5.6.1匀速圆周运动的数学模型 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件核心围绕匀速圆周运动的数学模型展开，通过复习单位圆及任意角三角函数概念，结合筒车视频实例引入，引导学生抽象出正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+h，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融入数学文化（筒车历史），通过小组探究分析半径、角速度等相关量，发展数学抽象与建模素养，实例（水轮、摩天轮）巩固模型应用，小结梳理建模路径。学生能体会数学与现实联系，提升建模能力，教师可借助完整流程与实例高效教学。

讲课人： 日期： 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 学习目标 1. 经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系. 2. 掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质. 3. 依托现实情境，发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养. 复习回顾 从单位圆出发 三角函数的概念 角 终边与单位圆的交点为 ，则 点 是角 终边上异于原点的任意一点， 则 ，其中r是以点O为圆心以 OP为半径圆的半径 从特殊到一般圆中 三角函数的概念 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α有什么关系？ 角 β, α 的三角函 数值之间有什么关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画. 思考：对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？ 下面来看一个生活中的实际问题. 探索新知 数学文化：筒车是中国古代发明的一种灌溉工具，因其省时、省力，环保又经济，至今还在农业生产中得到使用。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车得工作原理。 探索新知 探索新知 结合视频，假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一盛水筒都做逆时针的匀速圆周运动。盛水筒抽象为一个质点P，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒的运动状态吗？ P0 P x y o 探索新知 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都作匀速圆周运动．如果将这个桶车抽象成一个圆，水筒抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒得运动具有周期性吗，可以考虑利用三角函数模型刻画它得运动规律。 与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 探索新知 如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定： 筒车转轮的中心O到水面的距离h， 筒车的半径r， 筒转动的角速度ω， 盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t． 下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒M运动的数学模型．（小组探究） 探索新知 水面 如图，将筒车抽象为一个几何图形. 假定筒车逆时针匀速转动 建系研究 3.盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 2.由三角函数定义，终点的纵坐标的表达式为 1.经过时间终边所对的角是 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于h是常量，我们可以只研究函数①的性质． 探索新知 匀速圆周运动的数学模型 由此，结合匀速圆周运动,我们得到了函数中参数的实际意义. ：匀速圆周运动的角速度 匀速圆周运动中的初始位置所对的角（角的始边是轴非负半轴） ：匀速圆周运动的半径 探索新知 问题2 如图，筒车半径为4m，点P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始逆时针转动，OP0与水平面所成角为30°，且每2分钟恰好转动1圈. x y （1）盛水筒M距离水面高度H（单位：m）与时间 t（单位：s）之间函数关系式是( ). A 半径为4m→r=4 分析： 每2分钟恰好转动1圈→ ω= OP0与水平面所成角为30°→ φ= h= → 探索新知 （2）求筒车转动1分钟时盛水筒M距离水面的高度. x y 分析： 分析： 分析： 问题2 如图，筒车半径为4m，点P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始逆时针转动，OP0与水平面所成角为30°，且每2分钟恰好转动1圈. （3）求盛水筒M第一次到达最高点所用的时间. （4）求盛水筒M进入水面后至少经过多久转出水面. 探索新知 思考：用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？ 实际问题 数学问题 三角函数模型 求解三角函数问题 实际问题的解 抽象 转化 引入 构建 课堂小结 用函数y＝Asin(ωx＋φ)模型解决实际问题经历了怎样的研究路径和过程？ 本节课我们将一个实际问题抽象转化成了一个数学问题，并建立了一个新的函数．根据研究指数函数、对数函数等函数的经验，你认为接下来应该研究什么？ 求解三角函数问题 实际问题的解 实际问题 数学问题 三角函数模型 抽象 转化 引入 构建 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 当堂检测 1. 如图是一个半径为米的水轮，水轮的圆心距离水面米，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面的距离（米）与时间（秒）满足关系式 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， B 当堂检测 2.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中,正确的为（ ） A.摩天轮离地面最近的距离为4米 B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则 C.若在时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D.使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 答案：BC 作业 1.完成教科书第241页，第6题，第7题. 2.寻找身边的匀速圆周运动例子，三人一组，收集数据，完成建模，并形成一份报告.（模板参考作业练习） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 结束语 Lavf58.20.100 $