期末专题突破：二次函数综合题专题2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册期末专题突破：二次函数综合题专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1.把下列二次函数化为的形式． ； ； ． 2. 用描点法画出的图象． 结合图象，回答下列问题：图象的开口方向：          ； 图象的对称轴：          ； 图象的顶点坐标：          ； 当时，随的增大而          ； 当           时，函数有最          值          ． 3.已知抛物线经过点，，且函数有最小值． 写出抛物线的顶点坐标； 求抛物线的解析式． 4.已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等如图，点的坐标为，是抛物线上一个动点，求周长的最小值． 5.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，四边形为平行四边形． 直接写出，，三点的坐标； 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式． 6.如图，已知直线与抛物线相交于，两点，且点为抛物线的顶点，点在轴上． 求抛物线的解析式； 若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 7.在平面直角坐标系中，设二次函数若函数的图象经过点，求函数的表达式；在的条件下，当时，求的取值范围； 若一次函数的图象经过图象的顶点，探究实数，满足的关系式． 8.已知二次函数是常数． 求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； 把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 9.某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养种白鹅获得的利润万元与投资金额万元的函数关系式为，饲养种白鹅获得的利润万元与投资金额万元的函数关系式为画出两函数的图象如图所示． 求函数，的表达式 王大伯计划明年投资万元饲养，这两种白鹅根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大最大总利润是多少 10.如图，一小球从斜坡点以一定的速度和方向弹出，小球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离米与小球飞行的高度米的变化规律如表．           ，          小球的落点是点，求点的坐标 小球飞行的高度米与飞行时间秒满足关系：．小球飞行的最大高度为____米求的值． 11.已知二次函数． 求二次函数的图象的顶点坐标； 在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； 当在什么范围时，随着的增大而减小？ 12.如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． 求点的坐标； 求二次函数的解析式； 已知为抛物线与轴的交点，设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 13.某兴趣小组通过实验研究发现：当音量单位：满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系当音量为时，听觉舒适度为；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．   求该二次函数的解析式，并在图的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离单位：的关系如图所示若他希望听觉舒适度不小于，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围结果保留小数点后一位． 14.如图所示，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． 求该抛物线所对应的二次函数的表达式． 若点在该抛物线上，求的值． 15.将抛物线：向下平移个单位长度得到抛物线． 直接写出抛物线的解析式； 如图，点在抛物线的第一象限上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标． 16.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点． 求抛物线的解析式 求抛物线的对称轴 当时，求此时点的坐标． 17.【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，抛物线：的图象经过，，三点． 求抛物线的表达式； 点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记的面积为，的面积为，若，求点，的值； 已知坐标系中有一直线：，若，求的取值范围． 18.如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点． 若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； 设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 答案和解析 1.【答案】【小题】 解：；  【小题】 ；  【小题】 ．   【解析】 略  略  略 2.【答案】【小题】 解：列表得 描点、连线得 【小题】 向上 【小题】 轴 【小题】 【小题】 增大 【小题】 小   【解析】 略  略  略  略  略  略 3.【答案】【小题】 解：顶点坐标为； 【小题】 设解析式为． 在抛物线上，，解得， 抛物线的解析式为．   【解析】 略  略 4.【答案】解：过点作轴于点， 交抛物线于点， 此时的周长最小． ，， ，． 又由题意可知， 当轴于点时，最短为． 周长的最小值为．  【解析】见答案 5.【答案】【小题】 解：，，； 【小题】 四边形为平行四边形，，， ，， ， 设平移后的抛物线为， ，解得， 平移后的抛物线为．   【解析】 见答案  见答案 6.【答案】解：将点代入得：， 解得：， ， 令，则， ， 设抛物线解析式为：， 将代入得：，解得：， ； 设， ，， ，，， ， ，即， 解得或， 点坐标为或．  【解析】将点代入，确定直线解析式即可求出点坐标，再设抛物线解析式为，将所求的点坐标代入即可求的值； 设，则可求，，，利用勾股定理列方程求解，即可求出点坐标为或． 本题是二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，灵活应用勾股定理是解题的关键． 7.【答案】解：函数的图象经过点， ， ， 函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． 当时，最大值为， 当时，最小为． 当时，的取值范围为． ， 二次函数图象的顶点坐标为， 把代入，得 ， ．  【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数和二次函数图象上点的坐标特征． 由点的坐标利用待定系数法，即可求出函数的表达式； 利用配方法找出图象的顶点坐标，再利用二次函数图象的性质，即可得出答案； 利用配方法找出图象的顶点坐标，再把顶点坐标代入求解即可． 8.【答案】证明：， 方程没有实数解， 即不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； 解：， 把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后， 得到函数的图象，它的顶点坐标是， 此时平移后得到的函数图象与轴只有一个公共点， 把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点．  【解析】求出根的判别式，即可得出答案； 先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质即可得出． 本题考查二次函数图象与几何变换，以及二次函数与一元二次方程． 9.【答案】【小题】 解：由条件可得，， 解得，， ，． 【小题】 设投资万元饲养种白鹅，则种白鹅的投资为万元， 由题意得， 整理得， 当时，有最大值，最大值为． 答：当投资万元饲养种白鹅，投资万元饲养种白鹅时，可使得总利润最大，最大总利润为万元．   【解析】 略  略 10.【答案】【小题】 解： 根据表格可知，抛物线的顶点坐标为，则，解得二次函数的解析式为，联立得，解得或点的坐标是 【小题】 由最大高度得，解得负值舍去．   【解析】 略  略 11.【答案】【小题】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小题】 当时，， 当时， 解得，，则抛物线与轴的交点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为， 描出特殊点，，画出图象如下： 【小题】 当时，随着的增大而减小．   【解析】  利用配方法对函数解析式进行变形，从而可判断出抛物线的顶点坐标和对称轴方程；   描点画出图象即可；   根据函数图象，分析判断函数的增减性即可． 12.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点， 、两点关于直线对称， 点的坐标为， 点的坐标为； 抛物线的对称轴为直线， ，解得， 将代入， 得，解得， 则二次函数的解析式为； 设直线的解析式为，将，代入 得 ， ， 即直线的解析式为； 设点坐标为， 则点坐标为， ， 当 时，有最大值．  【解析】利用抛物线的对称性求出点的坐标； 利用待定系数法求出抛物线解析式； 先求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而表示出的坐标，得出，即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，建立与点的横坐标之间的函数关系式是解本题的关键． 13.【答案】【小题】 解：依题意，当时，设解析式为．当时，的最大值为，，．将，代入，得解得．与的函数解析式为二次函数图象如图所示： 【小题】 ．   【解析】 略  略 14.【答案】解：令，得， ． 令，得， ． 设抛物线所对应的二次函数的表达式为， 把点的坐标代入，得， ， ． 把点的坐标代入， 得， 即， 解得，．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 15.【答案】【小题】 解：； 【小题】 过点作轴于点，过点作于点， 设，则， ， ， ， ， ，， ≌， ， ，解得舍或， ．   【解析】 略  见答案 16.【答案】【小题】 解：，，，，把，代入得，解得抛物线的解析式为． 【小题】 ，抛物线的对称轴为直线． 【小题】 设直线的解析式为，把，代入得，解得直线的解析式为设，则，，，，，或，解得或此时与重合，舍去或，点的坐标为或．   【解析】 略  略  略 17.【答案】【小题】 解：对，当时，，当时，， ，， 抛物线经过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， ， 抛物线的表达式为 【小题】 解：， ， ：， 设点的坐标为，则点的坐标为， 将点的坐标代入抛物线，得， 解得：， 点，点， 如图，连接，过点作于点，过点作于点，则轴， 点， ，，， ， ， 点，； 【小题】 解：， 直线与抛物线没有交点，且最近的距离为， 如图，当直线与抛物线只有一个交点时，得到直线，则 方程只有一个实数根， ， ， 记直线与抛物线的交点为，与轴的交点为点，则， 将直线沿垂直于直线的方向平移个单位，即可得满足条件的直线，记为直线， 此时，， 过点作轴，交直线于点，则， ， 是等腰直角三角形， ， 记直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形， ， 点的坐标为， 的取值范围为    【解析】  本题主要考查待定系数法求二次函数解析式先求和的坐标，然后用待定系数法求抛物线的解析式；   由和的面积之比得到：的比值，设点的坐标，得到点的坐标，再代入抛物线求得点的坐标，然后连接，过点作于点，过点作于点，然后用等面积法求得，即为点，的值；   由得直线与抛物线没有交点，先求得直线与抛物线只有一个交点时，得到直线，与抛物线的交点为，与轴的交点为点，然后向外平移个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，与轴的交点为，进而利用直线的性质求得点的坐标，即可得到的取值范围． 本题考查了二次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，等面积法求三角形的高，平行线的性质，解题的关键是会用待定系数法求得抛物线的解析式． 18.【答案】解：依题意得：， 解之得：， 抛物线解析式为， 点坐标为． 把、分别代入直线， 得， 解之得：， 直线的解析式为． 设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小． 把代入直线得，， ， 即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为． 设， 又，， ，，， 若点为直角顶点，则，即：解之得：； 若点为直角顶点，则，即：解之得：， 若点为直角顶点，则，即：解之得：，； 综上所述的坐标为或或 或  【解析】先把点，的坐标分别代入抛物线解析式得到和，的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得和的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出，，的值即可得到抛物线解析式；把、两点的坐标代入直线，解方程组求出和的值即可得到直线解析式； 设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小．把代入直线得的值，即可求出点坐标； 设，又因为，，所以可得，，，再分三种情况分别讨论求出符合题意值即可求出点的坐标． 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数二次函数和一次函数的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $