第12讲 三角函数的概念及诱导公式讲义（思维导图+5大知识点+8大题型+过关测试）-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理三角函数概念及诱导公式的知识体系，将任意角、弧度制、三角函数定义等5个核心知识点按逻辑关系整合，用表格呈现特殊角三角函数值，清晰展示知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型归纳，举一反三”的练习设计，如“诱导公式的综合应用”通过例题与变式训练，引导学生运用数学思维分析角的变换规律，培养逻辑推理能力。过关测试涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习。

第12讲 三角函数的概念及诱导公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、任意角 4 知识点2、弧度制 4 知识点3、三角函数的概念 4 知识点4、同角三角函数间的基本关系 6 知识点5、诱导公式 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：任意角问题 8 题型二：弧长与面积公式 9 题型三：三角函数的概念 10 题型四：同角三角函数的基本关系 11 题型五：正切模型 13 题型六：msinα+ncosα问题 15 题型七：整体法求值问题 17 题型八：诱导公式的综合应用 18 05 过关测试 23 知识点1、任意角 （1）角的概念 （2）正角、负角、零角 （3）象限角 （4）终边相同的角 知识点2、弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 ． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③． 知识点3、三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）． 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 可以证明：；；． （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等． ， ， ， 其中． 知识点4、同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式． 知识点5、诱导公式 （1） 公式二 ， ， ． （2）公式三 ， ， ． （3）公式四 ， ， ． 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： （4） 公式五 ， ． （5）公式六 ， ． 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． 题型一：任意角问题 【例1】（2025·高一·四川遂宁·期末）将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 【变式1-1】（2025·高一·江西吉安·期中）已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 【变式1-2】（2025·高一·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 【变式1-3】（2025·高一·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 题型二：弧长与面积公式 【例2】（2025·高一·湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为， 大齿轮的齿数为，小齿轮的齿数为， 故有，解得，大轮的转速为（转/分）， 则小轮的转速为， 即小轮的转速为， 故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为. 故选：B. 【变式2-2】（2025·高一·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 【变式2-3】（2025·高二·辽宁·月考）已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（    ） A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 【答案】A 【解析】设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S， 易得弧长，周长等于，， 两式联立解得或,因,即, 故. 故选：A. 题型三：三角函数的概念 【例3】（2025·高三·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点，所以. 故选：C 【变式3-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，可得. 故选：A 【变式3-2】（2025·高一·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】终边过点，故， 所以. 故选：C 【变式3-3】（2025·吉林长春·模拟预测）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角的终边经过点，，，， 所以， 则. 故选：C. 题型四：同角三角函数的基本关系 【例4】（2025·高一·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】（1）因为，所以， 又，由，可得， 所以； （2）因为，又， 当时，，由，可得，此时， 当时，，由，可得，此时， 综上，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C 【变式4-1】（2025·高一·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以，解得或， 若，则，，此时所在象限是第四象限； 若，则，，此时所在象限是第二象限， 所以为第二象限或第四象限角. 故选：C. 【变式4-2】（2025·高一·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 题型五：正切模型 【例5】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）若，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（2025·高一·上海浦东新·期中）已知角满足，则 ． 【答案】 【解析】， 分子分母同时除以，原式， 故答案为：． 【变式5-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知为第一象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1），为第一象限角，则， ． （2），， 又，， 为第一象限角， ，， ． 【变式5-3】（2025·高一·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 【解析】（1）因为，所以. （2） . （3）因为为第一象限角，由同角三角函数的基本关系可得， 解得，. 题型六：msinα+ncosα问题 【例6】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故答案为：D. 【变式6-1】（2025·高一·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】，，即， 那么，即D正确. 故选：D． 【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【变式6-3】（2025·高一·辽宁大连·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为,又， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 题型七：整体法求值问题 【例7】（2025·高二·贵州·月考）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，且， 所以，所以， 所以. 故选：D 【变式7-1】（2025·高一·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得，故B正确. 故选：B 【变式7-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为第二象限角，所以， 所以，所以， 又因为，所以. 所以. 故选：C. 【变式7-3】（2025·高一·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 题型八：诱导公式的综合应用 【例8】（2025·高一·四川遂宁·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【解析】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 由题意知， 所以，， 所以. （3）， ， ， ， 所以. 【变式8-1】（2025·高一·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【解析】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 【变式8-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知． (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值． 【解析】（1）由，得． 故； （2）由（1）知，则， 解得或，又为第二象限角， 则，故， 所以． 【变式8-3】（2025·高一·广西·期中）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 【解析】（1）由可得，， 所以. 又为第三象限角，所以；. 所以，. （2）利用诱导公式可得， 将代入可得， 即. （3）因为， ， 所以. 1．（25-26高一上·山东聊城·月考）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 2．（25-26高一上·安徽池州·月考）已知一个扇形的面积为4，当该扇形周长最小时，圆心角为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】设圆心角是，扇形半径是，则，所以. 设扇形的周长为，则，当且仅当，即时取“”. 即时，该扇形的周长最小，最小值为8. 故选：C 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为， 大齿轮的齿数为，小齿轮的齿数为， 故有，解得，大轮的转速为（转/分）， 则小轮的转速为， 即小轮的转速为， 故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为. 故选：B. 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知定义在上的函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以利用多次递推， 则， ， ，， 此时符合， 代入得， 故选： 5．（25-26高一上·吉林长春·月考）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，所以弧度角为第二象限的角， 所以， 即点位于第三象限， 故选：C 6．（25-26高一上·山东济宁·月考）已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，因为点在角终边上，所以，；所以与终边相同的角是. 故选：C. 7．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以， 所以， 故选：A 8．（25-26高一上·江苏常州·月考）已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，. 则. 故选：C 9．（多选题）（25-26高一上·四川遂宁·期末）下列命题正确的有（ ） A．若是第一象限角，则一定是锐角 B．“”是“”的充分不必要条件． C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】选项A：第一象限角的范围为，.如是第一象限角，但不是锐角，A错误； 选项B：充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 选项C：因为，所以，C正确； 选项D：设扇形的半径为，则，所以， 所以该扇形的面积为，D错误. 故选：BC. 10．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】联立，解得或， 因为，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC 11．（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 D．若是第二象限角，则是第二或第四象限角 【答案】ABC 【解析】对于A选项，，A正确； 对于B选项，，B正确； 对于C选项，如果是第一象限的角，则， 那么，这表明是第四象限的角，C正确； 对于D选项，若是第二象限角， 则，则， 当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第一象限角，所以是第一或第三象限角，D错误. 故选：ABC. 12．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【解析】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 13．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的值为 【答案】 【解析】由 两边平方得 ， 即，且，所以为第二象限角，故. 所以，而 解得， 所以. 故答案为： 14．（2025高一上·江苏·专题练习）如果角的终边在直线上，则 【答案】 【解析】因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 故答案为: 15．（2025高一上·全国·专题练习）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）在第二象限，结合， ，则. （2）因为，显然，所以， 所以. 16．（25-26高一上·河南·月考）一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 【解析】（1）正五边形的一个内角为， 当时，. （2）由题意知，所以， 周长， 当且仅当，即时等号成立， 因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16. 17．（25-26高一上·浙江杭州·月考）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【解析】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，， 当时，，所以， 所以， 即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得， 则， ， 当且仅当，即，取得最大值. 18．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知. (1)若的始边为轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，，求的值. 【解析】（1）的终边过点，，，； （2）因为，所以，即， 从而， 因为，，，所以，因此， 从而，故 （3） . 19．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知. (1)化简； (2)若角的终边经过点，求的值. 【解析】（1）由三角函数的诱导公式，可得： （2）因为角的终边经过点，可得， 则. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 三角函数的概念及诱导公式 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、任意角 4 知识点2、弧度制 4 知识点3、三角函数的概念 4 知识点4、同角三角函数间的基本关系 6 知识点5、诱导公式 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：任意角问题 8 题型二：弧长与面积公式 8 题型三：三角函数的概念 9 题型四：同角三角函数的基本关系 9 题型五：正切模型 10 题型六：msinα+ncosα问题 10 题型七：整体法求值问题 11 题型八：诱导公式的综合应用 11 05 过关测试 14 知识点1、任意角 （1）角的概念 （2）正角、负角、零角 （3）象限角 （4）终边相同的角 知识点2、弧度制 （1）弧度的概念 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么 ． 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）弧度与角度的换算 （3）关于扇形的几个公式 设扇形的圆心角为（），半径为，弧长为，则有 ①； ②； ③． 知识点3、三角函数的概念 （1）三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边 与单位圆相交于点．把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即； 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即（）． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 ，； 余弦函数 ，； 正切函数 ，（）． 设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为． 可以证明：；；． （2）几个特殊角的三角函数值 ，，，的三角函数值如下表所示： 函 数 不存在 不存在 （3）三角函数值的符号 （4）诱导公式（一） 终边相同的角的同一三角函数值相等． ， ， ， 其中． 知识点4、同角三角函数间的基本关系 （1）平方关系 ． （2）商数关系 ． 作用： （1）已知的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角函数恒等式． 知识点5、诱导公式 （1） 公式二 ， ， ． （2）公式三 ， ， ． （3）公式四 ， ， ． 小结： （1）（），，，的三角函数，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． （2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： （4） 公式五 ， ． （5）公式六 ， ． 小结： ，的正弦（余弦），等于的余弦（正弦），前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号． 题型一：任意角问题 【例1】（2025·高一·四川遂宁·期末）将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高一·江西吉安·期中）已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2025·高一·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高一·贵州毕节·期末）若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型二：弧长与面积公式 【例2】（2025·高一·湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】（2025·高二·辽宁·月考）已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（    ） A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 题型三：三角函数的概念 【例3】（2025·高三·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·江苏淮安·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·吉林长春·模拟预测）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 题型四：同角三角函数的基本关系 【例4】（2025·高一·江苏盐城·期末）已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】（2025·高一·上海·期末）设角满足条件，则所在的象限是（    ） A．一、二 B．二、三 C．二、四 D．不能确定 【变式4-2】（2025·高一·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型五：正切模型 【例5】（2025·高一·陕西宝鸡·期中）若，则 . 【变式5-1】（2025·高一·上海浦东新·期中）已知角满足，则 ． 【变式5-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知为第一象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-3】（2025·高一·河南安阳·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)若为第一象限角，求、的值． 题型六：msinα+ncosα问题 【例6】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·贵州·期末）如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高一·辽宁大连·期中）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 题型七：整体法求值问题 【例7】（2025·高二·贵州·月考）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高一·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高一·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 题型八：诱导公式的综合应用 【例8】（2025·高一·四川遂宁·期末）如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.    (1)求； (2)求； (3)求的值. 【变式8-1】（2025·高一·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【变式8-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知． (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值． 【变式8-3】（2025·高一·广西·期中）已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 1．（25-26高一上·山东聊城·月考）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽池州·月考）已知一个扇形的面积为4，当该扇形周长最小时，圆心角为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知定义在上的函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·吉林长春·月考）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（25-26高一上·山东济宁·月考）已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高一上·吉林长春·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏常州·月考）已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·四川遂宁·期末）下列命题正确的有（ ） A．若是第一象限角，则一定是锐角 B．“”是“”的充分不必要条件． C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 10．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 D．若是第二象限角，则是第二或第四象限角 12．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    13．（2025高一上·江苏·专题练习）已知，则的值为 14．（2025高一上·江苏·专题练习）如果角的终边在直线上，则 15．（2025高一上·全国·专题练习）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值． 16．（25-26高一上·河南·月考）一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 17．（25-26高一上·浙江杭州·月考）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 18．（25-26高一上·福建龙岩·月考）已知. (1)若的始边为轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值； (3)若，，求的值. 19．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知. (1)化简； (2)若角的终边经过点，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $