专题14 新定义问题 重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题14 新定义问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形与全等三角形中新定义问题…………………………………… 1 题型2：整式的乘法与因式分解中新定义问题………………………………… 3 题型3：分式中新定义问题……………………………………………………… 6 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 8 重难点题型分类 【题型1：三角形与全等三角形中新定义问题】 【例1】定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【变式1-1】对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（       ） A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形 【变式1-2】定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为，那么这个“特征角”的度数为 ． 【变式1-3】定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． (3)如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 【题型2：整式的乘法与因式分解中新定义问题】 【例1】定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【变式1-2】我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ． 【变式1-3】对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※． (1)若1※，3※，求a、b的值； (2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系． 【例2】我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (2)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 【变式2-1】（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【变式2-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【变式2-3】小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为______，“对称值”为______； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，求的值以及多项式的“对称值”； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是，求的值． 【题型3：分式中新定义问题】 【例1】对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】定义：，计算： ． 【变式1-2】定义两种运算：，，则 ． 【变式1-3】定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【例2】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）； (2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值； ②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式． 【变式2-1】“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数m的值； 【变式2-2】我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 能力提升 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 2．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 二、填空题 4．（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 7．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）我们规定：一个四位数，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是 ；M是一个“平方奥秘数”，设，；若是一个完全平方数，且能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是 ． 三、解答题 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 11．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 12．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 13．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 14．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 15．（24-25八年级下·山东·期末）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 17．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 18．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题14 新定义问题目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形与全等三角形中新定义问题…………………………………… 1 题型2：整式的乘法与因式分解中新定义问题………………………………… 6 题型3：分式中新定义问题……………………………………………………… 15 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 22 重难点题型分类 【题型1：三角形与全等三角形中新定义问题】 【例1】定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则______． (2)如图，是直角三角形，． ①若是的角平分线，试说明是否为“准互余三角形”． ②若E是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是，求解即可； （2）①由题意可得，所以只要证与满足，即可解答，②由题意可得，所以分两种情况，，，分别求解即可． 【详解】（1）解： 是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”， ②∵， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ， ∴， 如图： 是“准互余三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为或． 【变式1-1】对于平面直角坐标系内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，下列四个结论中，不正确的结论是（       ） A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形 【答案】A 【分析】不妨设，，，则，，，讨论，的值即可判定． 【详解】解：不妨设，，，则，，， 由，可知，即； A.当时，无解，则不可能是锐角三角形，故A错误； B.当，时，成立，此时为直角三角形，故B正确； C.当时，为钝角，且成立，故C正确； D.当，时，成立，此时为等腰三角形，故D正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体，考查新定义，解题的关键是理解新的定义，同时考查了学生的推理能力． 【变式1-2】定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为，那么这个“特征角”的度数为 ． 【答案】 或或 【分析】根据“特征角”的定义，结合直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】①当时，则另一个内角， ②当时，则另一个内角， ③当第三个内角为时，， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上可知：这个“特征角”的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 【变式1-3】定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． (3)如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）证明即可求证； （）由“同源三角形”的定义和可得，由得，再根据和三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求解； 本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和是“同源三角形”， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与相交于点， ∵和是“同源三角形”， ∴， ∵， ∴， 由（）可知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 由（）可知， ∴，， ∵的中点分别为， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【题型2：整式的乘法与因式分解中新定义问题】 【例1】定义运算为：若（其中：，，以下同），则．如，则．设，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法． 根据题意得到，，进而得到，根据定义可知 【详解】解：∵若（其中：，，以下同），则．设，， ∴，， ∴， ∵若（其中：，，以下同），则， ∴ 故选：B． 【变式1-1】我们定义：，若，则的值为（   ） A．4 B．16 C．64 D．256 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出． 由定义可得，，． 【详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以 故选：C． 【变式1-2】我们定义：三角形，五角星，若，则的值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了新运算定义，同底数幂相乘，幂的乘方，能灵活运用幂的运算法则进行计算是解此题的关键． 根据题意得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 所以， 即， 所以 ， 故答案为：32． 【变式1-3】对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※． (1)若1※，3※，求a、b的值； (2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的新运算可得，，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）利用定义的新运算得出等式，利用因式分解变形，即可解答． 【详解】（1）解：※，※， ，， 即， 解得：， 的值为，的值为； （2）， ， ※※， ， ， ， ， ， ， 、之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． 【例2】我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (2)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)2 (2)28 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键． （1）先利用完全平方公式展开A项多项式，再合并A，B多项式，根据“对消多项式”的定义得出，．最后求出常数项即可． （2）先根据多项式乘法对D项展开，根据“对消多项式”的定义得出，然后再得出，然后代入代数式，利用完全平方公式进一步得出． 【详解】（1）解：，， ， 与B互为“对消多项式”， ， 解得，． ， 它们的“对消值”是2； （2）解：， ， 与D互为“对消多项式”且“对消值”为， ，， ， 代数式的最小值为28． 【变式2-1】（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 【变式2-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）已知是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； 探究问题： （2）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由； 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最大值． 【答案】（）；（）；（）的最大值为． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把分成和即可； （）由，然后根据为“完美数”，从而求出的值； （）先求出，则，然后由，从而即可求解． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ， ∵为“完美数”， ∴， ∴； （）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【变式2-3】小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为______，“对称值”为______； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，求的值以及多项式的“对称值”； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是，求的值． 【答案】(1)和，0 (2)当，“对称值”为2；当，“对称值”为； (3)，， 【分析】本题考查了整式的知识，因式分解，乘法公式，掌握“零值”和“对称值”定义是解题关键． （1）由，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则，可知，，得，即，可求得或，在求出对应的即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为6，得，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为， 故答案为：和，0． （2）∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则， ∴， ∴，， 则，即， ∴， ∴或， ∴或， 当“零值”为时，，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为2；当，“对称值”为； （3）∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴． ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴， ∴． ∴， ∴，， 故，， 【题型3：分式中新定义问题】 【例1】对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，可设，则，由可得，可得，再根据新定义计算得到结果． 【详解】解：设，则， 则， ， 则的值为． 故选：C 【变式1-1】定义：，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂，异分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，得，再进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 【变式1-2】定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可； （2）根据新定义可得原式等于，据此通分求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得， ． 【例2】定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”，如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． (1)分式与分式________“等和积分式”（填“是”或“不是”）； (2)①若分式的“等和积分式”为A，求A的值； ②观察①的结果，寻找规律，求分式的“等和积分式． 【答案】(1)是 (2)①；②分式的“等和积分式”为 【分析】本题考查分式的运算，掌握“等和积分式”的定义，是解题的关键； （1）求出两个分式的和以及两个分式的积，进行判断即可； （2）①根据“等和积分式”的定义，列出方程进行求解即可；②同①进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ； ∴分式与分式是“等和积分式”； 故答案为：是； （2）①分式的“等和积分式”为，则， ， ； ②分式的“等和积分式”为，理由如下： 设分式的“等和积分式”为，则， ， ， 分式的“等和积分式”为． 即． 【变式2-1】“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于的二元一次方程与是“相伴方程”，求正整数m的值； 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）2或3． 【分析】（1）先依次求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可得出结论． （2）根据两个方程有相同的整数解，列出关于x与m的式子，根据x为整数，m为正整数，进而确定m的值． 【详解】解：（1）一元一次方程与分式方程不是“相似方程”． 理由如下： 解一元一次方程，解得， 解分式方程，解得， 检验：当，， ∴原分式方程无解， ∴一元一次方程与分式方程不是“相似方程”． （2）由题意，两个方程有相同的整数解，即， ， 为整数，，2，，，，3，0，， 又取正整数，或3． 【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握相关概念以及各个方程的求解方法． 【变式2-2】我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ② ， 又是整式， 是“巧分式”． 能力提升 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏镇江·期中）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（   ） A． B．26 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的运算． 