精品解析：新疆乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年高一上学期教情学情调研数学试卷

新疆乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年高一上学期教情学情调研数学试卷 考试时长：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，则①；②；③；④中正确个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 详解】由， 则，，，. 故选：C 2. 若“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为真命题，通过和两类情况讨论即可. 【详解】“”为假命题，即“”为真命题. 当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立； 当，即时，若对一切实数都成立， 则解得. 综上，若“”为假命题， 则实数的取值范围为. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较指数幂及对数式的大小. 【详解】因为，，， 则. 故选：B. 4. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由为正实数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5. 已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在单调递减，又函数偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【详解】因为的定义域为，且对于任意均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 6. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的性质进行求解即可． 【详解】当时，得， 因为为定义在上的奇函数，所以， 则当时，， 故选：B 7. 已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析与的单调性及恒过的定点即可判断. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又定义域为， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过， 故选：A. 8. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可. 【详解】因为对于任意的，且，都有成立， 不等式两边同时除以， 可得，移项有， 构造函数， 则，所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意作出的函数图像，利用图像即可判断ABD，先求，再利用图像即可解，进而判断C. 【详解】作出函数的图象， 如图： 对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确; 对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确; 对于D： 由图象可得，的单调递增区间为， 故D错误. 故选：BC. 10. 给出定义：若（其中为整数），则叫做距离实数最近的整数，记作，即，例如：.给出下列关于函数的四个命题： ①； ②； ③； ④的定义域是R，值域是； 则不正确的命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据定义求出，，，，再根据，分别求出，，，，由可以得到的定义域是，由求出的范围，即得的值域. 【详解】因为，，，， 所以，，，， 可得，故①不正确； ，故②不正确； 因为，，所以，故③正确； 的定义域是，因为，所以， 即，所以值域是，故④不正确． 综上所述：不正确的命题是①②④. 故选：ABD． 11. 已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（ ） A. B. 函数在R上单调递减. C. 函数是偶函数 D. 不等式的解集为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值，代入计算，可判断A的正误；赋值，代入计算，可判断C的正误；任取，且，根据条件，代入整理，结合单调性的定义，可判断B的正误；根据条件，整理变形，可得，根据的单调性，结合一元二次不等式的解法，可得x的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：令，则，解得，故A正确； 选项C：令，则， 所以，则函数是奇函数，故C错误； 选项B：任取，且，则， 所以，即， 所以函数在R上单调递减，故B正确； 选项D：因为是奇函数， 所以， 又，所以， 因为，所以， 因为函数在R上单调递减， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数在上单调递减，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递增，不满足题意， 当时，在上单调递减，满足题意. 故． 故答案为：. 13. 函数的值域为____. 【答案】 【解析】 【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题. 【详解】解：令， 函数化 ，即函数的值域为． 故答案为： 14. 已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出在区间上的单调性，结合复合函数的单调性同增异减来求得的取值范围. 【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数， 都满足不等式，所以在区间上单调递增. 在上递减； 的开口向上，对称轴为， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1）计算； （2） （3）已知，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简计算，即可得答案. （2）根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案. （3）根据条件结合完全平方公式，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 【小问3详解】 因为，所以，解得， 所以，解得 16. 已知函数定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）； （2）是上的增函数，证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由求得，再由求得，并检验； （2）根据单调性定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解． 【小问1详解】 因为函数定义在上的奇函数，所以，， 所以，，所以， ，满足题意； 所以； 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，从而，而， 所以，即， 所以是上的增函数； 【小问3详解】 由题意是上的递增的奇函数， 由得， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 17. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 【答案】（1），3； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义列出方程并求解即得. （2）根据不动点的定义，结合一元二次方程的判别式列式，再利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设为函数的不动点，则，即， 解得或，所以所求不动点为，3. 【小问2详解】 由，二次函数恒有两个相异的不动点， 得，方程有两个不等实根， 则，，且， 由，得，则， 当且仅当，即时取等号，因此，且，即且， 所以实数的取值范围是. 18. 已知幂函数在上是严格增函数． （1）求的值； （2）设，求在上的最小值； （3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）最小值是 （3） 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义及其性质求解； （2）判断单调性求值； （3）令，将问题转化为求解. 【小问1详解】 因为为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. 【小问2详解】 令，而函数在单调递增， 所以在单调递减，所以函数在单调递减， 又是增函数，根据复合函数单调性可知在单调递减， 所以当时，取得最小值. 【小问3详解】 令，因为，所以， 则不等式即，所以，， 所以， 又的对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以的取值范围是. 19. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义判断； （2）列出满足，，的所有情况最多个数即可证明结论； （3）列出、、、所有情况，并说明其错误性，再时举出复合题意的例子，即可说明的最小值. 【小问1详解】 由于对，，有，，，，. 故是“可表集合”. 【小问2详解】 欲找寻的最大值，即中的元素尽可能地多， 则由运算后的所有情况为：， 共20个，故. 【小问3详解】 若，则中元素至多有，个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，不妨设，则由构成的数有 共20个， 因为最大数且为偶数，故不可能是中的元素， 故其余19个数刚好构成集合， 这19个数之和为，且， 故， 因，则，又均为正整数，经检验不存在这样的正整数， 故无法构成集合； 若，经过运算可构成集合， 故若为“可表集合”时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年高一上学期教情学情调研数学试卷 考试时长：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，则①；②；③；④中正确个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若“”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为正实数，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（     ） A B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对任意实数，用表示函数和中的最小值，记为，则 （ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当的最大值为 C. 不等式的解集为 D. 的单调递增区间为 10. 给出定义：若（其中为整数），则叫做距离实数最近的整数，记作，即，例如：.给出下列关于函数的四个命题： ①； ②； ③； ④的定义域是R，值域是； 则不正确的命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（ ） A. B. 函数在R上单调递减. C. 函数是偶函数 D. 不等式的解集为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数在上单调递减，则的值为________. 13. 函数的值域为____. 14. 已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式的值： （1）计算； （2） （3）已知，求的值. 16. 已知函数定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 17. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 18. 已知幂函数在上是严格增函数． （1）求的值； （2）设，求在上的最小值； （3）若存在，使得不等式成立，求取值范围． 19. 给定正整数，集合，若存在个不同正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $