7.2正弦、余弦同步练习 2025-2026学年 苏科版数学九年级下册

7.2正弦、余弦 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是    (　　) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系内有一点，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．若cosA＜,则锐角 A 一定（ ） A．0°＜∠ A ＜∠60° B．0°＜∠ A ＜30° C．30°＜∠ A ＜90° D．30°＜∠ A ＜60° 5．设为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（    ）    A． B． C． D． 7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（  ） A． B． C． D． 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ． 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，那么sinA= ． 15．第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为 ． 图1             图2 16．已知：中，，，，则的值为 ． 17．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα= ． 三、解答题 18．在Rt中，．求的值． 19．如图，菱形的对角线交于点，点分别在的延长线上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 20．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知． (1)求线段的长； (2)求的值． 21．计算：． 22．已知中，∠BDC=30°，求15°和75°的四个三角函数值. 23．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求： （1）BC的长； （2）sin ∠ADC的值．    24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tanA的值． 《7.2正弦、余弦》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C B C B B A D 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题． 【详解】解：点A的坐标为(4，3)， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键． 2．C 【分析】过P作PH⊥x轴于点H，由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，作PH⊥x轴于点H， ∵ ∴PH=4，OH=3， 又∵， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，锐角余弦的定义，掌握余弦的定义正确求解锐角的余弦值是解题的关键． 3．C 【分析】根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图可知， 在Rt△ABC中，cosα＝，即， 解得：BC＝2， 由勾股定理得，AC＝＝1.5（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．C 【详解】试题解析：根据特殊三角函数值,可知 余弦值随锐角角度的增大而减小， 故选C. 5．B 【分析】根据余切值的定义进行求解. 【详解】解：如图：过点A做AB⊥OB ∵ ∴ 设OB=4k，则OA=5k 根据勾股定理， ∴ 故选：B. 【点睛】本题考查求锐角三角函数余切值，掌握余切的概念是本题的解题关键. 6．C 【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7．B 【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案. 【详解】 作AD垂直BC的延长线于点D 则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45° ∴ 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值. 8．B 【详解】试题解析：如图所示： 设BC=x， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x，AB=BC=x， 根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x， 作EM⊥AD于M，则AM=AD=x， 在Rt△AEM中，cos∠EAD=； 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键. 9．A 【分析】分别过O作OH⊥BC，过G作GI⊥OH，由O是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC的中点，则可得BH=，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=，在等腰直角三角形OGI中，即可求解． 【详解】解：过O作OH⊥BC于H，过G作GI⊥OH于I ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ∴OH∥AB， 又O为中点， ∴H为BC的中点， ∴BH=BC= ∵GI⊥OH， ∴四边形BHIG为矩形， ∴GI∥BH，GI=BH=, 又∠F=45°， ∴∠OGI=45°， ∴在Rt△OGI中，． 故选：A 【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键． 10．D 【分析】根据直角三角形的性质求出三角函数值即可. 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴sinB＝=．       故选D． 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键. 11．C 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 故选：C． 12．C 【分析】先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可． 【详解】如图，根据勾股定理得，BC==12， ∴sinA=． 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键． 13．4 【详解】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R， ∵∠BAD=30°， ∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∵CD⊥AB， ∴DE=CE， 在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R， ∵cos∠EOD=cos60°=， ∴=，解得R=4， ∴OE=4﹣2=2， ∴DE=OE=2， ∴CD=2DE=4 故答案为4． 考点：垂径定理、解直角三角形 14． 【详解】, A=45°， 根据特殊角三角函数值，可得sinA=sin45°=． 故答案为：． 考点：特殊角的三角函数值 15．/ 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．0.8 【详解】试题分析：已知点P的坐标（3，4），就是已知直角三角形的两直角边的长3与4，根据勾股定理就可以求出OP的长5．根据三角函数的定义求sina=． 考点：解直角三角形 18． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解决问题的关键是理解锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出斜边． 利用勾股定理得出的长，再利用三角函数关系得出即可． 【详解】解：设，则． 由勾股定理，得， 19．(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，，得四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （）由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再由锐角三角函数定义求出的长，然后由勾股定理求出 的长即可； 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21． 【分析】本题考查了零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦．熟练掌握零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦是解题的关键． 先分别计算零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 22．sin15°= 【分析】在直角三角形中做辅助线得出15°和75°锐角，设出边长，再根据三角函数定义即可解答. 【详解】解：如图，延长CD到点A，使AD=BD，设BC=1，则，． 【点睛】本题考查三角函数定义，解题关键是在直角三角形中做辅助线得出15°和75°锐角. 23．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝. 【详解】（1）如图，作AE⊥BC，    ∴CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，， ∴BE=3AE=3，∴BC=4； （2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1， ∴∠ADC=45°，∴． 24．sinA＝；cosA＝；tanA＝． 【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度为4；然后利用锐角三角函数的定义解答． 正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 【详解】 ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC＝＝4， ∴sinA＝＝； cosA＝＝； tanA＝＝． 【点睛】本题关键考查了勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，能正确运用定义写出三角比是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $