吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C C D A B 题号 9 10 11 答案 AB ABD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【答案】D 【解析】直线√3x一y十4=0的斜率k=√3，设直线的倾斜角为a,则tana=√3，因为0°≤a<180°，所以a=60°， 故选D. 2.【答案】C 【解析】在等差数列{an}中，a3十a1i=2a,=10,解得a=5.故选C. 3.【答案】A 【解析)因为空间向量a=(1,一1，y)与b=（一2，x,40共线，所以2子=子解得x=2y=-2,所以y 十x=0.故选A. 4.【答案C 【解析】CB|=√(2一6)2十(2十1)2=5，所以圆的半径r=5,又以C(2,2)为圆心，所以圆的标准方程为：(x -2)2+(y-2)2=25,故选C. 5.【答案】C 【解析】因为在长方体ABCD-A1B,CD1中，以BA,BC,BB为基底，则BD=BA+BC,BA=BA+BB,BC =BC+BB,所以BD+BA+BC=2(BA+BC+BB)=2(BA+AD+DD)=2BDi,故选C. 6.【答案】D 【解折】根据题意可得圆的复轴长和焦距相等，即2：=2必，则离心率=√千=√胥-竖放法D 7.【答案】A 【解析]玲a,=2开的>0，解得<4或心号，所以当<4或≥10时，4≥0，所以5取得最小值时n的值为 9.故选A. 8.【答案】B 【解析】记e1,e2分别为C1,C2的离心率，设F2为右焦点，半焦距为c,|PF|=x,|PF2|=y,由题意PF1⊥ PF,所以2+y=4,x十y=2ay-2a,所以(2aP+(2a:)=2·4,即号+房-2，所以 -2解得后-号-结，所以会-受所以C的渐运搜方程为)=士 2x故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】AB 【解析】分别检验前4项的值，易知选项AB正确，故选AB. 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 6183B 10.【答案】ABD 【解析】显然直线y=2与抛物线y2=12x恰有一个公共点，故A正确： 当直线的斜率不存在时，过点P(0,2)的直线方程为x=0,符合题意，故B正确； y2=12x, 当直线的斜率存在且不为0时，设过点P(0,2)的直线方程为y=kx十2，由 得y-12+24 y=kx十2， 0,所以△=(-号)'-4×装=0，解得k=号，所以直线方程为y=是z+2,即3x-2y十4=0，故D正确.故 选ABD. 11.【答案】ACD 【解析】连接BC,则EF∥BC,又B1C∥AD,所以EF∥AD,EFC平面AEF,A1D中平面AEF,所以A1D∥ 平面AEF,又P是线段A1D上的一个动点，所以点P到平面AEF的距离为定值，又△AEF的面积为定 值，所以三棱锥A-PEF的体积为定值，故A正确； 在矩形ABCD中，AB,=CD=2,AD=B,C=22,若B1P⊥PC,此时△B1AP∽△PDC,所以BA PD 部则品-2PD,则PD-2EPD+4=0,因为△=（←22》-X4=-8<0,所以方程无解，故B A:P 2 错误； 因为EF=√2十1严=√2，如图所示，在四边形A1DFE中，EF=√2，AD= 2√2，A1E=DF=√I2+2=√5，作点F关于A1D的对称点F',连接FE 交A1D于点P,此时PE十PF取得最小值，最小值为线段EF的长度，又 DM=号×(2vE-E)=号，所以FM=√5)2-（罗）=3，所以 FF=2FM=3V2,所以EF'=√(W2)+(3√2)=25，所以△PEF的 周长的最小值为2√5+√2，故C正确； 连接PD1,又CD⊥平面ADD1A1,所以∠CPD是直线PC1与平面ADD1A1所成的角，所以sin∠C1PD -气论=忌，又因为△CA:D是边长为2，亿的等边三角形，所以CP的最小值即该等边三角形的高，即 P)=2 7Xcos30°=2EX36,所以(sin∠CPD)=合=写，故D正，确放选ACD 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】6 【解析】因为am=a1q-1且a1=1,q=2,所以32=25=1×2m-1,所以n=6. 13.【答案】1 (1=4 【解析】因为b,c不共线，且向量a,b,c共面，所以存在A,4使得a=b十c,则有x=入，解得x=入=u=1. 2=2入 14.【答案】8 |PF+|PF2|=6, 【解析】由已知及对称性得：四边形PFQF2为矩形，所以PF1⊥PF2,所以{ |PF1|2+|PF2|2=20, 所以Sm,,=2S陈，=|PF,1·1PR=PE+PED2,PE+PE,D=8 2 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 6183B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(教材原题) 【答案】(1)y2=4x,x=-1(2)8 【解析】(1)y2=2px(p>0)过点M(1,2),∴.2p=4,解得p=2,……4分 .抛物线C:y2=4x,准线方程为x=一1；… 5分 (2)由(1)知，抛物线焦点为（们，0），………… 6分 设直线AB:y=x-1,A(x1,y1),B(x2,y2),…8分 由y=x1得2-6x十1=0，则x1十x2=6,….1 由 11分 y2=4x, 则|AB|=|x1十x2十p=|6十2|=8.… …13分 16.【答案】(1)(x-3)2+(y-4)2=8(2)x+y-7=0或4x-3y=0 【解析】(1)，线段AB是圆C的直径，A(1,2),B(5,6), C的坐标为(2生5,2生），即（3,40，… …2分 圆C的半径r=√(3-1)2+(4-2)z=2√2，… 5分 所以圆C的标准方程为(x一3)2+(y一4)2=8，… 7分 (2)显然直线1的斜率存在，设直线l的方程为y一4=k(x-3),令x=0,解得y=4一3k,令y=0,解得x=3 一专，又过圆心C的直线1在x轴，y轴上的裁距相等，所以3一冬=4一3k,…12分 解得k=-1或k=亭，所以直线1的方程为x十y—7=0或4x-3y=0.……15分 17.【答案】(1)详见解析(2)3y58 29 【解析】(1)取AB中点O,连接PO,OE,BD,如图所示，又△PAB是等边三角形，所以PO⊥AB,又平面PAB ⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD,·2分 又ACC平面ABCD,所以POLAC,………………3分 在△ABD中，因为O,E分别是AB,AD中点，所以OE∥BD, 又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以AC⊥OE,… …4分 又PO∩OE=O,PO,OEC平面POE,所以AC⊥平面POE,…5分 又PE℃平面POE,所以PE⊥AC;……6分 (2)∠ABC=号，所以△ABC为正三角形，又0是AB的中点，所以AB1OC,由(1)知POL平面ABC,以O 为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不防设AB= 2,所以A(-1,00),B1,0,0,C0w5,0),D(-2w5,0P(0.05,E(-,号0）设平面PCD的法 向量为n=(x,y,),又P心-(0W3,-√3)，Cd=(-2,0,0),所以 PC.n=3y-3=0 令y=1,解得x CD·n=-2x=0 =0,之=1，所以平面PCD的法向量n=(0,1,1), 9分 设平面PBE的法向量为m=(a,b,c),又B驴=(-1,0，√3)，B配= BP.m=-a十√3c=0 (-号号o)所以 ·m=-号a+6=0 ,令a=√3，解得b=5, E D c=1,所以平面PBE的法向量为m=(W5,5,1)……12分 设平面PCD与平面PBE的夹角为B, 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 6183B 所以cos9=|cos(n,m)1=Tm·m-/1+I×V3+25+ n·m 6 3√58 29 即平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值为3,5⑧ 29 ……15分 18.【答案1)a.=2,6.=2m(2T.=4-4+2+n 3 【解折11)因为a十号+会+…十品="2，所以当≥2时a十号+尝+…+兴-02a, 2 2 2-2 2m-1 2分 所以品=-”2-2(a≥2，所以2a,=u-2n-1Da所以a1=2a.（≥2，又a,=2, 2-1 2a1,所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2”,……5分 因为点P(bn,b+1)在函数y=x十2的图象上，所以b+1=bn十2，即bn+1一bn=2,又b=2,所以{bn}是首项 为2，公差为2的等差数列，所以bn=b1十2(n一1)=2n;…8分 （2)因为6=2m是所有的正偶数，又a.十号-2十，所以6.=2产十2，…12分 所以Tm=c1+c2十c3+…+cn=22+2+24十4+25+6十…+22m十2n=22+24+26+…+22m+2+4+6十… +2m=41二4)+(2+2m)n=41-4++ 1-4 ，…17分 2 3 19.【答案11)学+苦-1(20(3)6十6：=2，或k十6=-号 4 【解析】(1)由题意可知，C=1,…………1分 2a=PF+ps,=√-1-12+(0-+号=号+号=4，即a=2,…3分 所以心-。-。心-3，所以椭圆C的标准方程为号+苦 =1;…4分 (2)直线PF2的方程为：x=1,因为直线PA,PB关于直线PF2对称，所以k1十k2=0,…5分 由题意可知，直线l的斜率存在，设直线1的方程为：y=(x一1)， 号+苦-1得：3+2-8+-12=0， (y=k(x-1) 联立方程组： 6分 设A(D,B(32）,则西气是，运十边3,7分 因为，k十k妇=-1 0 x2-1 x-1 x2-1 即[a-(+)]-D+[-(e+2)]函-1D=0, 整理得：2k-(2+号)(a十)+(2k+3)=0, 所以2k· 牛是-(2+受)35+(2k+3)=0,即9-18k=0,所以长=号 ,…9分 所以直线1的方程为：y=(x-1D,则M(4,是），所以k=0…10分 (3)若直线1的斜率=0时，直线1的方程为y=0,所以A(一2,0)，B(2,0),M(4,0), 此时6=号6：=一号6=一号再结合(2， 关系式①，1十k2=2k3. ………………12分 证明如下： 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 6183B 3k3 直线140=x-1,所以M4,3),则=4-子=友-号，即2%=2张-1，…13分 2 -是为-是-(+受)-(+受) 由(2)知：k+2=1-1+x2-了 x1-1 x2-1 2k4-(2k+)✉+)+(2k+3)2k(4-12)-8(2k+2)+(2k+3(4级+3) x1x2一(x1十x2)+1 4k2-12-8k2十4k2+十3 -9-18k- -9 2k-1,… 16分 所以k1十k2=2k3成立.… …17分 关系式②，3十，=-5」 4 …12分 证明如下： 直线1：y=k(x-1),所以M(4,3k),则=4- k1·k2十k3 [-（+号)】.[-(+)】6[-+号][（+受】 k x1-1 x2-1 x1x2-(x1+x2)十1 k2(4k2-12)-8k3(k+ 受)+(3十4)+ 15分 -9 9+2-名 …17分 (两种关系式只要写出一种均可得分)】 【高二数学参考答案第5页（共5页）】 6183B高二数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0,5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.直线3x一y十4=0的倾斜角为 A.-30° B.120° C.150 D.609 2.在等差数列{an》中，若a3十a11=10,则a,= A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知空间向量a=(1,-1,y)与b=(-2,x,4)共线，则y十x= A.0 B.6 C.-4 D.4 4.以C(2,2)为圆心，且过点B(6,一1)的圆的标准方程为 A.(x-2)2+(y-2)2=5 B.(x+2)2+(y+2)2=25 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=10 5.如图，在长方体ABCD-A,BCD,中，BD+BA,+BC= A.2 DBy B.2 D B C.2 BD D.2 D B 6,已知椭圆E等+芳-1(a>6>0)的上，下顶点与左，右焦点分别为A,B,R,F,且四边形 AF1BF2是正方形，则E的离心率为 A号 B是 c号 D 2 【高二数学第1页（共4页）】 6183B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.已知数列，}的通项公式为a,一费二前n项和为S,则S,取得最小值时，m的值等于 A.9 B.10 C.8 D.1 8已知椭圆G若+芳=1a,>6>0)有双曲线C盖-苦 y =1(a2>0,b2>0)有公共的焦点， 其中F,为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点.线段PF1的垂直平分线经过坐标原 点，若G的离心率为，则℃的渐近线方程为 A±将： B士。 0± D.y-tV 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.数列2,0,2,0，…的一个可能的通项公式是 2,n为奇数 A.an=1+(-1)mt1 B.an= 0,n为偶数 C.an=2sin nx D.an=1+cosnπ 10.过点P(0,2)且与抛物线y2=12x恰有一个公共点的直线方程可能为 A.y=2 B.x=0 C.2x-3y+6=0 D.3x-2y+4=0 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD,中，点E,F分别为棱B,C,CC1的中点，点 P是线段A1D上的一动点，则下列说法正确的是 A.三棱锥E-APF的体积为定值 B.存在点P,使得PB1⊥PC C.△PEF的周长的最小值为2√5+√瓦 D.直线PC与平面ADD,A,所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在等比数列{an}中，a1=1,公比q=2.若an=32,则n的值为 13.已知向量a=(1,x,2),b=(0,1,2),c=(1,0,0),若向量a,b,c共面，则x= 14.已知椭圆C:号+苦-1的左，右焦点分别为F,P,P,Q是椭圆C上关于坐标原点对称的 两点，且|PQ|=|FF2|,则四边形PF1QF2的面积为 【高二数学第2页（共：4页】 6183B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(1,2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度. 16.(本小题满分15分) 已知点A(1,2),B(5,6),线段AB是圆C的直径. (1)求圆C的标准方程； (2)若过圆心C的直线L在x轴，y轴上的截距相等，求直线L的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平 面ABCD,点E为棱AD的中点. (1)求证：PE⊥AC; (2)若∠ABC=号，求平面PCD与平面PBE的夹角的余弦值. 【高二数学第3页（共，4页）】 6183B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap即 18.(本小题满分17分) 已知数列(a}满足a1=2,且a+号+受+…十名=”2出，在数列.)中，b=2,点P(0, 2n1 2n bn+1)在函数y=x十2的图象上. (1)求{an}和{bn)的通项公式； (2)将数列6.)和a+2} 的所有公共项从小到大排列得到数列{cn},求数列{cn}的前n项 和T. 19.（本小题满分17分) 若椭圆C的两个焦点分别为F1(一1,0)，F,1,0),且椭圆C过点P(1,号)，若直线经过点 F2且交椭圆C于A,B两点，交直线x=4于点M,直线PA,PB,PM的斜率分别为k1, k2,k3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线PA,PB关于直线PF2对称，求； (3)探究k1,k2,k3的数量关系. 【高二数学第4页（共4.页）】 6183B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App