8.1.3三角形的三边关系（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“三角形的三边关系”核心知识点，系统梳理“任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”定理，以“两点之间线段最短”为推导依据，构建从定理到判断线段组成三角形、确定第三边取值范围及稳定性应用的学习支架。 资料特色在于结合池塘距离估计、晾衣架设计等生活实例培养数学眼光，通过简便判定方法等逻辑推理发展数学思维，以第三边取值公式等模型化表达强化数学语言。课中例题分类助教师高效授课，课后解析与答案帮学生查漏补缺。

8.1.3三角形的三边关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形三边的基本关系定理 核心结论 1：三角形任意两边之和大于第三边。 示例：在△ABC中，AB+BC>AC，AB+AC>BC，BC+AC>AB。 核心结论 2：三角形任意两边之差小于第三边。 三边关系的推导依据 推导原理：两点之间，线段最短。 几何意义：三条线段要首尾顺次相接组成三角形，必须满足较短两边的长度和能 “跨过” 最长边。 三边关系的核心应用 判断三条线段能否组成三角形 简便判定方法：只需验证较短两边之和大于最长边，无需逐一验证三组关系。 示例：线段长 3cm、4cm、5cm，3+4>5，可以组成三角形；线段长 2cm、2cm、5cm，2+2<5，不能组成三角形。 确定三角形第三边的取值范围 设三角形两边长为a、b（a>b），第三边长为c，则取值范围为 a−b<c<a+b。 型 习 练 题 构成三角形的条件 1．老师让同学们分别将一根长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．有长度分别为、、、的四根彩色木条，任取三根组成一个三角形有（   ）种不同的组法． A．2 B．3 C．4 D．5 4．以长为、、、的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 确定第三边的取值范围 6．如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 7．设的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，则第三边c的长度取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知三角形的三边为a．b．c，其中与．c是奇数，则c的长度为(   ) A．1 B．3 C．5 D．7 9．在中，，，并且为奇数，那么的周长为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 三角形三边关系的应用 10．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A． B． C． D． 11．如图，为了估计池塘岸边，的距离，小芳在池塘的一侧选取一点，测得米，米，，间的距离不可能是（   ） A．40米 B．25米 C．10米 D．5米 12．已知三角形两边的长分别是2和6，第三边的长为偶数，则第三边的长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 13．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．如图是折叠凳及其侧面上半部分三角形的示意图．若，则折叠凳的宽可能为（   ） A． B． C． D． 15．某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 三角形、四边形的稳定性、不稳定性 16．小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（    ）． A． B． C． D． 17．如图，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形的稳定性 18．2025年3月23日，全国“沙戈荒”大型风光电基地关键配套工程一金塔千伏输变电工程正式投运，成为今年河西地区首个建成投运的千伏输变电工程．其中的高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用的数学性质是（　　） A．三角形内角和是 B．三角形具有稳定性 C．三角形的轴对称性 D．三角形的三边关系 19．下列物体中，没有利用三角形的稳定性的是（　　） A．伸缩门 B．衣架 C．折叠伞的骨架 D．塔吊 20．如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C D A C B C C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C B D A C D B A B 1．C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 2．B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，利用三角形三边的关系可知，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．据此判断． 【详解】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和上面那根小棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根小棒长，这两段相减比上面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形； C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两短边之和大于第三边得，可组成三角形的组合有： ①、、； ②、、； ③、、； 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 从四条线段中任取三条，判断是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）． 【详解】解：取、、， ，不满足任意两边之和大于第三边，不能构成三角形． 取、、， ，，； ，，，能构成三角形． 取、、， ，，； ，，，能构成三角形． 取、、， ，，； ，，，能构成三角形． 综上，能构成三角形的有种情况． 故选：． 5．D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，灵活运用“两边之和大于第三边”是解题的关键． 根据两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，与两边之和大于第三边矛盾，故A不符合题意； B．由，与两边之和大于第三边矛盾，故B不符合题意； C．由，与两边之和大于第三边矛盾，故C不符合题意； D．由，符合两边之和大于第三边，故D符合题意． 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 7．C 【分析】本题综合考查绝对值的非负数的性质和三角形三边关系，注意绝对值和平方的非负性． 根据非负数的性质求出和的值，再利用三角形三边关系求解c的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 根据三角形三边关系：， ∴， 故选：C 8．B 【分析】本题考查了三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），解题的关键是根据三边关系确定第三边的取值范围，再结合“是奇数”的条件筛选出符合要求的长度． 先根据三角形三边关系，用已知边、列出不等式，求出的取值范围；再从取值范围内找出奇数，匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，得，即，且为奇数，符合条件的选项只有B． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再根据第三边是奇数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， ∵为奇数， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ， ，间的距离可能是． 故选：C． 11．D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故，间的距离不可能是5米． 故选：D． 12．C 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是2和6， ∴第三边， 即第三边， ∵第三边的长为偶数， ∴第三边的长是6， 故选：C 13．B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可. 【详解】解：选项A：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项B：，，，最长边，，等于第三边，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项D：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 故选：B 14．D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴折叠凳的宽可能为； 故选D． 15．A 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 16．C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 17．D 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用． 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，则可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性． 故选：D 18．B 【分析】本题考查三角形的基本性质在实际生活中的应用．关键需理解各选项对应的几何性质及其适用场景． 【详解】解：高压电线塔采用三角形结构设计，主要利用三角形的稳定性． 故选：B． 19．A 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：A、伸缩门，利用了四边形的不稳定性，没有利用三角形的稳定性，此选项符合题意； B、衣架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； C、折叠伞的骨架，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意； D、塔吊，利用了三角形的稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 20．B 【分析】本题考查了四边形的性质，根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案，熟练掌握四边形的相关知识的解题的关键． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的数学原理是四边形的不稳定性， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $