精品解析：海南省海口市海南中学2025—2026学年高一上学期第四次测试数学试题

海南中学2025-2026学年度高一年级第4次测试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. 113° C. D. 225° 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 若角和角的终边相同，则 C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 10. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 为的一个零点 D. 在区间单调递增 11. 已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 函数的图像关于直线对称 C. D. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角和角的终边与单位圆的交点分别是．则的位置关系是____________ 13. 已知，则_______． 14. 已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是____________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）． 16. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的解集． 17. 在中，是边上的高，垂足D在线段BC上，且，已知的面积为3. （1）求； （2）求的值； （3）求的值. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求在区间内的最小值. 19. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度高一年级第4次测试数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与角终边相同的角是（ ） A. 25° B. 113° C. D. 225° 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同角的概念，找到在范围内与角终边相同的角即可． 【详解】因为， 所以角与角终边相同. 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式计算即可. 【详解】由得． 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据齐次式，利用弦化切方法即可求解. 【详解】， 故选：D 4. 折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【详解】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用诱导公式将化成同名三角函数，再根据单调性比较大小，再结合特殊值判断得出. 【详解】根据诱导公式，可得．因为当时，函数单调递增， 所以，得. 又当时，单调递增，所以，得，所以 故选：D. 6. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出. 【详解】由，令，则， 所以和都是奇函数，得， 即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误； 而，再由当时，，， 得，，所以A错误，B正确. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题的核心在于灵活运用和差公式、二倍角公式等进行化简，关键点在于将分母展开，并通过变量代换将原式转化为关于的方程，最终利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 故选：B. 8. 若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】法一:由得，从而，所以，由即可计算求解. 法二:由所在终边刚好将单位圆均分成24份，利用对称性，计算即可. 【详解】法一:，由 得， 由三角函数定义知， 所以， 因为，所以， 所以， ， 所以． 法二:由题意，可以得到所在终边刚好将单位圆均分成24份， 的终边关于原点对称，即， 所以，又， 故． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 小于的角是锐角 B. 若角和角的终边相同，则 C. 钝角是第二象限角 D. 经过4小时，时针转了 【答案】CD 【解析】 【分析】根据角的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】小于的角还包括零角和负角，锐角是大于小于的角，故A错误； 若，，则角和角的终边相同，但，B错误； 因为大于且小于的角为钝角，所以钝角是第二象限角，C正确； 因为时针旋转为顺时针，所以形成的角为负角，故经过4小时，时针转了，D正确． 故选：CD 10. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 为的一个零点 D. 在区间单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】由即可判断A；令，即可求解判断B；由即可判断C；由题得，再由在上单调递增即可判断D. 【详解】因为， 所以不是的一个周期，A错误； 令，解得， 则的图象关于直线对称，B正确； 因为，所以不是的一个零点，C错误； 当时，，因为在上单调递增， 所以在区间单调递增，D正确. 故选：BD 11. 已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 函数的图像关于直线对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性结合得出，由判断B；由对称性判断C；根据周期性判断D. 【详解】因为是偶函数，且，所以，即，所以，周期为，故A正确； 因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称，故B正确； 因为，且函数的图像关于直线对称，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角和角的终边与单位圆的交点分别是．则的位置关系是____________ 【答案】关于直线对称 【解析】 【分析】设点的坐标，利用诱导公式即可求解. 【详解】设点A的坐标为，点B的坐标为， 利用诱导公式， ， 因此点A和点B关于直线对称， 故答案为：关于直线对称. 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】看利用降幂公式化简可得,再根据辅助角公式求解即可. 【详解】因为,∴, ,则,即. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了降幂公式与辅助角公式求解三角函数值的问题,需要根据题意确定所用的公式,属于中档题. 14. 已知函数，在上恰有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系切化弦及两角和差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 16. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； （2）求的解集． 【答案】（1） 列表如下： x 1 0 2 3 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图象如图所示． （2） 【解析】 【分析】（1）直接用“描点法”作出函数图像； （2）根据正弦函数的性质来计算的解集． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题意可知， 由，得， 化简得， 由正弦函数的性质可知，的解为 ，， 令， 则， 解得，， 故不等式的解集为. 17. 在中，是边上的高，垂足D在线段BC上，且，已知的面积为3. （1）求； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由三角形的面积求出，即可由和三角函数定义求解； （2）由（1）即可求出角B，再由诱导公式即可计算求解； （3）先由（1）（2）结合诱导公式和三角恒等变换公式依次求出，再由倍角公式即可求解. 【小问1详解】 如图，由题意得，解得， 因为，所以，则， 故； 【小问2详解】 由（1）知，结合，所以． 则； 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ， ， 故. 18. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，且，求在区间内的最小值. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）先由倍角公式化简函数解析式，再由正弦函数单调性质列不等式计算即可； （2）先求出，接着由结合题意列方程求出a，再由正弦函数图象性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得 ， 令，则， 故的单调递增区间为； 【小问2详解】 由（1）得， 由得，即， 则或，解得或， 又，所以，故， 因为，所以， 故在区间的最小值为. 19. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度. （1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）已知，，，且，. ①求，之间的余弦距离； ②求，之间的曼哈顿距离. 【答案】（1）曼哈顿距离为2，其余弦距离为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用给定定义求解即可. （2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ， 所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为； 【小问2详解】 ①由题意得 ，∵，∴， ∵， ∴，∴， ， ， ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴， ， ∴ ， ∴，之间的曼哈顿距离为 . 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合两角正余弦的和差公式进行化简，得到所要求的距离即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $