第05讲 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数（思维导图+6大知识点+6大题型+过关测试）-2025-2026学年高一数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义以函数核心概念为统领，通过思维导图系统构建知识体系，将函数的概念、三要素、区间（表格呈现）、表示方法及分段函数等要点分层梳理，清晰呈现定义域、值域、解析式等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于“题型归纳+变式迁移”的练习设计，如通过具体与抽象函数定义域问题（题型二）、分段函数求值与图像分析（题型五），培养学生数学思维的逻辑性与数学语言的表达能力。每个题型配典型例题与变式训练，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化综合应用，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第05讲 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、函数的概念 4 知识点2、区间： 4 知识点3、函数的三要素 4 知识点4、函数的相等 4 知识点5、函数的表示方法 5 知识点6、分段函数 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：函数的概念 6 题型二：具体函数与抽象函数的定义域 7 题型三：值域问题 7 题型四：求函数解析式 8 题型五：分段函数问题 9 题型六：函数的综合问题 10 05 过关测试 13 知识点1、函数的概念 设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ,. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集. 知识点2、区间： 定义 名称 符号 数轴表示 闭 区 间 开 区 间 半开半闭区间 半开半闭区间 知识点3、函数的三要素 （1）定义域； （2）对应关系； （3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. 知识点4、函数的相等 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 知识点5、函数的表示方法 （1）解析法 （2）图象法 说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法 知识点6、分段函数 （1）分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 （1） ， （2）. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围. ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. （2）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 题型一：函数的概念 【例题1】（2025·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 题型二：具体函数与抽象函数的定义域 【例题3】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例题4】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D．R 【变式3】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：值域问题 【例题5】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数． (1)解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若，，求实数的取值范围． 【例题6】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 【变式6】（25-26高一上·重庆·期中）已知一次函数为增函数，且满足，． (1)若函数在上最大值与最小值的差为6，求． (2)当和满足时． ①设，解关于的不等式：． ②求的最大值． 【变式7】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，定义域为. (1)试判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围； (3)求函数的值域. 题型四：求函数解析式 【例题7】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例题8】（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【变式8】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【变式9】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式10】（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型五：分段函数问题 【例题9】（25-26高一上·全国·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【例题10】（多选题）（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【变式11】（多选题）（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【变式12】（多选题）（25-26高一上·河南·期中）已知函数，若，且，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型六：函数的综合问题 【例题11】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【例题12】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【变式13】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式14】（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)设函数； （i）若，试讨论的最小值； （ii）若函数定义在区间上，试求的最小值. 【变式15】（25-26高一上·山西大同·期中）（1）已知函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式； （3）求函数，的值域. 【变式16】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为． (1)若集合为函数的定义域，求集合； (2)若，求函数的值域． 1．（25-26高一上·河北承德·期中）下列各组函数中表示同一函数的是（   ） A．， B． C．， D．， 2．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆九龙坡·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的单调递增区间是 D．不等式对一切实数恒成立，则 5．（多选题）（25-26高一上·河北承德·期中）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若的反函数是，则 C．若二次函数，实数，则 D．若函数，则函数， 6．（多选题）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（25-26高一上·重庆璧山·期中）下列关于函数的命题一定正确的是（    ） A．与表示同一函数 B．函数的定义域是 C．已知函数，则在区间的值域为 D．如图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像 8．（多选题）（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一上·广东深圳·期中）下列说法中正确为（   ） A．已知函数，若，有成立，则实数的值为4 B．函数与函数是同一个函数 C．若，，则 D．若函数，且，则实数的值为 10．（多选题）（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的x，y都有，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．函数且的图象恒过定点 C．若，既是幂函数又是偶函数，则 D．已知函数在上是单调递减的，则的取值范围为 12．（多选题）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则 . 14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 15．（25-26高一上·福建厦门·期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材，根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且，当该公司一年内共生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元，当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 16．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为A，集合．集合． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 19．（25-26高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点1、函数的概念 4 知识点2、区间： 4 知识点3、函数的三要素 4 知识点4、函数的相等 4 知识点5、函数的表示方法 5 知识点6、分段函数 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：函数的概念 6 题型二：具体函数与抽象函数的定义域 8 题型三：值域问题 9 题型四：求函数解析式 13 题型五：分段函数问题 15 题型六：函数的综合问题 17 05 过关测试 23 知识点1、函数的概念 设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ,. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集. 知识点2、区间： 定义 名称 符号 数轴表示 闭 区 间 开 区 间 半开半闭区间 半开半闭区间 知识点3、函数的三要素 （1）定义域； （2）对应关系； （3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. 知识点4、函数的相等 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 知识点5、函数的表示方法 （1）解析法 （2）图象法 说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法 知识点6、分段函数 （1）分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 （1） ， （2）. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. ②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围. ③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. ④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. （2）分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 题型一：函数的概念 【例题1】（2025·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，由题可知函数 的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数 ， 当时，，故C、D项错误，A项正确. 故选：A. 【例题2】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 【变式1】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，对应的分别为，所以A错误； 对于B，当时，对应的分别为，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的分别为，所以D错误. 故选：C. 【变式2】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D 题型二：具体函数与抽象函数的定义域 【例题3】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【例题4】（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D．R 【答案】C 【解析】由题意可知，解得. 故选：C 【变式3】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 【变式4】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为． 故选：D. 【变式5】（25-26高一上·湖北襄阳·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为， 所以，解得， 所以的定义域为. 故选：D 题型三：值域问题 【例题5】（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知函数． (1)解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若，，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数， 因为方程，即，解得或， 当，即，不等式即为，则不等式的解集为； 当，即，不等式的解为或； 当，即，不等式的解为或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； （2）函数，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增，所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：； （3）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则由对勾函数性质可知上，单调递减，上，单调递增， 又因为， ， 所以， 所以恒成立，所以． 所以实数的取值范围为． 【例题6】（25-26高一上·江苏·期中）已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 【解析】（1） 则的图象的顶点坐标为. （2）当时，取得最小值，且最小值为0. 因为 所以的最大值为9. 故在上的值域为. 【变式6】（25-26高一上·重庆·期中）已知一次函数为增函数，且满足，． (1)若函数在上最大值与最小值的差为6，求． (2)当和满足时． ①设，解关于的不等式：． ②求的最大值． 【解析】（1）当时，由在上单调递增， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 当时，由在上单调递减， 且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 综上可得：； （2）①由一次函数为增函数，可设， 因为， 所以，解得，即， 又因为， 所以， ， 又因为，所以，此时， 则关于的不等式：， 当时，原不等式的解集为， 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， ②由， 令，则， 先证明柯西不等式， 作差得： 即可证明恒成立，取等号条件是， 则， 由于，所以，取等号条件是，即， 此时有最大值，取最大值时的． 【变式7】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，定义域为. (1)试判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围； (3)求函数的值域. 【解析】（1）函数在上单调递增， 证明：任取，且，又， ，且，， 那么，即， 函数在上单调递增. （2）函数在上是增函数，且， ，解得， 实数的取值范围为. （3），，， 则，，，， 函数的值域为. 题型四：求函数解析式 【例题7】（25-26高一上·河北邢台·期中）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，所以， 则． 故选：A 【例题8】（25-26高一上·重庆·期中）已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，且， 所以， 故选：B 【变式8】（25-26高一上·浙江·期中）已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解析】因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 【变式9】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以，. 所以. 故选：B. 【变式10】（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 题型五：分段函数问题 【例题9】（25-26高一上·全国·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B. 【例题10】（多选题）（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【解析】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 【变式11】（多选题）（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【答案】ACD 【解析】A：因为，正确； B：二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递减，此时， 当时，一次函数单调递减，此时， 所以在上不是单调递减的，不正确； C：由上可知：当时，一次函数单调递减，此时，此时函数没有最值； 当二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递增， 当时，二次函数单调递减， 当时，函数有最大值，所以的最大值为2，正确； D：当时，（舍）或， 当时，， 综上所述：的解集为，正确， 故选：ACD 【变式12】（多选题）（25-26高一上·河南·期中）已知函数，若，且，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【解析】设，作出的大致图象，如图： 由图可知，，故A正确； 由题意为方程即的两根， 故，B错误； 对于C，， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，，所以， 由，解得或（舍去），所以， 函数在上单调递减，令， 由对勾函数知在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为即，故D正确. 故选：ACD 题型六：函数的综合问题 【例题11】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【解析】（1）当， ；当，. 故； （2）由（1）分析，可得图象如下： 则函数定义域为R，值域为. 【例题12】（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. (3)若，，，求. 【解析】（1）作出函数的图象如图所示： （2）， （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或，因为，所以. 【变式13】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意得，解得，即， 由，因为，所以， 所以，即， 所以． （2）由，得，解得或， 因为，所以， 当时，的解集为，不符合题意， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 【变式14】（25-26高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)设函数； （i）若，试讨论的最小值； （ii）若函数定义在区间上，试求的最小值. 【解析】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故或1， 当时，不满足偶函数，故舍去； 当时，满足偶函数， 故； （2）（i）因为， 由（1）可得， 当即时，，则， 所以的最小值即的最小值，且在时取到； 当即或时，的最小值为负数， 故的图象是将的图象位于x轴下方部分向上翻折，其余部分图象不变， 故此时的最小值为； 综上， ； （ii）函数的图象的对称轴为， 当即时，函数在区间上单调递增， 所以， 当即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 当即时，函数在区间上单调递减，所以， 综上所述： 【变式15】（25-26高一上·山西大同·期中）（1）已知函数是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式； （3）求函数，的值域. 【解析】（1）设，则， 所以，所以，解得或. 所以或. （2）因为①， 用代替，得② ①②得：， 所以. （3）令，又，则，且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又，， 所以， 所以函数的值域是. 【变式16】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为． (1)若集合为函数的定义域，求集合； (2)若，求函数的值域． 【解析】（1）因为函数的定义域为， 即，所以， 由，得， 所以集合. （2）由（1）知， 令，则， 令， 对于任意，不妨令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 同理得在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，所以， 所以的值域为. 1．（25-26高一上·河北承德·期中）下列各组函数中表示同一函数的是（   ） A．， B． C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，函数的定义域为，而函数的定义域为，故两函数定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数和的定义域均为，但，，所以两函数的定义域相同，对应关系不同，不是同一函数，故B错误； 对于C，由得函数的定义域为，由得函数的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为，，则，的定义域和对应关系均相同，是同一函数，故D正确． 故选：D． 2．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，所以，，又， 则，，， ，，， ，，故B正确，ACD错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·重庆九龙坡·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 4．（多选题）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象过定点 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的单调递增区间是 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】ABC 【解析】A．令，可得，， 所以函数且的图象过定点，故A正确； B．的定义域为，则函数中，，解得：，故函数的定义域为，故B正确； C．函数的对称轴为：，开口向下，故函数在,上单调递增，在,上单调递减， 函数在上单调递减，所以还是的单调递增区间是，故C正确； D．当时，不等式对一切实数恒成立，当时， 则，解得，综上，故D错误； 故选：ABC． 5．（多选题）（25-26高一上·河北承德·期中）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若的反函数是，则 C．若二次函数，实数，则 D．若函数，则函数， 【答案】ACD 【解析】对于A，因为函数的定义域为， 则解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，由是函数的反函数可知，， 所以，故B错误； 对于C， ， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，设，则，所以， 所以，，故D正确． 故选：ACD． 6．（多选题）（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 7．（多选题）（25-26高一上·重庆璧山·期中）下列关于函数的命题一定正确的是（    ） A．与表示同一函数 B．函数的定义域是 C．已知函数，则在区间的值域为 D．如图所示的椭圆图形可以表示某一个函数的图像 【答案】AC 【解析】对于A ，函数与函数的定义域及对应关系都相同，因此值域也相同，所以是同一函数，所以A正确； 对于B，要函数的使有意义，须使，解得，且，所以函数的定义域是.所以B错误； 对于C，函数为二次函数，其图象开口向上，对称轴是，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以函数的值域为，所以C正确； 对于D，椭圆图形不满足任意一个的值，有唯一的值与它对应，如当时，对应两个值，所以D错误. 故选：AC. 8．（多选题）（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 9．（多选题）（25-26高一上·广东深圳·期中）下列说法中正确为（   ） A．已知函数，若，有成立，则实数的值为4 B．函数与函数是同一个函数 C．若，，则 D．若函数，且，则实数的值为 【答案】ACD 【解析】选项A，若，有成立，则图象的对称轴为， 而函数的对称轴为， 所以，解得，故选项A正确； 选项B，的定义域为，而函数的定义域为， 所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项B错误； 选项C，若，则， 又，所以，故选项C正确； 选项D，函数， 令，当时，；当时，， 故函数的解析式为，其定义域为， 由得，解得，均满足定义域要求，故选项D正确． 故选：ACD． 10．（多选题）（25-26高一上·广西南宁·期中）定义在R上的函数，对于任意的x，y都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于任意的x，y都有， 令，得， 因为，所以，即，故A正确； 令，得，即， 所以，所以，故B错误； ，， 所以，故C正确； ，，，， 所以故D正确． 故选：ACD． 11．（多选题）（25-26高一上·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．函数且的图象恒过定点 C．若，既是幂函数又是偶函数，则 D．已知函数在上是单调递减的，则的取值范围为 【答案】BD 【解析】对于A，与解析式不同， 与不是同一函数，A错误； 对于B，，的图象恒过定点，B正确； 对于C，是幂函数，，解得：或， 当时，，定义域为，为非奇非偶函数，不合题意； 当时，，其定义域为且， 为偶函数，符合题意； ，C错误； 对于D，，在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，，解得：， 即的取值范围为，D正确. 故选：BD. 12．（多选题）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【解析】， 即时，，时，， ， ． 故答案为：． 14．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【解析】（1）函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数； （2）依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 15．（25-26高一上·福建厦门·期中）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材，根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且，当该公司一年内共生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元，当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【解析】（1）因为当生产该款学习机9万部并全部销售完时，年利润为1312万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机25万部并全部销售完时，年利润为3280万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 16．（2025·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 又或， 所以或或； （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， 当时，， 所以或，结合解得，， 当时，， 所以，得. 综上，实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为A，集合．集合． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）令，解得， 可知函数的定义域为； 由可得，解得， 可得集合，则， 所以. （2）若，且集合，集合， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围. 18．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【解析】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 19．（25-26高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)已知命题为假命题，求实数的取值范围. (3)若函数，函数的最小值是5，求实数的值. 【解析】（1）若函数的定义域为，则对任意的， 由于函数的图象为开口向上的抛物线， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. （2）命题为假命题 则任意为真命题， ， 而，等号成立时，， 因此，实数的取值范围是． （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不满足条件，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $