大题精练05 带电粒子在复合场、组合场中的运动问题（选考第18题）-2026届高考物理题型突破限时精练（浙江专用）

大题精练05 带电粒子在复合场、组合场中的运动问题 一、带电粒子在组合场中的运动 1.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 项目 垂直进入磁场（磁偏转） 垂直进入电场（电偏转） 情境图 受力 ，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，为变力 ，大小、方向不变，为恒力 运动规律 匀速圆周运动， 类平抛运动，， 2.基本思路 二、带电粒子在叠加场中的运动 1.几种简单情况 （1）若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动状态或静止状态。例如电场与磁场叠加时满足，重力场与磁场叠加时满足，重力场与电场叠加时满足。 （2）若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力的方向与速度方向垂直。 （3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即。 2.解决带电粒子（带电体）在叠加场中运动的基本思路 三、“配速法”及正则动量的应用 1.配速法 （1）滚轮线（摆线）是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，如图所示。 （2）配速法：若带电粒子在叠加场中做一般曲线运动，运动分析比较复杂，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或静电力，或重力和静电力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 （3）配速法处理叠加场中的滚轮线类问题 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度和一个向右的速度，和大小相等，且满足，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度和一个向右的速度，和大小相等，且满足，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向右上的速度和一个斜向左下的速度，和大小相等，且满足与重力及电场力的合力平衡，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 初速度为，有重力 把初速度分解为和，且满足，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 2.正则动量 假设有一个带电粒子，其质量为，电荷量为。在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场中运动。粒子速度为，所受洛伦兹力为，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力 两个方向分别由动量定理得 即， 两边累加得， 正则动量的使用要点在于：要研究哪个方向的位移大小，就在与该方向垂直的方向应用动量定理。相比传统的画出实际运动轨迹的处理方法，引入正则动量概念可以简化求解此类问题的过程，避开了复杂的轨迹描绘和几何运算，只需进行始末状态的分析，更加简洁明晰，从宏观上直达物理问题的本质。 【例题1】（2025·浙江·一模）磁场强化静电除尘装置的核心结构如左图所示。长、宽和高分别为L、2L和h的集尘箱水平放置，在其左侧装入高度为h，宽度为L的粉尘流加速通道，加速通道左右两侧为栅极板，施加的加速电压为U1，粉尘带负电。集尘箱的上、下金属板与直流电源相连（电源的输出电压为U2大小可调），在箱内空间产生方向竖直向上的匀强电场，如右图所示。均匀分布的带电粉尘流从左侧壁飘入加速通道，飘入的初速度可视为零，当粉尘颗粒碰到下板后立即被中和与收集。到达右侧壁的粉尘不被收集穿出盒区。不计粉尘的重力、空气阻力及相互作用力，不考虑电磁场的边界效应。 (1)当U1、U2固定时，请计算说明该集尘箱对质量与带电量不同的粉尘收集率是否相同；（收集率指落到集尘箱下底板的粉尘颗粒占全部进入集尘箱粉尘颗粒的百分比） (2)当处理质量均为m，带电量均为-q的带电粉尘颗粒时，调节， ，若在左图和右图所示的虚框范围（区域Ⅱ）内同时施加一磁感应强度大小，方向竖直向上的匀强磁场，其中ab为下板的I和Ⅱ区域的分界线。 ①求粉尘在区域Ⅱ运动的最长时间； ②求此时粉尘的收集率η； ③若单位时间单位面积进入集尘盒加速通道的电粉尘颗粒数量均为n个，求稳定工作时该装置电场对带电粉尘做功功率。（结果用U1、q、n、L表示） 【答案】(1)相同 (2)①；②50%；③ 【详解】（1）对粉尘颗粒在加速通道中的运动列动能定理方程有 解得粉尘颗粒进入集尘箱的初速度为 粉尘颗粒在集尘箱内做类平抛运动，其水平方向为匀速直线运动，设粉尘颗粒在集尘箱内运动的时间为，则有 粉尘颗粒在竖直方向做的是从静止开始的匀加速直线运动，则根据牛顿第二定律有 所以粉尘颗粒在竖直方向上运动的最大位移为 若该粉尘颗粒不能100%被收集，则其竖直方向上运动的最大位移与q、m无关。又因为收集率为 所以收集率也与q、m无关，即当U1、U2固定时，该集尘箱对质量与带电量不同的粉尘收集率相同。 （2）①由分析可知，粉尘颗粒进入区域Ⅱ后在垂直于磁场平面内以做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得粉尘颗粒做圆周运动的半径为 设粉尘颗粒转过的最大圆心角为，其垂直于磁场方向的运动轨迹如图所示： 则根据几何关系有 解得 又因为粉尘颗粒做圆周运动的周期为 所以粉尘颗粒在区域Ⅱ运动的最长时间为 ②粉尘颗粒在集尘箱中的运动的最长时间为 则粉尘颗粒在集尘箱内竖直方向上运动的最大位移为 此时粉尘的收集率为 联立解得 ③由分析可知，稳定工作时该装置电场对带电粉尘做功功率为 【例题2】（2025·浙江·二模）如图甲所示，平行金属板M、N水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变化的电压，M、N板右侧的BAC区域内有竖直向上的匀强电场，M、N板的右端均在竖直边AB上，A点到M板的距离为h，质量为m、电量大小为e的电子由静止开始，经电压也为的电场加速后，连续不断地沿与M、N板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间运动的时间均为时刻射入M、N板间的电子恰好从M板的右边缘飞出，已知其中m，e，h，t₀为已知量，不计电子的重力，求： (1)金属板的板长； (2)M、N板间的距离; (3)要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少多大； (4)在（1）（2）的条件下，若将BAC区域改为垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，已知点A到M、N板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC的长度足够长，求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 【答案】(1) (2)2h (3) (4) 【详解】（1）设电子经加速电场加速后的速度大小为v0，根据动能定理 解得 则板长为 （2）从t=0时刻进入M、N板间的电子在垂直于极板方向先做匀加速运动后做匀减速运动，设电子运动的加速度为a，则有 又因为 根据题意有 解得M、N板间的距离为 （3）由于所有电子经过M、N板的运动时间均为2t0，因此所有电子出M、N间电场时，速度均沿水平方向，且速度大小均为 要使所有电子均不从AC边射出，则从M板边缘飞出的电子在电场中的运动轨迹刚好与AC相切。设电场强度的大小为E2，则粒子在该电场中运动的加速度为 根据题意，从M边缘飞出的电子运动到刚好与AC相切的位置时，速度与水平方向夹角为53°，根据类平抛规律则有 水平方向 竖直方向 根据几何关系有 联立解得BAC区域内的匀强电场的电场强度至少为 （4）设从距离M板为dy的P点进入磁场的电子轨迹恰好与AC相切，此时满足的几何关系为 洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 解得 又因为d=2h 故从AC边界射出磁场的电子占比为 难度：★★★★★ 建议时间：100分钟 1. （2025·浙江·一模）如图所示，在xOy平面内，有一宽度为b的粒子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v0带正电的粒子，在粒子源的右侧，有一个半径为R的圆形匀强磁场，匀强磁场的方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B1=B，其中平行于x轴正方向正对圆形磁场圆心O1射入磁场的粒子经磁场偏转后恰沿y轴的负方向从O点射出。x轴下方有一与其平行的直线区域AC，AC与x轴相距为d，x轴与直线AC间区域分布有平行于y轴负方向的匀强电场，电场强度大小，已知，不计粒子的重力，忽略电子间相互作用和各场的边缘效应。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子流从O点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围； (3)粒子离开匀强电场时速度的大小以及与AC夹角的最小值β的余弦值； (4)在AC下方区域加另一个垂直于纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小B2=kh（其中h为粒子离AC的距离，），求粒子能到达离AC的最远距离hm。 【答案】(1) (2)0°≤θ≤60° (3)， (4) 【详解】（1）如图所示 由几何关系得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 由牛顿第二定律可得 所以粒子的比荷 （2）由几何知识知四边形P、O1、O、O2为菱形，粒子运动的半径为R，则 所以 则粒子流从O点射出时与负y轴方向的夹角0°≤θ≤60°； （3）由动能定理得 解得 如图所示 粒子进入匀强电场后，x方向做匀速直线运动，则 离开电场时与AC的最小偏角为 即 （4）规定沿x轴正方向为正方向，对运动粒子x轴方向，由动量定理得 即 所以 2. （2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 【答案】(1)4个 (2)3、4、5或6个 (3)， 【详解】（1）带电粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，即带电粒子所受静电力与洛伦兹力平衡。设带电粒子离开装置1速度为，则有 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 解得 即装置1中应设置4个圆筒。 （2）设带电粒子离开装置1速度为。 （方法一）若带电粒子恰能打到下极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 若带电粒子恰能打到上极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 综上 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 装置1中应设置3、4、5或6个圆筒。 （方法二）带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。 匀速圆周运动的半径为 带电粒子不打到极板，即 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 故装置1中应设置3、4、5或6个圆筒 （3）装置1中设置16个圆筒，由动能定理得 解得 将带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力 解得匀速圆周运动的半径为 如下图所示 当匀速圆周分运动至1处时，带电粒子打到上极板，随后沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变，方向反向，即匀速圆周分运动变至2处。随后匀速圆周分运动再从2处运动至1处，故相邻两次打到板上的时间间隔为 相邻两落点间距离为 3. （2025·浙江宁波·一模）如图所示，在平面（纸面）内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，垂直纸面的两块金属薄板平行正对放置，两板高度均为，间距也为，其中板接地，板与灵敏电流计相连并接地。当光照射板右侧面时，板整个右侧面都能发射质量为、电荷量为的电子，电子的速度大小范围为，方向与轴正方向间的夹角范围为，A板左、右两侧面均可接收电子。已知，忽略电子重力和电子间的相互作用力。 (1)某电子从板上的点以射出后能到达板上的点，、两点的坐标相同，求该电子的速度大小； (2)若向右平移A板到某个位置时，灵敏电流计示数恰好减为0，求此时K、A两板的间距； (3)保持K、A两板之间的距离为。设当光照射K板时，板立即发射电子。若某时刻起光照射板，则经多长时间电流计开始有电流流过；若某时刻起停止光照，则流过电流计的电流还能持续多长时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）电子的运动轨迹如图1所示，设半径为。 由几何关系得 解得偏转半径 由牛顿第二定律 解得发射速度 （2）沿轴正方向发射最大速度的电子恰好打不到板时，光电流为零，电子的运动轨迹如图2所示，设半径为。 由牛顿第二定律 解得最大半径，则两板间距为 （3）虽然板上电子的发射位置、速度大小和速度方向不同，但周期均相同 考虑最先到达板的电子，该电子运动轨迹如图3所示，且取最大速度。 由 解得 由几何关系 解得 根据题示，则电流计经 开始有电流流过，考虑最迟到达板的电子，该电子沿轴正方向发射，且取最大速度。 其运动轨迹如图4所示。 由几何关系 解得，轨迹的偏转角为，则流过电流计的电流还能持续时间为 4. （2025·浙江杭州·一模）某种显示器内部纵剖面结构简图如图甲所示。电子枪的灯丝通电后持续逸出电子（初速度可忽略），电子先经电场加速后，速度大小为，再经磁透镜组汇聚后，形成极细电子束，且电子速度大小不变，方向沿；最后该电子束经圆形匀强磁场偏转后打在屏幕上形成亮点，磁场区域的圆心为、半径为、磁场方向垂直纸面。屏幕是以点为球心、为半径的球面，为屏幕中心，、分别为屏幕的最高点和最低点，且间距也为。各器件、电场和磁场均关于主轴对称。已知电子质量为、电荷量为，忽略电子间的相互作用。 (1)求加速电场的电压； (2)若电子束一直打在点，判断此时圆形磁场的方向并求出其磁感应强度大小；（已知） (3)若要在时间内让屏幕上的亮点从点沿圆弧匀速率移到点，取垂直纸面向外为正方向，求圆形磁场的磁感应强度随时间变化的关系；（结果中的角度用弧度表示；已知远大于电子在圆形磁场中运动的时间） (4)如图乙所示是磁透镜组中某个磁透镜的原理图，其电子通道是一个圆柱体，内部存在从左向右逐渐增强的磁场，其左端磁感应强度略小于右端，计算时可近似认为整个区域的磁感应强度大小均为，为一条与主轴夹角为（很小，，）的直磁感线。已知电子束垂直通道的左侧端面入射，入射时电子束关于对称，其直径为，某个位于电子束边缘的电子从点射入并从点离开。求圆柱体长度的最小值以及取最小值时电子束从右端面飞出时的直径。 【答案】(1) (2)磁场垂直纸面向外， (3) (4)， 【详解】（1）由动能定理 解得 （2）电子打到点时运动轨迹及几何关系如图所示 由左手定则知，磁场垂直纸面向外，由几何关系得 解得 又有 联立解得 （3）亮点做匀速圆周运动，角速度 偏转角随时间变化规律 解得 （4）把电子速度分别沿垂直于磁感线方向和沿磁感线方向分解，沿磁感线方向 电子做匀速运动。垂直于磁感线方向，电子做匀速圆周运动，周期为 电子转一圈刚好运动到，a取最小值，可得 所有电子均垂直于入射处的磁感线做圆周运动，同时沿磁感线做匀速直线运动，并从磁感线的右端离开磁透镜，周期均为，所以电子束从右端面飞出时直径为或者 解得 5. （2025·浙江·一模）如图1所示，回旋加速器由两个D型盒组成。圆形匀强磁场区域以点为圆心，磁场垂直纸面，磁感应强度大小为，加速电压的大小为，质量为、电荷量为的粒子从点附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过点绕点做圆周运动，半径为。为将粒子引出磁场，在位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示。偏转器的两极板和厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为、圆心角为，当、间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计、间的距离，且忽略粒子在电场中的加速时间，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。求∶ (1)粒子加速到点所需要的时间； (2)粒子在圆弧形狭缝中运动的轨迹半径； (3)“静电偏转器”板的最大厚度； (4)磁场区域的最大半径。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设粒子在P的速度大小为，洛伦兹力提供向心力则有 解得 对粒子在静电场中的加速过程，根据动能定理则有 粒子在磁场中运动的周期为 粒子运动的总时间为 解得 （2）设粒子在偏转器中的运动半径为，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力应和洛伦兹力反向，共同提供向心力 解得 （3）由粒子的运动半径 结合动能表达式 整理可得 则粒子加速到前最后两个半周的运动半径为， 由几何关系有 结合 解得 （4）设粒子离开偏转器的点为，圆周运动的圆心为。由题意知，在上，且粒子飞离磁场的点与在一条直线上，如图所示。 粒子在偏转器中运动的圆心在点，从偏转器飞出，即从点离开，又进入回旋加速器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为，然后轨迹发生偏离，从偏转器的点飞出磁场，那么磁场的最大半径即为 将等腰三角形放大如图所示 虚线为从点向所引垂线，虚线平分角，则有 解得最大半径为 6. （2025·浙江·一模）利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区组成。发射区由正负离子源和半径均为r的两个圆形边界的磁场组成；建立以为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则两圆心分别位于和处，位于处；离子源单位时间内分别向圆形磁场发射质量均为m、速度均为、数量均为N、带电量分别为和的离子，且沿各方向均匀分布，其中沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相反、平行y轴的匀强电场组成，电场上下边界的距离为L，大小为。发电区由两足够长的平行金属板构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R，两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁场区域的大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。 (1)求磁感应强度大小B； (2)从发出的离子沿着与x轴夹角为的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位置坐标； (3)断开开关S，求两板间的最大电压； (4)闭合开关S，调节负载R阻值，待电路稳定后，两板间电压，求此时负载消耗的电功率P。 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力可得 解得磁感应强度大小 （2）如图所示 沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出，可知离子回旋半径等于磁场区域半径，故离子经过圆形磁场后均沿y轴方向射出，根据几何关系有粒子射出圆形磁场边界的横坐标 纵坐标 （3）由动能定理，有 离子进入极板时的速度 S断开时，离子在两板间匀速运动 电压的最大值为 （4）当极板间电压为U时，用以补偿电场力的洛伦兹力所需的速度满足 即 离子做圆周运动的速度分量 其半径 即位置坐标的离子能打到极板形成电流 由式②知，其对应的角度即以及向x轴上方发射的离子均打不到极板 负载R的电流 负载消耗的电功率 7. （2025·浙江·一模）托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，将容器简化为如图甲所示的足够长的空心圆柱，其半径为，为空心圆柱的中心轴。圆柱内部以半径为的圆为边界分成两部分磁场，侧视图如图乙所示，外环分布有垂直纸面向外磁感应强度为的匀强磁场；内环分布有逆时针的环形磁场，磁感应强度大小处处相等且大小为。在点设置一原子核发射装置，可发射电荷量为、质量为的氘核与电荷量为、质量为的氚核，原子核发射时速度方向如图乙中所示沿半径向外，除碰撞外，忽略粒子间的相互作用。 (1)若两个动量大小均为，方向相反的氘核与氚核对心碰撞发生核聚变，生成一个质量为的氦核和质量为的中子，碰后氦核的速度为，求该过程释放的核能； (2)氚核发射速度，需要经过多长时间氚核第一次回到点同一条轴线上的点； (3)假设原子核发射装置只持续稳定发射速度为的氚核粒子，粒子稳定后，轴向单位长度内有个氚核，求圆柱形容器内沿轴线方向的等效电流。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）氘核与氚核的动能分别为， 由动量守恒定律，有 解得 发生核聚变，释放能量，则 （2）设氚核做圆周运动的半径为r，则 解得 根据几何关系可知氚核再次回到内圆边界时，粒子的出射点与入射点对应内圆的圆心角为270°，氚核沿径向进入内圆，在内圆磁场作用下沿轴向运动半个周期后再次回到圆边界沿径向飞出，进入环形磁场B，然后做周期性的运动，运动情况如图甲（侧视图）、乙（正视图）所示 氚核第一次回到D点同一条轴线上的E点，需要在外环中运动四次，在内圆中运动三次，所用时间为 （3）根据电流的定义式得 设氚核在环形磁场中做圆周运动的半径为，氚核沿轴向的平均速度为 又由 得 而， 联立解得等效电流 8. （2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，比例为0；当时，比例为；当时，比例为 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准A点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，由几何规律可知，圆形磁场边界，出射速度与磁场区域半径的夹角等于入射速度与磁场区域半径的夹角 入射时 解得 （3）设粒子从O点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过x轴时所在位置离O点距离为x，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准A点时，刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限，所以粒子在x轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从O点入射时，y方向速度越大，偏转位移x越大，由于初始粒子沿y轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，也即距离x轴的粒子均能从小孔通过，其中距离x轴0.5R时，也即的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （4）由（3）可知，k越大，x越小，对此分为如下三种情况： （i）当从O点沿y轴正向入射时（x最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近A点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在P点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离x大于小孔右边界，故粒子所占比例为 9. （25-26高三上·河北·阶段练习）一质量为、电荷量为的带电微粒在光滑绝缘水平面上运动，其速度可用图示的直角坐标系内的一个点表示，、分别为粒子速度沿两坐标轴的分量，微粒出发时点位于坐标原点。微粒所在空间存在平行于绝缘平面的有界匀强电场，电场强度大小为。微粒在电场中加速一段距离，点沿直线由点移动到点，微粒进入一竖直方向、大小为的匀强磁场，点沿以为圆心的圆弧移动到点。之后微粒进入同时存在匀强电场和匀强磁场区域，磁场的磁感应强度保持不变，点在以为圆心的半圆上移动到点，此时将微粒动能瞬间增加，点由点变到点，继续在以为圆心的圆周上移动，此后每次经过平行于轴的虚线时动能均瞬间增加，且点始终沿以为圆心的圆周移动。求∶ (1)微粒沿直线运动的距离； (2)点由到的过程中微粒的运动时间； (3)点再次回到点时微粒到出发点的距离 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）微粒在匀强电场中直线加速过程，由动能定理 得 （2）由图可知，P点由a移动到b过程，微粒在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律， 可得 圆心角为 解得， （3）P点由a移动到b过程 沿轴方向微粒运动距离 沿轴方向微粒运动距离 进入磁场与电场叠加区域后，点以为圆心移动，可知 微粒沿轴方向以速度做匀速运动，同时，以做匀速圆周运动。 假设经次加速点能回到点，则第次加速后，速度的水平分量为，应为正整数 得 此时 可得 设在点时，微粒的空间位置为，则微粒第次加速后回到点时，微粒恰好在点沿轴正向距离为的某位置；由到 可得 则再次回到点时，离出发点的距离为‍ 10. （2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。 (1)求的大小； (2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至 ①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间； ②求筒壁上落有电子的区域面积S； ③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。 【答案】(1) (2)①；②；③或 【详解】（1）当磁场的磁感应强度为时，电子刚好不会落到筒壁上。则电子以速度垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得 （2）①当，电子轨道半径，如下图所示P点为电子在筒壁落点为等边三角形 所以 ②磁感应强度调整为后，将速度方向与中心轴夹角为θ的电子运动分解为垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解， 电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹圆半径为 根据洛伦兹力提供向心力可得 联立解得， 解得 电子发出到与筒壁相切时间 电子发射方向上下对称，则打在筒壁沿轴方向长度 可知最大面积 ③根据题意可知时电子不受洛伦兹力，可匀速直线运动过点。 当电子水平方向圆周运动周期为 竖直方向匀速直线运动 解得 当n=1时； 当n>1时，电子打在筒壁上，不符合要求。 综上所述：经过O点正上方距离为的点α角的可能值是或。 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题精练05 带电粒子在复合场、组合场中的运动问题 一、带电粒子在组合场中的运动 1.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 项目 垂直进入磁场（磁偏转） 垂直进入电场（电偏转） 情境图 受力 ，大小不变，方向总指向圆心，方向变化，为变力 ，大小、方向不变，为恒力 运动规律 匀速圆周运动， 类平抛运动，， 2.基本思路 二、带电粒子在叠加场中的运动 1.几种简单情况 （1）若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动状态或静止状态。例如电场与磁场叠加时满足，重力场与磁场叠加时满足，重力场与电场叠加时满足。 （2）若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力的方向与速度方向垂直。 （3）若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即。 2.解决带电粒子（带电体）在叠加场中运动的基本思路 三、“配速法”及正则动量的应用 1.配速法 （1）滚轮线（摆线）是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，如图所示。 （2）配速法：若带电粒子在叠加场中做一般曲线运动，运动分析比较复杂，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或静电力，或重力和静电力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 （3）配速法处理叠加场中的滚轮线类问题 常见情况 处理方法 初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个向左的速度和一个向右的速度，和大小相等，且满足，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 初速度为0，不计重力 把初速度0分解为一个向左的速度和一个向右的速度，和大小相等，且满足，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 初速度为0，有重力 把初速度0分解为一个斜向右上的速度和一个斜向左下的速度，和大小相等，且满足与重力及电场力的合力平衡，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 初速度为，有重力 把初速度分解为和，且满足，则粒子的运动可看作以做匀速直线运动和以做匀速圆周运动的合运动 2.正则动量 假设有一个带电粒子，其质量为，电荷量为。在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场中运动。粒子速度为，所受洛伦兹力为，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力 两个方向分别由动量定理得 即， 两边累加得， 正则动量的使用要点在于：要研究哪个方向的位移大小，就在与该方向垂直的方向应用动量定理。相比传统的画出实际运动轨迹的处理方法，引入正则动量概念可以简化求解此类问题的过程，避开了复杂的轨迹描绘和几何运算，只需进行始末状态的分析，更加简洁明晰，从宏观上直达物理问题的本质。 【例题1】（2025·浙江·一模）磁场强化静电除尘装置的核心结构如左图所示。长、宽和高分别为L、2L和h的集尘箱水平放置，在其左侧装入高度为h，宽度为L的粉尘流加速通道，加速通道左右两侧为栅极板，施加的加速电压为U1，粉尘带负电。集尘箱的上、下金属板与直流电源相连（电源的输出电压为U2大小可调），在箱内空间产生方向竖直向上的匀强电场，如右图所示。均匀分布的带电粉尘流从左侧壁飘入加速通道，飘入的初速度可视为零，当粉尘颗粒碰到下板后立即被中和与收集。到达右侧壁的粉尘不被收集穿出盒区。不计粉尘的重力、空气阻力及相互作用力，不考虑电磁场的边界效应。 (1)当U1、U2固定时，请计算说明该集尘箱对质量与带电量不同的粉尘收集率是否相同；（收集率指落到集尘箱下底板的粉尘颗粒占全部进入集尘箱粉尘颗粒的百分比） (2)当处理质量均为m，带电量均为-q的带电粉尘颗粒时，调节， ，若在左图和右图所示的虚框范围（区域Ⅱ）内同时施加一磁感应强度大小，方向竖直向上的匀强磁场，其中ab为下板的I和Ⅱ区域的分界线。 ①求粉尘在区域Ⅱ运动的最长时间； ②求此时粉尘的收集率η； ③若单位时间单位面积进入集尘盒加速通道的电粉尘颗粒数量均为n个，求稳定工作时该装置电场对带电粉尘做功功率。（结果用U1、q、n、L表示） 【例题2】（2025·浙江·二模）如图甲所示，平行金属板M、N水平固定放置，两板间加有如图乙所示的周期性变化的电压，M、N板右侧的BAC区域内有竖直向上的匀强电场，M、N板的右端均在竖直边AB上，A点到M板的距离为h，质量为m、电量大小为e的电子由静止开始，经电压也为的电场加速后，连续不断地沿与M、N板平行的方向从两板正中间射入两板之间，所有电子都能从两板间飞出，且在两板间运动的时间均为时刻射入M、N板间的电子恰好从M板的右边缘飞出，已知其中m，e，h，t₀为已知量，不计电子的重力，求： (1)金属板的板长； (2)M、N板间的距离; (3)要使所有的电子均不能从AC边射出，BAC区域内的匀强电场的电场强度至少多大； (4)在（1）（2）的条件下，若将BAC区域改为垂直纸面向里磁感应强度为的匀强磁场，已知点A到M、N板右端的水平距离为0（即电子从板右端射出后立即进入磁场），AC的长度足够长，求从AC边界射出磁场的电子占电子数量的百分比。 1. （2025·浙江·一模）如图所示，在xOy平面内，有一宽度为b的粒子源持续不断地沿x轴正方向发射速率均为v0带正电的粒子，在粒子源的右侧，有一个半径为R的圆形匀强磁场，匀强磁场的方向垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为B1=B，其中平行于x轴正方向正对圆形磁场圆心O1射入磁场的粒子经磁场偏转后恰沿y轴的负方向从O点射出。x轴下方有一与其平行的直线区域AC，AC与x轴相距为d，x轴与直线AC间区域分布有平行于y轴负方向的匀强电场，电场强度大小，已知，不计粒子的重力，忽略电子间相互作用和各场的边缘效应。求： (1)粒子的比荷； (2)粒子流从O点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围； (3)粒子离开匀强电场时速度的大小以及与AC夹角的最小值β的余弦值； (4)在AC下方区域加另一个垂直于纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小B2=kh（其中h为粒子离AC的距离，），求粒子能到达离AC的最远距离hm。 2. （2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 3. （2025·浙江宁波·一模）如图所示，在平面（纸面）内存在磁感应强度大小为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，垂直纸面的两块金属薄板平行正对放置，两板高度均为，间距也为，其中板接地，板与灵敏电流计相连并接地。当光照射板右侧面时，板整个右侧面都能发射质量为、电荷量为的电子，电子的速度大小范围为，方向与轴正方向间的夹角范围为，A板左、右两侧面均可接收电子。已知，忽略电子重力和电子间的相互作用力。 (1)某电子从板上的点以射出后能到达板上的点，、两点的坐标相同，求该电子的速度大小； (2)若向右平移A板到某个位置时，灵敏电流计示数恰好减为0，求此时K、A两板的间距； (3)保持K、A两板之间的距离为。设当光照射K板时，板立即发射电子。若某时刻起光照射板，则经多长时间电流计开始有电流流过；若某时刻起停止光照，则流过电流计的电流还能持续多长时间。 4. （2025·浙江杭州·一模）某种显示器内部纵剖面结构简图如图甲所示。电子枪的灯丝通电后持续逸出电子（初速度可忽略），电子先经电场加速后，速度大小为，再经磁透镜组汇聚后，形成极细电子束，且电子速度大小不变，方向沿；最后该电子束经圆形匀强磁场偏转后打在屏幕上形成亮点，磁场区域的圆心为、半径为、磁场方向垂直纸面。屏幕是以点为球心、为半径的球面，为屏幕中心，、分别为屏幕的最高点和最低点，且间距也为。各器件、电场和磁场均关于主轴对称。已知电子质量为、电荷量为，忽略电子间的相互作用。 (1)求加速电场的电压； (2)若电子束一直打在点，判断此时圆形磁场的方向并求出其磁感应强度大小；（已知） (3)若要在时间内让屏幕上的亮点从点沿圆弧匀速率移到点，取垂直纸面向外为正方向，求圆形磁场的磁感应强度随时间变化的关系；（结果中的角度用弧度表示；已知远大于电子在圆形磁场中运动的时间） (4)如图乙所示是磁透镜组中某个磁透镜的原理图，其电子通道是一个圆柱体，内部存在从左向右逐渐增强的磁场，其左端磁感应强度略小于右端，计算时可近似认为整个区域的磁感应强度大小均为，为一条与主轴夹角为（很小，，）的直磁感线。已知电子束垂直通道的左侧端面入射，入射时电子束关于对称，其直径为，某个位于电子束边缘的电子从点射入并从点离开。求圆柱体长度的最小值以及取最小值时电子束从右端面飞出时的直径。 5. （2025·浙江·一模）如图1所示，回旋加速器由两个D型盒组成。圆形匀强磁场区域以点为圆心，磁场垂直纸面，磁感应强度大小为，加速电压的大小为，质量为、电荷量为的粒子从点附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过点绕点做圆周运动，半径为。为将粒子引出磁场，在位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示。偏转器的两极板和厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为、圆心角为，当、间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计、间的距离，且忽略粒子在电场中的加速时间，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。求∶ (1)粒子加速到点所需要的时间； (2)粒子在圆弧形狭缝中运动的轨迹半径； (3)“静电偏转器”板的最大厚度； (4)磁场区域的最大半径。 6. （2025·浙江·一模）利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区组成。发射区由正负离子源和半径均为r的两个圆形边界的磁场组成；建立以为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则两圆心分别位于和处，位于处；离子源单位时间内分别向圆形磁场发射质量均为m、速度均为、数量均为N、带电量分别为和的离子，且沿各方向均匀分布，其中沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相反、平行y轴的匀强电场组成，电场上下边界的距离为L，大小为。发电区由两足够长的平行金属板构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R，两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁场区域的大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。 (1)求磁感应强度大小B； (2)从发出的离子沿着与x轴夹角为的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位置坐标； (3)断开开关S，求两板间的最大电压； (4)闭合开关S，调节负载R阻值，待电路稳定后，两板间电压，求此时负载消耗的电功率P。 7. （2025·浙江·一模）托卡马克装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器，将容器简化为如图甲所示的足够长的空心圆柱，其半径为，为空心圆柱的中心轴。圆柱内部以半径为的圆为边界分成两部分磁场，侧视图如图乙所示，外环分布有垂直纸面向外磁感应强度为的匀强磁场；内环分布有逆时针的环形磁场，磁感应强度大小处处相等且大小为。在点设置一原子核发射装置，可发射电荷量为、质量为的氘核与电荷量为、质量为的氚核，原子核发射时速度方向如图乙中所示沿半径向外，除碰撞外，忽略粒子间的相互作用。 (1)若两个动量大小均为，方向相反的氘核与氚核对心碰撞发生核聚变，生成一个质量为的氦核和质量为的中子，碰后氦核的速度为，求该过程释放的核能； (2)氚核发射速度，需要经过多长时间氚核第一次回到点同一条轴线上的点； (3)假设原子核发射装置只持续稳定发射速度为的氚核粒子，粒子稳定后，轴向单位长度内有个氚核，求圆柱形容器内沿轴线方向的等效电流。 8. （2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 9. （25-26高三上·河北·阶段练习）一质量为、电荷量为的带电微粒在光滑绝缘水平面上运动，其速度可用图示的直角坐标系内的一个点表示，、分别为粒子速度沿两坐标轴的分量，微粒出发时点位于坐标原点。微粒所在空间存在平行于绝缘平面的有界匀强电场，电场强度大小为。微粒在电场中加速一段距离，点沿直线由点移动到点，微粒进入一竖直方向、大小为的匀强磁场，点沿以为圆心的圆弧移动到点。之后微粒进入同时存在匀强电场和匀强磁场区域，磁场的磁感应强度保持不变，点在以为圆心的半圆上移动到点，此时将微粒动能瞬间增加，点由点变到点，继续在以为圆心的圆周上移动，此后每次经过平行于轴的虚线时动能均瞬间增加，且点始终沿以为圆心的圆周移动。求∶ (1)微粒沿直线运动的距离； (2)点由到的过程中微粒的运动时间； (3)点再次回到点时微粒到出发点的距离 10. （2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。 (1)求的大小； (2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至 ①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间； ②求筒壁上落有电子的区域面积S； ③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。 学科网（北京）股份有限公司 $