根据“互助数”的定义，结合已知条件建立方程，通过代数变形和不等式求解确定p的取值范围，并验证选项中的可能值． 【详解】解：∵和为“互助数”， ∴， 整理得 ∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得或， ∴或 四个选项中只有3和26符合题意， 当时，，此时，，分母无意义，舍去． 当时，，满足，且， 故选：B． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·湖北·模拟预测）定义：若满足能被和的最大公因数的平方整除，即为整数，则称为傅里叶数组，其中表示和的最大公因数． 例如：在中，则，所以为傅里叶数组． 已知是1到15（包含1、15）之间的整数，且． 则在所有满足条件的数对中，傅里叶数组的个数为（   ） A．73 B．75 C．82 D．95 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，分，，……，，一共14种情形，讨论b的值，根据傅里叶数组的定义确定每种情形下的傅里叶数组的个数即可得到答案． 【详解】解：当时，的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为14个； 当时，若b为偶数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或或，共3个； 当，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，若b为3的倍数，则的最大公因数即为3，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有或，共2个； 当时，若b不为3的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为4的倍数，则的最大公因数即为4，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则有，共1个； 当时，若b为偶数，且b不是4的倍数，则的最大公因数即为2，则此时要满足能被整除时，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为6个； 当时，若b为5的倍数，则的最大公因数即为5，则此时要满足能被整除时，才符合题意，则此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，若b不为5的倍数，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为8个； 当时，若b为6的倍数，则的最大公因数即为6，则此时要满足能被整除时，才符合题意，此时没有符合题意的； 当时，若b为奇数且b不能被3整除，则的最大公因数即为1，则此时一定能被整除，则此时傅里叶数组的个数为3个； 当时，若b为奇数且b能被3整除，则的最大公因数即为3，则此时一定能被整除，此时没有符合题意的； 当时，若b为偶数，且b不能被6整除，则的最大公因数即为2，则此时一定能被整除，则或，共2个； 同理当时，此时傅里叶数组的个数为7个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为4个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 当时，此时傅里叶数组的个数为2个； 当时，此时傅里叶数组的个数为1个； 综上所述，一共有个， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 7．（2025·江苏常州·二模）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、新定义运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键．根据题意确定关于的分式方程，再在等号两边同时乘以，将分式方程化为一元一次方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 等号两边同时乘以，， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该方程的解， ∴该方程的解为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）我们规定：一个四位数，各个数位上的数字是不完全相同的正整数，若满足，则称这样的数M为“平方奥秘数”．例如：对于3214，，所以3214不是“平方奥秘数”；对于4515，，所以4515是“平方奥秘数”．根据上述定义，满足个位与千位相同的最大“平方奥秘数”是 ；M是一个“平方奥秘数”，设，；若是一个完全平方数，且能被8整除，则满足条件的所有M中，M的最大值是 ． 【答案】 9969 6514 【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解题中新定义，熟练进行整式的运算是解题的关键．设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为，由题意得，根据最大“平方奥秘数”，当时，求得，由此可确定b与c的值，从而确定“平方奥秘数”；当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也是小于上面求得的“平方奥秘数”，故可得最大“平方奥秘数”；由是一个完全平方数可求得，由及得，可得为偶数，进而得的值，根据“平方奥秘数”的意义可得a、d的取值，从而得b、c的取值，最后可得“平方奥秘数”中的最大数． 【详解】解：设满足个位与千位相同的“平方奥秘数”为， 由题意得：，即； 当为最大“平方奥秘数”时，若，则， ∴； 要满足为最大“平方奥秘数”，则， ∴“平方奥秘数”为9969； ∴当a取小于9的正整数时，若存在“平方奥秘数”，它也不是最大“平方奥秘数”， 故最大“平方奥秘数”为9969； ∵“平方奥秘数”各个数位上的数字是不完全相同的正整数， ∴a，b，c，d四个数中最多三个取9，另一个取8时，四个数的和最大为35，四个数中最多三个取1，另一个取2，四个数的和最小为5， 即， ∴； ∵是一个完全平方数， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∴ ， ∵是8的倍数， ∴必为偶数， ∴b，c同奇或同偶； ∵， ∴， ∴， ∴或4或6； 对应地，或12或10； 当，时， 由，得，不合题意； 当，时， 由，得，不合题意； 当，时， 由，得，合题意； ∴； 此时，4，3，2，1，，2，3，4，5， 对应地，“平方奥秘数”为6514，6424，6334，6244，6154，“平方奥秘数”中的最大数为6514． 故答案为：9969，6514． 三、解答题 9．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）证明和中三个角分别对应相等即可得到结论； （2）分别证明，，，可得与为均等三角形，证明，可得，可得为等腰三角形，从而可得结论； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“均等三角形”以及“均等分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 11．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 12．（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则． 13．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 14．（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 15．（24-25八年级下·山东·期末）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 【答案】(1)②④ (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元一次方程方程，解决本题的关键是对新定义“n倍和积分式”的理解与应用，涉及分式的运算、方程求解及代数变形能力． （1）逐一验证各选项的和与积是否成固定倍数关系； （2）正确通分并化简，注意分母变形技巧； （3）设未知分式A，建立方程并解出A； （4）通过分式恒等条件，建立关于p和q的方程，消去n后求代数式的值． 【详解】（1）解：对于①，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于②，， ， 所以与互为“4倍和积分式”； 对于③，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于④，， ，， 所以与互为“倍和积分式”； 故答案为：②④； （2）解：因为与互为“n倍和积分式”， 所以， ， ， 所以与互为“倍和积分式”， n的值为， 故答案为：； （3）解：分式与分式互为“倍和积分式”， 所以，即， 所以， 所以， ， 故答案为：； （4）解：若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”， 所以 ， ， 所以可得：，， 即，． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）对于整数、定义运算：（其中、为常数），如． (1)填空：当时，______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的有理数运算、幂得乘方、同底数幂的乘除法运算． （1）先得到新定义运算的式子，再计算即可； （2）先根据幂的乘方得到，，再逆用幂的乘、除法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴，， ∴， ∴ ∴． 17．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $