精品解析：浙江省杭州市临平区树兰实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期末独立作业 （1月）

九年级数学期末独立作业 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列说法正确的是 （ ） A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件 B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件 D. 明天太阳从东方升起是随机事件 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A. “经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件, 说法错误. B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次,说法错误. C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件,说法正确. D. 明天太阳从东方升起是必然事件.说法错误. 故选C. 2. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是， 故选：A． 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 直接根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，可得， 故选：D． 4. 和是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．先根据三角形中位线的性质得到，从而得到相似比，再利用位似的性质得到，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴， ∴和的相似比是， ∴，即， 解得：． 故选：D． 5. 在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题关键． 根据弧长公式计算圆心角度数即可． 【详解】解：设所对圆心角的度数为n， 由题意，得， 解得， 故选：B． 6. 如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， 半径弦于点，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7. 一个不透明袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．根据统计图找到摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2， ∵袋中白球的个数为4， ∴估计袋子中共有个球， 则可估计袋子中黑球的个数为个， 故选A． 8. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； 由图象可知，当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D． 9. 已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，根据已知条件列不等式即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵和两点都在直线的下方，且， ∴, ∴， 考虑函数，当时，， ∴的解集表示位于横轴下方的图象的自变量的取值， ∴①， ∵数（a是常数，）的图象上有和两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②， 由①②得，． 故选：B． 10. 如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，和正切的定义，利用角平分线的性质定理构造相等线段求出是解题关键． 过点O作的垂线，先利用三线合一和勾股定理，求出和，再利用角平分线定理，通过线段关系求出，即可求出正切值． 【详解】解：∵，是角平分线， ∴，， ∴， 如图，过点O作，交于点F， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 非选择题部分 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式与图象顶点坐标的关系是解决问题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：二次函数是顶点形式，则其图象的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中（卡片只有数字不同，其余完全一样），随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 5 2 3 5 共有6种等可能出现的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有，，共2种 ， ∴卡片上数字和为偶数的概率为， 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是_________． 【答案】136°． 【解析】 详解】由圆周角定理得，∠A=∠BOD=44°， 由圆内接四边形的性质得，∠BCD=180°-∠A=136° 【点睛】本题考查了1.圆周角定理；2. 圆内接四边形的性质. 14. 黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则___________．（答案保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的定义，掌握黄金分割点所分线段之间的比例关系是解题关键． 根据黄金分割点的定义，表示出，，之间的比例关系，再求解即可（也可直接利用黄金分割比，计算出，再计算出）． 【详解】解：由题意，可知， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 16. 如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，定弦定角求点圆最值，通过直角找到点Q的运动轨迹是解题关键． 根据，可知点Q在以为直径的圆上，再利用点圆最值求出的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D， 如图，当点Q在上时最小，连接， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴，即半径为3， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知一个布袋里装有3个除颜色外，其余均完全相同的球，其中2个红球，1个白球． （1）求摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．列表或画树状图求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查公式法求概率和列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式求概率即可； （2）根据列表法或画树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：由概率公式可得，摸出一个球是红球的概率是； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 第二次 第一次 白 红 红 白 白，白 白，红 白，红 红 红，白 红，红 红，红 红 红，白 红，红 红，红 由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种， 故两次都摸到红球的概率为． 18. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6，桥洞的跨度为12，如图建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）求离对称轴2处，桥洞离水面的高是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解； （2）根据对称轴为，得出对称轴右边2处为，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴，解得， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为， 将代入， 可得，解得， 答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意并求出抛物线的解析式． 19. 如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （2）由题意可得，，再由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：若选择①， ∵，， ∴； 若选择②， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若选择③， ∵， ∴， ∵， ∴； 若选择④， ∵，而夹角不一定相等， ∴与不一定相似； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，是中的中点，点在上，交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角、弧和弦之间的关系，相似三角形的判定与性质，根据圆周角、弧和弦之间的关系，找到相等角从而得到相似三角形是解题关键． （1）先利用点E为中点，得到．从而得到，再借助公共角即可证明结论； （2）利用（1）中的相似三角形得到对应线段的比例关系，再代入得到关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ∴， ∴， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得． ∴，即， ，， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴． 21. 如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段的长． （2）若四边形的面积为32，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行线的性质找到相似三角形是解题关键． （1）利用四边形是平行四边形，通过平行关系证出，，再通过相似三角形性质，通过比例关系求解即可； （2）利用（1）中的相似三角形，求出图中三角形的面积关系，再求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，∴． ∵， ∴， ∴，∴． 【小问2详解】 由（1），得，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过点作于点，利用余弦求，即可得的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先求出和，再求出，利用得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为． 【小问2详解】 解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． （2）是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）①最大值为，② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标系中三角形面积的求解，掌握二次函数对称轴的计算和坐标系中三角形面积的表示是解题关键． （1）代入点的坐标，得到与的关系，再通过对称轴为直线求解即可； （2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可； ②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 24. 如图，四边形为的内接四边形，且． （1）求的度数． （2）若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． （3）如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【答案】（1） （2）①，②的最大值为10 （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，根据60°角构造等边三角形从而将线段进行转化是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可． 【小问1详解】 解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得， ∴； ②连接，延长至点F，使得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； 【小问3详解】 解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期末独立作业 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列说法正确的是 （ ） A. “经过有交通信号路口遇到红灯”是必然事件 B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次 C. 投掷一枚硬币正面朝上是随机事件 D. 明天太阳从东方升起是随机事件 2. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则（ ） A B. C. D. 4. 和是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 7. 一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 8. 二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（ ） A B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 12. 在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中（卡片只有数字不同，其余完全一样），随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为______． 13. 如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是_________． 14. 黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则___________．（答案保留根号） 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 16. 如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知一个布袋里装有3个除颜色外，其余均完全相同的球，其中2个红球，1个白球． （1）求摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．列表或画树状图求两次都摸到红球的概率． 18. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6，桥洞的跨度为12，如图建立直角坐标系． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）求离对称轴2处，桥洞离水面的高是多少？ 19. 如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 20. 如图，是中的中点，点在上，交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且． （1）若，求线段的长． （2）若四边形面积为32，求的面积． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． （2）是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 24. 如图，四边形为的内接四边形，且． （1）求的度数． （2）若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． （3）如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $