期末复习训练 特殊平行四边形与一元二次方程 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

期末复习之特殊平行四边形与一元二次方程2025-2026学年 北师大版九年级上册 一、选择题 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3 2．下列说法错误的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 3.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 5.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m≥ B．m＜ C．m＝ D．m＜﹣ 6．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 7.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（   ）    A．4 B．8 C．16 D．18 9.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(        ) A． B． C． D． 10.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 12．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠A＝30°，D为斜边AB的中点．若BC＝2，则CD＝_____． 13．若方程的两根，则的值为__________． 14．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ． 15.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 16．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 三、解答题 17.用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 18.已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB． 证明：（1）AE=DC； （2）四边形ADCE为矩形． 20.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 21.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 22.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 【答案】 一、选择题 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3 【答案】B 2．下列说法错误的是（    ） A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】C 3.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 【答案】D 5.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m≥ B．m＜ C．m＝ D．m＜﹣ 【答案】B 6．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为4，则矩形ABCD的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 7.若关于x一元二次方程的根为，，则下面成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（   ）    A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】A 9.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 10.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 二、填空题 11.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________． 【答案】 12．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，∠A＝30°，D为斜边AB的中点．若BC＝2，则CD＝_____． 【答案】2 13．若方程的两根，则的值为__________． 【答案】5 14．如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是 ． 【答案】 15.九年级文学小组的同学在举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，则全组共有______名同学． 【答案】12 16．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】10 三、解答题 17.用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ，． （2）解： ， ， ， ， 或， ，． 18.已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 解：（1） 由于方程有实数根，所以根的判别式，则 解得 （2）由一元二次方程根与系数关系得 而 解得 由于符合题意，所以k的值为4． 19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB． 证明：（1）AE=DC； （2）四边形ADCE为矩形． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∵AE∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴BD=AE， ∵BD=DC， ∴AE=DC． （2）∵AE∥BC，AE=DC， ∴四边形ADCE为平行四边形． 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCE为矩形． 20.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ （1）解：设每次下降的百分率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴每次下降的百分率为． （2）解：设每千克应涨价a元，由题意，得：， 整理，得， 解得：，， 又∵采取适当的涨价措施， ∴，即涨价5元． 21.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）略 （2）36 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形； （2）解：如图，连接AF交BE于M，过A作AN⊥BC于N， 由（1）可知，四边形ABFE是菱形， ∴BF＝AB＝5，BM＝EM＝BE＝4，AM＝FM，AF⊥BE， ∴∠AMB＝90°， ∴AM＝＝＝3， ∴AF＝2AM＝6， ∵AN⊥BF， ∴S菱形ABFE＝BF•AN＝AF•BE， 即5AN＝×6×8， 解得：AN＝， ∵BC＝BF+CF＝5+＝， ∴S平行四边形ABCD＝BC•AN＝×＝36． 22.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM； （2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM， ∵MF＝CM， ∴NE＝FM， ∵NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF， ∴平行四边形MENF是菱形； ∵M为AD中点， ∴AD＝2AM， ∵AB：AD＝1：2， ∴AD＝2AB， ∴AM＝AB， ∵∠A＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°， 同理∠DMC＝45°， ∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $