的判定，作的中垂线，交点即为点O； （2）根据圆内接四边形的对角互补，以及到圆心距离相等的点在圆上，确定点即可； （3）根据垂径定理和圆周角定理可知：的中垂线与的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图1，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图1，点即为所求； 由网格特点和勾股定理可知：， ∴四点共圆， ∴与互补； 【小问3详解】 解：如图2，点即为所求； 由图可知：， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，平分交边于点D，在上取点O，使经过点A、点D，与交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的长是______． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的判定，等边三角形，角平分线的性质，平行线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，得到，根据角平分线的性质得到，等量代换得到，所以推得，利用平行线的性质即可得到结论； （2）由含的直角三角形得到，设，则，由 可求得x的值，根据，，可推得是等边三角形，所以可求得的长． 【小问1详解】 解： ， ． 平分交边于点D， ， ， ． ， ， ． 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 如图，连接． ，， ． 设，则， ， ，， ， ． ，， 是等边三角形， ． 故填：3． 21. 长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 【答案】（1） （2）工人直立时头顶不会触碰到桥拱 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点代入求解即可； （2）根据工人距点的距离求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵，桥拱顶点到水面的距离是， ∴顶点的坐标为， 设桥大拱部分抛物线的函数表达式为， 把代入表达式，得， 解得， ∴桥大拱部分抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入解析式得， ∵， ∴工人直立时头顶不会触碰到桥拱． 22. 小明在学习完圆这一章内容后，发现对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有“定点＋定长”与“定角＋定弦”两种类型．下面是小明对“定角＋定弦”类型题开展的探究活动． 【初步运用】 如图，已知线段，点是直线上方一个动点，且，确定点的轨迹．小明以为底边作等腰，使，，且点、点在同侧．则以点为圆心，以________为半径（填长度），作辅助圆．易知点的轨迹为的优弧（不包含点、）．即由（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 【深入探究】 问题原型：如图①，菱形边长为，，点在射线上移动．试探究的最小值． 问题探究：如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样 就将双变量（、）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题： 小明进一步发现当时，连结，总有，进而可知． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由问题探究的作法可知，， 又∵，∴．∴． ∵菱形中，，且． 证明过程缺失 ∴． 请你补全缺失的证明过程． 由恒为（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 请帮小明在图③中画出此圆，圆心标记为，从而确定长度的最小值为______． 问题解决：结合上述探究过程，则的最小值是______． 【答案】【初步运用】 【深入探究】画圆及补全证明过程见解析；； 【解析】 【分析】【初步运用】：利用勾股定理求得，从而确定半径为； 【深入探究】：问题探究：补全证明过程：由菱形得，代换得，结合公共角得； 画圆及确定最小值：由恒为（定角），（定弦）确定点在以为弦，圆周角为的圆上，圆心为以为底边的等腰直角三角形的直角顶点，利用勾股定理求得半径为，再利用勾股定理求得，由三角形三边不等关系可知，当、、三点共线时，最小，即可确定长度的最小值； 问题解决：由得，代入数值即可． 【详解】解：【初步运用】：∵，， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴以点为圆心，以为半径，作辅助圆； 故答案为：； 【深入探究】：问题探究： 补全证明过程： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴； 在图③中画圆如图， ∵恒为（定角），（定弦）， ∴点在以为弦，圆周角为的圆上，圆心为以为底边的等腰直角三角形的直角顶点， 过点作，垂足为，连接， ∵， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴为点所在确定的圆的圆心， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴，即的半径为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当、、三点共线时，最小， 此时； 故答案为：； 问题解决：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的轨迹（定角定弦模型）、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，将双变量问题转化为单变量的轨迹问题（化隐圆为显圆）是解题的关键． 23. 如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． （1）线段的长为______． （2）当时，求的值． （3）求到的距离，并直接写出线段的长为______． （4）当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，求出，和的长，由，得出，代入并求解； （3）过点作，则为到的距离，设，由，得出，由得出，再根据，得出； （4）过点作于，过点作于，则，根据题意求出，过点作于，于，得出和，及四边形为矩形，求出，，，再分类讨论当在内部时及外部时，的值，进而求出，由，求出． 【小问1详解】 解：,， ； 【小问2详解】 解：点的速度为2，点的速度为3，点的运动时间为， ，， ， 当时，， ， 又， ， ， ， 即， 解得． 【小问3详解】 解：如图，过点作，则为到的距离，且， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得，即， ， ，解得． 【小问4详解】 解：过点作于，过点作于，则， 在等腰直角三角形中中，，， 在中，， 过点作于，于， 由，，且，得， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 如图 当在内部时，即，，即， ， 如图 当在外部时，即， ， 又， 即， 由得，，， 当，即时， ，解得； 当，即时， ，解得， 两个解均在内，符合题意， 当点到的距离是点到的距离的2倍时，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质判定，三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求该抛物线函数关系式，并直接写出顶点坐标． （2）点D是抛物线顶点，当点P在抛物线对称轴右侧时，过点P作轴交抛物线对称轴于点C，连结，若，求m的值． （3）抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． （4）点是平面内的一点．当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标 （2） （3）或 （4）或． 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一元二次函数解析式，二次函数的图象及性质，解不等式组，解直角三角形等知识，解题关键是数形结合并注意分类讨论． （1）根据待定系数法，将、两点代入函数关系式，求得未知系数即可，将函数关系式变为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据点D和点P的特征，表示出 P，进一步表示出，，根据正切定义，即可求出m的值； （3）分析图象，发现点P在点B左右两侧的结果不同，因此对m的范围进行分类讨论； （4）根据不与坐标轴平行时，可得到，解得 ，当点落在抛物线时，关于对称，解得，然后分，这几种情况分类讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点， ， 解得， 抛物线为． ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由（1）可知对称轴为． 依题意得，P横坐标为m，且， 则P坐标为． 轴交抛物线对称轴于点C， ． ，． ， ．解得． 【小问3详解】 解：点P是抛物线上一动点，其横坐标为m， ． 依题意得，当时，最高点为P，最低点为， 如图： 则，解得． ， ． 当时，最低点为，最高点为B， 差值为，即， 解得．不在范围内，故舍去． 当时，最低点为P，最高点为B， 则，此时m无解． 当时，最高点为，最低点为B， ，解得． ， ． 综上，或． 【小问4详解】 解：∵当不与坐标轴平行时，，， ∴， ∴， ∵，其中， ∴点在上运动， 由题意得，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于、两点，，， 当时，点与横坐标相同， 此时轴， 当时，点在点右侧， 如图所示： 此时均在抛物线外部，抛物线没有落在矩形内部，不符合题意； 当时，即，点在点左侧， 要保证抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时， 解得． 如图所示，满足题意； 当时，与纵坐标相同， 当时，，此时点在左上角，如图所示： 当点落在抛物线时，关于对称， ∴， ∴， 根据图象，可知当时，此时抛物线在矩形外部，不符合题意； 当时，如图所示： 要保证抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， 解得． ∵， ． 当时，与纵坐标相同， 当时，，如图所示： 此时抛物线在矩形外部，不符合题意； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级综合练习数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 比较实数0，，，2的大小，其中最小的实数为（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 2025年12月3日至7日是吉林省的“冰雪假期”，全省2379所义务教育学校163万名学生全部放假．没有作业，只有建议：鼓励孩子们走向雪场冰场，走进博物馆图书馆，去体验“脚下有力、眼里有光、脸上有笑”的成长．其中，数据1630000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：__________． 10. 多项式的次数是______． 11. 若抛物线（c是常数）与x轴没有公共点，则c的取值范围是______． 12. 如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______． 13. 如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______． 14. 如图，已知为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长至点D，使，连接，过点C作半圆O的切线，交于点E，连接交半圆O于点F，连接并延长交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中，，． 16. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．赛前小明和小华同学计划在三项赛事中随机抽取一项进行现场观赛，三项赛事分别为：A．游泳；B．花样游泳；C．跳水．请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人现场观看跳水比赛的概率． 17. 在“阳光体育一小时”活动中，小王和小李参加跳绳比赛．在某段相同时间内，小王跳了240次，小李跳了270次．已知小王每分钟比小李少跳20次，则小王和小李平均每分钟各跳多少次？ 18. 某校为了解九年级600名学生周末在家课外阅读的情况，在该校九年级随机抽取了20名男生和20名女生，对他们周末用于课外阅读的时长进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟） 【收集整理数据】 男生：25，32，32，40，45，56，60，66，68，69，70，70，70，80，88，90，95，97，102，105． 女生：29，35，35，48，55，56，60，60，65，70，72，75，80，88，88，88，90，98，99，109． 【分析数据】数学兴趣小组统计了两组数据的平均数、中位数和众数，并按A，B，C，D四个等级对女生课外阅读情况绘制了不完整的扇形统计图（说明：A级：不高于49分钟，B级：50分钟分钟，C级：70分钟分钟，D级：不低于90分钟），如下： 组别 平均数（单位：分钟） 中位数（单位：分钟） 众数（单位；分钟） 男生 68 a 女生 70 b 88 根据以上信息解答下列问题： （1）______，______． （2）在扇形统计图中，D级对应的扇形的圆心角度数是______度． （3）如果该校九年级共有男生320人，请估计该校九年级周末在家课外阅读的时长不少于90分钟的女生总人数． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留作图痕迹． （1）在图1中，标出的外接圆圆心O． （2）在图1中，作与互补，且点D为格点． （3）在图2中，在上找一点M，连接，使． 20. 如图，在中，，平分交边于点D，在上取点O，使经过点A、点D，与交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的长是______． 21. 长春南湖公园的石拱桥以古朴石块筑成，搭配精致栏杆，造型典雅．桥体采用大拱与两侧小拱的设计，如图①，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥大拱部分抛物线的函数表达式． （2）同一时刻，一名环卫工人驾驶打捞船恰好停在桥大拱下方且距点处清理垃圾，若环卫工人身高，请通过计算说明他直立时头顶是否会触碰到桥拱（假设船底与水面齐平）． 22. 小明在学习完圆这一章内容后，发现对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有“定点＋定长”与“定角＋定弦”两种类型．下面是小明对“定角＋定弦”类型题开展的探究活动． 【初步运用】 如图，已知线段，点是直线上方一个动点，且，确定点的轨迹．小明以为底边作等腰，使，，且点、点在同侧．则以点为圆心，以________为半径（填长度），作辅助圆．易知点的轨迹为的优弧（不包含点、）．即由（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 【深入探究】 问题原型：如图①，菱形边长为，，点在射线上移动．试探究的最小值． 问题探究：如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样 就将双变量（、）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题： 小明进一步发现当时，连结，总有，进而可知． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由问题探究的作法可知，， 又∵，∴．∴． ∵菱形中，，且． 证明过程缺失 ∴． 请你补全缺失的证明过程． 由恒为（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 请帮小明在图③中画出此圆，圆心标记为，从而确定长度的最小值为______． 问题解决：结合上述探究过程，则的最小值是______． 23. 如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． （1）线段的长为______． （2）当时，求的值． （3）求到的距离，并直接写出线段的长为______． （4）当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于、两点，点P是抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求该抛物线函数关系式，并直接写出顶点坐标． （2）点D是抛物线顶点，当点P在抛物线对称轴右侧时，过点P作轴交抛物线对称轴于点C，连结，若，求m的值． （3）抛物线在点P和点B之间的部分（包括P、B两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值． （4）点是平面内的一点．当不与坐标轴平行时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $