专题04一元一次不等式与不等式组寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型解析+强化题型突破)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题04一元一次不等式与不等式组寒假预习核心讲义 · 吃透核心概念：轻松辨清不等式、解集的 “真面目”，告别 “分不清解和解集” 的尴尬，做概念小达人！ · 玩转不等式性质：精准拿捏 “乘除负数要变号” 的关键技巧，攻克预习头号易错点，变形计算快准狠！ · 解锁解题大招：掌握一元一次不等式（组）的五步解法，学会用数轴 “画” 出解集，直观又炫酷！ · 搞定实际应用：秒懂 “至少”“至多” 等关键词的隐藏不等关系，轻松解决租车、分物、购物等生活小难题！ · 提前抢跑下学期：夯实预习基础，开学课堂秒跟上，变身数学课堂的 “解题小能手”！ 预习必备 知识点梳理 1.不等式的相关概念 2.不等式的性质 3.一元一次不等式 4.一元一次不等式组 5.一元一次不等式(组)的简单应用 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.不等式的基本性质 2.一元一次不等式解集的求解方法 3.一元一次不等式整数解的确定 4.不等式解集的数轴表示方法 5.一元一次不等式的列写方法 6.一元一次不等式的实际问题应用 7.不等式解集的求解方法 8.一元一次不等式组整数解的求解 9.已知一元一次不等式组的解集求参数 10.由不等式组解集的情况求参数 11.不等式组在行程问题中的应用 12.不等式组在经济问题中的应用 13.一元一次不等式组的其他应用 强化巩固 题型通关 (19题) 【知识点01.不等式的相关概念】 1.不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 示例：3x>6、2x−1≤5、a0 都是不等式。 2.不等式的解与解集 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 示例：x=3 是不等式 x+1>2 的一个解。 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。 示例：不等式 x+1>2 的解集是 x>1。 解不等式： 求不等式解集的过程叫做解不等式。 3.数轴表示不等式的解集 解集类型 数轴表示方法 示例（x>1） x>a 数轴上a点处画空心圆圈，向右画射线 空心圈在 1，向右延伸 x<a 数轴上a点处画空心圆圈，向左画射线 空心圈在 1，向左延伸 x≥a 数轴上a点处画实心圆点，向右画射线 实心点在 1，向右延伸 x≤a 数轴上a点处画实心圆点，向左画射线 实心点在 1，向左延伸 【知识点02.不等式的基本性质】 性质 具体内容 示例（以 3>2 为例） 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 3+1>2+1 即 4>3； 3−5>2−5 即 −2>−3 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 3×2>2×2 即 6>4； 3÷3>2÷3 即 1>​ 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3×(−2)<2×(−2) 即 −6<−4；3÷(−1)<2÷(−1) 即 −3<−2 关键提醒：性质 3 是易错点，乘除负数时一定要变号！ 【知识点03.一元一次不等式】 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax+b>0（或 ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0），其中 a0。 示例：2x−1>5 是一元一次不等式；+2>3 不是（未知数在分母）。 2.解一元一次不等式的步骤 与解一元一次方程的步骤类似，分为 5 步： 1.去分母：不等式两边同乘各分母的最小公倍数（注意：乘负数时变号）。 2.去括号：根据去括号法则，括号前是负号时要变号。 3.移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。 4.合并同类项：化为 ax>b（或 ax<b 等）的形式。 5.系数化为 1：两边同除以 a（注意：a>0 时不等号方向不变；a<0 时方向改变）。 3.解集在数轴上表示 按照 “空心圈 / 实心点 + 方向” 的规则标注即可。 【知识点04.一元一次不等式组】 1.定义 把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2.不等式组的解集 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。若没有公共部分，则称这个不等式组无解。 3.一元一次不等式组的解法 1.分别解出不等式组中每个不等式的解集。 2.将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来。 3.找出它们的公共部分，即为不等式组的解集。 4.常见不等式组解集的四种类型（设 a<b） 不等式组 解集 数轴表示 口诀 x>b 公共部分在b右侧 同大取大 ​ x<a 公共部分在a左侧 同小取小 a<x<b 公共部分在a与b之间 大小小大中间找 无解 无公共部分 大大小小找不到 【知识点05.一元一次不等式(组)的简单应用】 1.解题步骤 审题：找出题目中的不等关系。 设未知数：根据题意设出合适的未知数。 列不等式（组）：根据不等关系列出不等式（组）。 解不等式（组）：求出解集。 检验：检验解集是否符合实际意义。 作答：写出最终答案。 2.常见不等关系关键词 大于、超过、高于 → > 小于、不足、低于 → < 大于等于、至少、不低于 → ≥ 小于等于、至多、不高于 → ≤ 【知识点06.易错点总结】 易错点 具体表现 纠正方法 不等式性质 3 误用 乘除负数时忘记改变不等号方向 牢记：乘除负数，不等号方向必须改变；做完后代入特殊值检验 数轴表示解集出错 空心圈和实心点混淆，方向画反 记住：含等号（≥、≤）用实心点，不含等号（>、<）用空心圈；大于向右，小于向左 去分母时漏乘常数项 不等式两边同乘公倍数时，只乘含未知数的项 去分母时，每一项都要乘各分母的最小公倍数，包括常数项 不等式组解集判断错误 混淆 “同大取大” 等口诀，或数轴画错 先分别解每个不等式，再在同一个数轴上画解集，直观找公共部分 实际问题忽略取值范围 解出解集后，未考虑未知数的实际意义（如人数为正整数） 检验解集时，结合实际场景，如人数、物品数量必须为正整数 【题型1.不等式的基本性质】 【典例】设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 【跟踪专练1】若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】④⑥ 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①∵，若，则，故该项不成立； ②∵，∴，故该项不成立； ③∵，∴，故该项不成立； ④∵，∴，故该项成立； ⑤∵，若取，满足，但此时，有，故该项不成立； ⑥∵，∴，故该项成立； ⑦∵ ，∴ ，故该项不成立； 故答案为：④⑥． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【跟踪专练2】设，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，算术平方根的性质和不等式的性质，解题的关键是正确的估算；先把估算在哪两个整数之间，再算出m的范围即可； 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型2.一元一次不等式解集的求解方法】 【典例】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项即可解出不等式． 【详解】解： ， 两边同时加上 3， 得 ． 故答案为： ． 【跟踪专练1】当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 根据题意，代数式的值小于代数式的值，列出不等式并求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【跟踪专练2】定义新运算，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握新运算法则是解题关键．根据新运算的定义，需要分两种情况讨论：当时和当时，分别解不等式即可． 【详解】解：当时，即，此时， 不等式化为，解得，结合条件，得； 当时，即，此时， 不等式化为，解得，结合条件，得， 综上，不等式解集为：或， 故答案为：或． 【题型3.一元一次不等式整数解的确定】 【典例】已知（是整数），则符合条件的的值有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值不等式的整数解问题，根据条件，结合为整数，确定的取值范围并统计符合条件的整数个数． 【详解】解：由，得 ， 的取值范围为 为整数，因此的可能取值为 符合条件的整数共有7个 故选：A． 【跟踪专练1】关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】不等式的正整数解的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查求不等式的整数解，估算无理数大小，求出不等式的解集是解题的关键． 先解不等式，确定x的范围，再找出范围内的正整数解即可得出答案． 【详解】解：， 解得， ∵， ∴， ∵x为正整数， ∴x可取1、2、3，共3个． 故选：B． 【题型4.不等式解集的数轴表示方法】 【典例】一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法是解题的关键．根据数轴写出不等式的解集． 【详解】解：数轴上表示的一元一次不等式的解集为： 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式得出解集，再表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：移项可得， 系数化为1可得， 表示在数轴上如图所示： ， 故选：D． 【跟踪专练2】若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 【题型5.一元一次不等式的列写方法】 【典例】某次知识竞赛共有25道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据题中的数量关系列出不等式是解题的关键． 设小亮答对x道题，则答错或不答道题．根据得分规则，总得分等于答对得分减去答错扣分，需超过70分建立不等式即可解答． 【详解】解：设小亮答对了x道题，根据题意，得 ． 故选：A． 【跟踪专练1】如图是某机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度l（单位：）的合格尺寸，则l的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式、正负数的应用，理解题意正确列出不等式是解题的关键．根据题意可得，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列选项正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程、不等式的性质，列不等式，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A：解方程，两边同除以得，故该选项不正确，不符合题意； 选项B：解不等式，两边除以负数时需改变不等号方向，得，故该选项不正确，不符合题意； 选项C：若，当时，，则成立；但若，则，不等式不成立，故该选项不正确，不符合题意； 选项D：“与5的差是非正数”即，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型6.一元一次不等式的实际问题应用】 【典例】在一次考试中，小明的语文和英语分别考了70分和83分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，则小明的数学应该至少考 分． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，小明的数学应该至少考分，根据三门功课的平均分不低于80分，列出不等式求解即可． 【详解】解：小明的数学应该考分， 根据题意：， 解得：， 则小明的数学应该至少考分， 故答案为：． 【跟踪专练1】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【跟踪专练2】某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买 个篮球． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，审清题意、根据等量关系或不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．先设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元，根据“购买3个足球和2个篮球共需元；购买2个足球和5个篮球共需元”列二元一次方程组求解，再设购买个篮球，则购买个足球，然后根据不等关系“购买足球和篮球的总费用不超过元”列出不等式，求出解集，最后得到相应整数解． 【详解】解：设购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元， 根据题意，得， 解得， 即购买一个足球需要元，购买一个篮球需要元； 设购买个篮球，则购买个足球， 根据题意列不等式，得 解不等式，得， 为整数， 最多是． 故答案为：． 【题型7.不等式解集的求解方法】 【典例】若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解． 首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来确定m的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求． 【详解】解：对不等式进行求解， 可得，即． 对不等式进行求解， 可得，即． 因为不等式组无解， 所以，解得． 选项A中，，满足． 选项B中，，不满足． 选项C中，，不满足． 选项D中，，不满足． 故选：A ． 【跟踪专练1】不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是不等式组的解集以及整数解的求解．先求出不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和． 【详解】解：解不等式组， 由和可得不等式组的解集为， 在该解集中的整数解为，， 整数解的和为， 故答案为：． 【跟踪专练2】不等式组的解集在数轴上的表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则． 求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，即可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集时，大于号用空心圆圈，小于号也用空心圆圈，选项C表示的是，符合题意． 故选：C． 【题型8.一元一次不等式组整数解的求解】 【典例】不等式组的整数解的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，分别解出两个不等式，从而得到不等式组的解集，再求出其中的整数并求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式的解集为， 故整数解有， 整数解的和是． 故答案为：0． 【跟踪专练1】不等式组的正整数解有几个（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式组的正整数解，首先求出不等式组的解集，在不等式组的解集中找出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组的正整数解有、、、共个． 故选：D． 【跟踪专练2】关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据有2个偶数解列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有2个偶数解， ∴这2个偶数解为2，4， ∴，解得， ∵a为整数， ∴a为，，，， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 故选：B． 【题型9.已知一元一次不等式组的解集求参数】 【典例】如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，先解出不等式组，再根据不等式组的已知解集，确定原不等式的 解集，从而得到取值范围． 【详解】解： 不等式组的解集为 故选：C． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组解集的求法，熟练掌握概念是解题的关键． 先确定不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解这一条件来确定的取值范围． 【详解】解：已知不等式组，因为不等式组有解， 可得不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解为，，，， 那么需要满足， 这样才能保证不等式组的整数解恰好为，，，． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解，能够通过不等式的解集得到参数的取值范围是解题关键． 先解不等式组，得到解集的范围，再根据给定的解集求出参数的值，最后计算幂． 【详解】解：解不等式组： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 不等式组的解集为 ． 给定解集为 ， ∴ ， 解得 ， 代入得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 【题型10.由不等式组解集的情况求参数】 【典例】若a使得关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且使得关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，求得a的取值范围是解题的关键．解不等式组，根据不等式组有且仅有2个整数解，得到a的范围；解关于y的方程，根据方程有正数解求得a的范围，从而得到，所以a的整数解为4，6，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且仅有2个整数解， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴； 解关于y的方程得：， ∵方程有正整数解， ∴， ∴， ∴， ∴a的整数解为4，6，和为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组解集，首先由不等式组解集的情况判断出的大小，进而即可求解，理解不等式组无解的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴不等式组的解集是， 故选：． 【跟踪专练2.】若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 【题型11.不等式组在行程问题中的应用】 【典例】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【跟踪专练2】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【题型12.不等式组在经济问题中的应用】 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 【跟踪专练1】某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 【跟踪专练2】校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【题型13.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】某种药品的包装盒上贴有如表标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（   ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度： A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的实际应用，根据题意温度要满足大于等于零下2摄氏度且小于等于5摄氏度，据此求解即可． 【详解】解：∵贮藏温度：，， ∴只有符合要求， 故选；D． 【跟踪专练1】按如图所示的程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于9”为一次运算，且运算进行两次才停止，则可输入的整数的值是 ． 【答案】4或5 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题．根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得：， 解得：． ∴x的整数解是：4，5， 故答案为：4或5． 【跟踪专练2】北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆，根据题意可列不等式组，再求解出即可． 【详解】解：设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆， 由题意得： 解得： ，且为正整数，故． 故选：B． 1．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3．列不等式表示“a的一半与1的差是负数”，这个不等式为 ，它的正整数解为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查列不等式，解一元一次不等式，正确的翻译句子，列出不等式，然后解一元一次不等式，求出正整数解即可． 【详解】解：由题意，可列不等式为：， 解得：， ∴它的正整数解为1； 故答案为：，1 4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 5．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 6．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 7．某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要 t龙眼加工成桂圆肉． 【答案】15 【分析】设用于加工桂圆肉的龙眼为 吨，则加工龙眼干的龙眼为 吨。根据加工效率和销售价格，列出销售额的不等式，解不等式即可． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的不等关系是解决问题的关键． 【详解】解：设把吨龙眼加工成桂圆肉，则加工成龙眼干的龙眼为吨． 桂圆肉的产量为吨，销售额为万元； 龙眼干的产量为吨，销售额为万元． 总销售额满足． 化简得，即， 则， 解得． 故答案为：15． 8．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 9．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．不等式组的解集是，实数a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式组． 根据不等式组的解集与给定解集相等，通过比较边界条件得到关于的不等式组，即可确定实数的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， ∴ 解①得， 解②得， 解③得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 11．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 12．已知，，则下列说法： ①若，，则； ②若的值与的取值无关，则，； ③当，为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，－2； ④当时，当时，的取值范围是． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解一元一次不等式等知识，绝对值的性质，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键． ①将和代入进行多项式的加减混合运算即可；②将M和N代入作整式的混合运算，再取对应系数为零即可；③将代入，再结合关于的方程解得为整数，则或，解得即可；④将代入M和N求得，分情况讨论求解即可． 【详解】解：①若，， ∵，， ∴，， 则，故①正确； ②∵，， ∴， ∵的值与x的取值无关， ∴，， 则，，故②正确； ③当时， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵关于的方程的解为整数， ∴或，解得或1，3，4，故③错误； ④当， ∵，， ∴，， 即：， ∵， ∴，即， 当时，； 解得： 当时，； 当时，； 解得： 综上所述，时，或，故④错误． 即正确的有2个， 故选：B． 解答题 13．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画射线，实心圆点向右画射线，空心圆点向左画射线，实心圆点向左画射线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． 14．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)，图形见解析 (4)，图形见解析 【分析】考查知识点：一元一次不等式的解法、不等式的性质、数轴表示解集．解题关键：正确应用不等式性质，规范完成去分母、移项等步骤．易错点：除以负数时不等号未变号，去分母时漏乘常数项，数轴表示空心/实心圆点混淆． （1）对不含分母/括号的不等式：通过移项合并同类项，再系数化为1（注意负数变向）． （2）含括号的不等式：先去括号，再重复上述步骤． （3）含分母的不等式：先去分母（乘最小公倍数），再去括号、移项、系数化为1． （4）最后根据解集在数轴上标注（空心圆点对应“>”“<”，实心圆点对应“≥”“≤”）． 【详解】（1） 解集在数轴上表示如下： （2） 解集在数轴上表示如下： （3） 解集在数轴上表示如下： （4） 解集在数轴上表示如下： 15．解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)不等式组无解 (4) 【分析】考查知识点：一元一次不等式组的解法、不等式组解集的确定．解题关键：准确求解单个不等式，正确判断解集的公共部分．易错点：解不等式时符号错误，或判断解集公共部分时逻辑错误（如漏判“无解”）． 针对每一道题分别解不等式组中的每个不等式，得到各自的解集；根据“同大取大、同小取小”等规则，确定所有不等式解集的公共部分；若无公共部分，则不等式组无解． 【详解】（1）解：， 解：， 故不等式组的解集为：． （2）解： 解： 故不等式组的解集为：． （3）解： 解： 故不等式组无解． （4）解： 解： 故不等式组的解集为：． 16．某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找出数量关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设小明买水果，则买了水果．根据合计付款不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题； （2）设小明买水果，则买了水果．根据小明合计付款元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小明买水果，则买了水果． 由题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． （2）解：设小明买水果，则买了水果． 由题意，得， 解得． 答：的值为． 17．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 18．浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： (1)求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． (2)学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲品牌篮球的单价是90元，乙品牌篮球的单价是70元． (2)学校共有三种购买方案：方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据题意正确列方程（组）． （1）设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个，根据购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，乙品牌篮球的单价为y元． 根据题意，得， 解得， 答：甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是90元，70元． （2）解：设购买甲品牌篮球a个，则乙品牌篮球为个． 根据题意，得， 解得， a为整数， ， 共有三种方案， 方案一：购买甲品牌篮球18个，乙品牌篮球62个；方案二：购买甲品牌篮球19个，乙品牌篮球61个；方案三：购买甲品牌篮球20个，乙品牌篮球60个． 19．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一元一次不等式与不等式组寒假预习核心讲义 · 吃透核心概念：轻松辨清不等式、解集的 “真面目”，告别 “分不清解和解集” 的尴尬，做概念小达人！ · 玩转不等式性质：精准拿捏 “乘除负数要变号” 的关键技巧，攻克预习头号易错点，变形计算快准狠！ · 解锁解题大招：掌握一元一次不等式（组）的五步解法，学会用数轴 “画” 出解集，直观又炫酷！ · 搞定实际应用：秒懂 “至少”“至多” 等关键词的隐藏不等关系，轻松解决租车、分物、购物等生活小难题！ · 提前抢跑下学期：夯实预习基础，开学课堂秒跟上，变身数学课堂的 “解题小能手”！ 预习必备 知识点梳理 1.不等式的相关概念 2.不等式的性质 3.一元一次不等式 4.一元一次不等式组 5.一元一次不等式(组)的简单应用 6.易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.不等式的基本性质 2.一元一次不等式解集的求解方法 3.一元一次不等式整数解的确定 4.不等式解集的数轴表示方法 5.一元一次不等式的列写方法 6.一元一次不等式的实际问题应用 7.不等式解集的求解方法 8.一元一次不等式组整数解的求解 9.已知一元一次不等式组的解集求参数 10.由不等式组解集的情况求参数 11.不等式组在行程问题中的应用 12.不等式组在经济问题中的应用 13.一元一次不等式组的其他应用 强化巩固 题型通关 (19题) 【知识点01.不等式的相关概念】 1.不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 示例：3x>6、2x−1≤5、a0 都是不等式。 2.不等式的解与解集 不等式的解： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 示例：x=3 是不等式 x+1>2 的一个解。 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。 示例：不等式 x+1>2 的解集是 x>1。 解不等式： 求不等式解集的过程叫做解不等式。 3.数轴表示不等式的解集 解集类型 数轴表示方法 示例（x>1） x>a 数轴上a点处画空心圆圈，向右画射线 空心圈在 1，向右延伸 x<a 数轴上a点处画空心圆圈，向左画射线 空心圈在 1，向左延伸 x≥a 数轴上a点处画实心圆点，向右画射线 实心点在 1，向右延伸 x≤a 数轴上a点处画实心圆点，向左画射线 实心点在 1，向左延伸 【知识点02.不等式的基本性质】 性质 具体内容 示例（以 3>2 为例） 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 3+1>2+1 即 4>3； 3−5>2−5 即 −2>−3 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 3×2>2×2 即 6>4； 3÷3>2÷3 即 1>​ 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 3×(−2)<2×(−2) 即 −6<−4；3÷(−1)<2÷(−1) 即 −3<−2 关键提醒：性质 3 是易错点，乘除负数时一定要变号！ 【知识点03.一元一次不等式】 1.定义 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 标准形式：ax+b>0（或 ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0），其中 a0。 示例：2x−1>5 是一元一次不等式；+2>3 不是（未知数在分母）。 2.解一元一次不等式的步骤 与解一元一次方程的步骤类似，分为 5 步： 1.去分母：不等式两边同乘各分母的最小公倍数（注意：乘负数时变号）。 2.去括号：根据去括号法则，括号前是负号时要变号。 3.移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。 4.合并同类项：化为 ax>b（或 ax<b 等）的形式。 5.系数化为 1：两边同除以 a（注意：a>0 时不等号方向不变；a<0 时方向改变）。 3.解集在数轴上表示 按照 “空心圈 / 实心点 + 方向” 的规则标注即可。 【知识点04.一元一次不等式组】 1.定义 把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 2.不等式组的解集 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。若没有公共部分，则称这个不等式组无解。 3.一元一次不等式组的解法 1.分别解出不等式组中每个不等式的解集。 2.将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来。 3.找出它们的公共部分，即为不等式组的解集。 4.常见不等式组解集的四种类型（设 a<b） 不等式组 解集 数轴表示 口诀 x>b 公共部分在b右侧 同大取大 ​ x<a 公共部分在a左侧 同小取小 a<x<b 公共部分在a与b之间 大小小大中间找 无解 无公共部分 大大小小找不到 【知识点05.一元一次不等式(组)的简单应用】 1.解题步骤 审题：找出题目中的不等关系。 设未知数：根据题意设出合适的未知数。 列不等式（组）：根据不等关系列出不等式（组）。 解不等式（组）：求出解集。 检验：检验解集是否符合实际意义。 作答：写出最终答案。 2.常见不等关系关键词 大于、超过、高于 → > 小于、不足、低于 → < 大于等于、至少、不低于 → ≥ 小于等于、至多、不高于 → ≤ 【知识点06.易错点总结】 易错点 具体表现 纠正方法 不等式性质 3 误用 乘除负数时忘记改变不等号方向 牢记：乘除负数，不等号方向必须改变；做完后代入特殊值检验 数轴表示解集出错 空心圈和实心点混淆，方向画反 记住：含等号（≥、≤）用实心点，不含等号（>、<）用空心圈；大于向右，小于向左 去分母时漏乘常数项 不等式两边同乘公倍数时，只乘含未知数的项 去分母时，每一项都要乘各分母的最小公倍数，包括常数项 不等式组解集判断错误 混淆 “同大取大” 等口诀，或数轴画错 先分别解每个不等式，再在同一个数轴上画解集，直观找公共部分 实际问题忽略取值范围 解出解集后，未考虑未知数的实际意义（如人数为正整数） 检验解集时，结合实际场景，如人数、物品数量必须为正整数 【题型1.不等式的基本性质】 【典例】设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则下列不等式成立的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【跟踪专练2】设，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【题型2.一元一次不等式解集的求解方法】 【典例】不等式的解集是 ． 【跟踪专练1】当代数式的值小于代数式的值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义新运算，，则不等式的解集为 ． 【题型3.一元一次不等式整数解的确定】 【典例】已知（是整数），则符合条件的的值有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．2个 【跟踪专练1】关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【跟踪专练2】不等式的正整数解的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4.不等式解集的数轴表示方法】 【典例】一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ． 【跟踪专练1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为 【题型5.一元一次不等式的列写方法】 【典例】某次知识竞赛共有25道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是某机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度l（单位：）的合格尺寸，则l的取值范围为 ． 【跟踪专练2】下列选项正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为 【题型6.一元一次不等式的实际问题应用】 【典例】在一次考试中，小明的语文和英语分别考了70分和83分，如果想使自己三门功课的平均分不低于80分，则小明的数学应该至少考 分． 【跟踪专练1】某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需元，购买2个足球和5个篮球共需元，根据实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买 个篮球． 【题型7.不等式解集的求解方法】 【典例】若不等式组无解，则m的值可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【跟踪专练1】不等式组的所有整数解的和为 ． 【跟踪专练2】不等式组的解集在数轴上的表示是（   ） A． B． C． D． 【题型8.一元一次不等式组整数解的求解】 【典例】不等式组的整数解的和是 ． 【跟踪专练1】不等式组的正整数解有几个（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于x的不等式组有且只有2个偶数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9.已知一元一次不等式组的解集求参数】 【典例】如果关于x的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围 ． 【跟踪专练2】已知不等式组的解集为，则（　　） A．2016 B． C． D．1 【题型10.由不等式组解集的情况求参数】 【典例】若a使得关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且使得关于y的方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【跟踪专练1】如果不等式组无解，那么不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．无解 【跟踪专练2.】若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【题型11.不等式组在行程问题中的应用】 【典例】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【跟踪专练1】如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【跟踪专练2】热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【题型12.不等式组在经济问题中的应用】 【典例】某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【跟踪专练2】校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【题型13.一元一次不等式组的其他应用】 【典例】某种药品的包装盒上贴有如表标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（   ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度： A． B． C． D． 【跟踪专练1】按如图所示的程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于9”为一次运算，且运算进行两次才停止，则可输入的整数的值是 ． 【跟踪专练2】北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 1．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 3．列不等式表示“a的一半与1的差是负数”，这个不等式为 ，它的正整数解为 ． 4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 6．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ． 7．某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要 t龙眼加工成桂圆肉． 8．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 9．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．不等式组的解集是，实数a满足的条件是 ． 11．关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，则下列说法： ①若，，则； ②若的值与的取值无关，则，； ③当，为整数时，若关于的方程的解为整数，则或1，6，－2； ④当时，当时，的取值范围是． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 13．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 14．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3) (4)． 15．解下列不等式组： (1) (2) (3) (4) 16．某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 17．七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 18．浙江省篮球联赛（简称浙）正在激烈进行，掀起了校园篮球运动的热潮．为更好地开展校园篮球运动，某校决定购买甲、乙两种品牌的篮球．已知购买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共花费410元；购买2个甲品牌篮球和5个乙品牌篮球共花费530元． 解答下列问题： (1)求甲品牌篮球与乙品牌篮球的单价各是多少元． (2)学校为开展校内篮球联赛，决定购买甲、乙两种品牌的篮球共80个，购买总费用不超过6000元，且甲品牌篮球至少买18个，问学校共有哪几种购买方案？ 19．对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $