5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过复习勾股定理及计算直角三角形斜边，提出“能否通过边的关系判定直角三角形”的问题，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于引导学生构造直角三角形证明逆定理，培养推理能力（数学思维），结合勾股数总结和零件判断等实际问题（如例3），强化应用意识（数学语言），多样化课堂练习提升抽象能力（数学眼光）。助力学生发展逻辑思维，教师可高效开展教学。

5.2 勾股定理及其 逆定理 第3课时 第四章 三角形 数学湘教版八年级上册 1.掌握勾股定理的逆定理； 2.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形； 3.经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力； 4.利用勾股定理的逆定理解决实际问题，体会数学与现实世界的联系，培养逻辑思维能力及推理能力，提升数学素养． 重点 难点 学习目标 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. B C A b c a 问题2 求以线段a，b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a=3，b=4； ② a=2.5，b=6. 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，可不可以通过边的关系来判定直角三角形呢？ 复习回顾 我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.”它的逆命题是怎样的? 条件：一个三角形是直角三角形且两直角边为a，b，斜边为c 结论：a2 + b2 = c2. 逆命题： 如果三角形的三条边a，b，c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 该逆命题是真命题吗，我们一起来探究下. 探究新知 A　 B　 C　 a b c 如图，在△ABC中， 已知AB=c，BC=a，AC=b，且 a2+b2 = c2 . 那么△ABC 是直角三角形吗？ △ABC≌△A′B′C′ ？ ∠C 是直角 △ABC 是直角三角形 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 分析： 探究新知 如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b. A B C c b a A′ B′ C′ b a 在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得，A′B′2 = a2 + b2， 因为 a2 + b2 = c2，所以A′B′2 = c2，即 A′B′= c. 在△ABC 和△A′B′C′中, BC = B′C′ = a， AC = A′C′= b， AB = A′B′= c， 所以△ABC ≌△A′B′C′(SSS) 因此∠C =∠C′= 90°. 所以△ABC 是直角三角形. 先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一. 探究新知 勾股定理的逆定理： 几何语言： 如果三角形的三条边a，b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 在△ABC 中，因为 a2 + b2 = c2 ， 所以△ABC 是直角三角形. a、b 是直角边，c 是斜边，∠C = 90°. A C B a b c 于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题. 探究新知 教材 例题 例1 判断由线段a， b， c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a = 6，b = 8，c = 10； (2)a = 12，b = 15，c = 20. A C B a b c △ABC 是直角三角形 a2 + b2 = c2 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 应用新知 例1 判断由线段a， b， c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a = 6，b = 8，c = 10； (2) a = 12，b = 15，c = 20. 解：(1)因为62 + 82 = 100，102 = 100，所以62 + 82 = 102. 所以这个三角形是直角三角形. (2)因为122 + 152 = 369，202 = 400，所以122 + 152 ≠ 202. 所以这个三角形不是直角三角形. 注意 一般考虑较小两边的平方和是否等于最大边的平方. 教材 例题 应用新知 像15，8，17这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等 偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 应用新知 例2 如图，在△ABC中，已知AB=16，BD=6，AD=8，AC=17， 求DC的长. 教材 例题 分析：先根据勾股定理的逆定理得三角形是直角三角形，再利用勾股定理求边长. 应用新知 经典例题 例3 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗? 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2. 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 分析：根据勾股定理的逆定理判断即可. A B C D 3 4 5 12 13 图1 图2 A B C D 应用新知 教材 练习 1.判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形. (2)a = 8，b = 15，c = 17； (3)a = 10，b = 24，c = 25； (4)a = 9，b = 40，c = 41. 课堂练习 教材 练习 1.判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形. (2)a = 8，b = 15，c = 17； (3)a = 10，b = 24，c = 25； (4)a = 9，b = 40，c = 41. 解：(3)因为102 + 242 ≠ 252 ， 故由 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. (4)因为92 + 402 = 412 ， 故由 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 课堂练习 教材 练习 课堂练习 3.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 4.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 ( ) A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 课堂练习 5. 已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1(n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：作差法： AC-AB=(n²+1)-(n²-1)=2>0，∴AC>AB AC-BC=(n²+1)-2n=(n-1)²>0，∴AC>BC 因此AC为最长边. 分析：明确三边的大小关系，确定斜边，再分别表示AB²、BC²、AC²，看是否满足a2+b2=c2，若满足则为直角三角形，且c所对应的角为直角. 课堂练习 解：则△ABC如图所示： 因为AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4- 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)²= AC²， 所以△ABC 是直角三角形，边AC所对的角是直角. 5. 已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1(n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. A C B 2n n²+1 课堂练习 6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3 cm，AB=4 cm， CD=12 cm，BC=13 cm，求四边形ABCD 的面积. B A D C 课堂练习 逆定理 勾股定理及其逆定理 勾股数 能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；... 偶数类：6，8，10；8，15，17；10，24，26；... 如果三角形的三条边a，b，c 满足a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC 中，因为 a2 + b2 = c2 ， 所以△ABC 是直角三角形. a、b 是直角边，c 是斜边，∠C = 90°. 总结归纳 $